9.1向量概念-(新教材)苏教版(2019)高中数学必修第二册课件

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新教材苏教版必修第二册931平面向量基本定理课件_1

行于 AB 的直线上，则有 λ＋μ＝k(定值)，反之也成立．我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为“等和线”．
对于等和线，有如下结论： (1)当等和线恰为直线 AB 时，k＝1； (2)当等和线在点 O 和直线 AB 之间时，k∈(0，1)； (3)当直线 AB 在点 O 与等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
[解] 设―BM→＝e1，―CN→＝e2，
则―AM→＝―AC→＋―CM→＝－3e2－e1，―BN→＝―BC→＋―CN→＝2e1＋e2.
∵A，P，M 和 B，P，N 分别共线，
∴存在实数 λ，μ使得―A→P ＝λ―AM→＝－λe1－3λe2，―B→P ＝μ―BN→＝2μe1＋μe2.
故―B→ A ＝―B→P ＋―PA→＝―B→P －―A→P ＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而
―B→ A
＝
―BC→
＋
―CA→
＝
2e1
＋
3e2
，
由
平
面
向
量
基
本
定
理
，
得
λ＋2μ＝2， 3λ＋μ＝3，
解
得
λ＝45， μ＝35.
∴―A→P ＝45―AM→，―B→P ＝35―BN→，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.
[母题探究] (变设问)在本例条件下，若―CM→＝a ，―CN→＝b ，试用 a ，b 表示―C→P . 解：由本例解可知PBNP＝32，则―N→P ＝25―N→B ，―C→P ＝―CN→＋―N→P ＝―CN→＋25―N→B ＝b ＋25 (―CB→－―CN→)＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .
由1p＋1q＝1，可令1λ－＝λ＝1q，1p，显然满足(1－λ)＋λ＝1p＋1q＝1，即O―C→′

