9卡方检验
卡方检验医学统计学
卡方检验医学统计学卡方检验是医学统计学中最常用的检验方法之一，它可用于测量两组数据之间的关联性。
在研究中，我们常常需要探究二者之间是否存在某种关联，卡方检验就是我们解决这个问题的利器。
卡方检验的原理卡方检验的原理是基于期望频数和实际频数的差异来检验两个变量之间的关系。
期望频数指的是在假设两个变量独立的情况下，我们可以根据样本量和其他条件，计算出不同组之间的理论值。
而实际频数则是实验中观察到的实际结果。
卡方检验的步骤如下：1.建立零假设和备择假设。
零假设指的是假设两个变量之间不存在任何关系，备择假设则是反之。
2.确定显著性水平 alpha，通常取值为0.05。
3.构建卡方检验统计量。
计算方法为将所有观察值与期望值的差平方后，再除以期望值的总和。
4.根据自由度和显著性水平，查卡方分布表得到 P 值。
5.如果 P 值小于显著性水平，拒绝零假设；否则无法拒绝零假设。
卡方检验的应用卡方检验可以应用于多个领域，其中医学统计学是最为常见的一个。
卡方检验可以用来分析两个疾病之间的相关性或者测量一种治疗方法的效果。
举个例子，某药厂要研发一种新的药物来治疗心脏病。
为了验证该药的疗效，实验组和对照组各50 人。
在 6 个月的治疗后，实验组和对照组中分别有 10 人和 15 人痊愈了。
卡方检验的作用就在于此时可以用来检验两组之间的差异是否具有统计学意义。
除了医学统计学之外，卡方检验在社会学、心理学、市场营销、物理等领域也都有广泛应用。
卡方检验的限制虽然卡方检验被广泛应用于各种实验和研究中，但它也有着自己的限制。
其中比较明显的一点就是对样本量有一定的要求。
当样本量较小的时候，期望频数的计算就会出现一定的误差，进而导致检验结果不准确。
此外，在面对非常态分布数据时，卡方检验也会出现问题。
当数据呈现正态分布时，卡方检验的准确性最高。
然而，实际上，很多数据都呈现出非正态分布，这时需要使用一些修正方法来解决。
卡方检验是医学统计学中最常用的统计方法之一，它可以用来测量两个变量之间的关联性。
9 第十二章 卡方检验(一)
确切概率法计算公式
在四格表的周边合计不变的条件 下 , 用下式直接计算表内四个数据 的各种组合之概率。 的各种组合之概率。 式中a、b、c、d为四格表的实际 频数
(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)! P= a!b c!d!n ! !
四格表资料的精确检验法基本步骤
1、建立假设 Ho：假设差别是由抽样误差引起的 H1：假设差别是本质上存在的 确定显著性水准： ２、确定显著性水准：α＝0.05 ３、计算确切概率P 周边合计不变，列出各种组合的四格表； （1）周边合计不变，列出各种组合的四格表； 计算各个四格表的| （2）计算各个四格表的|A-T|值； 样本| （3）求|A-T|值≥样本|A-T|值的所有四格表的Pi 值； Pi=(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!/[a!b!c!d!n!] （4）求出确切概率P：P＝ΣPi 结果判断： ４、结果判断：在事先确定的显著性水准α下作 出专业结论。 出专业结论。
行×列表资料χ2检验时的注意事项
1、行×列表资料χ2检验对资料的要求是：不宜有1／5以上 检验对资料的要求是：不宜有1 格子的理论数小于5 且理论数应大于1 格子的理论数小于 5 ， 且理论数应大于 1 ， 若发生上述情 可选用下述三种处理方法 三种处理方法： 况 ， 可选用下述 三种处理方法 ： ① 适当增大样本含量以 增大理论频数； 增大理论频数 ； ② 将理论数过小的格子所在的行或列与 性质相近的行或列中的实际数合并， 性质相近的行或列中的实际数合并 ， 使重新计算的理论 数增大； 删去理论数过小的行或列。 数增大 ； ③ 删去理论数过小的行或列 。 后两种处理方法 有可能损失资料信息， 且可能破坏样本随机性， 有可能损失资料信息 ， 且可能破坏样本随机性 ， 故不宜 常规使用。 常规使用。 2、当试验效应按照强弱分为若干个级别，试验结果可整理 当试验效应按照强弱分为若干个级别， 为单向有序行×列表资料， 为单向有序行 × 列表资料 ， 在比较各处理组间的效应有 无差别时，宜选用秩和检验、Ridit分析 趋势检验等， 分析、 无差别时，宜选用秩和检验、Ridit分析、趋势检验等， 检验只能说明各组构成比的差别有无显著性。 如作χ2检验只能说明各组构成比的差别有无显著性。 3、多个样本率或多个构成比的χ2检验，结果有显著性意义 检验， 只能认为总体率或总体构成之间总的来说有差别， 时，只能认为总体率或总体构成之间总的来说有差别， 不能说明两两之间皆有差别， 不能说明两两之间皆有差别，若要对每两个率或每两个 构成比进行比较，应采用行× 构成比进行比较，应采用行×列表的χ2分割法或者采用 其它率或构成比的多重比较。 其它率或构成比的多重比较。
医学统计学 -第09章 卡方检验
0.4 f(x)
v=1
0.3
2分布
0.2
v=4
v=6 v=9
0.1
0.0
0
3
6
9
12
15 x
（2）计算检验统计量
2 (A T )2
T
(41 36.5625)2 (4 8.4375)2 (24 28.4375)2 (11 6.5625)2
36.5625
8.4375
28.4375
6.5625
理论基础：超几何分布，不属于卡方检验
谢谢
表 慢性咽炎两种药物疗效资料
分组
兰芩口服液 银黄口服液
合计
有效
41 24 65
无效
4 11 15
有效率 （%） 91.11
68.57 81.25
合计
45 35 80
问题： 两个总体有效率是否相等?
