抛物线地性质归纳及证明

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(完整版)抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-=+=p p x AF ；②焦半径αcos 12||2+=+=pp x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90︒)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB ＝αsin 22p .证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p2，| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝| RF |1－cos θ＝p1－cos θ同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p1＋cos θ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p2·(| y 1|＋| y 1 |)∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 |∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2＝p 22sin θ.2.求证：①2124p x x =；②212y y p =-；③ 1| AF |＋1| BF |＝2p .当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==，成立；当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.代入抛物线方程： 2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.(122111212111111222x x p p pp AF BF AA BB x x x x +++=+=+=+++()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++===+++++. 3.求证：=∠=∠'''FB A B AC Rt ∠.先证明：∠AMB ＝Rt ∠【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则△ADM ≌△ECM ，∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝py 2 ∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2－p 2＝－1∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22). ∴MA →＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)∴MA →·MB →＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－(y 1－y 2)24＝p 24＋p 2(y 212p ＋y 222p )＋p 24－y 21＋y 22－2y 1y 24＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 22＝0 ∴MA →⊥MB →，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法五】由下面证得∠DFC ＝90 ，连结FM ，则FM ＝DM .又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4∴∠2＋∠3＝12×180︒＝90︒∴∠AMB ＝Rt ∠. 接着证明：∠DFC ＝Rt ∠【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD ∥RF ，故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝α，同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝β，而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180︒ ∴2(α＋β)＝180︒，即α＋β＝90︒，故∠DFC ＝90︒ 【证法二】取CD 的中点M ，即M (－p 2，y 1＋y 22)由前知k AM ＝py 1，k CF ＝－y 2＋p 2＋p 2＝－y 2p ＝p y 1∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90︒.【证法三】∵DF →＝(p ，－y 1)，CF →＝(p ，－y 2)，∴DF →·CF →＝p 2＋y 1y 2＝0 ∴DF →⊥CF →，故∠DFC ＝90︒.【证法四】由于| RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝| DR |·| RC |，即| DR || RF |＝| RF || RC |，且∠DRF ＝∠FRC ＝90︒ ∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFR ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFC ＝90︒4. C ’A 、C ’B 是抛物线的切线【证法一】∵k AM ＝p y 1，AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 212p)图6与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 得y －y 1＝p y 1(y 22p －y 212p)，整理得y 2－2y 1y ＋y 21＝0可见△＝(2y 1)2－4y 21＝0，故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切，同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x 求导，(y 2)'x＝(2px )'x ，得2y ·y 'x＝2p ，y 'x ＝py，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝y 'x | y ＝y 1＝p y 1. 又k AM ＝py 1，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A (x 1，y 1)的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－p 2，y 1＋y 22)代入左边＝y 1·y 1＋y 22＝y 21＋y 1y 22＝2px 1－p 22＝px 1－p 22，右边＝p (－p 2＋x 1)＝－p 22＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线.5. C ’A 、C ’B 分别是∠A ’AB 和∠B ’BA 的平分线. 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ， ∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA . 【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可，即α＝2β. 且M (－p 2，y 1＋y 22)图9∵tan α＝k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1 y 222p －y 212p＝2py 1＋y 2. tan β＝k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝py 1. ∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2py 11－(p y 1)2＝2py 1y 22－p 2＝2py 1y 22＋y 1y 2＝2py 1＋y 2＝tan α ∴α＝2β，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .6. AC ’、A ’F 、y 轴三线共点，BC ’、B ’F 、y 轴三线共点【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线， ∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2，易知，| DD 1 |＝| OF |，DD 1∥OF ，故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |＝| FG 2 |，则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 212p)，令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，y 12)，又DF 的直线方程为y ＝－y 1p (x －p 2)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，y 12)∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，y 12)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形.图107. A 、O 、B ’三点共线，B 、O 、A ’三点共线. 【证法一】如图11，k OA ＝y 1x 1＝y 1 y 212p＝2py 1，k OC ＝y 2 －p 2 ＝－2y 2p ＝－2py 2p 2＝－2py 2－y 1y 2＝2p y 1∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法二】设AC 与x 轴交于点O '，∵AD ∥RF ∥BC∴| RO ' || AD |＝| CO ' || CA |＝| BF || AB |，| O 'F || AF |＝| CB || AB |，又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴| RO ' || AF |＝| O 'F || AF |∴| RO ' |＝| O 'F |，则O '与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法三】设AC 与x 轴交于点O '，RF ∥BC ，| O 'F || CB |＝| AF || AB |，∴| O 'F |＝| CB |·| AF || AB |＝| BF |·| AF || AF |＋| BF |＝1 1| AF |＋1| BF |＝p2【见⑵证】∴O '与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线. 【证法四】∵OC →＝(－p 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，∵－p 2·y 1－x 1 y 2＝－p 2·y 1－y 212p y 2＝－py 12－y 1y 2y 12p ＝－py 12＋p 2y 12p ＝0∴OC →∥OA →，且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：图118. 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －nm ＋n ；【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD于E ，设| AF |＝mt ，| AF |＝nt ，则| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m －n )t ∴在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝| AE || AB |＝ (m －n )t (m ＋n )t ＝m －nm ＋n∴cos θ＝cos ∠BAE ＝m －nm ＋n.【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ，且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为 .则E 的坐标为( p2＋x 1 2，y 12)，则点E 到y 轴的距离为d ＝ p2＋x 1 2＝12| AF |故以AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |则圆心M 到l 的距离| MN |＝12| AB |，故以AB 为直径的圆与准线相切. 10. MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点.【证明】设A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 1)，则C (－p 2，y 2)，D (－p 2，y 1)，M (－p 2，y 1＋y 22)，N (y 21＋y 224p ，y 1＋y 22)，设MN 的中点为Q '，则Q ' ( －p 2＋y 21＋y 224p 2，y 1＋y 22)∵ －p 2＋y 21＋y 224p 2＝－2p 2＋y 21＋y 22 8p ＝ 2y 1y 2＋y 21＋y 228p ＝ ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222 2p∴点Q ' 在抛物线y 2＝2px 上，即Q 是MN 的中点.图16。