向量的概念课件高中数学人教A版(2019)必修第二册

①要注意0和
且|
的区别及联系：0是一个实数，是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量

2021新教材苏教版数学必修第二册教师用书：第9章 9.1 向量概念含解析

9.1向量概念学习目标核心素养1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．(重点)2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3．理解向量的几何表示．(重点)1.通过学习向量的有关概念，培养数学抽象素养．2．通过学习共线向量，相等向量，零向量等概念及表示，培养学生的数学运算素养.1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)．2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ＝43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35 m/s(如图乙)．甲乙问题：上述实例中的“位移”“速度”“力”与生活中，我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？如何表示上述既有大小又有方向的量？1．向量的定义及表示思考1：在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？提示：面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？提示：数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．2．向量的有关概念及其表示思考3：零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？提示：零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线．→和向量BA→相等吗？它们共思考4：已知A，B为平面上不同两点，那么向量AB线吗？→和向量BA→方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向提示：因为向量AB线段在同一直线上，所以两向量共线．思考5：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？提示：不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)有向线段就是向量． ( ) (2)两个向量的模能比较大小． ( ) (3)有向线段可以用来表示向量． ( ) (4)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ． ( ) (5)单位向量的模都相等．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．①⑥⑦⑧ [一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．]向量的概念(1)任何两个单位向量都是平行向量； (2)零向量是没有方向的；(3)在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则向量DE →与CB →是平行向量； (4)对于向量a 、b 、c ，若a ∥b ，且b ∥c ，则a ∥c ；(5)若非零向量AB →与CD →是平行向量，则直线AB 与直线CD 平行； (6)非零向量AB →与BA →是模相等的平行向量．[思路点拨]解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．[解](1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；(2)错误．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；→与CB→方向相反，是平行(3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量DE向量；(4)错误．b为零向量时，有a∥b且b∥c，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；(5)错误．A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；→与BA→的模相等，方向相反，二者是平行向量．(6)正确．非零向量AB1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．[跟进训练]1．判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b . (4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．向量的表示方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.[思路点拨] 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．[解] (1)如图：(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．[跟进训练]2．(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝5，画出所有的向量AC →.(2)已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．①作出向量AB →，BC →，CD →，DA →；②问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？ [解] (1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)①由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示，②依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°.所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.共线向量1．两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？ [提示] 不一定平行．2．若向量a 与b 平行(或共线)，则向量a 与b 相等吗？反之，若向量a 与b 相等，则向量a 与b 平行(或共线)吗？[提示] 向量a 与b 平行(或共线)，则向量a 与b 不一定相等；向量a 与b 相等，则向量a 与b 平行(或共线)．3．向量平行具备传递性吗？举例说明．[提示] 向量的平行不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，这是因为，当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量，但若b ≠0，必有a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .【例3】如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数有______个．[思路点拨] 结合向量相等、平行的条件求解． 8 [如图所示，满足与AC →平行且长度为22的向量有AF →，F A →，EC →，CE →，GH →，HG →，IJ →，JI →共8个．]1．(变条件)本例中，与向量AC →同向且长度为22的向量有多少个？ [解] 与向量AC →同向且长度为22的向量占与向量AC →平行且长度为22的向量中的一半，共4个．2．(变条件)本例中，如图，与向量AO →相等的向量有多少个？[解] 题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量AO →方向相同的向量与其相等，共有8个．1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题 (1)向量有关概念的辨析． (2)向量的表示．(3)相等向量与共线向量的应用． 3．本节课要注意两个区别 (1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向． ②数量可以比较大小，向量不能比较大小． (2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．1．下列说法不正确的是( ) A ．零向量的长度为零B ．零向量与任一向量都是共线向量C ．零向量没有方向D ．零向量的方向是任意的C [零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C 错．]2．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，则|AB →|＝1，|AC →|＝2，则|BC →|＝________. 5 [因为|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＝5，所以|BC →|＝ 5.]3．(一题多空)如图所示，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .在以A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 为起点或终点的向量中：(1)模与a 的模相等的向量有________个．(2)长度与a 的长度相等，方向相反的向量有________． (3)与a 共线的向量有________．(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量________．(1)23 (2)OD →，BC →，AO →，FE → (3)EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →(4)与a 相等的有EF →，DO →，CB →；与b 相等的有DC →，EO →，F A →；与c 相等的有ED →，FO →，AB →[(1)满足条件的向量有23个．(2)长度与a 的长度相等，方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的有EF →，DO →，CB →；与b 相等的有DC →，EO →，F A →；与c 相等的有ED →，FO →，AB →.]4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.[解] (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向- 11 - 小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．。

高中数学苏教版必修二《平面向量》课件

注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
4
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• 单击此处3编.相辑等母向版文量本:长样度式相等且方向相同的向量.
• 第二级
• 第三级
向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两
• 向第四量级 a 与 b 相等,记为 a b . • 第五级
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
• 单击此（处c）编有辑母限版个文向本量样a式1，a2，...an相加, 可以从点O出发, • 第•二第逐级三一级作向量OA1 a1 , A1 A2 a2 , ...An1 An an ,则向量 O•A第n四•为级第这五级些向量的和,即 a1+a2 +...+an =OA1 A1 A2 ... An1 An (向量加法的多边形法则) 当An和O重合时(即上述折线OA1 A2 ...An 成封闭折线时), 则和向量为零向量. 注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若干个向量和的情势,是解决向量问题的关键.
21
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• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四设级两个非零向量 a 与 b 不共线， • (第1五)若级 A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)．求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
22
单击此处编辑母版标题样式
• 第五级
使b＝λa.
• 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
12
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• 单击此四处．编辑运母算版律文本样式
• 第二级
• 第•••三aa第级、＋四• 级第bb、＝五级c为任意；向(量a＋，bλ)＋、cu＝、u1、u2为任意实；数

高一数学苏教版2019必修第二册同步课件931+平面向量基本定理

1
4
量的运算法则，我们很容易作出平面内一个新的向量 + 。
a

探究新知

如图，在平面内任取一点O，作 = 1 ， = 2 ， = 。过点C
作平行于OB的直线，交直线OA于点M；过点C作平行于OA的直线，
交直线OB于点N，则有且只有一对实数1 ，2 使得 = 1 1 ，

中点，所以 = = − ，

因为点E是BD的中点，
所以 =

+ =

+

=

−

+

− =

−

.

