组合数学答案

(完整word版)组合数学课后答案

习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。

现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。

证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。

由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。

那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。

证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。

（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。

组合数学卢开澄课后习题答案

组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。

卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。

在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。

第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。

习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。

答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

综上所述，B=C。

1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。

（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。

答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。

（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。

习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。

（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。

第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。

习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。

2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。

答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。

组合数学参考答案(卢开澄第四版)

1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b| 5；解：（1）：由|a-b|=5 a-b=5 或者 a-b=-5，由列举法得出，当 a-b=5 时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有 45 对。当 a-b=-5 时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有 45 对。所以这样的序列有 90 对。（2）：由题意知，|a-b| 5 |a-b|=1 或|a-b|=2 或|a-b|=3 或|a-b|=4 或|a-b|=5 或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5 时有 90 对序列。当|a-b|=1 时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有 49*2=98 对。当此类推当|a-b|=2，序列有 48*2=96 对，当|a-b|=3 时，序列有 47*2=94 对，当|a-b|=4 时，序列有 46*2=92 对，当|a-b|=0 时有 50 对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2 题 5 个女生，7 个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生 A 和 B 之间正好有 3 个女生的排列是多少？解：（a）可将 5 个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！× 5！，（b）用 x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有 8 个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取 5 个得到女生两两不相邻的排列数： C（8，5）× 7！× 5！（c）先取两个男生和 3 个女生做排列，情况如下： 6. 若 A，B 之间存在 0 个男生， A，B 之间共有 3 个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若 A，B 之间存在 1 个男生， A，B 之间共有 4 个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若 A，B 之间存在 2 个男生，A，B 之间共有 5 个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若 A，B 之间存在 3 个男生，A，B 之间共有 6 个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若 A，B 之间存在 4 个男生，A，B 之间共有 7 个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若 A，B 之间存在 5 个男生，A，B 之间共有 8 个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述 6 种情况之和。 1.3 题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中 m,n 都是正整数，若 (a)男生不相邻 (m n 1) ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生 A 和女生 B 排在一起；分别讨论有多少种方案。解：(a) 可以考虑插空的方法。 n 个女生先排成一排，形成 n+1 个空。因为 m n 1 正好 m 个男生可以插在 n+1 个空中，形成不相邻的关系。则男生不相邻的排列个数为

组合数学课后习题答案

题目：
1. 已知集合A={a,b,c,d},求A的子集的个数。

答案：
集合A={a,b,c,d}的子集的个数可以用组合数学中的2^n来计算，其中n表示集合A中
元素的个数，即n=4，因此A的子集的个数为2^4=16。

A的子集可以分为空集和非空集，空集只有
一个，即空集，而非空集有15个，它们分
别是：{a}、{b}、{c}、{d}、{a,b}、{a,c}、{a,d}、{b,c}、{b,d}、{c,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,c,d}、{b,c,d}、{a,b,c,d}。

由此可知，集合A={a,b,c,d}的子集的个数为16个。

2. 已知集合A={1,2,3,4,5},求A的子集的个数。

答案：
集合A={1,2,3,4,5}的子集的个数可以用组合数学中的2^n来计算，其中n表示集合A
中元素的个数，即n=5，因此A的子集的个
数为2^5=32。

A的子集可以分为空集和非空集，空集只有
一个，即空集，而非空集有31个，它们分
别是：{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,5}、{2,3}、{2,4}、{2,5}、{3,4}、{3,5}、{4,5}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,4,5}、{3,4,5}、{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,3,4,5}、{2,3,4,5}、{1,2,3,4,5}。

由此可知，集合A={1,2,3,4,5}的子集的个数为32个。

组合数学课后习题答案

组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。

根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。

计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。

(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。

计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。

(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。

计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。

问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。

子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。

利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。

《组合数学》姜建国著(第二版)-课后习题答案完全版

组合数学(第2版)-姜建国,岳建国习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。

2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。

十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。

百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。

又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。

十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。

组合数学课后答案 PDF 版

3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ （2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ （3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