抛物线及其性质知识点大全教学内容

抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦点位置 X 正X 负Y 正Y 负焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶点坐标（0,0）离心率 1e =通径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

抛物线几何性质(抛物线几何性质总结)

思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则这条直线过焦点.”成立吗?
例2. 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆与
抛物线的准线相切.
证明：取AB的中点M, 过A、B、C点作准线的
垂线, 垂足为A1、B1、M1, 则
x＋5＝0的距离小1,求点M的轨迹方程．
分析：如图可知原条件等价于M点到F(4, 0)和到
x＝－4距离相等，由抛物线的定义，
点M的轨迹是以F(4, 0)为焦点,x＝－4为准
线的抛物线．
y
因为p/2=4, 所以p=8,
M(x , y)
所求方程是 y2＝16x．
-5 -4
F(4,0) x
例2. M是抛物线y2 = 2px (p＞0)上一点, 若点M的
2
∴直线 AB 的方程为 x
y cot
p
由
x
y cot
p 2
消去
x
并整理
2
y2 2 px
得 y2 2 py cot p2 0
∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )
与直线的倾斜角无关!
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 = (1 cot2 )( y1 y2很)2奇怪!
三角形，那么∠CFD的大小如何？
yA C
90°
OF
x
D
B
形成结论
过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、 B两点，焦点弦AB具有如下性质.
1
AB
x1
x2
p
2p

抛物线的性质归纳证明

抛物线的性质归纳证明
抛物线是一条曲线，它可仨定位于二维坐标系中，曲线的形状通常是自“U”字形型
起伏或驼峰形，它满足一元二次方程。

$y=ax^2+bx+c（a≠0）$。

抛物线的特征有：有一
个轴对称中心C（x1，y1）；抛物线的一条边界线，称为焦点F（x2，y2）；它的方程中a、b、c都是常数；抛物线上任意一点（x,y）满足方程，以此可推出抛物线的性质。

（1）抛物线轴对称：抛物线的轴对称中心坐标为（x1，y1）。

根据抛物线的轴对称
的定义，存在一个特定的点（x1，y1）使得图形的曲线在该点处对称。

那么就可以得到，
任意一点（x, y）只要满足：
$x - x_1 = x_1 -x\ 且\ y-y_1=y_1-y, \\ 则\ (x, y) 就在抛物线上$
（2）抛物线焦点：抛物线的焦点坐标为（x2，y2），根据定义我们可以推出，任意
一点（x,y）满足：
（3）方程的系数常数：抛物线的方程为$y=ax^2+bx+c（a≠0）$，其中a、b、c都是
常数，抛物线的形状也就可以根据这3个系数来确定。

（4）定位判断：任意一点（x, y）只要满足：$y=ax^2+bx+c（a≠0）$ ，则该点就
在抛物线上。

（5）关于x的函数：因为抛物线的方程存在一个自变量x，所以抛物线是一条关于x
的函数，它描述了给定y时，x的变化情况。

例如，当方程为$y=x^2-2x$，当y=-1时，
抛物线上会有两个位置x=1和x=-1。

以上就是抛物线的性质归纳证明，可以看出，抛物线的个性性质，包括轴对称、焦点、系数常数、定位判断以及关于x的函数，使得它在平面几何中具有重要的地位。

抛物线经典性质总结30条

抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。

AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。

证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。

2.证明：|BF|=x^2/(2p)。

3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。

5.证明：∠A’FB’=90°。

6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。

7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。

8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分∠AFK，B’F平分∠XXX。

9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。

11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。

12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。

1.证明y = 2px的两种方法：方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。

方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。

2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。

(y1+y2)/2)，证毕。

3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。

t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：设切点为Q(x。

y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。

认识抛物线及其性质

认识抛物线及其性质抛物线是数学中一种重要的曲线形状，它在物理学、工程学以及其他领域中都有广泛的应用。

本文将介绍抛物线的定义和性质，以及它在现实生活中的应用。

一、抛物线的定义抛物线可以通过以下的定义来描述：任意平面上给定一个定点F及一条直线L，不经过定点F，定点到直线上每一点的距离与点到直线的距离之比是一个常数。

这个比值称为离开定点F的距离与到直线L的距离之比的平方根，用e表示。

抛物线上的点P到定点F的距离与点P 到直线L的距离之比也等于e。

二、抛物线的性质1. 焦点和准线：在抛物线上，定点F称为焦点，直线L称为准线。

焦点是抛物线的重要属性之一，它与离开定点F的距离与到直线L的距离的关系密切相关。

2. 对称性：抛物线具有关于准线的对称性，即抛物线上的任意一点P到准线L的距离等于点P关于准线L的对称点P'到准线L的距离。

这一性质使得抛物线具有很好的对称美。

3. 焦半径：抛物线上任意一点P到焦点F的距离称为焦半径，记为r。

焦半径的值与点P在抛物线上的位置有关，它随着点P在抛物线上的移动而变化。

4. 焦直径：抛物线上两个焦点之间的距离称为焦直径，记为d。

焦直径的长度也是与焦半径相关的，它总是等于4倍的焦半径。

三、抛物线的应用抛物线在现实生活中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用领域：1. 抛物线的光学应用：抛物面是抛物线绕其准线旋转一周形成的曲面，它具有将入射光线聚焦到一个点的特性，因此广泛应用于望远镜、反射望远镜和抛物线反射器等光学仪器中。