重点探究
例2：如图，∆中，点D是AC的中点，点E是BD的中点
，设 = ， = ；
（2）若点F在AC上，且 =

+ ，求AF:CF

【解析】（2）设 = ，
所以 = + = + = + − = − + .

又 = + ，所以 = ，

所以 = ，

所以AF:CF=4:1.

重点探究
例3：已知与不共线， = + ， = +
4．在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是 CD 和 BC 边上的动点，连接 EF ，交 AC 于点 G ，若 AC AE AF ，其中， , R

向量的概念+课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册

段,所以该选项不正确;D.规定零向量的方向任意,而不是没有方向,所以该选项不
正确.
2.有下列说法:
①若向量 a 与向量 b 不平行,则 a 与 b 方向一定不相同;②若向量
|,且
与
同向,则
>
;
③若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等且方向相同或相反;
④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.
【解析】由正六边形性质知,△FOA 为等边三角形,所以边长 AF=|a|=1.
【类题通法】寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再找同向与
反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点
的向量.
(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是
与向量
的长度相等
C.向量就是有向线段
D.零向量是没有方向的
【解析】选 B.A.单位向量的方向任意,所以当起点相同时,终点在以起点为圆心的
单位圆上,终点不一定相同,所以该选项不正确;
B.向量
与向量
是相反向量,方向相反,长度相等,所以该选项正确;
C.向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线
1.向量的概念和表示方法
大小
方向
矢量
(1)概念:既有_____,又有_____的量.(也称为_____)
(2)向量的表示:
有向线段
大小
①几何表示:用_________来表示向量,有向线段的长度表示向量的_____,箭头所
方向
指的方向表示向量的_____,即用有向线段的起点、终点字母表示,如

9.1向量概念高一数学(苏教版必修第二册)课件

11 个
（2）存在， AF 是 OB 的相反向量
课堂小结
1.向量的概念：
向量的概念，向量的模，零向量，单位向量。
2.向量间的关系：
（1）平行向量（共线向量）；
（2）相反向量；
（3）向量间的夹角。
谢谢~
物理学中的，力、速度、加速度以及位移既有大小又有方
向，它们是向量。
在生活中的距离、身高、体重等一些量只有大小没有方向，
它们是数量而不是向量。
探究新知
核心知识点一：向量的表示
向量常用一条有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小；箭头所指的方向表示向
量的方向。
如下图，以A为起点，B为终点的向量，可以表示为：。
故 a b 未必成立，所以 A 错误；
B：根据零向量的定义可判断 B 正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故 C 错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故 D 错误.
故选：B.
随堂练习
3．给出下列四个命题：①若 | a || b | ，则 a b ；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ AB DC ”是“四边
形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若 a b , b c ，则 a c ；④ a b 的充要条件是| a || b | 且 a / /b .其中正
确命题的序号是（
A．②③
A）
B．①②
C．③④
D．②④
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；

向量也可以用小写
字母a、b、c来表示。
探究新知
核心知识点二：向量的有关概念
向量 AB 的大小称为向量的长度，（或称为模），记为：AB

9.1 向量概念-高一数学(苏教版2019必修第二册)(解析版)

