Rn空间的区域套定理
维欧氏空间中的点集
在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
15
聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1) a是A的聚点；
(2) a的任意邻域内，至少含有一个属于A而 异于a点；
(3) 存在A中互异的点所成的点列 xn,
lim
n
xn
a
See P.4定义1.2
16
内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A ,或 int A
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
4
2. Rn中点列的极限
定义1.3(邻域)：设a Rn ,d 0,称点集
U(a,d )= x Rn | ( x,a) d 为点a的d邻域,简记为
U (a);
显然，在R1, R2, R3 中, U(a,d分别是以a为中心以d为
半径的开区间、开圆和开球.
o
U (a,d )=：x Rn | 0 ( x,a) d ---点a的去心d邻域。
d
d
M0
d
d
M0
ad
a
ad x
5
点列的极限
1.1 Rn空间简介
“左右”方向(或说水平)的直线，选右方向为正向
“上下”方向线，选前方向为正向
数轴常用字母x,y,z,…来表示
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在直线上，任意选定一个原点Ｏ，一个正向和一 个单位长度，该直线就叫做数轴. 下面以考虑“左右”一对方向为例
2
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2
yn xn
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2
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27
特别地，当点Q与原点O重合时，或者说
当(y1, y2,…,yn)= (0, 0,…,0)时，有
| x | x12 x22
xn 2 .
称|x |为向量x的模或长度． 且具有下列性质：
1． |x + y|≤| x |+| y|；
x
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在 R3 中，若点 P，Q 的坐标分别为(x1, y1,z1)，(x2, y2, z2)
则点P与Q之间的距离为
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
z
P
Q
O
y
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x
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2． | cx |=|c|| x | c为常数．
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28
二、邻域
邻域是指位于定点周围的点的集合，其中每个点 x 与 定点 x0 的距离小于定长 δ，δ 通常是很小的正数．
换而言之，一个点的邻域是包含这个点的集合，可以 稍微“抖动”一下这个点而不会离开这个集合．
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区间套定理证明
区间套定理证明摘要：1.区间套定理的概念2.区间套定理的证明方法3.区间套定理的应用示例正文：一、区间套定理的概念区间套定理，是数学分析中的一个重要定理，主要用于研究函数的性质和单调性。
该定理主要描述了函数在一个区间内的取值情况，为研究函数的值域和单调性提供了有力的工具。
二、区间套定理的证明方法区间套定理的证明方法有多种，这里我们介绍一种较为常见的证明方法。
证明：设函数f(x) 在区间[a, b] 上连续，在开区间(a, b) 内单调，且f(a) 与f(b) 的值确定。
我们用f(x) 的值域为A，那么A 是[a, b] 的一个子集。
我们在[a, b] 上取一个新的函数g(x)，使得g(x) 的值域是A。
由于f(x) 在(a, b) 内单调，所以g(x) 在(a, b) 内也单调。
由于f(a) 与f(b) 的值确定，所以g(a) 与g(b) 的值也确定。
于是我们可以在[a, b] 上构造一个新的函数h(x)，使得h(x) 在[a, b] 上连续，且h(x) 在(a, b) 内单调。
同时，h(a) = g(a)，h(b) = g(b)。
根据罗尔定理，h(x) 在[a, b] 上必然有一点c，使得h"(c) = 0。
由于h(x) 在(a, b) 内单调，所以h(x) 在[a, b] 上也单调。
由于h(a) = g(a)，h(b) = g(b)，所以g(x) 在[a, b] 上也单调。
由于g(x) 的值域是A，所以A 是[a, b] 的一个子集。
于是我们证明了f(x) 的值域是[a, b] 的一个子集。
三、区间套定理的应用示例区间套定理在数学分析中有广泛的应用，下面我们举一个应用区间套定理的例子。