2. 抛物线的物理应用：抛物线是自由落体运动的轨迹，因此在物理学中，抛物线被用来描述自由落体物体的运动轨迹。

3. 抛物线的工程应用：抛物线的特性使其在工程学中得到广泛应用。

比如，在桥梁设计中，抛物线的形状使得桥梁能够承受更大的重量。

4. 抛物线的图像应用：抛物线因其美观和对称性，经常在艺术和设计中被使用。

比如，建筑物的设计、家具的造型等都可以运用抛物线的形状。

抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质知识点大全与经典例题及解析

抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。

2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。

【知识梳理】1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦点位置 X 正X 负Y 正Y 负焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶点坐标（0,0）离心率 1e =通径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB以AB 为直径的圆必与准线l 相切3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

抛物线的简单几何性质

y
1 y2
k
(x 4x
2)
Y
可得ky2 4 y 4(2k 1) 0 (1)当k 0时，由方程得 y 1.
P·
把y 1代入y2 4x,得x 1 .
O
X
4
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(1 ,1) 4
例1 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k 为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
(0,0)
e=1
x2 2 py ( p 0)
y 0, xR
关于y 轴对称，无对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0,
关于y 轴对称，无
(0,0) e=1
( p 0) x R 对称中心
例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,2 2),求它的标准方程。
（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
课堂小结
（1）抛物线的简单几何性质（2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点（3）应用性质求标准方程的方法和步骤
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、准线、方程
3、注重数形结合的思想。
例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
点A的坐标为(
y02 2p
,
y0
),则直线OA的方程为y
抛物线的准线是x p

(完整版)抛物线的性质归纳及证明(最新整理)

抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为,,倾斜角为,中点为),(11y x A ),(22y x B αC(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’.1.求证：①焦半径；②焦半径;αcos 12||1-=+=p p x AF αcos 12||2+=+=pp x BF ③＋＝； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =；特别地，当x 1=x 2(1| AF |1| BF |2p α2sin 2p =90︒)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB ＝.ααsin 22p 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋，| BF |＝| BC |＝x 2＋，p2p2| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ，∴| AF |＝＝| RF |1－cos θp1－cos θ同理，| BF |＝＝| RF |1＋cos θp1＋cos θ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝＋＝.p1－cos θp1＋cos θ2psin 2θS △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝| OF || y 1 |＋| OF || y 1 |＝·121212p2·(| y 1 |＋| y 1 |)∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 |∴S △OAB ＝| y 1－y 2 |＝＝＝＝.p 4p4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2p44m 2p 2＋4p 2p 221＋m2p 22sin θ2.求证：①；②；③ ＋＝.2124p x x =212y y p =-1| AF |1| BF |2p 当AB ⊥x 轴时，有成立；AF BF p ==，当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：.代入抛物线方程：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.化简得：2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴.1224k x x ⋅=111211111122p pAF BF AA BB x x +=+=+=++.()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++===+++++3.求证：Rt ∠.=∠=∠'''FB A B AC 先证明：∠AMB ＝Rt ∠【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则△ADM ≌△ECM ，∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD |∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD |＝| BF |＋| AF |＝| AB |∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点，∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则| MN |＝(| AD |＋| BC |)＝(| AF |＋| BF |)＝| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |121212∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法三】由已知得C (－，y 2)、D (－，y 1)，由此得M (－，).p 2p 2p 2y 1＋y 22∴k AM ＝＝＝＝＝，同理k BM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p2y 1－y 22·y 212p＋pp (y 1－y 2)y 21＋p 2p (y 1－\f(－p 2,y 1))y 21＋p2py 1p y 2∴k AM ·k BM ＝·＝＝＝－1p y 1p y 2p 2y 1y 2p 2－p 2∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.【证法四】由已知得C (－，y 2)、D (－，y 1)，由此得M (－p 2p2，).p 2y 1＋y 22∴＝(x 1＋，)，＝(x 3＋，)MA →p 2y 1－y 22MB → p 2y 2－y 12∴·＝(x 1＋)(x 2＋)＋MA → MB →p 2p 2(y 1－y 2)(y 2－y 1)4＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋－p 2p 24(y 1－y 2)24＝＋(＋)＋－p 24p 2y 212p y 222p p 24y 21＋y 22－2y 1y 24＝＋＝＋＝0p 22y 1y 22p 22－p 22∴⊥，故∠AMB ＝Rt ∠.MA → MB →【证法五】由下面证得∠DFC ＝90 ，连结FM ，则FM ＝DM .又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4∴∠2＋∠3＝×180︒＝90︒12∴∠AMB ＝Rt ∠.接着证明：∠DFC ＝Rt ∠【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD ∥RF ，故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝α，同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝β，而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180︒∴2(α＋β)＝180︒，即α＋β＝90︒，故∠DFC ＝90︒【证法二】取CD 的中点M ，即M (－，)p 2y 1＋y 22由前知k AM ＝，k CF ＝＝＝p y 1－y 2＋p 2＋p 2－y 2p py1∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90︒.【证法三】∵＝(p ，－y 1)，＝(p ，－y 2)，DF → CF →∴·＝p 2＋y 1y 2＝0DF → CF →∴⊥，故∠DFC ＝90︒.DF → CF →【证法四】由于| RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝| DR |·| RC |，即| DR || RF |＝，且∠DRF ＝∠FRC ＝90︒| RF || RC |∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90︒∴∠DFR ＋∠RFC ＝90︒∴∠DFC ＝90︒4. C ’A 、C ’B 是抛物线的切线图6【证法一】∵k AM ＝，AM 的直线方程为y －y 1＝(x －)p y 1p y1y 212p 与抛物线方程y 2＝2px联立消去x 得y －y 1＝(－)，整理得y 2－2y 1y ＋＝0p y 1y 22p y 212py 2 1可见△＝(2y 1)2－4＝0，y21故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切，同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x求导，＝，(y 2)'x(2px )'x得2y ·＝2p ，＝，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝| y 'x y ' x p y y 'x y ＝y 1＝.py1又k AM ＝，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的py1切线.【证法三】∵过点A (x 1，y 1)的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－，)代入p 2y 1＋y 22左边＝y 1·＝＝＝px 1－，y 1＋y 22y 21＋y 1y 222px 1－p 22p 22右边＝p (－＋x 1)＝－＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，p 2p 22即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线.5. C’A 、C’B 分别是∠A’AB 和∠B’BA 的平分线.【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ，∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，E图8即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可，即α＝2β. 且M (－，)p 2y 1＋y 22∵tan α＝k AB ＝＝＝.y 2－y 1x 2－x 1y 2－y 1y 2 22p －y 212p 2py 1＋y 2tan β＝k AM ＝＝＝＝＝.y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2y 1－y 22·y 2 12p ＋pp (y 1－y 2)y 2 1＋p 2p (y 1－\f(－p 2,y 1))y 2 1＋p 2py 1∴tan 2β＝＝＝＝＝＝tan α2tan β1－tan 2β2p y 11－(\f(p ,y 1))22py 1y 2 2－p 22py 1y 2 2＋y 1y 22p y 1＋y 2∴α＝2β，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .6. AC’、A’F 、y 轴三线共点，BC’、B’F 、y 轴三线共点【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线，∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2，易知，| DD 1 |＝| OF |，DD 1∥OF ，故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |＝| FG 2 |，则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝(x －)，py 1y 212p图10令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，)，y 12又DF 的直线方程为y ＝－(x －)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，)y 1p p 2y 12∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，y 12同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形.7. A 、O 、B’三点共线，B 、O 、A’三点共线.【证法一】如图11，k OA ＝＝＝，y 1x 1y 1y 212p2py1k OC ＝＝－＝－＝－＝y 2－p22y 2p 2py 2p 22py 2－y 1y 22p y 1∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法二】设AC 与x 轴交于点O '，∵AD ∥RF ∥BC∴＝＝，＝，| RO ' || AD || CO ' || CA || BF || AB || O 'F || AF || CB || AB |又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴＝| RO ' || AF || O 'F || AF |∴| RO ' |＝| O 'F |，则O '与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法三】设AC 与x 轴交于点O '，RF ∥BC ，＝，| O 'F || CB || AF || AB |∴| O 'F |＝＝＝＝【见⑵证】| CB |·| AF || AB || BF |·| AF || AF |＋| BF |11| AF |＋1| BF |p 2∴O '与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法四】∵＝(－，y 2)，＝(x 1，y 1)，OC → p 2OA →∵－·y 1－x 1 y 2＝－·y 1－ y 2＝－－＝－＋＝0p 2p2y 212p py 12y 1y 2y 12p py 12p 2y 12p图11∴∥，且都以O 为端点OC → OA →∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：8. 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝；m －nm ＋n【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD于E ，设| AF |＝mt ，| AF |＝nt ，则| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m －n )t ∴在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝＝＝| AE || AB |(m －n )t (m ＋n )t m －nm ＋n∴cos θ＝cos ∠BAE ＝.m －nm ＋n 【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ，且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为.【说明】如图15，设E 是AF 的中点，则E 的坐标为(，)，p2＋x 12y 12则点E 到y 轴的距离为d ＝＝| AF |p2＋x 1212故以AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则| MN |＝(| AD |＋| BC |)＝(| AF |＋| BF |)＝| AB |121212则圆心M 到l 的距离| MN |＝| AB |，12故以AB 为直径的圆与准线相切. 10. MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点.【证明】设A (，y 1)，B (，y 1)，则C (－，y 2)，D (－，y 1)，y 212p y 222p p 2p2M (－，)，N (，)，p 2y 1＋y 22y 2 1＋y 224p y 1＋y 22设MN 的中点为Q '，则Q ' (，)－p 2＋y 21＋y 224p 2y 1＋y 22∵ ＝＝＝－p 2＋y 21＋y 224p 2－2p 2＋y 2 1＋y 2 28p 2y 1y 2＋y 2 1＋y 228p (y 1＋y 22)22p图16∴点Q 在抛物线y2＝2px上，即Q是MN的中点.。