（1）建立检验假设 H0：π1=2 两药的总体有效率相同 H1：π1≠π2 两药的总体有效率不同 检验水准=0.05
bc
= 1
若b+c<40，采用以下校正公式
2 (| b c | 1)2
= 1
bc
第三节 行×列表资料的2检验
(一）R×C表 最常见的形式是
2×C列联表（一般为2个构成比的比较） R ×2列联表（一般为多个样本率的比较）
R×C列联表2检验的原理与2×2列联表2 检验的原理完全一样
统计量计算公式
合计 40 30 32 102
有效率(%) 87.50 66.67 21.88 60.78
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0 :1 2 3
H1
:
1
,
第九讲卡方检验案例
次数 离均差
2
15.38
7
12.38
22 9.38
57 6.38
110 3.38
124 0.38
112 -2.62
80 -5.62
25 -8.62
8 -11.62
4 -14.62
f o f e 2
Z分数 P 理论次数
f e
3.03 0.00237 1 2.44 0.01201 7
0.125
⑴检验公式（各单元格理论次数>5）
2
A
N AD BC 2
BC DA C B
D
⑵自由度
df 2 12 1
分
因类
1
素分
B
类 2
因素A 分类1 分类2
A
B
C
D
■注:独立样本四格表 检 2验相当于独立样本
比率差异的显著性检验。
■例
随机抽取90名学生，将学生按性别与学习 成绩进行分类，结果如下表，问男女大学生 在学业成绩上是否有关联？或男女学生在成 绩中等以上的比率是否存在显著差异？
小计 110 103 222
变异原因 2 自由 P 合并 2 9.705 1 <.05
异质 2 0.104 3 >.05
③对于控制变量的不同水平所进行的单个列联 表分析 ⅰ、如果 值2不显著，此时可以将各个水 平下的 值相2 加，以推测列联表中两 个变量总的 值，2 并进行关联性检定。
ⅱ、当控制变量各水平不一致时，必须单独就 个别关联表进行分析。
■例
某通讯公司想了解大学生最喜欢的手机品 牌，随机抽取了72名大学生，调查性别、 家庭经济水平以及最喜欢的手机品牌，来 探讨这三个变量之间的关系，调查结果如 下表。
定性数据分析——卡方检验
定性数据分析——卡方检验卡方检验（Chi-square test）是统计学中用于检验两个定性变量之间关联性的方法。
它可以帮助我们确定两个变量之间的差异是由于随机因素导致的还是由于真实的关联性。
卡方检验的基本原理是，通过比较实际观察到的频数与期望频数之间的差异来判断变量之间是否存在关联。
在卡方检验中，我们首先要计算期望频数，即假设两个变量之间没有关联时，我们预计每个组别内的频数应该是多少。
然后，我们计算实际观察到的频数与期望频数之间的差异，并将这些差异加总得到一个卡方值。
最后，我们将卡方值与自由度相结合，使用卡方分布表来确定检验结果是否具有统计学意义。
卡方检验可以分为两种类型：拟合优度检验（goodness-of-fit test）和独立性检验（independence test）。
拟合优度检验用于确定观察到的频数是否与预期的频数相匹配。
它在比较一个变量的分布与一个预先给定的理论分布之间的差异时非常有用。
例如，我们可以使用卡方检验来检验一个骰子是否公平，即骰子的六个面是否具有相等的概率。
独立性检验用于确定两个变量之间是否存在关联。
它可以帮助我们确定两个变量是否独立，即它们的分布是否相互独立。
例如，我们可以使用卡方检验来确定男性和女性之间是否存在偏好其中一种产品的差异。
在进行卡方检验时，我们需要满足一些前提条件。
首先，两个变量必须是独立的，即每个观察值只能属于一个组别。
其次，每个组别中的观察值必须相互独立。
最后，期望频数应该足够大，通常要求每个组别的期望频数大于5卡方检验的结果通常以p值的形式呈现。
p值表示观察到的差异是由于随机因素导致的可能性。
如果p值小于预先设定的显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝原假设，即认为变量之间存在关联。
在实际应用中，卡方检验可以帮助我们解决许多问题。
