第三章 离散傅立叶变换

第三章 离散傅立叶变换
一、离散傅立叶级数
计算题：
1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。

把)(~n x 看
作周期为N 的周期序列有)(~
)(~1k X n x ↔（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ↔（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）
（k X 2~。

二、离散傅立叶变换定义
填空题
2．某DFT 的表达式是∑-==10
)()(N k kl M W
k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。

3．某序列DFT 的表达式是∑-==1
0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是
（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。

4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件
（ ）。

5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1
-z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；
)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。

6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。

则频域
抽样点之间的频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______和模拟角频率间隔
∆Ω ______。

判断说明题：
7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。

（ ）
计算题
8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。

如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。

9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )(k x 如下图所示。

现将)(n x 按下列（1），（2），（3）
的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）
（1）⎩⎨⎧-=)
4()()(1n x n x n y 7~43
~0==n n
（2）⎩⎨⎧=0
)()(2n x n y 7~43
~0==n n
（3）⎪⎩⎪⎨⎧=0
)2()(3n x n y 奇数偶数
==n n 10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质：
)()(n x N n x =+
另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的
关系。

11．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式）
（1）)()(n R a n x N n = （2）)()(n nR n x N =
12．计算下列序列的N 点DFT ：
()116P （1）10,)(-≤≤=N n a n x n
（2）=)(n x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 13．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ
（1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X
（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210k X W k Y k =，求序列)(n y
（3） 已知序列)(n m 的10点离散傅立叶变换为)()()(k Y k X k M =，求序列)(n m
14．（1）已知序列：102sin )(-≤≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛=N n n N n x ，π，求)(n x 的N 点DFT 。

（2）已知序列：(){2
,1,010==n n x ，，其它，则)(n x 的9点DFT 是
8,...,2,1,09sin 3sin )(92=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k k k e k X k j ，πππ 正确否？用演算来证明你的结论。

15．一个8点序列)(n x 的8点离散傅里叶变换)(k X 如图5.29所示。

在)(n x 的每两个取样值
之间插入一个零值，得到一个16点序列)(n y ，即()⎩⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n y 0
2)( （1）求)(n y 的16点离散傅里叶变换)(k Y ，并画出)(k Y 的图形。

（2）设)(k X 的长度N 为偶数，且有12,...,1,0),1()(-=--=N k k N X k X ，求⎪⎭
⎫ ⎝⎛2N x 。

16．计算下列有限长序列)(n x 的DFT ，假设长度为N 。

（1）n a n x =)( 10-≤≤N n
（2）{
}1,3,2,1)(--=n x 17．长度为8的有限长序列)(n x 的8点DFT 为)(k X ，长度为16的一个新序列定义为 ()⎩⎨⎧===15,,3,10
14,,2,02)( n n n x n y 试用)(k X 来表示[])()(n y DFT k Y =。

18．⎪⎩⎪⎨⎧=====304
,211,02)(n N n n n x 若试计算)(n x 的离散傅里叶变换)(k X 的值
)3,2,1,0(=k 。

证明题：
19．设)(k X 表示长度为N 的有限长序列)(n x 的DFT 。

（1）证明如果)(n x 满足关系式
)1()(n N x n x ---=
则0)0(=X
（2）证明当N 为偶数时，如果
)1()(n N x n x --= 则0)2
(=N X 20．令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，
（1）证明如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。

（2）证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2(=N X 。

简答题：
21．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？
22．试说明离散傅里叶变换与Z 变换之间的关系。

三、离散傅立叶变换性质
填空题：
1．已知序列}{3,2,1,0;1,3,2,2][=--=k k x ，序列长度4=N ，写出序列][])2[(4k R k x N -的值（ ）。

