向量的概念与背景优秀课件
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《向量概念》课件
混合积的运算性质
总结词
掌握混合积的运算性质
详细描述
混合积具有一些重要的运算性质，包括交换律、结合律以及分配律。交换律指的是混合 积的结果与向量的排列顺序无关；结合律指的是三个向量的混合积与它们的分组方式无 关；分配律指的是一个向量与另外两个向量的混合积结果等于该向量与其中一个向量乘
积与另一个向量的混合积。
向量的混合积
06
混合积的定义
总结词
了解混合积的基本定义
详细描述
混合积是向量的一种运算方式，通过将三个向量的有序排列进行乘积，得到一个标量值。具体定义为 向量a、b和c的混合积为a×(b×c)。
混合积的几何意义
总结词
理解混合积的几何解释
详细描述
混合积的几何意义在于表示三个向量 的空间关系。具体来说，当三个向量 构成一个右手坐标系时，它们的混合 积为正；如果构成左手坐标系，则混 合积为负。
外积的运算性质
总结词
阐述外积的运算性质
详细描述
外积具有一些重要的运算性质。首先，外积满足反交换 律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。这意味着两个向量的外积与其顺 序有关。其次，外积与标量乘法相结合满足分配律，即 $k(mathbf{A} times mathbf{B}) = (mathbf{A} times kmathbf{B})$。此外，外积还满足结合律，即 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。这些运算性质使得外积在向量运算中具 有重要的作用。
向量的基本概念(201912)PPT课件
a
l
b
C 0 B A
c a c OA =
b OB = OC =
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此，
平行向量也叫做共线向量。 规定：0与任一向量平行。
.
7
例1、 判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
①向量 AB与CD是共线向量，则A、B、C、
D四点必在一直 线上。
②单位向量都 相等。
3
向量的表示方法：
①用有向线段表示； a c b ②用字母 、 、 等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB 或a
4、零向量、单位向量概念 ：
①长度为0的向量叫零向量，记作 0 , 0 0
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不
向量
.
1
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
.
2
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
2、下面我们来学习向量的表示方法：
.
5
5、相等向量：
长①度向相量等a 与且 方b相向等相，同记的作向a量叫相b等向量。 ②0 0
③任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段来表示，并且与有说小法，是对错于误向的量。a
、b
,
.
6
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。
一般的，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假 设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有 方向的线段叫做有向线段。
向量的实际背景及基本概念 PPT
思考3：平移后
BHale Waihona Puke 向量有何特点？DE
A
F
O
C
思考4：零向量 与任一向量有 何关系？
概念辨析
例1 判断下面的说法是否正确.并说明理由。
(1) 向量的模的取值范围是 (0, ).
（×）
(2) 若 a与b都是单位向量,则 | a || b | . （√ ）
(3)若a / /b ,则向量 a与向量 b方向相同. （×）
2020/7/13
这个物理 量有什么 特点？
概念形成
问3：大家能否举出一些既有大小，又有方 向的量?请举例说明。
力，位移，速度… 向量:既有大小,又有方向的量.
学数 物 理
矢量
2020/7/13
向量的实际背景及基本概念
2020/7/13
我们来探究
问5问：4既：然用箭什头么表可示以向直量观的地方表向示，南那宁么
学习的内容梳理一下？
2020/7/13
我们共提高
.
零向量 单位向量
大小 （长度）
向量 定义
表示法 平行向量
方向 （共线向量）
相相 等反 向向 量量
2020/7/13
我们共提高
作业1 查阅资料了解向量及向量符号的由来 及数学符号对于数学发展的重要性.
作业2 如图，设O是正六边形 ABCDEF 的中
思考2：哪个实数最特殊？
2020/7/13
我们来探究
探究1：下列向量有何共同特点？
A
B
P
OF
C
D
E
2020/7/13
我们来探究
探究2：下列向量有什么关系？
a
A
B
高中数学平面向量的实际背景及基本概念优秀课件
例一
× 1、直角坐标系上的x轴,y轴都是为向量。
2、若|a|>|b| ，则a>b.