例如，我们可以使用卡方检验来确定广告宣传对购买行为的影响，消费者对不同品牌的偏好程度，或者员工对不同工作条件的满意度。
第9章卡方检验
当n较小时，则可以利用校正的u检验：
| p1 p2 | (1 / n1 1 / n2 ) / 2 uc Nov 24,2009 S p1 p2
例9－3 考察某市2000年城乡居民的卫生服 务需求，以近两周病患病情况作为调查指 标。分别在城区和农村进行了抽样调查， 其中城区调查了660人，有90人近两周患病， 农村调查了640人，有140人近两周患病， 问两组人群的两周患病率是否相同？
二、正态近似法 当n较大，总体率 既不接近0也不 接近1，n和n (1－)均大于5，二 项分布近似正态分布，利用正态分 布的原理，计算检验统计量u值作假 设检验。
u
Nov 24,2009
p 0
p
p 0
0 (1 0 ) / n
例9－2 已知一般人群中慢性支气 管炎患病率为9.7% ，现调查了500 名吸烟者，其中有95人患慢性支气 管炎，试推断吸烟人群中慢性支气 管炎患病率是否比一般人群高？
Nov 24,2009
一、四格表资料的2检验
2检验的基本思想
组别 阳性数 阴性数 合计
I组
II组 合计
a
c a+c=n.1
b
d b+d=n.2
a+b=n1.
c+d=n2. a+b+c+d=n
Nov 24,2009
基本步骤
1、建立假设 H0：城乡居民的两周总体患病率相同 即1＝2＝ H1：城乡居民的两周总体患病率不同 即1≠2， α＝0.05
b
d b+d=n.2
a+b=n1.
c+d=n2. a+b+c+d=n
(ad bc) n (a b)(c d )(a c)(b d )
卡方检验的原理
卡方检验的原理卡方检验是一种用于检验两个分类变量之间是否存在相关性的统计方法。
它的原理是通过比较实际观察值和期望理论值之间的差异来判断两个变量之间的相关性程度。
在进行卡方检验时，我们首先需要构建一个列联表，然后根据列联表中的数据计算出卡方值，最后根据卡方值来判断两个变量之间的相关性程度。
首先，我们来看一下列联表的构建。
列联表是由两个分类变量的交叉分类频数构成的二维表格。
表格的行表示一个分类变量的各个分类，表格的列表示另一个分类变量的各个分类，交叉点上的数字表示对应分类组合的频数。
构建列联表的目的是为了清晰地展现两个变量之间的关系，为后续的卡方检验提供数据基础。
接下来，我们需要计算卡方值。
卡方值的计算公式为，χ²=Σ((O-E)²/E)，其中，Σ表示求和，O表示观察频数，E表示期望频数。
在计算卡方值时，我们需要先计算出期望频数，然后将观察频数和期望频数的差异进行平方，并除以期望频数，最后将所有分类组合的差异平方和除以期望频数的总和就得到了卡方值。
最后，我们根据卡方值来判断两个变量之间的相关性程度。
在进行判断时，我们需要参考自由度和显著性水平。
自由度的计算公式为，df=(r-1)(c-1)，其中，r表示行数，c表示列数。
在一般情况下，我们可以查找卡方分布表来确定显著性水平下的临界值，然后比较计算出的卡方值和临界值的大小关系，从而判断两个变量之间的相关性程度。
总的来说，卡方检验是一种用于检验两个分类变量之间相关性的统计方法，它通过比较实际观察值和期望理论值之间的差异来判断两个变量之间的相关性程度。
在进行卡方检验时，我们需要构建列联表，计算卡方值，并根据卡方值来判断两个变量之间的相关性程度。
通过卡方检验，我们可以更加清晰地了解两个变量之间的关系，为进一步的分析和决策提供依据。
9第八章 卡方检验
也称卡方检验。 检验也称卡方检验 χ2 检验 也称卡方检验 。 是英国统计 学家Pearson于 1900年提出的一种应 于 学家 年提出的一种应 用范围很广的假设检验方法， 用范围很广的假设检验方法，可用于 检验两个率间的差异； 检验两个率间的差异 ； 检验多个率 (或构成比 间的差异；判断两种属性 或构成比)间的差异 或构成比 间的差异； 或现象间是否存在关联性； 或现象间是否存在关联性；了解实际 分布与某种理论分布是否吻合； 分布与某种理论分布是否吻合；判断 两个数列间是否存在差异等。 两个数列间是否存在差异等。
计算公式
(a + b)!(c + d )!(a + c)!(b + d )! P= a!b!c!d!n!