初中数学知识归纳抛物线的性质与像

初中数学知识归纳抛物线的性质与像初中数学知识归纳-抛物线的性质与像抛物线作为数学中的一种特殊曲线形态，具有许多独特的性质和特点。

在初中数学学习中，了解和掌握抛物线的性质与像对于理解曲线方程、解题和图形的变换具有重要的意义。

本文将对抛物线的性质与像进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用抛物线的相关知识。

一、抛物线的基本性质抛物线是由一条不等于零的常数a和变量x的平方项构成的二次函数图像。

其基本形式为：y = ax^2 + bx + c （a≠0）抛物线的顶点是图像的最低点或最高点，当抛物线开口朝上时，顶点为最低点，当开口朝下时，顶点为最高点。

顶点坐标为（h，k），其中 h = -b / (2a)， k = c - b^2 / (4a)。

二、抛物线的开口方向与对称轴抛物线的开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是通过顶点的一条直线，其方程为 x = h，其中 h为顶点的横坐标。

三、抛物线的焦点与准线抛物线上有两个特殊的点，即焦点和准线。

抛物线的焦点位于对称轴上，其纵坐标为 k + 1 / (4a)。

而准线与对称轴平行，其纵坐标为 k - 1 / (4a)。

四、抛物线的图像变换抛物线在坐标系中可以进行各种图像变换，如平移、伸缩等。

具体变换规律如下：1. 平移变换：将抛物线整体上下或左右移动，平移变换的规律为：对于直线 y = f(x)，平移量为 (m, n)，则新的直线方程为 y = f(x-m) + n。

2. 垂直方向的伸缩：对于直线 y = f(x)，纵坐标整体伸缩为原来的a 倍，则新的直线方程为 y = a * f(x)。

3. 水平方向的伸缩：对于直线 y = f(x)，横坐标整体伸缩为原来的b 倍，则新的直线方程为 y = f(x / b)。

五、抛物线的像知道抛物线的性质和图像变换后，我们可以在解题中应用这些知识，求解与抛物线相关的问题。

抛物线几何性质(抛物线几何性质总结)

顶点：原点；
离心率：e＝1；
焦半径：| MF
|=
x0
+
p.
2
问题提出
过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，线段AB叫做抛物线的焦点弦，请你探究焦点弦具有哪些性质. y A
O
F
x
B
探求新知
设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，
y12、) 焦点弦AB的长如何计算？
yA
|AB|＝x1＋x2＋p
则 AB 的中点到直线 x+1=0 的距离为( D )
(A) 5
(B)2
(C)3
(D) 11
2
4
d

3 4

2

11 4
y
l
C
-1
3 4
24
· K

1 4
O
F
x
抛物线的应用
P74 8. 抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米, 水面宽4米,水下降1米后, 水面宽多少？
y
O
23
x
B(2, -2)
方程
图形
范围
y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
（p＞0）（p＞0）（p＞0）（p＞0）
y
l
yl
y
F
y
l
OF x F O x
O
x
O F
x
l
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
焦半径
焦点弦的长度
p 2

x0
p x1 x2

抛物线的概念

抛物线的概念抛物线的概念及其应用1. 引言抛物线是数学中一个重要的曲线，其形状独特而美妙。

在几何学和物理学中，抛物线广泛应用于各种领域，包括力学、光学、天文学等。

本文将深入探讨抛物线的概念、性质和应用，以便更深入地理解这一曲线。

2. 抛物线的定义抛物线是所有离一个定点（称为焦点）距离与其到一条直线（称为准线）的距离成正比的点构成的曲线。

准线和焦点之间的距离称为焦距，并用字母p表示。

3. 抛物线的性质3.1 对称性抛物线具有关于准线对称的性质。

如果抛物线上的点P到准线的距离为d，则点P'到准线的距离也为d并且两点在准线的同一侧。

3.2 焦点与准线的距离关系对于抛物线上的任意一点P，其距离焦点的距离与其到准线的距离之间存在以下关系：d = |PF| = |PL| = p，其中PF表示点P到焦点的距离，PL表示点P到准线的距离。