2．已知}{
}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为（ ）。

3．已知}{
}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为（ ）。

证明题：
4．试证N 点序列()n x 的离散傅立叶变换()k X 满足Parseval 恒等式
21
0210
][1][∑∑-=-==N m N k k X N n x 5．)()(n X k x 和是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性： )()(1n x k X N
-⇔ 6．)(n x 长为N 的有限长序列，)(),(n x n x o e 分别为)(n x 的圆周共轭偶部及奇部，也即
)](*)([2
1)(*)(n N x n x n N x n x e e -+=-= )](*)([2
1)(*)(n N x n x n N x n x o o --=--= 证明：
)](Im[)]([)]
(Re[)]([K X j n x DFT K X n x DFT o e ==
7．若N k Nx n X DFT k X n x DFT ))(()]([),()]([-==求证
8．若[])()(k X IDFT n x =，求证[])())((1)(n R n X N
k x IDFT N N -=。

9．令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点DFT ，试证明：
（a ） 如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。

（b ） 当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2
(=N X 。

10．设[])()(k X n x DFT =，求证[])()(n N Nx k X DFT -=。

11．证明：若)(n x 为实偶对称，即)()(n N x n x -=，则)(k X 也为实偶对称。

计算题：
12．已知)30()1()(),30(1)(≤≤-=≤≤+=n n y n n n x n
，用圆周卷积法求)(n x 和)(n y 的线性卷积)(n z 。

13．序列{
}3,2,1)(为n a ，序列{}1,2,3)(为n b 。

（1）求线性卷积()()n b n a *
（2）若用基2 FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT 至少应取多少点？
14．有限长为N=100的两序列
⎩⎨⎧=01)(n x 9911100≤≤≤≤n n ⎪⎩
⎪⎨⎧=101)(n y 99908910≤≤≤≤=n n n 做出)(),(n y n x 示意图，并求圆周卷积)()()(n y n x n f ⊗=及做图。

15．已知)(n x 是长度为N 的有限长序列，)]([)(n x DFT k X =，现将)(n x 的每两点之间补进1-r 个零值，得到一个长为rN 的有限长序列)(n y
⎪⎩⎪⎨⎧=0
)()(r n x n y 1,,1,0,1,,1,0,-=≠-==N i ir n N i ir n 求：DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。

16．已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。

现将长度变成rN 点的有限长序列)(n y
⎩
⎨⎧=0)()(n x n y 110-≤≤-≤≤rN n N N n 试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。

17．已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。

现将)(n x 的每两点之间补进1-r 个零值点，得到一个rN 点的有限长序列)(n y
⎩⎨⎧=0
)()(r n x n y n N i ir n 其他1,,1,0,-== 试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。

18．已知序列)3()2(2)1(3)(4)(-+-+-+=n n n n n x δδδδ和它的6点离散傅立叶变换
)(k X 。

（1）若有限长序列)(n y 的6点离散傅立叶变换为)()(46k X W k Y k =，求)(n y 。

（2）若有限长序列)(n u 的6点离散傅立叶变换为)(k X 的实部，即[])(Re )(k X k U =，求)(n u 。

（3）若有限长序列)(n v 的3点离散傅立叶变换)2()(k X k V = )2,1,0(=k ，求)(n v 。

19．令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点DFT ，)(k X 本身也是一个N 点序列。

如果计算)(k X 的DFT 得到一序列)(1n x ，试用)(n x 表示)(1n x 。

20．为了说明循环卷积计算（用DFT 算法），分别计算两矩形序列)()(n R n x N =的卷积，如果)()(6n R n x =，求
（1）两个长度为6点的6点循环卷积。

（2）两个长度为6点的12点循环卷积。

21．设)(n x 是一个2N 点序列，具有如下性质 )()(n x N n x =+ 10-≤≤N n 另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X 。

求)(n x 得2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。

22．已知某信号序列{}2,1,2,3)(=n f ，{}2,4,3,2)(=n h ，试计算
（2）)(n f 和)(n h 的循环卷积和)()(k h k f ⊗；
（3）)(n f 和)(n h 的线性卷积和)()(k h k f *；
（4）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。