例：设函数f(x) 在区间[0, 1] 上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1。
证明f(x) 在[0, 1] 上的值域是[0, 1]。
证明：由于f(x) 在[0, 1] 上连续，所以f(x) 在[0, 1] 上的值域是[f(0), f(1)]。
区间套定理证明
区间套定理证明标题：区间套定理的证明引言：区间套定理是数学分析中一个重要的定理，它在实数域中的区间套序列中具有重要的性质。
本文将对区间套定理进行证明，以展示其证明过程及相关概念。
正文：区间套定理是指对于实数域中的一个区间套序列{I_n}，即I_1⊃I_2⊃I_3⊃...⊃I_n⊃...，其中每个区间I_n=[a_n, b_n]，存在唯一的实数c，使得c∈I_n，对任意正整数n。
证明过程如下：步骤一：首先证明区间套序列的长度有界性。
给定一个区间套序列{I_n}，由于每个区间I_n=[a_n,b_n]都是一个闭区间，因此其长度为b_n-a_n，且长度不为负数。
由于区间套序列是严格递减的，所以长度序列{b_n-a_n}也是严格递减的。
根据实数域中的阿基米德性质，存在一个正整数N，使得对于任意的正实数ε，存在正整数n>N，使得b_n-a_n<ε。
因此，区间套序列的长度有界。
步骤二：证明区间套序列的交集非空性。
由于区间套序列的长度有界，根据实数域中的确界原理，存在实数c，使得c是区间套序列长度序列{b_n-a_n}的确界。
我们需要证明c∈I_n，对任意正整数n。
首先，根据确界的定义，对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得b_N-a_N<ε。
由于区间套序列是严格递减的，所以对于任意的正整数n>N，有b_n-a_n<b_N-a_N<ε。
因此，实数c的确界性质保证了c∈I_n，对任意正整数n。
步骤三：证明区间套序列存在唯一的交点。
假设存在两个实数c_1和c_2，满足c_1∈I_n和c_2∈I_n，对任意正整数n。
由于区间套序列是严格递减的，所以对于任意正整数n，有c_1∈I_{n+1}，c_2∈I_{n+1}。
然而，根据区间套序列的定义，I_{n+1}⊂I_n，因此c_1和c_2必须在同一个区间I_n中，否则不可能同时满足c_1∈I_n和c_2∈I_n。
因此，区间套序列存在唯一的交点，即证明了区间套定理。
区间套定理证明
区间套定理证明一、区间套定理的基本概念区间套定理（Interval Division Theorem）是数学中一个关于区间分割的定理。
它指出，对于任意一个实数，都可以通过不断缩小区间的办法，找到一个区间，使得这个区间内的所有实数都满足给定的条件。
区间套定理在数学分析、数值计算等领域具有广泛的应用。
二、区间套定理的证明过程区间套定理的证明过程可以分为以下几个步骤：1.设区间A的左端点为a，右端点为b，区间长度为Δx。
2.假设存在一个实数c，位于区间A内，满足条件。
3.将区间A分割为两个子区间：左子区间（A1）的左端点为a，右端点为c；右子区间（A2）的左端点为c，右端点为b。
此时，Δx1为左子区间的长度，Δx2为右子区间的长度。
4.由于c满足条件，因此可以在左子区间A1中找到一个实数d，使得d 满足条件。
将左子区间A1继续分割为两个子区间：左子区间（A3）的左端点为a，右端点为d；右子区间（A4）的左端点为d，右端点为c。
此时，Δx3为左子区间的长度，Δx4为右子区间的长度。
5.重复步骤4，直到左子区间的长度Δxn趋近于0。
此时，得到的左子区间（An）即为所求的满足条件的区间。
三、区间套定理的应用实例1.求解方程根：对于一元二次方程ax+bx+c=0，可以通过区间套定理求解其根的位置。
首先确定方程的判别式Δ=b-4ac的符号，然后选取一个合适的区间（如[-1,1]），利用区间套定理逐步缩小区间，直到找到满足条件的根。
2.数值计算：在计算机科学中，区间套定理可用于求解非线性方程组、求解微分方程初值问题等。
通过不断缩小区间，可以提高计算精度。
四、结论与启示区间套定理告诉我们，只要我们找到一个合适的区间，就可以通过不断缩小区间的办法求解实数满足的条件。
在实际应用中，区间套定理为我们提供了一种有效的方法，帮助我们解决了许多数学问题。
关于实数连续性的6个基本定理的互证
∴ ∀ n , 有 x n ≤ r ，并且 ∀ε > 0, ∃xN , 有xN > r − ε
∴∀n > N , 有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即 | xn − r |< ε
0 0
n →∞
5、单调有界证明有限覆盖定理
证明： 假设某一闭区间 [ a, b ] 的某个开覆盖 E 的有限个区间覆盖， 等分 [ a, b ] 为 两个部分区间，则至少有一个部分区间不能被 E 的有限个区间覆盖，把这个区 间记为 [ a1 , b1 ] ，再等分 [ a1 , b1 ] ，记不能被 E 的有限个区间覆盖的那个部分区间为
∴{ x n } ∈ Q0且单调下降有下界的数列。
∴∃ξ s.t lim xn =ξ ,下面证明ξ =supE。
n →∞
（1）如果 ∃x0 ∈ E，s.tx0 > ξ，则
x0 − ξ x − ξ x0 + ξ > 0 ∴∃N，s.txn < ξ + 0 = < x0 2 2 2
∵ xN ∈ Q0 ∴ 这与xN 为E的上界 矛盾.
