组合数学复习

• 设m1 , m2 , … , mn都是正整数，并有
• 满足一定条件的元素的最少个数是多少？ • 从一、二、三班里选若干人，问至少选多 少人，才能保证一班至少有2人，或二班至 少有3人，或三班至少有4人？ • 证明存在性问题：在一个边长为2的等边三 角形内任意选5个点，则必有两个点，它们 之间的距离不大于1.
(m-r+k,r-k) l=0,1,2,…,r Q(m,0)
第五章 二项式系数
• kC(n,k)=nC(n-1,k-1) • 1C(n,1)+2 C(n,2)+…+nC(n,n)=n2n-1 • C(n,1)+C(n,3)+…=? • C(n,0)+C(n,2)+…=?
一些特殊的求和级数
• ∑k=0∞(k+1)xk=1/(1-x)2=1+2x+3x2+4x3+。。。 • ∑k=0∞ k(k-1)xk =2x2/(1-x)3=2*1*x2+3*2*x3+4*3*x4+ 。。。 • ∑k=0∞ k2xk=x(1+x)/(1-x)3=x+4x2+9x3+16x4+ 。。。 • ∑k=0∞ k(k+2)xk =(3x-x2)/(1-x)3=3*1*x+4*2*x2+5*3*x3+ 。。。 • ∑k=0∞ k(k+1)(k+2)xk =6x/(1-x)4 =1*2*3*x+2*3*4*x2+3*4*5*x3+ 。。。
第三章
排列组合
• 基本记数原理-加法原理和乘法原理 • 基本排列-全排列，r-排列，循环排列 N个人的循环排列是多少？ • 基本组合 • 组合排列的混合 分组与分步的基本方法 例：1，2，3，4，5，6，7，8，9的5与6、1 与7不在一起的排列数有多少？
第三章
排列组合
• 重复排列 1、k种元素的重复数无限制r-排列 2、k种元素的限制重复数的r-排列 3、应用---棋盘非攻击型车的摆放 例：n1个第一种棋，n2个地二种棋,nk个第k种棋的非攻击型 摆放。 • 重复组合 1、k种元素的重复数无限制r-组合：C(k+r-1,r) 2、k种元素的限制重复数的r-组合：容错原理或分类求解 例：求{3a,4b,5c}的8组合。 {3a,4b,5c}的10-组合或11-组合。
例： 逆序6543310对应的排列是什么？
第四章 生成排列与组合
• 生成组合 1、所有组合的二进制序. 生成规则是什么？ 2、所有组合的反射Cray码序及其特点 如何生成反射Cray码？ --反射Cray码组合序中相邻两组合的关系？(只有 一个元素不相同) 3、r-组合的字典序 例：{1,2,…,9}的6-组合字典序中，134589的后继是 什么？
限制重复数的重复组合数
• 求{3a,4b,5c}的8组合。 {8a,8b,8c}的8组合。 • x1+ x2 + x3 + x4 =15, 0≤x1≤4, 2≤x2 ≤6, 0≤ x3 ≤8， 0≤ x4 . • x1+ x2 + x3 + x4 =15, 0≤x1, 2≤x2, 0≤ x3 , 0≤ x4 .
第五章 二项式系数
• 一些恒等式的证明 二项式证明法、组合证明法、直接证明法 例：证明Vandermonde恒等式： C(m+n,r) =C(m,0)C(n,r)+ C(m,1)C(n,r-1)+…+ C(m,r)C(n,0)
• 组合证法1 从m个互异红球和n个互异蓝 组合证法1 球中取r个球,按r个球中红球的个数分类. • 组合证法2: (0,0)到(m+n-r,r)点的路径. 组合证法2 (0,0)→(m-r+k,r-k)→(m+n-r,r) C(m,r-k) C(n,k) C(m+n,r) r P(m-r,r) (m+n-r,r) =∑C(m,r-k)C(n,k ) k=0
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第六章 容错原理
• 容错原理 • 限制重复数的重复组合数 • 错位排列
| A |= N− | A|,
其中N是集合S的元素个数，即不属于 A A的元素个数等于集合的全体减去属于 A的元素的个数。一般有：
容斥原理
容斥原理
容斥原理
• 一个班有学生50人，选修英语的20人，数 学25人，物理30人 英语，数学，物理：5人 英语，数学：5人 数学，物理：6人 英语，物理：5人 • 三科都没选的多少人？
第一章
• 棋盘的覆盖 什么是完美覆盖？有完美覆盖的充分必要条 件是什么？ • 幻方 幻方是什么？N阶幻方的幻和是多少？ • Nim取子游戏 取子游戏 游戏规则是什么？怎样取胜？ 游戏规则是什么？怎样取胜？
第二章 鸽巢原理
• 若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至少有 一个巢内有至少有两个鸽子。
m1 + m2 +… +mn－n + 1 n 1个鸽子住进n个 n 鸽巢，则至少对某个 i 有第 i 个巢中至少 有 mi个鸽子，i = 1 , 2 , … , n．
错排问题
每个元素都不在原来位置的排列数为
Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)=n Dn-1+(-1)n
禁止排列问题
• 棋盘上禁止位置的排 列问题
Hale Waihona Puke 第四章 生成排列与组合——偏序与 等价关系
• 1、关系、关系的性质-自反性、反自反性、 对称性、反对称性、传递性 2、偏序—自反的、反对称的、传递的 3、全序、极大元、极小元、最大元、最小元 4、等价关系与划分 问题：偏序是关系吗？是等价关系吗？有限 偏序集有最大(最小)元、极大(极小)元吗？ 全序与链，链长与反链(互不包含的组合）的 关系是什么？
偏序与等价关系
• 例：证明子集的包含关系是偏序。 • 例：反链与组合的杂置是什么关系？
第五章 二项式系数
• Pascal公式及其解释-- 组合数解释及路径解释(注 意路径规则) C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1) 路径—纯正方向，正斜混合方向 • 二项式定理 (1+x)n的展开式及其应用。 例：计算 1C(n,1)+2 C(n,2)+…+nC(n,n)的值。 • 二项式系数的单峰性及组合杂置 例：杂置的个数最多有多少？并证明之。
第四章 生成排列与组合
• 生成排列(全排列) 1、逐级插入法 2、逐级插入序列的逐个生成法(活动数生成 排列法) 2、逆序数生成排列法
第四章 生成排列与组合
• 对于{1,2,…,n}的一个排列i1i2…in, 令bj表示在此排列中先于j但大于j的整数的 个数，称为j的逆序数； 定理4.2.1 令b1,b2,…,bn是满足 0≤b1≤n-1,0≤b2≤n-2,…0≤bn-1≤1,bn=0 的整数序列，那么存在{1,2,…,n}的唯一的一 个排列，它逆序列是： b1,b2,…,bn
证明： 证明： 若序列S ={ a1 , a2 , … , amn+1}中的 各数是不等的．m , n 是正整数，则 S有一长 度为m+1的严格增子序列或长度为n+1的减 子序列，而且 S有一长度为m+1的减子序列 或长度为n+1的增子序列．
第二章 鸽巢原理
• Ramsey 数 求或证明： r(3,3)=6, r(2,n)=n, 证明： r(m.n)=r(n,m)