向量概念知识点一、向量概念1.向量与数量的概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量（物理中的矢量）．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量（物理中的标量）.2.向量与数量的区别数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.例：下列物理量中：①速度，②加速度，③质量，④力，⑤路程，其中是向量的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】C【解析】判断一个量是否为向量，就看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，上述5个物理量中，①②④既有大小，又有方向，所以这三个是向量，故选C.知识点二、向量的表示1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.如图所示就是以A为起点，B为终点的有向线段（终点处画上箭头表示方向），记作（起点在前，终点在后）.线段是没有方向的，比如线段AB和线段BA表示的是同一条线段，但是有向线段和有向线段表示的就不是同一条有向线段.2.向量的表示（1）向量的几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向；（2）向量的字母表示：向量可以直接用字母a、b、c……表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如等.3.向量的模向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)，记作，向量的模可以用来比较大小.4.零向量长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的.要注意区分0与，0是一个实数，是一个向量，.5.单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。

PS：零向量与单位向量是两个特殊向量，都是从向量的模的角度定义的，不涉及方向.例：下列说法正确的是（）A. 零向量没有大小，没有方向B. 零向量的长度为0C. 零向量是唯一没有方向的向量D. 任意两个单位向量方向相同【解答】B【解析】零向量的长度为0，且方向是任意的，故A、C错误，B正确，任意两个单位向量的长度相等，但是方向不一定相同，故D错误，故选B.知识点三、共线向量与相等向量1.共线向量（1）方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)；（2）任一向量都与它自身是平行向量，规定：零向量与任一向量是平行向量；（3）共线向量的四种情况：①方向相同且模相等；②方向相同但模不相等；③方向相反且模不相等；④方向相反但模相等；（4）在不改变向量的大小和方向的前提下，向量是可以平行移动的，所以，任意一组平行向量都可以移动同一条直线上.2.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.（1）零向量与两向量相等，任一两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段来表示，且与有向线段的起点无关；（2）若两向量共线，则这两个向量所在的直线要么是平行的，要么是重合的；例：下列命题正确的是（）A.B.C.D.【解答】D【解析】A 选项，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，故A 选项错误；B 选项，两个向量不能比较大小，故B 选项错误；C 选项，两个向量平行，只能说明这两个向量的方向相同或相反，不能得到两个向量的大小关系，故C 选项错误；D 选项，如果一个向量的模等于0，那个这个向量就是零向量.故选D.巩固练习一、选择题1. 下列物理量中不是向量的个数是（）．（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】A【解析】看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向性的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）只有大小没有方向，不是向量.2．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；②若|a →|=|b →|，则a →=b →；③若|AB →|=|DC →|，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m →=n →，n →=k →，则m →=k →；⑤若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【解答】C【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若|a →|=|b →|，则a →、b →不一定相同，∴②错误；对于③，若|AB →|=|DC →|，AB →、DC →不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m →=n →，n →=k →，则m →=k →，④正确；对于⑤，若a →∥b →，b →∥c →，当b →=0→时，a →∥c →不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．故选：C ．3．下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a →，b →满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】A【解析】对于①，单位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，b →=0→时，a →∥b →，b →∥c →，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A ．4．有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB →与CD →是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；③若|a →|＝|b →|，则a →=b →或a →=−b →；④若a →•b →=0，则a →=0→或b →=0→；其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】D【解析】对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于②，向量AB →与CD →是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误；对于③，当|a →|＝|b →|时，a →=b →或a →=−b →不一定成立，如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误；对于④，当a →•b →=0时，a →=0→或b →=0→或a →⊥b →，原命题错误；综上，正确的命题是①，共1个．故选：D ．5．下列说法中错误的是（）A ．零向量与任一向量平行B ．