n →∞
n→ ∞
an
= r， lim
n→ ∞
Hale Waihona Puke bn = r ′，由
∴ ∀ n，有 an
≤ r ≤ bn .
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [ an , bn ] ， r ' ∈ ∩ [ an , bn ] ， 则
确界原理证明区间套定理
确界原理证明区间套定理区间套定理也称闭区间套定理，是实数中的一个非常重要的定理，它为实数序列的收敛性提供了一个有效的判定准则。
在证明区间套定理之前，我们首先需要了解确界原理。
确界原理（或称最大最小值定理）是关于实数集合的重要定理，它告诉我们，非空有上界的实数集合必定有上确界，也就是存在一个最小的上界，记为sup(A)。
类似地，非空有下界的实数集合必定有下确界，记为inf(A)。
确界原理是实数的一个基本性质，是我们研究实数性质的基础。
现在我们来证明区间套定理。
假设我们有一列区间[a1, b1]，[a2, b2]，[a3, b3]，...，其中ai≤bi（i=1, 2, 3, ...）。
我们要证明存在一个实数x，它属于所有这些区间，也就是说对于任意的i，x属于区间[ai, bi]。
证明方法如下：1. 首先，我们观察到这些区间是递减的，也就是说对于任意的n，有bn≥bn+1、这是因为当n增加时，an是递增的，同时bn是递减的。
我们可以通过归纳法证明这一点：对于n=1，我们有b1≥b2，这是显然成立的。
假设对于n=k，有bk≥bk+1，那么我们可以证明对于n=k+1，有bk+1≥bk+2、根据区间的定义，bk≥ak+1，同时bk+1≥bk+1，所以bk≥bk+1、因此这个性质成立。
2. 接下来，我们证明这些区间是有界的。
由于这些区间是递减的，所以对于所有的n，有ak≤ak+1≤...≤an≤bn≤bn-1≤...≤b1、也就是说，[a1, b1]是一个紧区间，而[a1, b2]，[a1, b3]，...等等都是[a1,b1]的子集，所以它们也是紧区间。
根据闭区间套定理，这些区间都有交集。
3. 最后，我们要证明这些区间的交集不为空。
我们假设交集为空，也就是说对于一些i，[ai, bi]与[ai+1, bi+1]没有非空交集。
根据确界原理，这意味着bi≤ai+1，而这与条件ai≤bi相矛盾。
因此，这个假设是错误的，这些区间的交集不为空。
区间套定理证明
区间套定理证明1. 引言区间套定理是实分析中的一个重要定理，它在数学分析、拓扑学以及其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍区间套定理的定义、证明思路和具体证明过程。
2. 定义首先，我们来定义区间套。
定义1：区间套设给定一系列闭区间[a n,b n]，其中n∈ℕ。
如果满足以下两个条件：1. 区间之间存在包含关系，即对于任意自然数n，都有a n+1≤a n且b n+1≥b n； 2. 区间长度逐渐趋于0，即lim n→∞(b n−a n)=0。
则称闭区间序列[a n,b n]为一个区间套。
3. 区间套定理接下来，我们将介绍区间套定理。
定理2：区间套定理如果存在一个闭区间套{[a n,b n]}，满足上述定义，并且这个闭区间套的长度逐渐趋于0，则存在唯一的实数c，使得c∈[a n,b n]对于所有n∈ℕ成立。
简言之，区间套定理表明，在实数轴上的闭区间套中，存在一个实数c，它同时属于每一个闭区间[a n,b n]。
4. 证明思路我们将使用实数完备性公理来证明区间套定理。
实数完备性公理：如果对于任意的实数序列{a n}满足a1≤a2≤a3≤⋯≤a n，则存在一个实数L，使得L=lim n→∞a n。
我们将利用实数完备性公理来证明区间套定理。
首先，我们构造两个序列{a n}和{b n}，使得a n是闭区间[a n,b n]的左端点，b n是闭区间[a n,b n]的右端点。
然后证明这两个序列分别满足单调有界条件，并利用实数完备性公理得出结论。
5. 证明过程步骤1：构造两个序列给定一个闭区间套{[a n,b n]}，我们构造两个序列{a n}和{b n}： - 序列{a n}：每一项a n是闭区间[a n,b n]的左端点； - 序列{b n}：每一项b n是闭区间[a n,b n]的右端点。
步骤2：证明序列{a n}和{b n}满足单调有界条件由定义可知，对于任意自然数n，都有a n+1≤a n且b n+1≥b n。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 7 第七章拾遗 (7.1.1) 闭区间套原理