23．如图表示一个5点序列)(n x 。

（1）试画出)()(n x n x *
（2）试画出)()(5n x n x ⊗
n x
简答题：
24．试述用DFT 计算离散线性卷积的方法。

25．已知)(),(k Y k X 是两个N 点实序列)(),(n y n x 的DFT 值，今需要从)(),(k Y k X 求)(),(n y n x 的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成。

四、频域取样
填空题：
1．从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。

采用的方法，从时域角度看是（ ）；从频域角度看是（ ）。

2．由频域采样)(k X 恢复
)(ωj e X 时可利用内插公式，它是用（ ）值对（ ）函数加权后求和。

3．频域N 点采样造成时域的周期延拓，其周期是（ ）。

简答题：
4． 已知有限长N 序列][n x 的z 变换为)(z X ，若对)(z X 在单位圆上等间隔抽样M 点，
且N M <，试分析此M 个样点序列对应的IDFT ][1n x 与序列][n x 的关系。

5．FFT 算法的基本思想是什么？
6．简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。

计算题：
7．设)(n x 是长度为M 的有限长序列，其Z 变换为∑-=-=1
0)()(M n n Z
n x Z X
今欲求)(Z X 在单位圆上N 个等距离点上的采样值)(k Z X ，其中,1,,1,0,2-==N k e
Z k N j k π解答下列问题（用一个N 点的FFT 来算出全部的值）
（1）当M N M N ≥<和时，写出用一个N 点FFT 分别算出)(k Z X 的过程；
(2) 若求)(k Z X 的IDFT ，说明哪一个结果和)(n x 等效，为什么?
8．已知10),()(<<=a n u a n x n ，今对其z 变换)(z X 在单位圆上等分采样，采样值为k N
W z z X k X -==)()(，求有限长序列IDFT )]([k X 9．研究一个长度为M 点的有限长序列)(n x ,⎩
⎨
⎧-≤≤=n M n n x n x 其他,010),()( 我们希望计算求z 变换∑-=-=
10)()(M n n z n x z X 在单位圆上N 个等间隔点上的抽样，即在1,1,0,2-==N k e z k N j π上的抽样。

当M N >时，试找出只用一个N 点DFT 就能计算)(z X 的N 个抽样的方法，并证明之。

10．已知序列： 10),()( a n u a n x n =。

现在对它的Z 变换在单位圆上进行N 等分取样，取样值为k N W z z X k X -==)()(，求有限长序列)(k X 的IDFT 。

11．对有限长序列{
}1,0,1,1,0,1)(=n x 的Z 变换)(z X 在单位圆上进行5等份取样，得到取样值)(k X ，即4,3,2,1,0,)()(5
==-=k z X k X k W z 求)(k X 的逆傅里叶变换)(1n x 。

12．设下图所示的序列)(n x 的Z 变换为)(z X ，对)(z X 在单位圆上等间隔的4点上取样得到)(k X ，即3,2,1,0,)
()(42===k z X k X k j e z π
试求)(k X 的4点离散傅里叶逆变换)(1n x ，并画出)(1n x 的图形。

n x
四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题
简答题：
1．理解DFT 分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法?
2．补零和增加信号长度对谱分析有何影响？是否都可以提高频谱分辨率?
3．试说明连续傅里叶变换)(f X 采样点的幅值和离散傅里叶变换)(k X 幅值存在什么关系？
4．解释DFT 中频谱混迭何频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？
5．解释频谱混迭、频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？
6．解释频谱混迭、频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？
计算题：
7．用某台FFT 仪做谱分析。

使用该仪器时，选用的抽样点数N 必须是2的整数次幂。

已知待分析的信号中，上限频率1025≤kHz 。

要求谱分辨率5≤Hz 。

试确定下列参数：1.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。

8．（1）模拟数据以10.24千赫速率取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。

求频
谱取样之间的频率间隔。

（2）以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换后
抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？
9．频谱分析的模拟信号以8kHz 被抽样，计算了512个抽样的DFT ，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。

10．设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力Hz 10 ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms ，试确定：
（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。