近世代数

第一章：基本概念

重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。

第二章：群

重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。

难点：置换群、变换群、陪集。

第三章：正规子群和群的同态与同构

重点：正规子群、商群、同态基本定理

难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。

第四章：环与域

重点：环、域、理想

难点：环的同态、同构，极大理想、商域。

第五章：唯一分解整环

重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。

难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。

近世代数练习题（A）

一、填空题（每题3分，共30分）：

1、设是集合到的满射，则 .

2、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 .

3、写出三次对称群的子群的一切左陪集，， .

4、设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于 .

5、设=是循环群，则与整数加群同构的充要条件是 .

6、若环的元素(对加法)有最大阶, 则称为环的 .

7、若环满足左消去律，那么必定 (有或没有)左零因子.

8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是环

的 .

9、若域，则称是一个素域.

10、设是域的一个扩域,. 如果存在上非零多项式使, 则称为上的一个 .

二、选择题（每题4分，共20分）：

1、指出下列哪些运算是代数运算（）.

A.在整数集上，

B.在有理数集上，

C.在正实数集上，

D.在集合上，

2、设是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（）.

A.的单位元的象是的单位元

B.的元素的逆元的象是的象的逆元

C.的子群的象是的子群

D.的正规子群的象是的正规子群

3、下列正确的命题是（）.

A主理想整环必是欧氏环 B. 欧氏环一定是唯一分解整环

C.唯一分解整环必是主理想整环

D.唯一分解整环必是欧氏环

4、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（）

A. B.

C. D.

5、下列不是循环环的单位（可逆元）的是（）.

A. B.5 C. 7 D. 2

三、证明题（每题10分,共50分）：

1、设为实数且，并规定

证明：对此运算作成一个群.

2、证明: 9在有单位元的整环

中不能惟一分解.

3、设是偶数环. 证明:

1);

2)是否成立? 为什么? 是由哪个偶数生成的主理想?

4、设是群到群的一个同态满射,又,,证明:

.

5、设6阶群G不是循环群，证明：G.

（A）参考答案

一、填空题（每题3分，共30分）:

1、2、3、或,或, 或

4、5、或 6、特征(或特征数) 7、没有

8、一个极大理想9、不含真子域10、代数元

二、选择题（每题4分，共20分）:

1、D

2、 D

3、B

4、D

5、D

三、证明题（每题5分,共50分）:

1、证明:显然是非空集合上的代数运算.

, 则有

即, 对此运算满足结合律.

又, 即是的左单位元; 又, 有

且, 即是在中的左逆元. 因此, 对此运算作成一个群.

2、证明: 首先易知,中的单位是.

其次, 若, 则必是环的不可约元.

事实上, 若是的任一因子, 则有, 使

, 故或.但不可能, 故只有或.

当时,是可逆元; 当时, 与相伴. 因此, 只有平凡因子, 即是不可约元.

故, 是的不可约元.但, 而且又不与中的任一个相伴,即9不能惟一分解.

3、证明:1), 则, 于是.

再任取, 由知,. 故.

2) 不成立.

因为, 例如, 但.事实

上, . 即是由8生成的主理想.

4、证明：方法(一):

因为,是满同态，故.令

.

下证是商群到的一个同构映射. 1) 是映射: 设, 则.因是同态满射,故

.

从而, 即是商群到的一个映射. 2) 是满

射: , 因是同态满射, 故有使. 从而在之下有逆象

, 即是满射. 3) 是单射: 设, 则

.

因是满射, 故有使

,

其中是的单位元. 于是故. 从而, 即是单射.

又显然在之下有

,

故是商群到的一个同构映射. 因此.

方法(二):利用群同态基本定理

因为,是满同态，故.

设是群到商群的映射. 因为

又是满射(因是满射),故是群到商群的满同态映射.

又, 据群同态基本定理, .

5、证因为G不是循环群，故G没有6阶元.从而由Lagrange定理知，G必有2阶元或3阶元.

除外G中元素不能都是2阶元：若不然，G为交换群.于是在G中任取互异的2阶元，则易知

.

这与Lagrange定理矛盾.

又除外G中元素不能都是3阶元：若不然，则在G中任取3阶元，可知G有子群

，

且.于是

,

这与矛盾.

因此，G必有2阶元和3阶元.由此可知：

，

且易知

是G到的一个同构映射，故G.

世代数练习题（B）

一、填空题（每题3分，共30分）：

1、设是实数集，规定的一个代数运算（右边的乘法是普通乘法），则（适合或不适合）结合律.

2、设=是6阶循环群，则的所有生成元是 .

3、给出一个5-循环置换，那么 .

4、设是有单位元的交换环，是的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为