一元微积分与数学分析—闭区间套原理梅加强南京大学数学系区间套:设{I n}为一列区间,如果I1⊃I2⊃···⊃I n⊃···,则称{I n}为区间套;当I n 均为闭区间时称为闭区间套.区间套:设{I n}为一列区间,如果I1⊃I2⊃···⊃I n⊃···,则称{I n}为区间套;当I n 均为闭区间时称为闭区间套.定理1(Cantor)设{[a n,b n]}为闭区间套.如果lim(b n−a n)=0,则这些闭区间有唯一的公共点.n→∞区间套:设{I n}为一列区间,如果I1⊃I2⊃···⊃I n⊃···,则称{I n}为区间套;当I n 均为闭区间时称为闭区间套.定理1(Cantor)(b n−a n)=0,则这些闭区间有唯一的公共点.设{[a n,b n]}为闭区间套.如果limn→∞证明.由题设可知,{a n}单调递增,{b n}单调递减,它们均位于区间[a1,b1]中,从而为有界数列.这说明{a n}和{b n}都收敛,设其极限分别为α,β.由a n<b n和极限的保序性质可知α≤β.由{a n}和{b n}的单调性可知a n≤α,β≤b n.于是α,β为{[a n,b n]}的公共点.证明(续).注意到0≤β−α≤b n−a n,∀n≥1.(b n−a n)=0即得α=β.如果{[a n,b n]}另有公共点γ,则令n→∞,由limn→∞0≤|γ−α|≤b n−a n,∀n≥1.同理可得γ=α.证明(续).注意到0≤β−α≤b n−a n,∀n≥1.(b n−a n)=0即得α=β.如果{[a n,b n]}另有公共点γ,则令n→∞,由limn→∞0≤|γ−α|≤b n−a n,∀n≥1.同理可得γ=α.注1定理中的闭区间换成开区间时结论一般不再成立,如(0,1)⊃(0,1/2)⊃···⊃(0,1/n)⊃···是开区间套,但这些开区间没有公共点.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集. 可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集. 可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.换句话说,X为可数集是指其元素可以排成一行:X={x1,x2,···,x n,···}.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集. 可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.换句话说,X为可数集是指其元素可以排成一行:X={x1,x2,···,x n,···}.整数集是可数集:Z={0,−1,1,−2,2,···,−n,n,···}.可数集我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集.可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.换句话说,X为可数集是指其元素可以排成一行:X={x1,x2,···,x n,···}.整数集是可数集:Z={0,−1,1,−2,2,···,−n,n,···}.有理数集是可数集:像整数那样,只要能将正有理数排成一行即可.正有理数都可以写成既约分数p/q的形式,其中p,q是互素的正整数.这些既约分数可以按照如下规则排成一行:先按p+q的大小排(按从小到大的顺序排列),当分子分母之和相同时,根据分子的大小按从小到大的顺序排列.这样就可以将正有理数不重复也不遗漏地排成了一列.只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.问题1:是否存在不可数集?只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.问题1:是否存在不可数集?实数集R是不可数集.只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.问题1:是否存在不可数集?实数集R是不可数集.证明.(反证法)实数集是无限集,如果它是可数集,记R={x1,···,x n,···}.将区间[0,1]三等分,必有一个等分区间不含x1,记该区间为[a1,b1].再对[a1,b1]三等分,必有一个等分区间不含x2,记该区间为[a2,b2].如此继续等分[a2,b2]等等,我们就得到闭区间套[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃···⊃[a n,b n]⊃···,使得当n≥1时x n/∈[a n,b n].注意limn→∞(b n−a n)=limn→∞3−n=0,根据闭区间套原理,{[a n,b n]}有一个公共点.