《组合数学》第二版(姜建国著)-课后习题答案全

习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。

2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。

十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。

百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。

又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。

十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。

组合数学课后答案 PDF 版

3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ （2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ （3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

组合数学习题解答

第一章：1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。

解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。

1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。

如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。

而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。

故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一起的方式共有 10！- 2*9！。

1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。

两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。

1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0，例如235写成0235,则问题就变为求：x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有 F （4，5）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=515456 (2)分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1 将它们相加即得，F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。

4.4若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可表示a的幂：
a,a2……..an
解：设n=p1a1…….pkak，共n个素数的乘积，所以群G中每个元素都以用这k个素数来表示，而这些素数，根据欧拉定理，一共有
Φ(n)=n(1-1/p1)………(1-1/pk)
所以群G中母元素的数目为n(1-1/p1)………(1-1/pk)个.
4.6若H是G的子群，x和y是G的元素，试证或为空，或
4.7若H是G的子群,|H|=k,试证：
G的子群，x G
∴|xH|≤k
如果|xH|<k,则必存在a,b H,使得xa=xb,
因为且x G所以存在逆元x-1xa=x-1xb
∴a=b
∴|H|<k
又∵|H|=k
∴|xH|=k
4.18若以给两个r色球，量个b色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多少种不同的方案。
解：单位元素（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8），格式为（1）8.
绕中轴旋转90。的置换非别为（1234）（5678），（4321）（8765）
格式为（4）2，同格式的共轭类有6个。
绕中轴旋转180。的置换非别为（13）（24）（57）（68），格式为（2）4，同类置换有3个。
解：因为x和y在群G作用下属于同一等价类，所以x和y在群G作用下存在置换P1使x和y互相转变，即
Ex = Ey={x,y}
所以|Ex| = |Ey|。
4．11有一个3х3的正方形棋盘,若用红,蓝色对这9个格进行染色,要求两个格着红色,其余染蓝色,问有多少种着色方案?
解: 对于一个3×3的正方形棋盘,要求两个格着红色,其余染蓝色,如下图所示.
±144。(5)12个

组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页(优选.)

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1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。

当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！，（b）用x表示男生，y表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺，Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C（8，5）×7！×5！（c）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6. 若A，B之间存在0个男生，A，B之间共有3个人，所有的排列应为P6=C(5,3)*3!*8!*21．若A，B之间存在1个男生，A，B之间共有4个人，所有的排列应为P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*23．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。

组合练习题及答案

组合练习题及答案练习题一：组合的基本运算1. 给定集合A={1, 2, 3, 4}，求A的所有子集。

2. 集合B={a, b, c}，求B的所有真子集。

3. 若集合C={1, 2, 3}，求C的幂集。

4. 集合D={x | x是小于10的正整数}，求D的元素个数。

答案一：1. 集合A的子集有：∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}。

2. 集合B的真子集有：∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}。

3. 集合C的幂集为：∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}。

4. 集合D的元素个数为9，因为D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

练习题二：组合的应用问题1. 从5个不同的球中选出3个球，有多少种不同的选法？2. 有6个人参加一个会议，需要选出3个人组成委员会，有多少种不同的组合方式？3. 一个班级有30个学生，需要选出5个学生代表，有多少种不同的组合方式？4. 一个团队有10名成员，需要选出队长和副队长各一名，有多少种不同的选择方式？答案二：1. 从5个不同的球中选出3个球的选法为C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。

2. 从6个人中选出3个人组成委员会的组合方式为C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 20种。

3. 从30个学生中选出5个学生代表的组合方式为C(30, 5) = 30! / (5! * (30-5)!)。

4. 从10名成员中选出队长和副队长的组合方式为C(10, 1) * C(9, 1) = 10 * 9 = 90种。

组合数学答案

2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。

解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。

解：的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4，∴母函数为：2.3 已知母函数G （X ）= ,求序列{ n a }解：G （X ）==从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数，求对应的序列{}n a 。