式中ａ、ｂ、ｃ、ｄ 和ｎ的意义同前 ， ！为阶乘符号。0！＝ 1， 为阶乘符号。 1！＝ 1 ，3！＝ 3×2×1 ＝ 6。
（三）求Ｐ值的步骤
• 1 . 列四格表 。 使四格表周边合计数 列四格表。 不变， 不变 ， 依次增减四格表中任一格子 的数据，列出所有可能的四格表。 的数据，列出所有可能的四格表。 • 列四表格的数量 ＝ 最小合计数 ＋ 1 。 列四表格的数量＝ 最小合计数＋ • 如例 8 -3 ， 增减 ａ 格的数据 ，得 9 个 如例8 格的数据， 四格表。 四格表。
χ2分布的特点
• ⑴ χ2 分布的形状依赖于 ν 的大小 ： 当 ν≤2 时 ， 曲线呈 L 型 ； 随着 ν 的增加 ， 曲线呈L 的增加， 曲线逐渐趋于对称； →∞时 曲线逐渐趋于对称 ； 当 ν→∞ 时 ， 分布 趋近于正态分布。 趋近于正态分布。 • ⑵χ2分布具有可加性：如果两个独立的 分布具有可加性： 随机变量X1和X2分别服从ν1和ν2的χ2分 那么它们的和( 也服从( 布，那么它们的和(X1＋X2)也服从(ν1＋ ν2)的χ2分布。 分布。
卡方检验卡方检验公式简易卡方检验计算器卡方公式统计学必备
卡方检验卡方检验公式简易卡方检验计算器卡方公式统计学必备卡方检验（Chi-square test）是一种常用的统计方法，用于检验两个分类变量之间是否存在相关性。
它的原理是比较实际观察到的分布和理论推断的分布之间的差异。
卡方检验的原假设是：两个变量之间不存在相关性，即观察到的分布和理论推断的分布没有显著差异。
如果卡方检验的计算结果显示观察到的分布与理论推断的分布存在显著差异，则可以拒绝原假设，即两个变量之间存在相关性。
卡方检验的计算公式如下：卡方值（Chi-square value）= Σ（（观察值-理论值）^2 / 理论值）其中，Σ表示对所有观察值进行求和，观察值是实际观察到的频数，理论值是根据原假设推断出的期望频数。
为了计算卡方值，首先需要根据原假设推断出理论频数分布。
然后计算每个格子中的观察值与理论值的差异，并将差异平方后除以理论值。
最后将所有格子的差异平方和进行求和，得到卡方值。
简易卡方检验计算器可以帮助我们快速计算卡方值和对应的P值。
P值表示观察到的数据在原假设成立的情况下发生的概率。
如果P值小于设定的显著性水平（通常是0.05），则可以拒绝原假设。
卡方检验在统计学中被广泛应用，特别是在分析两个分类变量之间的相关性时。
它可以用于研究医学、社会科学、市场研究等领域中的问题。
对卡方检验的详细解释超过了1200字，在这里无法全部展开。
然而，我们可以总结一些关键要点：1.卡方检验适用于两个分类变量之间的相关性研究。
2.原假设是两个变量之间不存在相关性。
3.可以使用卡方检验公式计算卡方值。
4.简易卡方检验计算器可以帮助我们快速计算卡方值和P值。
5.如果P值小于设定的显著性水平，可以拒绝原假设。
6.卡方检验在统计学中有广泛应用，特别是在社会科学和医学研究中。
卡方检验是一种强有力的统计方法，可以帮助我们理解两个分类变量之间的关系。
通过对卡方检验的学习和应用，我们可以更好地分析和解释各种数据。
第九讲卡方检验
第八章 RC表资料的分析
⑶ 分类资料在划分阳性、阴性时信息量损失太大，而且划分界 限不同，得出的统计结论也可能不同。在资料的划分归类时，必 须结合专业知识，具备充分的理由才能确定某一划分界限。如果 有明确的专业规定，例如：舒张压在90mmHg以上列为高血压， SGPT大于40单位列为异常，也可将定量资料转为分类资料进行处 理 (4) 四格表 2 检验法不宜用于数据中有零的资料，此时误差 很大，宜改用确切概率法
查2界值表，得P＞0.05，不拒绝H0，两种疗法效果无统计 学差异，不能认为两法疗效不同 3.四格表的2检验注意的问题 ⑴ 自由度为1的四格表，在总样本例数n≥40，有理论频数1≤T ＜5时，用不校正的2值查2界值表，所得概率偏低，误差较大， 必须校正 ⑵ 用专有公式计算2值，要先计算最小理论数。自由度df＝1 时，u20.05/2＝20.05(1)（即1.962 ＝3.84），u20.01/2＝20.01(1) （即2.57582 ＝6.63），故n较大时的两样本率比较，既可用u 检验，又可用2检验
3
第八章 RC表资料的分析
组 别 有 效 无 效 合 计 有效率
98.19% 74.00% 91.76%
胃金丹 西药组 合 计
A11＝a＝271 A21＝c＝74
345(a＋c)
A12＝b＝5 A22＝d＝26
31(b＋d)
276(a＋b) 100(c＋d) 376(n)
Trc
nr nc n
2
第八章 RC表资料的分析
理论数是根据检验假设 H0 来确定的，H0 为比较的各 组处理效果相同，均等于合计的处理效果，据此推出第 r 行第c 列位臵上理论数的计算公式为：
nr nc nr nc Trc n n n n
卡方检验的简单计算方法
卡方检验的简单计算方法卡方检验是用来检验两个分类变量之间是否存在关联的统计方法。
它的原理是通过比较实际观察值与期望理论值之间的差异，判断二者是否相似，从而判断两个变量之间是否存在关联。