×
3、向量AB与向量BA相同
×
观察：如图，这几组向量之间，存在着什么关系？
a b
.0
c
四、向量的关系
1、平行向量：方向相同或相反的非零向量。
记作：a // b // c
思考：把图中的a，b，c三个向量移到同一起点o， 那么他们还是平行向量吗？ 还是平行向量。
小结
1.描述一个向量有两个指标——模、方向. 2.向量的图示，要标上箭头及起、终点，以 表达它的直观性. 3. 向量中的平行是指方向相同或相反的一 对向量，与长度无关. 4.共线向量是指平行向量,与是否真的画在 同一条直线上无关.
作业布置
A组3,4,5题 B组1,2题
2、共线向量：平行向量也叫共线向量。
思考： 若两个向量相等，那么它们
必须具备什么条件？
a
b
.0
c
3、相等向量：长度相等且方向相同的向量。 记作：a ＝ b。
例二．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA分别平行，相等的向量。
OA // CB // FE // DO
OA = DO = CB
需要特别注意的是
书本中是印刷体a，而手写应写为a.
三、模的概念：
向量 AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量 AB
的模.
记作：| AB |
2、零向量：长度为0的向量，表示为0. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量。 思考：
零向量与单位向量方向是什么？
零向量与单位向量都只规定了大小， 而没有规定方向，方向任意。
练习1：判断下列各命题是否正确？ （1）a = b ,则a = b;
人教版高中数学平面向量的实际背景及基本概念(共17张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
O
F
O C A B E D F O ;
问题:
(1) O B 与 A F 相等吗? 不相等 D
人教版高中数学必修平面向量的实际背景及基本概念PPT精品课件
练习： 1、单位向量是否一定相等？
2、单位向量的大小是否一定相等？
练习： 1、单位向量是否一定相等？
不一定 2、单位向量的大小是否一定相等？
一定
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
2、不相等的向量一定不平行吗？
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
课堂反馈
（1）数量和向量都可以比较大小吗？ （2）向量的模是一个正数吗？ （3）所有单位向量的模都相等？ （4）书写向量符号时箭头可以省吗？
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量 a
记作： a b c
b
c
规定0 向量与任一向量平行
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作： a = b
注：向量与数量的区别 ①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区别
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
向量：既有大小，又有方向的量.
2.问：路程、面积、功、身高
数量：只有大小，没有方向的量.
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
向量：既有大小，又有方向的量.
向量的两要素：方向、大小 2.问：路程、面积、功、身高
数量：只有大小，没有方向的量.
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量．
课件_人教版高中数学必修平面向量的实际背景及基本概念PPT课件_优秀版
（向3量）：共既线有向大量小一，定又相有等方；向化的量.为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把 图形的基本性质转化为向量的运算体系。 如图，如何由A点确定B点的位置?
问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？ 问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
⑥（共4）线相向等量向一量定一在定同共一线直。线上吗向？ 量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极 其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实 注：向量的模是可以比较大小的。
向量：既有大小，又有方向的量.
向量的两要素：方向、大小 2.问：路程、面积、功、身高
数量：只有大小，没有方向的量.
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量．
注：向量与数量的区别 ①较数大量小只. 有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区别
①较数大量小只. 有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
②A．向量的，长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
南
B
东
既有大小又有方向，许多物理量都有这样 的性质
抽 象 概 括
向量
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
向量：既有大小，又有方向的量.
2.问：路程、面积、功、身高
数量：只有大小，没有方向的量.
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？ 问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
⑥（共4）线相向等量向一量定一在定同共一线直。线上吗向？ 量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极 其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实 注：向量的模是可以比较大小的。
向量：既有大小，又有方向的量.
向量的两要素：方向、大小 2.问：路程、面积、功、身高
数量：只有大小，没有方向的量.
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量．
注：向量与数量的区别 ①较数大量小只. 有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区别
①较数大量小只. 有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
②A．向量的，长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
南
B
东
既有大小又有方向，许多物理量都有这样 的性质
抽 象 概 括
向量
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
向量：既有大小，又有方向的量.
2.问：路程、面积、功、身高
数量：只有大小，没有方向的量.