方向相反的两个非零向量不一定共线C ．零向量的长度为0D ．方向相反的两个非零向量必不相等【解答】B【解析】对于A ，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，A 正确；对于B ，方向相反的两个非零向量一定共线，B 错误；对于C ，零向量的模长为0，C 正确；对于D ，根据向量相等的定义知，方向相反的两个非零向量一定不相等，D 正确．故选：B ．6．下列说法错误的是（）A ．向量 CD →与向量DC →长度相等B ．单位向量都相等C ．向量的模可以比较大小D ．任一非零向量都可以平行移动【解答】B【解析】对于A ，CD →和DC →长度相等，方向相反，故A 正确；对于B ，单位向量长度都为1，但方向不确定，故B 错误；对于C ，向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C 正确；对于D ，向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，即D 正确．故选：B ．7．下列关于向量的命题正确的是（）A ．若|a →|＝|b →|，则a →=b →B ．若|a →|＝|b →|，则|a →|∥|b →|C ．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →D ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c → 【解答】C【解析】向量长度相等，得不出向量相等，因为向量还有方向；∴A 错误；向量长度是数值，不能平行；∴B 错误；a →=b →，b →=c →显然得出a →=c →；∴C 正确；a →∥b →，b →∥c →得不出a →∥c →，比如，a →，c →不平行，b →=0→；∴D 错误．故选：C ．8．以下说法正确的是（）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a →和b →都是单位向量，则a →=b →【解答】C【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 错误，零向量是没有方向的向量，B 错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C 正确；若a →，b →都是单位向量，两向量的方向不定，D 错误；故选：C ．二．多选题9．下列有关向量命题，不正确的是（）A ．若|a →|＝|b →|，则a →=b →B ．已知c →≠0→，且a →•c →=b →•c →，则a →=b →C ．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →D ．若a →=b →，则|a →|＝|b →|且a →∥b → 【解答】AB【解析】向量由两个要素方向和长度描述，A 错误；若a →∥b →，且与c →垂直，结果成立，当a →不一定等于b →，B 错误；若a →=b →，b →=c →，由向量的定义可得a →=c →，C 正确；相等向量模相等，方向相同，D 选项正确．故选：AB ．10.下列说法中正确的有（）A. 向量的长度与向量的长度相等B. 有向线段就是向量，向量就是有向线段C. 两向量的大小与其方向有关D. 向量的模可以比较大小【解答】AD【解析】向量的长度与向量的长度都等于线段AB的长度，故A选项正确；有向线段是向量的几何表示，两个并不相同，故B选项错误；向量不能比较大小，故C选项错误；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D选项正确，故选AD.11.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是（）A. 与相等的向量（不含）只有一个B. 与的模相等的向量（不含）有9个C. 的模是的模的倍D. 与不共线【解答】ABC【解析】因为，所以与相等的向量只有，故A选项正确；与的模相等的向量有，故B选项正确；在R t△AOD中，∵∠ADO＝30°，，故，故C选项正确；因为，所以与是共线的，故D选项错误，故选ABC.三.填空题12. 已知、、为非零向量，且与不共线，若∥，则与必定________．【解答】不共线【解析】∵与不共线，与共线，∴与不共线.13. 已知四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是 .【解答】等腰梯形【解析】∵，∴AB∥DC，且，即线段AB平行于线段CD，且线段AB的长度是线段CD 长度的一半，∴四边形ABCD 是梯形，又∵，∴梯形的两个腰相等，∴四边形ABCD 是等腰梯形.14. 如图所示，已知AD ＝3，B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________.【解答】AC →，CA →，BD →，DB →，AD →，DA →【解析】满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：AC →，CA →，BD →，DB →；模长为3的向量有：AD →，DA →.15. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，f 分别是AD 与BC 的中点，则在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解答】FE →，CD →，BA →【解析】∵AB ∥E f ，CD ∥E f ，∴与EF →方向相反的向量为FE →，CD →，BA →.四、解答题16.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的方位.【解答】（1）见解析；（2）B 地相对于A 地的方位是“北偏东60°距A 地6千米”【解析】（1）向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示：（2）由题意知AD →＝BC →，∴AD BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的方位是“北偏东60°距A 地6千米”.17. 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OC f B 都是正方形.(1)写出与AO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)向量AO →与CO →是否相等？【解答】见解析【解析】(1)与AO →相等的向量有：OC →，BF →，ED →.(2)与AO →共线的向量有：OA →，OC →，CO →，AC →，CA →，ED →，DE →，BF →，FB →.(3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等.18. 如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点.(1)写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量．【解答】见解析【解析】(1)与DE →长度相等的向量是EF →，FD →，AF →，FC →，BD →，DA →，CE →，EB →.(2)与FD →相等的向量是CE →，EB →.(3)与DE →共线的向量是AC →，AF →，FC →；与FD →共线的向量是CE →，EB →，CB →.。