在进行卡方检验的计算中，需要进行以下几个步骤：1.假设和设定卡方检验需要假设两个分类变量之间没有关联，这是零假设，即H0：两个变量之间没有关联。
备择假设是H1：两个变量之间存在关联。
2.构建列联表列联表是用来整理并展示两个变量的分布情况的一个表格。
将两个变量的所有可能取值组合成一个表格，结合样本数据，填写各个单元格的频数。
3.计算期望理论值根据零假设，假设两个变量之间没有关联，可以根据边际总和和各个单元格的分布情况，计算得到期望理论值。
期望理论值的计算公式为：期望理论值=(行边际总和*列边际总和)/总样本量。
4.计算卡方值卡方值是衡量实际观察值与期望理论值之间差异的统计量。
卡方值的计算公式为：X²=Σ((观察值-期望值)²/期望值)。
5.确定自由度自由度是指变量可以独立取值的数量。
计算自由度的公式为：自由度=(行数-1)*(列数-1)。
自由度的确定对后续卡方分布的查表有重要意义。
6.查表确定临界值根据自由度，可以查找卡方分布表，找到对应的临界值，即卡方临界值。
卡方临界值是用来判断是否拒绝零假设的标准。
7.比较计算值与临界值将计算得到的卡方值与查表得到的卡方临界值进行比较。
如果计算值大于临界值，则拒绝零假设，即两个变量之间存在关联。
8.统计意义和结论根据卡方检验的结果，可以得出两个变量之间是否存在关联的结论。
如果拒绝了零假设，则说明两个变量之间存在关联；否则，无法得出关联的结论。
需要注意的是，卡方检验的计算只能对两个分类变量之间的关联性进行检验，如果变量间的关系为线性关系，则可以使用相关分析或回归分析等方法进行更详细的分析。
另外，在实际使用中，可以使用统计软件进行卡方检验的计算，避免繁琐的手工计算过程。
09卡方检验
二、四格表资料 检验的专用公式
2
专用公式：
(ad bc) 2 n (a b)(c d )(a c)(b d )
2
2 (20 5 24 21) 70 2 8.40 44 26 41 29
结论同前。
三、四格表资料 检验的校正公式
理论频数计算公式
Tij ni n j n
ni和 n j 分 式中 Tij 为第 i 行第 j 列的理论频数，
别为相应行与列的周边合计数，n 为总例数。
Chi-square test
检验步骤： 1.建立检验假设并确定检验水准
H 0 : 1 2 即试验组与对照组的总体有效率相等
2
校正公式：
c2
( A T 0.5) 2 T
Frank Yates
2 ( | ad bc | -n / 2) n c 2 = (a+b)(c+d )(a+c)(b+d )
Chi-square test
对于四格表资料，通常规定为：
1.当 n 40 且所有的 T 5 时，用 检验的基本公
Chi-square test
1.建立假设，设定检验水准
1 2 即两种药物治疗脑血管疾病的有效率相等 H 0：
1 2 即两种药物治疗脑血管疾病的有效率不相等 H1：
0.05
2.计算检验统计量
2 c
6 25 3 24 58 / 2 58 0.376
T21 =41-25.77=15.23，
按公式(9-1)计算 2 值
(20 25.77) 2 (24 18.23) 2 (21 15.23) 2 (5 10.77) 2 8.40 25.77 18.23 15.23 10.77
卫生统计学9——卡方检验
本率差值的假设检验
14
2 (A T )2
T
15
由χ2 的计算可见， χ2 检验的基本思想是：
Χ2值反映了实际数与理论数相吻合的程度。 如果检验假设H0成立， 则A=T，现A≠ T 可能原因（1）抽样误差造成
（2）来自不同总体 若为（1） ，则A与T差别不会很大，出现大的Χ2值 的可能性很小，当p≤ α,就怀疑假设H0，因而拒绝； 反之，当 p>α,则无理由拒绝。
统计量2值。
33
计算统计量:
计算T I 时的参数有2 个（均数和标准差）
2
(A T )2 6.27
T
推断结论:自由度=10-1-2=7,
查附表8,得到
2 0.50,7
6.35
P>0.50,可以认为该样本服从正态分布。
34
例 调查者欲观察某克山病区克山病患者的空间 分布，将该区划分为279个取样单位，统计各取 样单位历年累计病例数，资料见下表第(1)、(2) 栏，问此资料是否服从Poisson分布？
在上例中， 64 21 的数据是基本的，
51 33
其余数据都是由以上四个数据计算出来的。
这四个数叫实际频数，简称实际数
（actual freqency, A）
12
理论频数（theoretical freqency,T）
对于洛赛克组的64人，按照合并愈合率Pc=68.05%治疗 的话，理论上: 64×68.05%=57.84人愈合，用T11表示，
18
3、查χ2界值表，确定P值，作出结论 查 P482 附表8
根据自由度和事先确定的检验水准，
查得对应的χ2界值。作出判断结论，
卡方检验
例3 大量的研究表明，人群中超常儿童的比率为3%。最 近有人对某班54名学生做了一项智力测查，结果发现有 两名学生的智力属于超常，问该班超常儿童的比率与普 通人群中超常儿童的比率是否相同？