此公共点属于R,但又不等于任何一个x n,这就导出了矛盾.定理2(零值定理)设f∈C0[a,b],如果f(a)f(b)≤0,则存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.定理2(零值定理)设f∈C0[a,b],如果f(a)f(b)≤0,则存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.证明.我们用闭区间套原理证明.不妨设f(a)<0,f(b)≥0.将[a,b]二等分,如果f(a+b)/2≥0,则取a1=a,b1=(a+b)/2;如果f(a+b)/2<0,则取a1=(a+b)/2,b1=b.再将[a1,b1]二等分,用[a2,b2]表示满足f(a2)<0,f(b2)≥0的那一半小区间.如此继续,可得闭区间套{[a n,b n]},使得f(a n)<0,f(b n)≥0总成立.注意到b n−a n=2−n(b−a)趋于零,由闭区间套原理,存在ξ∈[a,b],使得{a n}和{b n}均收敛于ξ.由f连续可得0≥limn→∞f(a n)=f(ξ)=limn→∞f(b n)≥0,这说明f(ξ)=0.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.如果A的补集是开集,则称A为闭集.注意:一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如有理数集就是如此.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.如果A的补集是开集,则称A为闭集.注意:一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如有理数集就是如此.例1设A既是开集,又是闭集,则A=∅或A=R.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.如果A的补集是开集,则称A为闭集.注意:一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如有理数集就是如此.例1设A既是开集,又是闭集,则A=∅或A=R.证明.定义函数f(x)如下:当x∈A时,f(x)=1;当x/∈A时f(x)=−1.由已知条件可知A和补集A c都是开集,因此f是连续函数(因为它是局部常值的).由零值定理即知f≡−1或f≡1.即A=∅或A=R.定理3(Baire纲定理)设{A n}为一列闭集,如果每一个A n都没有内点,则 ∞n=1A n也没有内点.定理3(Baire 纲定理)设{A n }为一列闭集,如果每一个A n 都没有内点,则 ∞n =1A n 也没有内点.证明.我们用闭区间套原理来证.(反证法)设a 为A = ∞n =1A n 的内点,则存在δ>0,使得(a −δ,a +δ)⊂A .根据已知条件,A 1没有内点,因此存在a 1∈(a −δ,a +δ)∩A c 1.又由A 1为闭集可知(a −δ,a +δ)∩A c 1为开集.因此存在δ1>0,使得(a 1−δ1,a 1+δ1)⊂(a −δ,a +δ)∩A c 1.记I 1=[a 1−δ1/2,a 1+δ1/2].又因为A 2没有内点,重复刚才的论证可知存在a 2∈A c 2,δ2>0,使得(a 2−δ2,a 2+δ2)⊂(a 1−δ1/2,a 1+δ1/2)∩A c 2.记I 2=[a 2−δ2/2,a 2+δ2/2],则I 2⊂I 1,|I 2|=δ2≤δ1/2=|I 1|/2.证明(续).重复上述论证过程可得一列闭区间套{I n},使得|I n|→0(n→∞)且I n⊂A c n,∀n≥1.根据闭区间套原理,{I n}有公共点ξ∈(a−δ,a+δ)⊂A.然而,ξ不属于任何A n,这就导出了矛盾.证明(续).重复上述论证过程可得一列闭区间套{I n},使得|I n|→0(n→∞)且I n⊂A c n,∀n≥1.根据闭区间套原理,{I n}有公共点ξ∈(a−δ,a+δ)⊂A.然而,ξ不属于任何A n,这就导出了矛盾.思考问题2:是否存在某个函数,使得其间断点集恰为无理数集?证明(续).重复上述论证过程可得一列闭区间套{I n},使得|I n|→0(n→∞)且I n⊂A c n,∀n≥1.根据闭区间套原理,{I n}有公共点ξ∈(a−δ,a+δ)⊂A.然而,ξ不属于任何A n,这就导出了矛盾.思考问题2:是否存在某个函数,使得其间断点集恰为无理数集?提示:间断点集可以表示为一列闭集的并.。
n维欧氏空间中的点集
xk M 。
收敛点列必为有界点集
3. 点列的收敛满足线性性；
4. 若 xk 收敛于 a, 则它的任意子列也收敛于 a.