3.3 焦点的确定方法通过对称性和焦点与准线的距离关系，可以确定焦点的位置。

以焦点为圆心、焦距为半径作圆与准线相交于点O，连接PO即可确定焦点的位置。

4. 抛物线的方程抛物线的方程可以通过焦点、准线和直角坐标系来求得。

一般来说，抛物线的顶点位于坐标轴上，其坐标表示为（h，k）。

根据抛物线的定义，可以得到一般式方程：y = ax^2 + bx + c。

5. 抛物线的重要应用5.1 物体的抛射运动在力学中，抛物线被广泛应用于描述物体的抛射运动。

当物体在水平面上以一定初速度和发射角度被抛出时，其运动轨迹正是一个抛物线。

通过抛物线方程，可以计算物体的运动轨迹、最大高度和最远距离等参数。

5.2 反射聚焦在光学中，抛物线被用于反射聚焦。

抛物面反射器是一种利用抛物线形状的曲面来聚焦光线的光学器件。

这种曲面具有将接近光轴的入射平行光束反射到焦点上的特点，因此被广泛应用于望远镜、卫星接收器等光学设备中。

5.3 天体运动轨迹在天文学中，抛物线也用于描述天体的运动轨迹。

彗星经常沿着抛物线轨道绕太阳运行，其中太阳位于焦点上。

抛物线30条经典性质及其证明

抛物线的30条经典性质及证明已知抛物线22(0)y px p =>，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点.AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K.求证：1.12||,||,22p pAF x BF x =+=+2.11()22CC AB AA BB '''==+；3.以AB 为直径的圆与准线L 相切；证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r'''=+=+==4.90AC B '∠=；(由1可证)5.90A FB ''∠= ；,,||||,,1,2AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠ 证明：同理：1,2B FK BFK '∠=∠得证.6.1C F A B 2'''=.证明：由90A FB ''∠=得证.7.AC '垂直平分A F '；BC '垂直平分B F '；证明：由1C F A B 2'''=可知，1||||||,2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴ 又得证同理可证另一个.8.AC '平分A AF '∠，BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠，B’F 平分BFK ∠.证明：由AC '垂直平分A F '可证.9.C F 'AB ⊥；证明：122121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅-- 22222212211221()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；证明：作AH 垂直x 轴于点H，则||||||||||cos ,||1cos pAF AA KF FH p AF AF αα'==+=+∴=-.同理可证另一个.11.112AF BF P+=;证明：由1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；得证.12.点A 处的切线为11()y y p x x =+;证明：（方法一）设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-，与22y px =联立，得21122()0,ky py p y kx -+-=由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：111,2y pk x y ==得证.证法二：（求导）22y px =两边对x 求导得1122,,|x x p pyy p y y y y ='''==∴=得证.13.AC’是切线，切点为A；BC’是切线，切点为B；证明：易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+，点B 处的切线为22()y y p x x =+，解得两切线的交点为12(,22y y p C +'-,得证.14.过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线，则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥证明：设点(,)()2pP t t R -∈为准线上任一点，过点P 作抛物线的切线，切点为2(,)2y Q y p ,22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22PQ p p y tyy p y K y ty p y y y pp -''==∴==∴--=+显然22440,t p ∆=+>切点有两个，设为2221211221212(,),(,),2,,22y y Q y Q y y y t y y p p p+==-则1212122222221212222222FQ FQ y y py py k k y y y p y p pp p p ∴-=-=----1222121211221222220,py py p py y y y y y y y y y =-=-=++++所以Q 1Q 2过焦点.22222222121212*********(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y tp p p +⋅=+-⋅+-=++-++ 22222222222121212()2420,242424y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线；B 、O 、A '三点共线；证明：A 、O 、B '三点共线2211212112.222OA OB y p pk k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证：B 、O 、A '三点共线.16.122y y p ⋅=-；1224p x x ⋅=证明：设AB 的方程为(2py k x =-，与22y px =联立，得2220,ky py kp --=212122,,py y y y p k∴+==-224212122.2244y y p p x x p p p ∴=⋅==17.1222sin p AB x x p α=++=证明：1212,22p pAB AF FB x x x x p =+=+++=++||2AB p =222sin pα==得证.18.22sin AOBp S α∆=；证明：122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅⋅22sin p α==.19.322AOBS pAB∆⎛⎫= ⎪⎝⎭（定值）；证明：由22sinpABα=、22sinAOBpSα∆=得证.20．22sinABCp Sα'∆=证明：11||||222 ABCS AB PF'∆=⋅=⋅22221(1)sinppkα==+=21.2AB p≥；证明：由22sinpABα=得证.22.122ABpky y=+；证明：由点差法得证.23.121222tanP Py yx xα==--;证明：作AA2垂直x轴于点A2,在2AA F∆中，2121tan,2AA yFA pxα==-同理可证另一个.24.2A B4AF BF''=⋅;证明：2212124||4()()22p pA B AF BF y y x x''=⋅⇔-=++2222121212121212242224y y y y x x px px p y y x x p⇔+-=+++⇔-=+，由122y y p⋅=-，1224px x⋅=得证.25.设CC’交抛物线于点M，则点M是CC’的中点；证明：12121212 (,),(),CC, 22224x x y y y y x x ppC C++++-''-∴中点横坐标为把122y yy+=代入22y px=，得2221212121222222,2,.444y y y y px px p x x ppx px x+++-+-=∴==所以点M的横坐标为12.4x x px+-=点M是CC’的中点.当弦AB 不过焦点时，设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ，求证：26.点P 在直线x m =-上证明：设:,AB x ty m =+与22y px =联立，得21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-，又由221112121222:()(),,222:()PA y y p x x y y y y y y y y PB y y p x x =+⎧+-=-∴=⎨=+⎩，相减得代入11()y y p x x =+得，22112112,2,,22y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.27.设PC 交抛物线于点M ，则点M 是PC 的中点；证明：121212122(,),(,),,2224x x y y y y x x mC P m PC ++++--∴中点横坐标为把122y y y +=代入22y px =，得221212121212222422,2,2,.444y y y y px px pm x x mpx y y pm px x +++-+-==-∴== 所以点M 的横坐标为122.4x x mx +-=点M 是PC 的中点.28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1，B 1，则PA 垂直平分A 1F ，PB 垂直平分B 1F ，从而PA 平分1A AF ∠，PB 平分1B BF∠证明：1111110()1,,()22PA A F y y p p k k PA A F y p p y p-⋅=⋅=⋅-=-∴⊥--又1||||AF AA =，所以PA 垂直平分A 1F.同理可证另一个.证法二：1112221112,,0,22AF AP AA y py pk k k y y y p p p ====--111tan tan 11AP AA AF APAF AP AP AA k k k k FAP PAA k k k k --∴∠-∠=-+⋅+⋅12222231111111222221111111122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p ppy p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-==--=-+++⋅+⋅-11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠同理可证另一个29.PFA PFB∠=∠证明：11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ∆≅∆⇒∠=∠∠=∠∴∠=∠同理：只需证易证：111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠30．2||||||FA FB PF ⋅= 证明：22222212121212122||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p+⋅=++=+++=++1212(,),22y y y y P p + 22222222121212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭得证.例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C（0，c）（c>0）作直线与抛物线y=x 2相交于A、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线y+c=0交于P、Q。