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
《向量的概念与表》课件
《向量的概念与表示》PPT 课件
目录
• 向量的基本概念 • 向量的加法与数乘 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01
向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，表 示为有向线段。
详细描述
向量是数学中一个基本概念，表示为 有向线段，由起点、终点和方向确定 。向量的大小或模表示其长度或大小 ，而方向则由起点指向终点。
05
向量的混合积
混合积的定义
混合积
三个向量的有序实数乘积，记作$a cdot b cdot c$，其中$a, b, c$是三个向量。
定义公式
$a cdot b cdot c = |a||b||c| cos theta$， 其中$theta$为向量$a, b, c$之间的夹角。
混合积的几何意义
01
混合积的几何意义：表示三个向 量围成的平行六面体的体积。
02
当混合积为正时，三个向量围成 的平行六面体体积为正；当混合 积为负时，体积为负；当混合积 为零时，三个向量共线。
混合积的运算律
交换律
$a cdot b cdot c = b cdot a cdot c$
结合律
$(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c$
几何意义
向量加法在几何上表示为 平行四边形的对角线，或 者三角形的一条边。
数乘
定义
数乘是标量与向量的乘积 ，结果仍为向量。
性质
数乘满足结合律和分配律 ，即λ(μa)=μ(λa)和 λ(a+b)=λa+λb。
几何意义
数乘在几何上表示为将向 量按比例放大或缩小。
向量加法和数乘的几何意义
目录
• 向量的基本概念 • 向量的加法与数乘 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01
向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，表 示为有向线段。
详细描述
向量是数学中一个基本概念，表示为 有向线段，由起点、终点和方向确定 。向量的大小或模表示其长度或大小 ，而方向则由起点指向终点。
05
向量的混合积
混合积的定义
混合积
三个向量的有序实数乘积，记作$a cdot b cdot c$，其中$a, b, c$是三个向量。
定义公式
$a cdot b cdot c = |a||b||c| cos theta$， 其中$theta$为向量$a, b, c$之间的夹角。
混合积的几何意义
01
混合积的几何意义：表示三个向 量围成的平行六面体的体积。
02
当混合积为正时，三个向量围成 的平行六面体体积为正；当混合 积为负时，体积为负；当混合积 为零时，三个向量共线。
混合积的运算律
交换律
$a cdot b cdot c = b cdot a cdot c$
结合律
$(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c$
几何意义
向量加法在几何上表示为 平行四边形的对角线，或 者三角形的一条边。
数乘
定义
数乘是标量与向量的乘积 ，结果仍为向量。
性质
数乘满足结合律和分配律 ，即λ(μa)=μ(λa)和 λ(a+b)=λa+λb。
几何意义
数乘在几何上表示为将向 量按比例放大或缩小。
向量加法和数乘的几何意义
向量的物理背景与概念精品PPT课件
17
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
1、向量的几何表示：用有向线段表示。
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或 称模）， 记作| AB |。
长度为0的向量叫做零向量.记作0。
长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。
2、向量的字母表示：1） a, b, c ,... （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB， CD
2.1.1 2.1.2 2.1.3
向量的物理背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量
A B
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
思考:时间,路程, 功是向量吗?速度, 加速度是向量吗?
向量：既有大小，又有方向的量。 向量的两要素：方向、大小
数量：只有大小，没有方向的量。
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量 常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，… 而且不同的点表示不同的数量。
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等 的充要条件是
|a|=|b| a ∥b
其中正确的个数是(
)
A．0 B. 1
C. 2
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
D. 3 当b ≠ 0时成立。
合作探究：
√
（7）a与 b共线，b 与 c 共线，则 a与 c也共线；×
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量AB，
分别以图中的格点为起点和终个？
（2）与AB长度相等的共线向量有多少个？
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
1、向量的几何表示：用有向线段表示。
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或 称模）， 记作| AB |。
长度为0的向量叫做零向量.记作0。
长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。
2、向量的字母表示：1） a, b, c ,... （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB， CD
2.1.1 2.1.2 2.1.3
向量的物理背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量
A B
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
思考:时间,路程, 功是向量吗?速度, 加速度是向量吗?