2009年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
9
5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列.
See P.3 定理1.3, Bolzano-Weierstrass定理 定义 如果对n维欧氏空间中的点列 { xk }，若
2009年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
20
Rn中的有界集和紧集
定义 设 A 是 R n 中 的 一 个 点 集 ， 若 M 0 ， x M , x A， 则称 A是有界集， 否则称为无界集。
定义 设 A是 R n 中的一个点集， 若 A是有界闭集， 则A 称为紧集。
See P.9定义1.6
2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
点列的极限 (I) e-N式定义：
若 xk k 1 为 n 维向量空间 Rn 中一个点列， 点 a R n ,若e 0, N N ， k N，有 ( xk , a ) e , 则称该点列收敛于 a，记作 lim xk a . k
定义(连通集)— 如果对于点集A 内任何两点， 都可用折线连结起来，且该 折线上的点都属于 A , 称之．
2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 21
开域、闭域、区域
See P.9定义1.7
开域——若非空开集 A 具有连通性, 即 A中任意两 点之间都可用一条完全含于A的有限折线相连接,
南京航空航天大学 理学院 数学系
2
1. n维Euclid欧氏空间
See P.2
所有 n 元有序实数组( x1 , x2 , , xn ) 的全体所构成的 集合 Rn 按照以下定义的加法和数乘运算：
解析高考数学中的区间套定理及应用
解析高考数学中的区间套定理及应用高考中的数学学科不仅是考试中的一个科目，更是学生学习中的核心学科之一。
其中，区间套定理是高考数学中的重要概念之一。
本文将深入解析区间套定理及其应用。
一、区间套定理的定义区间套定理是指，当一个闭区间序列{l_n}满足两个条件时，其中必存在一个实数c，该实数同时位于所有的闭区间中。
1.所有闭区间长度收敛于02.所有闭区间互相包含，即若i<j，则l_i包含于l_j中。
该定理看似无趣，但实际上应用广泛。
在高等数学和实分析中，区间套定理被用作连续函数和序列极限的证明。
二、区间套定理的应用1. 證明收緊性定理收缩映射定理是指，对于一个收缩映射f，如果有一个不动点，那么这个不动点是唯一的。
根据区间套定理，我们可以证明收缩映射定理的原理。
假设我们要证明该定理，我们可以选择一个初始点c，并通过递归地应用收缩映射f来构建一个闭区间序列。
由于该序列必须互相包含且长度必须趋于零，因此我们知道该序列收敛到一个不动点。
同时，由于f是一个收缩映射，它必须收缩区间的长度，并将其映射到自身上，从而满足定理的条件。
2. 证明序列的极限另一个区间套定理的应用是证明序列的极限。
如果我们有一个收敛的序列{a_n}，则我们可以构建一个闭区间序列{[a_n, a_n+1]}。
由于{a_n}收敛，我们知道该闭区间序列的长度趋向于零。
根据区间套定理，我们也知道存在一个实数c，它同时包含于所有闭区间中。
此时，我们可以推断出该实数c即为该序列的极限。
3. 求解方程区间套定理还可用于求解方程。
如果我们要解一个方程f(x) = 0，我们可以选择两个不同的实数a和b，然后构建一个闭区间序列{[a, b]}。
我们接下来计算出f(c)的值，其中c是该闭区间的中间点。
如果f(c)为0，则我们已经找到了方程的解。
否则，我们可以根据f(c)的符号和中间点c的位置递归地选择一个新的子区间。
我们不断重复这一过程，直到我们找到一个f(c) = 0的解。
§1.4 Rn中的点集
心, 以 r 为半径的开球.
定理 2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质:
(i). 空集 ∅ 和全空间 R n 是开集.
(ii). 任意个开集的并集是开集. (iii). 有限个开集的交集是开集.