共面向量定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)

O
D
FG EH
A
B
G
H
∴ E, F, G, H 四点共面.
E
还可以变为 OE OF
C
F
m
m
OH OG
k
k
空间中，同起点出发的四个向量 OE、
OF、
OG、
OH , 满足OE xOF yOG zOH
x y z 1 E、F、G、H四点共面
探究新知
联想：平面向量中有没有类似的结论？
点共面：
→
→
→
(1)MP＝xMA＋yMB；
→
→
→
→
(2)对空间任一点 O，OP＝OM＋xMA＋yMB；
→
→
→
→
(3)对空间任一点 O，OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)；
→
→
→
→
→
→
(4)PM∥AB(或PA∥MB，或PB∥AM).
课堂练习
1.下列命题中正确的个数是( A )
①若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；
（1）两向量a, b共线的充要条件是b a(a非零）
共线
(2) A, B, C 三点共线的充要条件是: OA OB OC ( 1).
或 AB AC
（3）三向量a, b, c共面的充要条件是c xa yb(a, b不共线）
共面
(4) A、B、C、D 四点共面的充要条件是: OA xOB yOC zOD ( x y z 1).
A
k
k
即 OG OF OH OE
m
m
？ HG k EF

苏教版高中数学必修第二册向量应用课件3

9.4 向量应用
向量的应用 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(2)向量在物理中的应用 ①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则． ②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
解得 λ＝25，所以 BE∶EC＝25∶35＝2∶3.
方法二以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(2,0)，
则 A12， 23，D52， 23. 设 E(m,0)，则B→D＝52， 2B→D＝0，即52m－12－ 23× 23＝0，解得 m＝45，所以 BE∶EC＝45∶65＝2∶3.
例2 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线 AC的长.
解设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b，而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12，又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴|A→C|＝ 6，即 AC＝ 6.
2．在平面直角坐标系中，力 F＝(2，3)作用一物体，使物体从点 A(2，0)移动到点 B(4，0)，则力 F 对物体做的功为________．
【解析】根据题意，力 F 对物体做的功为 W＝F·A→B ＝(2，3)·(4－2，0－0)＝2×2＋3×0 ＝4. 答案：4
3．正方形OABC 的边长为1，点D，E 分别为AB，BC 的中点，则cos ∠DOE＝________．【解析】以 OA，OC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，
(3)向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．

苏教版高中数学必修第二册平面向量基本定理课件2

跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→D＝c，则以 a，b 为基底时，A→C可表示为___a_＋__b__，以 a，c 为基底时，A→C可表示为__2_a_＋__c__.
解析以 a，b 为基底时，A→C＝A→B＋A→D＝a＋b；以 a，c 为基底时，将B→D平移，使 B 与 A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得A→C＝2a＋c.
【训练1】设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.eБайду номын сангаас和e1＋e2
解析选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作
牛刀小试
1．已知梯形 ABCD 中，AB∥DC，且 AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试以 a，b 为基底表示D→C，B→C， → EF.
[解] 如图所示，连接 FD，
∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点， ∴DC FB，
∴四边形 DCBF 为平行四边形． ∴D→C＝F→B＝12A→B＝12b；B→C＝F→D＝A→D－A→F＝A→D－12A→B＝a－12b； E→F＝D→F－D→E＝－F→D－D→E＝－B→C－12D→C＝－a－12b－12×12b＝14b－ a.
2.正交分解对于分解a＝λ1e1＋λ2e2，当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解．
平面向量基本定理的理解
【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.