向量：既有大小，又有方向的量。 向量的两要素：方向、大小
数量：只有大小，没有方向的量。
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量 常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，… 而且不同的点表示不同的数量。
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等 的充要条件是
|a|=|b| a ∥b
其中正确的个数是(
)
A．0 B. 1
C. 2
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
D. 3 当b ≠ 0时成立。
合作探究：
√
（7）a与 b共线，b 与 c 共线，则 a与 c也共线；×
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量AB，
分别以图中的格点为起点和终个？
（2）与AB长度相等的共线向量有多少个？
平面向量的实际背景及基本概念 课件
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸 上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又| OA | ＝4 2 ，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与 纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量 OA 如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且| AB|＝4，所以在坐标 纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于 是点B位置可以确定，画出向量 AB如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC |＝6，依据勾股 定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向 小方格数为3 3 ≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量 BC 如图所示．
用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向， 最后依据向量模的大小确定向量的终点． 必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹 角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
3．向量间的关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量， 记作：a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫 共线 向量；a 平行于 b，记作 a∥b ；规定零向量与任一向量 平行 ．
[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等 向量指大小和方向均相同．
向量的有关概念
(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手 ①是否有大小；②是否有方向． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
向量的表示 [典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用 直尺和圆规画出下列向量：
①OA，使|OA|＝4 2，点A在点O北偏东45°； ② AB，使| AB|＝4，点B在点A正东； ③ BC ，使|BC |＝6，点C在点B北偏东30°.
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1.向量的几何表示：用有向线段表示.
向量AB的大小，也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB|.
2.向量的字母表示：（1） a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
3．两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
若 a ∥ b ,b ∥ c ,则 a ∥ c .当 b ≠ 0时成立.
3.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改
变方向按东北方向走了 1 0 2 米到达C点,到达
C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作
出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模.
D
2反的非零向量叫做平行向量.
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行.
C
o
A
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？
向量的概念与背景
2.1.1 向量的物理背景与概念
思考:时间,路程,功是向量吗? 速度,加速度是向量吗?
向数量量向：：量既只的有 有两大 大要小 小素， ，：又 没方有 有向方 方、向向大的的小量量..
既有大小又有方向的量叫向量。
向量
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？ 位移、力、速度、加速度、电场强度等
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的 单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
P
2.1.2 向量的表示
判断题
1.海拔含零上和零下海拔，所以海拔是向量（ ） 2.向量的模是一个正实数（ ） 3.若|a|>|b| ，则a > b ( ) 4.所有单位向量的大小相等（ ）
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 么向量？ 平行向量（共线向量）
（6）共线向量一定在同一直线上． ×
C
北
西
A
B东
南
1m
归纳小结
向量
定义 表示
几何表示法：有向线段
符号表示法： a,b, AB
长度(模)
零向量
特殊向量
向量的有关概念
单位向量
向量间 的关系
平行(共线)向量 相等向量
1.向量的概念: 2.向量的表示:
3.零向量: 4.单位向量:
仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定
5.平行向量: 6.共线向量:
2.1.3 相等向量与共线向量
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出 图中与向量OA相等的向量.
O AD O C B
变式一：与向量OA长度相
等的向量有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长 度相等,方向相反的向量？
存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB, DO, FE
仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定
7. 相等向量: 8. 相反向量:
对向量的大小和方向 都明确规定
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巩固练习
请判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 简述理由.
①向量 A B 与 C D 是共线向量，则A、B、C、D
四点必在一直线上；
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相
反的向量)不相等；
(×)
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
(×)
2.下面几个命题： ( 1)若 ab,bc,则a c. ( 2 ) 若 |a | 0 ,则 a 0 . ( 3 ) 若 |a | |b |,则 a b . (4)若两个向量 a , b 相等,则 |a||b|,且 a∥ b . 其中真命题的个数是( D)
2.1.3 相等向量与共线向量 ？ 1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗? 向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
能不能说向量就是有向线段?
有向线段的三要素： 区 我们现在所研究的“向量起，点与、起方点位向置、无长关.度
别 用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。
向量的两个要素： 大小、方向
所以数学中的向量也叫 自由向量
如图：它们表示2条
不同的有向线段;但 都表示同一个向量. A
B
D
C
2.1.2 向量的表示
数量
哪些量只有大小没有方向？ 距离、身高、质量、时间、面积等
向量与数量的区别是什么？
向量 有大小，方向，双重性，不能比较大小.