解：根据题目中给出的数据列表：
超常
非超常
N
f
1.62
52.38
54
e
f
2.00
52.00
0
根据自由度df=1查附表6，得
二、卡方检验的统计量
卡方检验是对由样本得来的实际频数与理论频数 的分布是否有显著性差异所进行的检验。其计算 公式为：
2 f0 fe 2
fe
f 表示实际频数 0
f 表示理论次数 e
• 例：抛投一枚硬币80次，结果正面朝上46次，反面朝 上34次，问该枚硬币质地是否均匀？ 从理论上讲，抛一枚质地均匀的硬币，正反面朝上的 概率相等，那么如果抛投硬币80次，正面或反面朝上 的理论频数均为80／2=40次。这样，实际频数（正 面朝上46次，反面朝上34次）与理论频数（正面与反
反对 21 30 -9
81
2.7
总 和 60 60
5.4
自由度为: df = k -1=1
3.统计决断
查χ2值表，当 df =1 时
2 (1)0.05
3.84
2 (1)0.01
6.63
计算结果为： χ2=5.4*
3.84 ＜χ2= 5.4 ＜ 6.63，则 0.05 > P > 0.01
结论：学生对高中文理分科的态度有显著差异。
2. 计 算
表9-5 学生干部性别比例的χ2检验计算表
fo
2
fe fo fe f0 fe 0.5
卡方检验基本公式检验方法
卡方检验基本公式检验方法卡方检验（Chi-square test）是一种常用的统计方法，用于检验观察值与理论预期值之间的差异是否显著。
它适用于分类变量或频数数据的分析，广泛应用于生物医学研究、社会科学调查、市场调研等领域。
本文将介绍卡方检验的基本公式和检验方法。
1. 卡方检验的基本公式在进行卡方检验之前，我们需要先了解几个基本公式。
1.1 观察频数（O）观察频数指的是实际观察到的频数，也就是实际测量或观察得到的数据。
通常用O表示。
1.2 理论频数（E）理论频数是根据假设或理论计算得到的预期频数，用于与观察频数进行比较。
通常用E表示。
1.3 卡方值（χ²）卡方值是通过观察频数和理论频数的比较计算得到的统计量，用于衡量观察值和理论值之间的差异程度。
卡方值的计算公式为：χ² = Σ [(O - E)² / E]其中，Σ表示对所有分类或组别进行求和。
2. 卡方检验的检验方法卡方检验的检验方法主要分为以下几步：2.1 建立假设在进行卡方检验之前，需要明确要进行的假设检验类型，包括原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是没有差异或关联，备择假设则是存在差异或关联。
2.2 计算卡方值根据观察频数和理论频数的公式，计算出卡方值。
2.3 确定自由度自由度是卡方分布中的参数，它与样本量及分类数相关。
自由度的计算公式为：df = (r - 1) * (c - 1)其中，r表示行数，c表示列数。
2.4 查表确定临界值根据所选的显著性水平和自由度，查找卡方分布表中的临界值。
显著性水平通常选择0.05或0.01，表示可接受的异常结果的概率。
2.5 判断是否显著比较计算得到的卡方值和临界值，根据比较结果来判断是否拒绝原假设。
如果计算得到的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为存在差异或关联。
反之，如果计算得到的卡方值小于临界值，则接受原假设，认为没有差异或关联。
3. 实例分析为了更好地理解卡方检验的基本公式和检验方法，我们将进行一个简单的实例分析。
卡方检验9=chap8RC表资料的分析共44页文档
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❖ 知识就是财上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
卡方检验9=chap8RC表资料的分析
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
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51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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第九章 χ2 检 验(chi-square test)
第一节 χ2分布和拟合优度检验
第二节 独立样本2*2列联表资料的χ2检验 第三节 独立样本R*C列联表资料的χ2检验 第四节 资料的卡方检验 例9-6 设有132份食品标本，把每份标本一分为二，分 别用两种方法作沙门菌检验，检验结果见表9-8，试比较两种 检验方法的阳性结果是否有差别？
Tij
ni m j n
自由度为：ν=(行数-1)(列数-1)=(2-1)(2-1)=1
2
A T 2 64 57.842 21 27.162 51 57.162 33 26.842
T 57.84 27.16 57.16 26.84