高一数学苏教版2019必修第二册同步备课课件9.2.1第1课时向量的加法

第9章平面向量
9.2向量运算
9.9.1 向量的加减法第一课时向量的加法
[学习目标] 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点) 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点) 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点)
设 MC⊥MA，|M→A|＝|M→B|＝10，∠CMN＝30°. ∵M→A＋M→B＝M→N， ∴四边形 MANB 为菱形．则∠AMN＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|B→N|＝|M→N|＝|M→B|＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN ＝30°，∴∠CMB＝30°，所以小船要由 M 直达码头 N，其航向应为北偏西 30°.
[知识梳理] 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)a＋0＝0＋a＝a. (4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量相加就是两个向量的模相加．( ) (2)两个向量相加，结果有可能是个数量．( ) (3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．( ) [解析] (1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关； (2)错误，向量相加，结果仍是一个向量； (3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加． [答案] (1)× (2)× (3)×
类型一、向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【例 1】如图，已知向量 a，b，c，求作和向量 a＋b＋c.
[思路点拨] 根据三角形法则或平行四边形法则求解．

向量应用【新教材】苏教版高中数学必修第二册课件

·
14
[解] 如图，作平行四边形 OACB，使∠AOC＝30°，
·
情向量在平面几何中的应用
课
∠BOC＝60°. 景向向量量在在平平面面几几何何中中的的应应用用
堂
导向量在平面几何中的应用
小
在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝学向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用
探向向量量在在平平面面几几何何中中的的应应用用
究
课时分
层
释
作
疑
业
难
返首页
·
26
·
情
课
景导
[证明]
建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB＝2，则 A(0，
堂小
学
结
·
探 0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返首页
·
27
·
情景
(1)∵B→E＝(－1，2)，C→F＝(－2，－1)．
分层
释
作
疑
业
难
返首页
·
10
·
情景导
2．已知△ACB，A→B＝a，A→C＝b，且 a·b＜0，则△ABC 的形状为(
课
)
堂小
学
结
探
A．钝角三角形
B．直角三角形
·
提
新
素
知
C．锐角三角形
D．不能确定
养
合
作

苏教版必修第二册91向量概念课件_4

2．(多选)如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是( )
A．A→B＝D→C C．A→B＞D→C
√B．A→B＝D→C √D．B→C∥A→D
解析：A→B与D→C显然方向不相同，故不是相等向量，故 A 错误； A→B与D→C表示等腰梯形两腰的长度，所以A→B＝D→C，故 B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故 C 错误；等腰梯形的上底 BC 与下底 AD 平行，所以B→C∥A→D，故 D 正确．故选 BD．
解析：满足条件的向量有以下几类：模长为 2 的向量有A→C，C→A，B→D，D→B. 模长为 3 的向量有A→D，D→A. 答案：A→C，C→A，B→D，D→B，A→D，D→A
探究点 1 向量的相关概念
下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③若向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；
1．下列说法错误的是( ) A．向量C→D与向量D→C长度相等
√B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动
解析：A．C→D和D→C长度相等，方向相反，故正确； B．单位向量长度都为 1，但方向不确定，故错误； C．向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确； D．向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确．故选 B．
1．已知向量A→B与向量B→C共线，则下列关于向量A→C的说法中，正确的是
()
√ A．向量A→C与向量A→B一定同向 B．向量A→C，向量A→B，向量B→C一定共线
C．向量A→C与向量B→C一定相等 D．以上说法都不正确解析：根据共线向量的定义，可知A→B，B→C，A→C这三个向量边均不相等，E，F，D 分别是 AC，AB，BC 的中点． (1)写出与E→F共线的向量； (2)写出与E→F的模大小相等的向量； (3)写出与E→F相等的向量．