数量 只有大小，是一个代数量，可以进行 代数运算、比较大小.
思考1： 温度有零上零下之分，温度是不是向量？为什么？
2.1.2 向量的表示
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常 用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点 表示不同的数量.
-1 0 1 2 3
对于向量，我们常用有向线段来表示。
2.1.2 向量的表示
B（终点） 有向线段：在线段AB的两个
端点中，规定一个顺序，假设
A为起点，B为终点，我们就
A（起点）
说线段AB具有方向.具有方向 的线段叫做有向线段.
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 有向线段的三个要素：起点、方向、长度.
向量AB的大小，也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB|.
2.向量的字母表示：（1） a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
3．两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
若 a ∥ b ,b ∥ c ,则 a ∥ c .当 b ≠ 0时成立.
3.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改
变方向按东北方向走了 1 0 2 米到达C点,到达
C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作
出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模.
D
2反的非零向量叫做平行向量.
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行.
C
o
A
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？
向量的概念与背景
2.1.1 向量的物理背景与概念
思考:时间,路程,功是向量吗? 速度,加速度是向量吗?
向数量量向：：量既只的有 有两大 大要小 小素， ，：又 没方有 有向方 方、向向大的的小量量..
既有大小又有方向的量叫向量。
向量
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？ 位移、力、速度、加速度、电场强度等
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的 单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
P
2.1.2 向量的表示
判断题
1.海拔含零上和零下海拔，所以海拔是向量（ ） 2.向量的模是一个正实数（ ） 3.若|a|>|b| ，则a > b ( ) 4.所有单位向量的大小相等（ ）
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 么向量？ 平行向量（共线向量）
（6）共线向量一定在同一直线上． ×
C
北
西
A
B东
南
1m
归纳小结
向量
定义 表示
几何表示法：有向线段
符号表示法： a,b, AB
长度(模)
零向量
特殊向量
向量的有关概念
单位向量
向量间 的关系
平行(共线)向量 相等向量
1.向量的概念: 2.向量的表示:
3.零向量: 4.单位向量:
仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定
5.平行向量: 6.共线向量:
2.1.3 相等向量与共线向量
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出 图中与向量OA相等的向量.
O AD O C B
变式一：与向量OA长度相
等的向量有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长 度相等,方向相反的向量？
存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB, DO, FE
仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定
7. 相等向量: 8. 相反向量:
对向量的大小和方向 都明确规定
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巩固练习
请判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 简述理由.
①向量 A B 与 C D 是共线向量，则A、B、C、D
四点必在一直线上；
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相
反的向量)不相等；
(×)
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
(×)
2.下面几个命题： ( 1)若 ab,bc,则a c. ( 2 ) 若 |a | 0 ,则 a 0 . ( 3 ) 若 |a | |b |,则 a b . (4)若两个向量 a , b 相等,则 |a||b|,且 a∥ b . 其中真命题的个数是( D)
2.1.3 相等向量与共线向量 ？ 1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗? 向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
能不能说向量就是有向线段?
有向线段的三要素： 区 我们现在所研究的“向量起，点与、起方点位向置、无长关.度
别 用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。
向量的两个要素： 大小、方向
所以数学中的向量也叫 自由向量
如图：它们表示2条
不同的有向线段;但 都表示同一个向量. A
B
D
C
2.1.2 向量的表示
数量
哪些量只有大小没有方向？ 距离、身高、质量、时间、面积等
向量与数量的区别是什么？
向量 有大小，方向，双重性，不能比较大小.
数量 只有大小，是一个代数量，可以进行 代数运算、比较大小.
思考1： 温度有零上零下之分，温度是不是向量？为什么？
2.1.2 向量的表示
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常 用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点 表示不同的数量.
-1 0 1 2 3
对于向量，我们常用有向线段来表示。
2.1.2 向量的表示
B（终点） 有向线段：在线段AB的两个
端点中，规定一个顺序，假设
A为起点，B为终点，我们就
A（起点）
说线段AB具有方向.具有方向 的线段叫做有向线段.
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 有向线段的三个要素：起点、方向、长度.