完整版抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明y 2= 2px (p >0)焦点F 的弦两端点为 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2),倾斜角为，中点为时，弦长|AB|最短，称为通径，长为鸟卩：⑤^ AOB 的面积S ^OAB =2sin证明：根据抛物线的定义，I AF |= I AD |= x i + p , I BF |= I BC |= X 2+号,| AB |= | AF 1+ | BF |= X 1 + X 2+P如图2,过A 、B 引X 轴的垂线AA i 、BB I ，垂足为A i 、B i ,那么 I RF |= | AD I —I FA 1 |= | AF |- | AF |cos ,•j AF = 1—o^=1—cos同理，I BF |=I RF I=―p—1 + cos 1 + cos•j AB =I AF I+ I BF=血 + 1 + cos = sin 2S5 = SS AF + &OBF = 2| OF II y i |+1OF || y i | =舟-p - (I y i1+1 y i I)■ yi y 2=—P 2,贝y y i 、y 2异号，因此，I y i |+ | y i |= | y i — y 2 |C(x o ,y 0), 1.求证: 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为 A'、B'、C . ①焦半径I AF I X i 当一p —:②焦半径|BF I X 2占 2 1 cos2 ③备 +帀十厂p ；④弦长I AB| = X i + X 2+ p =—；特别地，| AF | | BF 丨 psin 2_p_1 cos当 x i =X 2( =90 )过抛物线2p二SgAB = p| y i —y2 | =艸(y i + y2)2—4y i y2 =哲4m2p2+4p2=^p/ i+m2=2Sn32.求证：①XX2 P:②yy4当AB丄x轴时，有AF BF P,成立;当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为: •代入抛物线方程:k2X22 2PX.化简得: k2x2k22•••方程(1 )之二根为k2AF BFX1 X2 p 2P PX1 4 2 1X2X1 , X2, •-X1X2X1 X2BB1X13.求证：AC'BX2X2 X1X2P1 X2X1 X2 p2A'FB' Rt / .则先证明：/ AMB = Rt /•••△ ABE 为等腰三角形，又 M 是AE 的中点,••• BM 丄 AE ,即/ AMB = Rt / 【证法二】取 AB 的中点N ，连结MN ，则 | MN |= 2(| AD 汁 I BC |)= 2(1 AF |+ | BF |)=弓 AB |,A | MN |= | AN |= | BN |=齐瞪+i +臭沁4P!+ 迤=P!+» = 0•••MA 丄1M B ，故/ AMB = Rt / .【证法五】由下面证得/ DFC = 90，连结FM ，贝U FM = DM .又 AD = AF ，故△ ADMAFM ，如图 4•••/ 1 = / 2，同理/ 3 =/ 4•••△ ABM 为直角三角形，AB 为斜边,AMB = Rt / .【证法三】由已知得 C(— 2, y 2)、D( — 2, y i ).由此得M (—2,宁). --k AM =y i + y 2y i - 2 y i — y 2 p(y 1 — y 2) -P 2p(yi —=) y 1 X 1 + Py 2+p 22- S + p2 2卫=卫一=4 =— 1y 2+p 2 y ,，同理k BM =y • I_p --kAM - kBM = • P2,p p 2 (y 1 — y 2)2=X 1X 2 + 2(X 1 + X 2)+ 4 — —•••/ 2+/ 3 = 2X 180 = 90 •••/ AMB = Rt / .接着证明：/ DFC = Rt /【证法一】如图5,由于I AD |= | AF |, AD // RF,同理，设/ BFC =/ BCF = / CFR =, 而/ AFD + / DFR + /BFC +/ CFR = 180故可设/ AFD =/ ADF =/ DFR =••• 2( + ) = 180，即 + = 90，故/ DFC = 90 【证法二】取CD的中点M，即M（—2,豊产）由前知k AM=弗k cF =^—」—Ry i••• k AM = k CF, AM // CF，同理, BM // D F•••/ DFC =/ AMB = 90 .【证法三】••• "DF = (p, —y1), "C F=(P, -y2),• - DF • CF = p2+ y i y2 = 0•••"D F丄"C F，故/ DFC = 90 .【证法四】由于I RF 2= p2=—y i y2= I DR I - I RC |,即IR-j，且/ DRF = / FRC = 90••• △ DRF F RC•••/DFR = / RCF，而/ RCF+/ RFC = 90•••/ DFR + / RFC= 90•••/ DFC = 904. C ' A、C' B是抛物线的切线【证法一】••• k AM=y1,AM的直线方程为y- y1=y^与抛物线方程y2= 2px联立消去x得2 2y—y i=y i(2p―2p)，整理得y2—2y i y+ y2= 0可见△= (2y i)2—4y2= 0,故直线AM与抛物线y2= 2px相切,同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y2= 2px,两边对x求导, 得2y • y x= 2p, y = p,故抛物线y2= 2px在点=yi = Py i(y2)x= (2p x)x,A(x i, y i)处的切线的斜率为k切=y x| y切线.又k AM =牛,• k切=K AM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的【证法三】•••过点A(x i, y i)的切线方程为y i y =p(x + x i)，把M(—号,左边=y i •呼=y^=沁』=px i —^2,2右边=p(—p + x i)=—p + px i，左边=右边，可见，过点A的切线经过点M，即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.5. C'A、C'B分别是/ A 'AB和/ B 'BA的平分线.