新教材苏教版必修第二册91向量概念课件

向量的有关概念
[例 1] 下列结论正确的有________(填序号)． (1)若 a ，b 都是单位向量，则 a ＝b ； (2)物理学中作用力与反作用力是一对共线向量； (3)方向为南偏西 60°的向量与北偏东 60°的向量是共线向量； (4)直角坐标平面上的 x 轴，y 轴都是向量．
[解析] 对于(1)，单位向量的方向不一定相同，(1)错误；对于(2)，物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，(2)正确；对于(3)，如图所示，方向为南偏西 60°的向量与北偏东 60°的向量在一条直线上，是共线向量，(3)正确；对于(4)，直角坐标平面上的 x 轴，y 轴只有方向，没有大小，不是向量，(4)错误．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
() ()
() ()
2．下列说法正确的个数是 ①零向量的模为 1； ②向量―AB→与向量―BA→是相反向量；
()
③与非零向量 a 共线的单位向量是唯一的．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①错误，零向量的模为 0；②正确；③错误，与非零向量 a 共线的单位向量
所以四边形 AMCN 是平行四边形，故 CN 綊 MA．
利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法 (1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等； (2)证明线段平行，先证明相应向量共线，再说明线段不共线．常用的两个结论：①若―AB→＝―D→C ，且 A，B，C，D 四点不共线，则四边形 ABCD 为平行四边形；若四边形 ABCD 为平行四边形，则―AB→＝―D→C ；②若―AB→∥―AC→，则 A，B，C 三点共线．
1．下列结论中，不正确的是 A．若―AB→＝―CD→，则―AB→∥―CD→

9.1 向量概念-2024-2025学年高中数学新教材高一下苏教版必修第二册PPT课件

的位移解析一个单位长度取作 2 020 cm 时，2 020 cm 长的有向线段就表示单位向量，
故 A 错误；B 正确；C 中两向量为平行向量，故 C 错误；D 中A→B表示从点 A 到
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自主检验
1.思考辨析，判断正误 (1)如果|A→B| >|C→D|，那么A→B>C→D.( × ) 提示向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. (2)若a，b都是单位向量，则a＝b.( ×) 提示 a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同. (3)零向量的大小为0，没有方向.( ×) 提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的. (4)相反向量就是方向相反的向量.( ×) 提示相反向量的方向相反，大小相等.
相反向量
长度_相__等___且方向__相__反__的向量，a的相反向量记作－a
索引
3.向量的夹角 (1)定义：对于两个非零向量 a 和 b，在平面内任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，∠___A_O_B__＝__θ_(0__°__≤__θ_≤__1_8_0_°__)_叫作向量 a 与 b 的夹角. (2)当θ＝0°时，a与b___同__向_；当θ＝180°时，a与b____反__向；当θ＝90°时，则称a与b___垂__直_，记作____a_⊥__b_.
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析如图，作向量A→D＝B→C，则∠BAD 是A→B与B→C的夹角. 在△ABC 中，因为∠ACB＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即A→B与B→C的夹角为 120°.
索引
课堂小结
一、牢记2个知识点 1.从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量.有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的.向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定在一条直线上，但同一直线上的向量一定是平行向量.

9.3.1平面向量基本定理-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册课件

课时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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9
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情
课
景导
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
堂小
学
结
探
(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底． ( ) 提
·
新知
(2)0 能与另外一个向量 a 构成基底．
素
( )养
合
(3)平面向量的基底不是唯一的．
()
作
课
探究
时
[解析] 平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2) 分
探
养逻辑推理与
课时
究释
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的数学运算素
分层作
疑
难综合问题．(难点)
养.
业
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3
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新知
合
情景
导学
探新
知
素养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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4
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情
课
景
堂
导学
火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的
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情
课
景
堂
导
小
学
结
探
A [平面 α 内任一向量都可写成 e1 与 e2 的线性组合形式，而不提