表9-8 甲法 + 合计 两种检验方法检验结果比较 乙法 + 80（a） 31（c） 111 10（b） 11（d） 21 合计 90 42 132(固定值)
n1 a b 两变量阳性率比较的一般形式和符号 n n n cd 变 量2的 阳 性 率 2 n n 变量2 ab ac bc 变 变量1 性 率 变 量2的 阳 性 率 量1的 阳 阳性 阴性 n n n 变 量1的 阳 性 率
求出每个格子的理论频数后，可用下式进行分析
（A T ) 2 2 T
H0成立时，该统计量服从υ=k-1-s（s为计算Ti时利用样
本资料估计的参数个数）
（二）基本步骤 1.建立检验假设并确定检验水准 H0:π1=π2 ，即两药治疗消化道溃疡的愈合率相同 H1:π1≠π2 α=0.05 2. 计算检验统计量：H0成立时，两组有效概率相同，近似地等 于合并估计的有效概率，由此得到四格表中每一格的理论数，
14（11.2） 14（16.8） 16 24
1.建立检验假设并确定检验水准 H0:π1=π2 ，即两法总体缓解概率相同 H1:π1≠π2， 2. 计算检验统计量
k
α=0.05
2
i 1
2 （ Ai - Ti - 0.5）
3.确定P值，做出推断 P>0.05，按α=0.05水准，接受H0，拒绝H1，两总体频 率的差别无统计学意义。尚不能认为两种治疗方案的总 体缓解率不同。
（一）2*2列联表卡方检验的基本思想 表9-3 组别 Y1 Y2 独立样本资料的四格表 属性 合计
甲
乙 合计
a(T11)
c(T21) m1=a+c
b(T12)
d(T22) m2=b+d
n1=a+b(固定值)
n2=c+d(固定值) n
在H0成立的条件下，两样本分布的总体分布相等。而总体 分布未知，可用两样本联合计算的频率分布作为总体分布的 近似：属性Y1的理论概率近似等于m1/n，属性Y2的理论概率近 似的等于m2/n。因此H0成立时每个格子的理论频数近似等于：
二、拟合优度检验
求出样本均数为139.48，S=7.30
建立假设： H0：总体分布等于均数为139.48，标准差为7.30的正态分布 H1：总体分布不等于均数为139.48，标准差为7.30的正态分布 （一）拟合优度卡方检验的基本思想
1.设该样本是从某总体中抽取的简单随机样本。
2.把Xi的定义区间分成k个组段或类别。 3.记Ai表示n个样本观察值中落在第i组段的个数。 4.记Pi表示在H0成立条件下，样本值落在第i组段的概率。 5.记Ti表示根据H0确定的理论频数，Ti=n*Pi。
2 i 1
k
2 （ Ai - Ti - 0.5）
Ti
第九章 χ2 检 验(chi-square test)
第一节 χ2分布和拟合优度检验
第二节 独立样本2*2列联表资料的χ2检验 第三节 独立样本R*C列联表资料的χ2检验 第四节 配对设计资料的χ2检验 第五节 四格表的确切概率法
例9-2 将病情相似的169名消化道溃疡患者随机分为两组， 分别用洛赛克与雷尼替丁两种药物治疗，4周后疗效见表9-2。 问两种药物治疗消化道溃疡的愈合率有无差别？ 表9-2 处理 洛赛克 雷尼替丁 合计 两种药物治疗消化道溃疡4周后疗效 疗效 愈合 64(57.84) 51(57.16) 115 未愈合 21(27.16) 33(26.84) 54 合计 85(固定值) 84(固定值) 169
（三）多个独立样本频率分布的比较 例9-5 试分析儿童急性白血病患者与成年人急性白血病 患者的血型分布如表9-7有无差别？ 表9-7 分组 儿童与成年人急性白血病患者的血型分布 A型 B型 O型 AB型 合计
儿童 成人
合计
30 19
49
38 30
68
32 19
51
12 9
21
112 77
189
1. 建立检验假设并确定检验水准 H0:儿童与成年人急性白血病患者的血型分布相同 H1:儿童与成年人急性白血病患者的血型分布不相同
3. 确定P值 查附表8
自由度为：ν=(行数-1)(列数-1)=(3-1)(2-1)=2
2 2 0.005, 2 10.60 2 0.005, 2
P 0.005
4. 结论：按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，差别有
统计学意义。可认为三种药物的治疗效果不同或不全
相同。
2.确定检验水准α 3.选择检验方法，并计算检验统计量 4.确定P值，作出推断结论 P≤α，拒绝H0，接受H1 P＞α，不拒绝H0
（三）拟合优度卡方检验的注意事项 1. 2值与实际频数和理论频数的差值有关，还和组数有关。 一般要求每格的理论频数不小于5。 2.要有足够的样本含量，如样本含量不足需进行连续性校正。
4.13
3. 确定P值 查附表8
02.05,1 3.84
2 2 0.05,1
P 0.05
4. 结论：按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，两总体频率
的差别有统计学意义。洛赛克的愈合率(75.29%)高于雷尼
替丁(60.71%).