【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图9,则^ ADM ECM，有AD // BC, AB= BE,•••/ DAM = / AEB = / BAM ,即AM平分/ DAB,同理BM平分/ CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可，即=2.且M( - p，宁)「tan =k AB=x 2—i= y ¥y 2.2p —环，即AM 平分/ DAB ,同理 BM 平分/ CBA.【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G i ,由以上证明知I AD |= I AF I , AM 平分/ DAF ，故AG i 也是 • G i 是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D i , DF 与y 轴相交于点易知，I DD i I = I OF I , DD i // OF ,故^ DD I G 2BA FOG 2 •••I DG 2 |= | FG 2 I ,则 G 2也是 DF 的中点.•- G i 与G 2重合（设为点 G ）,贝U AM 、DF 、线共点，y i + y 2y i —tan = k AM =x i + P—P 2=p(yiF=p y 2+p 2 =y i + P 2 = y i••• tan 2=2ta n_ 1 —tan 22 y i— y 2p(y i — y 2) = 2 = 2・ 2■+ p2py i 2py i 2py i 2pi—(P )2 y 2— p y 2+ yi y 2 屮 + y 2 (y i ) =tan6. AC ' A '、 y 轴三线共点，BC ' B '、y 轴三线共点同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.G 2(0 ,DF 边上的中线,••• 0与0重合，则即 C 、0、A 三点共线，同理 D 、0、B 三点也共线.【证法四】••• 0C = (-p2^y 2), 0A =(x i , y i ),p p y 2py i y i y 2y i—2 - y i — x i y 2= — 2 - y i — y 2 =—牙一 2p 叫血=02 2p••• OC // OA ，且都以0为端点••• A 、0、C 三点共线，同理 B 、0、D 三点共线.【推广】过定点 P(m , 0)的直线与抛物线 y 2= 2px ( p > 0) 相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线I : x =- m 的垂线，垂足分别为 M 、N ，贝U A 、0、N 三点共线, B 、0、M三点也共线，如下图:7. A 、0、B '三点共线，B 、0、A '三点共线.=I C0 |= I BF I I 0F |= I CB I • I AD I = I CA I = I ABI ， I AF | = | AB |，又I AD |= I AF I ，I BC |= I BF |，A 罟古辭共线.【证法三】设 AC 与x 轴交于点0，RF // BC ，I0^= ^TZ-*，1 CB 1 1 AB 1=I AF |+ I BF 1= 丄= 2【见⑵证】 I AF I I BF I【证法一】如图11, k 0A =2p =2py ik 0C ==—p 22y 22py 22py 2 = 2p —y 1y 2 y 1--k oA = k oc , A 、0、C 三点共线,同理D 、 0、 B 三点也共线.【证法二】设 AC 与 x 轴交于点 0 ,••• AD // RF // BC••• I R0 I = I OF I ,贝U 0与0重合，即C 、0、A 三点共线，同理 D 、0、 B 三点也...* 0 F *= I CB • I AF I I BF I • I AF |I AB I于 E ，设 I AF |= mt , | AF |= nt ,则| AD |= I AF I , I BC |= I BF |, | AE |= | AD |- | BC | = (m —n)t•••在 Rt △ ABE 中, cos / BAE =仏口 =血皿吩 n/• cos = cos / BAE=m —nm + n【例6】设经过抛物线 y 2= 2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ,且I AF I ： I BF |= 3: 1,则直线AB 的倾斜角的大小为8.若I AF I ： I BF |= m : n , 点A 在第一象限,为直线AB 的倾斜角.则cosm + n【证明】如图14,过A 、B 分别作准线I 的垂线，垂足分别为 D ,C , 过B 作BE 丄ADI AB I (m + n)t m +n【答案】60或120 .9.以AF为直径的圆与y轴相切, 以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切；A' B'为直径的圆与焦点弦A'y -—C' / / 1■bK B' 'O4-/X.IIA'.C'.【说明】如图15,设E是AF的中点,AB相切.11同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15,设M 是AB 的中点，作 MN 丄准线I 于N ,则1 1 11 MN |= 1(| AD 汁丨 BC |)= 1(| AF |+ | BF |)=刁 AB |2 【证法二】AM 的直线方程为y — y i =十（x —稽）,令x = 0得AM 与y 轴交于点G i （0, y i ）,又DF 的直线方程为y =— W （x — p）,令x = 0得DF 与y 轴交于点p 2 ••• AM 、DF 与y 轴的相交同一点 G （0,罗），贝U AM 、DF 、8p y 1+ y 22 2pp 十X1 则E 的坐标为（勺一则点E 到y 轴的距离为故以AF 为直径的圆与 y 轴相切,1则圆心M 到I 的距离I MN | = 2| AB故以AB 为直径的圆与准线相切.10. MN 交抛物线于点 Q ,则Q 是MN 的中点.2 2【证明】设 A （21 , y 1）, B （22, y 1），则 C （-2,y i ),M(-2,导 N<y 24p y 2 设MN 的中点为 Q ，则 Q ( y 1 + y 2)2 )， -2 . y 1 + y 2—2 十 4p 2 2y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点H .由以上证明还可以得四边形MHFG_ - 2p2+ y2+ y2 2y1y2+ y i + y28p•••点Q在抛物线y2= 2px上，即Q是MN的中点.12。