解：母函数为A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑ n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。

证明：0321=+---n n n G G G ，n =2，3，4…。

求},,,{210 G G G 的母函数。

解：设 ++++=332210)(x G x G x G G x H ，则44332210)(x G x G x G x G G x H ++++= ……① ++++=43322103333)(3x G x G x G x G x xH ……② +++=4231202)(x G x G x G x H x ……③ ①-②+③，得：()x G x G G x H x x 01023)(31-+=+- 又已知 n n F G 2=，则 000==F G ，121==F G 所以，)253)(253(31)(2x x xx x x x H ---+=+-=设x B x A x H --+-+=253253)(，则可列出方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+02532531B A B A ，解得那么，ii i i ii ii x x x x Bx Ax H ∑∑∑∞=∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=++--=+--+--+=000)253()253(55)253(55)253(55)2531)(253()2531)(253()(2. 6 求序列{1，0，2，0，3，4，0，……}解：G(x)=1+0*x+2*2x +0*3x +3*4x +0*3x +0*5x +4*6x + …… =1+22x +34x +46x + ……∴2x G(x)= 2x +24x +36x + …… ∴（1-2x ）*G （x ）=1+2x +4x +6x +……∴（1-2x ）*G （x ）=(22)j j j j j j ij v vs sv vv v s se a ππππ∈∈∈∈∈-=-∑∑∑∑∑∴G （x ）=2.7 设24621234....(1)....n G x x x n x =+++++++求222(1),(1)x G x G --。

组合数学题目及标准答案

组合数学题目及标准答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。

问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。

用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。

这种对应显然是一对一的。

因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。

例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。

证明n 偶数。

证：由于每一次握手均使握手的两人各增加一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。

根据奇偶性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。

例４从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。

证设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。

每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。

组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。

这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。

而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。

若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。

例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。

证设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。

组合数学习题答案.

第一章答案第二章答案第三章答案第四章答案第一章答案1. (a) 45 ( {1,6},{2,7},{ 3,8}, ••{45,50})(b) 45 5+(4+3+2+1) = 235(1 26, 2、3门,3》4、8,…,45 46 50, 46 >47^50, 47》48、50, 49 > 50 )2. (a) 5!8!(b) 7! P(8,5)(c) 2 P(5,3) 8!3. (a) n !P( n+1, m)(b) n! (m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)!4. 2 P(24,5) 20!5. 2 5 P(8,2)+3 4 P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 41 319. 设n=p1n1p2n2-p k nk,则n2的除数个数为(2p1+1) (2p2+1) •••(2p k+1).10. 1)用数学归纳法可证n能表示成题中表达式的形式；2)如果某n可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a2；对等式两端的商除以4取余数, 又可得a3；…；这说明表达式是唯一的。

11. 易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义：右：从n个不同元素中任取叶1个出来，再从这叶1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复C(n-1,r)次。

n n12. 考虑 7 CnX k =(1 x)n,求导数后有kC^k—1二n(1 x)2,k=0 k=0n令x=1,即知 7 kC：= n2n，k=013. 设此n个不同的数由小到大排列后为a1, a2,…,a。

当第二组最大数为a k时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k-1种不同的可能。

故符合要求的n -4不同分组共有 a 2k4(2n4< -1)=(n-2)2n‘ 1 种。

组合数学题目及答案

组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。

问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。

用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。

这种对应显然是一对一的。

因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。

例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。

证明n 偶数。

证：由于每一次握手均使握手的两人各增加一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。

根据奇偶性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。

例４从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。

证设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。

每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。

组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。

这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。

而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。

若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。

例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。

证设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。

《组合数学》姜建国著(第二版)-课后习题答案完全版

组合数学(第2版)-姜建国,岳建国习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。

2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。

十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。

百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。

又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。

十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。

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