（三）2*2列联表卡方检验专用公式：(T5,且n 40)
比较，共比较6次，于是两两比较的检验水准应取
α’=0.05/3=0.0167
（五）R*C列联表卡方检验注意事项 不能有1/5以上格子的理论频数小于5，或不能有一个理 论频数小于1，如出现理论频数不满足此要求，可用如下方法 处理：
1.增加样本含量，是最好的办法。
2.结合专业知识将该格所在行或列与别的行或列合并，可能 会损失信息。 3.改用R*C表的Fisher确切概率法，用软件完成。 4.资料同质，即具备可比性。
第九章 χ2 检 验(chi-square test)
第一节 χ2分布和拟合优度检验
第二节 独立样本2*2列联表资料的χ2检验 第三节 独立样本R*C列联表资料的χ2检验 第四节 配对设计资料的χ2检验 第五节 四格表的确切概率法
一、χ2分布 χ2 分 布 是 一 种连续型随 机变量的概 率分布。
ad bc 2 n 2 a b c d a c b d
四格表校正公式 ：当(1T＜5,且n 40)需校正
n ad bc n 2 2 a b c d a c b d
2
例9-3 将病情相似的淋巴系肿瘤患者随机分为两组，分别 做单纯化疗与复合化疗，两组的缓解率见表9-4，问两疗法的 总体缓解率是否不同？ 表9-4 组别 单纯化疗 复合化疗 合计 缓解 2（4.8） 两种疗法缓解率的比较 未缓解 10（7.2） 合计 12 28 40 缓解率（%） 16.7 50.0 40.0
2检验的基本公式
2 =∑（A－T）2/T
式中A代表每个格子的实际频数( actual
frequency )，即表中的基本数据；T代表每个格子的理论
频数( theoretical frequency ) υ=k-1-s（s为用样本统计量估计总体参数的个数）
（二）拟合优度2检验的基本步骤 1.建立假设 H0：无效假设 H1：备择假设
α=0.05
2. 计算检验统计量：
2 R C Aij 2 n 1 0.695 i 1 j 1 n m i j
3. 确定P值 查附表8
自由度为：ν=(行数-1)(列数-1)=(2-1)(4-1)=3
2 2 0.75,3 1.21 2 0.75,3
图 9-1 若干χ2分布的概率密度曲 线
对于标准正态分布Z，Z2服从自由度为1的χ2分布。
设有v个相互独立的标准正态分布随机变量Z1，
Z2，…Zv，则Z12+Z22…+Zv2的分布服从自由度为v的χ2分布，
记为χv2。 当自由度大于1时，随着v的增加，曲线逐渐趋于对称； 当自由度趋于∞时，χ2分布逼近正态分布。
m1 n1m1 m2 n 1m 2 T11 n1 （ ） ， T12 n1 （ ） n n n n m1 n 2 m1 m2 n 2m2 T21 n（ ） ， T22 n（ ） 2 2 n n n n Tij的计算公式为： Tij ni m j n (i 1,2; j 1,2)
第一节 χ2分布和拟合优度检验
第二节 独立样本2*2列联表资料的χ2检验 第三节 独立样本R*C列联表资料的χ2检验 第四节 配对设计资料的χ2检验 第五节 四格表的确切概率法
（一）R*C列联表卡方检验的基本思想和计算步骤
设有一个定性变量，具有C个可能“取值”；现有R组 独立样本的频数分布，其数据如表9-5，这样的数据称为 R×C列联表。
表9-5
处理 1组 2组 … R 合计
独立样本R×C列联表
属性（水平） 合计 n1(固定值) n2(固定值) … nR(固定值) n
1
A11（T11） A21 （T21） … AR1 （TR1） m1