证明
(i) 是 显 然 的 . 往 证 (ii). 设 { At , t ∈ T } 是 X 中 的 任 意 一 族 开 集 . 任 取
n n n
n
R n = {x = ( x1 ,
对任意 x = ( x1 ,
, x n ) : x1 ,
, x n ∈ R1 }.
, xn ) ∈ R n , 令 x = x12 +
(
2 2 xn .
)
1
称 x 为 x 的范数. 注意若 x∈ R ,
1
则 x 就 是 x 的 绝 对 值 . 设 x = ( x1 ,
, k . 令 ε = min{d ( x 0 , xi ), i = 1,
c c
k}, 则 ε > 0. 由 ε 的取法
c
知道 U ( x0 , ε ) ∩ A = ∅ , 即 U ( x 0 , ε ) ⊂ A . 因此 x0 是 A 的内点. 所以 A 是开集. 充 分 性 . 设 A 为 开 集 . 则 对 任 意 x0 ∈ A , 存 在 x0 的 一 个 邻 域 U ( x0 , ε ), 使 得
∞
n
= {0} 不是开集.
聚点与闭集 定义 3 设 A 是 R 的子集. (1). 设 x0 ∈ R . 若对任意 ε > 0 , U ( x 0 , ε ) 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 x0 为 A
n n
的一个聚点(图 4—1 中的 x1 ). (2). 由 A 的聚点的的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A′. (3). 若 A′ ⊂ A, 则称 A 为闭集. (4). 集 A ∪ A′ 称为 A 的闭包, 记为 A. 例 如 , 每 个 有 界 或 无 穷 闭 区 间 [a, b], (−∞, a ], [a, + ∞) 都 是 直 线 R 上 的 闭 集 . 若
数学分析ch11-1Euclid空间上的基本定理
由此得到： Rn 上的点集 S 为开集的充分必要条件是 Sc 是闭集。
引理 11.1.1（De Morgan 公式）设{S } 是 Rn 中的一组（有限或 无限多个）子集，则
lim xk
k
=
a
的充分必要条件是
lim
k
xik
ai
(i
1,2,, n) 。
我们已知 R 中收敛数列的一些性质，如极限的唯一性、收敛数列 的有界性、保序性、夹逼性以及四则运算法则等等，由于在高维空间 中两个点之间不存在大小关系，因此保序性和夹逼性这两个与比较大 小有关的性质已不再有意义了。
lim xk = a。
k
一个点列不收敛就称其发散。
记 xk
(
x1k
,
x
k 2
,,
xnk
)
(k 1,2,) ，a = (a1, a2 ,, an ) ，利用不等式
x
k j
aj
≤
|
xk
a|
可以得到
n
n
(xik ai )2 ≤ | xik ai |,
i 1
i 1
j 1,2,, n
定理 11.1.2
存在点列{xk}满足 xk S， xk ≠ x （ k 1,2,），使得
lim
k
xk
=x 。
证明略。
定义 11.1.5 设 S 是 Rn 上的点集。若 S 中的每一个点都是它的 内点，则称 S 为开集；若 S 中包含了它的所有的聚点，则称 S 为闭 集。
区间套定理
区间套定理
间隔囊括定理（Interval Enclosure Theorem）是物理学、中等物理学及数学中的
一个重要定理，它主要是用来说明由几何点之间构成的空间中有限几何元素（差分）之间
的紧密关系。
这个定理也经常在形状分析、空间测量、应用数学和图像处理等方面被用来
寻找最优的解决方案。
间隔囊括定理的基本结构如下：定义一个几何元素（或差分）在数学中，这意味着一
组关系式必须满足，使得指定的一组空间元素（差分）能够从这组关系式中得到精确定位。
定理则规定，当这组空间元素（差分）满足一定的条件时，它们能够相对定位，在matrix 仿射空间（matrix affine spaces）中能够正确的拓扑关系。
在形状分析技术（shape analysis techniques）中，间隔囊括定理常常被用来构建
诸如差分元素之等的几何结构，从而完成形状描述的几何分析（geometric analysis）。
它也能够把原因和结果之间的数学关系全部展示出来，从而更全面的了解它们之间的关系。
此外，间隔囊括定理还可以应用于空间测量，使得多个差分元素能够更精确的定位于
空间中。
