第三章 离散傅立叶变换

第三章 离散傅立叶变换

一、离散傅立叶级数

计算题：

1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把)(~n x 看

作周期为N 的周期序列有)(~

)(~1k X n x ↔（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ↔（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）

（k X 2~

。 二、离散傅立叶变换定义

填空题

2．某DFT 的表达式是∑-==10

)()(N k kl M W

k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。 3．某序列DFT 的表达式是∑-==1

0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是

（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。

4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件

（ ）。

5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1

-z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；

)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）

。 6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。则频域

抽样点之间的频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______和模拟角频率间隔

∆Ω ______。

判断说明题：

7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。 （ ）

计算题

8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。

如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。

9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )(k x 如下图所示。现将)(n x 按下列（1），（2），（3）

的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）

（1）⎩⎨⎧-=)

4()()(1n x n x n y 7~43

~0==n n

（2）⎩⎨⎧=0

)()(2n x n y 7~43

~0==n n

（3）⎪⎩⎪⎨⎧=0

)2()(3n x n y 奇数偶数

==n n 10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质：

)()(n x N n x =+

另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的

关系。

11．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式）

（1）)()(n R a n x N n = （2）)()(n nR n x N =

12．计算下列序列的N 点DFT ：

()116P （1）10,)(-≤≤=N n a n x n

（2）=)(n x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 13．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ

（1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X

（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210k X W k Y k =，求序列)(n y

（3） 已知序列)(n m 的10点离散傅立叶变换为)()()(k Y k X k M =，求序列)(n m

14．（1）已知序列：102sin )(-≤≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛=N n n N n x ，π，求)(n x 的N 点DFT 。

（2）已知序列：(){2

,1,010==n n x ，，其它，则)(n x 的9点DFT 是

8,...,2,1,09sin 3sin )(92=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k k k e k X k j ，πππ 正确否？用演算来证明你的结论。 15．一个8点序列)(n x 的8点离散傅里叶变换)(k X 如图5.29所示。在)(n x 的每两个取样值

之间插入一个零值，得到一个16点序列)(n y ，即()⎩⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n y 0

2)( （1）求)(n y 的16点离散傅里叶变换)(k Y ，并画出)(k Y 的图形。

（2）设)(k X 的长度N 为偶数，且有12,...,1,0),1()(-=--=N k k N X k X ，求⎪⎭

⎫ ⎝⎛2N x 。

16．计算下列有限长序列)(n x 的DFT ，假设长度为N 。

（1）n a n x =)( 10-≤≤N n

（2）{

}1,3,2,1)(--=n x 17．长度为8的有限长序列)(n x 的8点DFT 为)(k X ，长度为16的一个新序列定义为 ()⎩⎨⎧===15,,3,10

14,,2,02)( n n n x n y 试用)(k X 来表示[])()(n y DFT k Y =。

18．⎪⎩⎪⎨⎧=====304

,211,02)(n N n n n x 若试计算)(n x 的离散傅里叶变换)(k X 的值

)3,2,1,0(=k 。

证明题：

19．设)(k X 表示长度为N 的有限长序列)(n x 的DFT 。

（1）证明如果)(n x 满足关系式

)1()(n N x n x ---=

则0)0(=X

（2）证明当N 为偶数时，如果

)1()(n N x n x --= 则0)2

(=N X 20．令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，

（1）证明如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。

（2）证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2(=N X 。

简答题：

21．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？

22．试说明离散傅里叶变换与Z 变换之间的关系。

三、离散傅立叶变换性质

填空题：

1．已知序列}{3,2,1,0;1,3,2,2][=--=k k x ，序列长度4=N ，写出序列][])2[(4k R k x N -的值（ ）。

2．已知}{

}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为（ ）。

3．已知}{

}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为（ ）。

证明题：

4．试证N 点序列()n x 的离散傅立叶变换()k X 满足Parseval 恒等式