它还可以根据诸如差分平面之类的几何元素来构建几何学模型，这样，就能够了
解到其量化模型能够正确处理数据，使得更精确的定位结果得以可视化显示出来。
总而言之，间隔囊括定理还可以用于图像处理，通过构建分析模型，来更精准的定位
图像中的空间参数，从而实现更好的图像分析效果。
它也能够分析几何学模型中的数学关系，以最优的方式处理数据。
数学分析区间套定理 聚点定理及应用
1 n
，易
见
lim
n
xn
。
2、聚点定理及证明：给出聚点定理并用区间套定理加以证明 教师板书 定理 2 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集 S 至 少有一个聚点．
证 因 S 为有界点集，故存在 M 0 ，使得 S M , M ，记 a1,b1 M , M
现在证明数 就是数列 an 的极限．事实上，由定理 7.1 的推论，对任给的 0 ，
存在 N 0 ，使得当 n N 时有
n , n U (; )
因此在U (; ) 内除有限外的所有项，这就证得
lim
n
an
．
四. 聚点与聚点定理
1、聚点的定义
现将 a1,b1 等分为两个子区间．因 S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个
含有 S 中无穷多个点，记此子区间为 a2 ,b2 ，则 a1,b1 a2 ,b2 且
b2
a2
1 2
b1
a1
M
再将 a2 ,b2 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有 S 中无穷多个点，
复习 定理证明与例题
123
聚点定理
讲授新拓展内容
课后总结
说明区间套定理与聚点定理的作用
系主任
年
月
日
教学过程全设计与教学内容 教学内容
备注
一、复习柯西收敛准则，单调有界原理与致密性定理，请同学回答，教师只板书单
调有界原理；
区间套定理与聚点定理（板书）
二．区间套与区间套定理
1. 首先，开门见山给出区间套的定义： 教师板书；
欧几里德空间与内积空间
欧几里德空间与内积空间欧几里德空间与内积空间是数学中重要的概念，它们在几何学和线性代数中有广泛的应用。
本文将就欧几里德空间和内积空间的定义、性质以及它们之间的关系展开论述。
一、欧几里德空间欧几里德空间是指具有欧几里德度量的实数向量空间，常用的例子是n维实向量空间Rn。
在欧几里德空间中，我们可以定义向量的长度、角度等概念。
1. 定义：设V是一个实数向量空间，如果对于任意的两个向量x和y都可以定义它们之间的距离||x-y||，并满足以下性质：- 非负性：对于所有的x和y，有||x-y||≥0，且当且仅当x=y时，等号成立。
- 同一性：对于所有的x和y，有||x-y||=||y-x||。
- 三角不等式：对于所有的x、y和z，有||x-y||+||y-z||≥||x-z||。
2. 性质：欧几里德空间具有以下性质：- 每个向量x的长度||x||≥0，且当且仅当x=0时，等号成立。
- 对于任意的标量c和向量x，有||cx||=|c|·||x||。
- 欧几里德空间中任意两个向量的内积可以通过向量的长度及其夹角来表示，即x·y=||x||·||y||·cosθ。
二、内积空间内积空间是指具有内积运算的向量空间，它是欧几里德空间的推广。
内积空间中，我们可以定义向量之间的内积、正交性等概念。
1. 定义：设V是一个实数向量空间，如果对于任意的两个向量x和y都可以定义它们之间的内积(x, y)，并满足以下性质：- 非负性：对于所有的x，有(x, x)≥0，且当且仅当x=0时，等号成立。
- 同一性：对于所有的x和y，有(x, y)=(y, x)。
- 线性性：对于任意的标量c和向量x、y、z，有(c·x, y)=c·(x, y)和(x+z, y)=(x, y)+(z, y)。
2. 例子：常用的内积空间包括实数向量空间Rn和复数向量空间Cn。
在Rn中，向量的内积定义为(x, y)=x1y1+x2y2+...+xnyn；在Cn中，向量的内积定义为(x, y)=x1y1*+x2y2*+...+xnyn*。
区间套定理通俗理解
区间套定理通俗理解
区间套定理是数学中的一个重要定理，它在解决一些重要问题时起到了关键作用。
这个定理的内容可以用通俗易懂的语言来描述。
区间套定理指出，如果有一系列的闭区间[a1,b1]，[a2,b2]，
[a3,b3]......满足以下两个条件：
1.每个区间都包含在前一个区间内（即对于任意n>=2，都有an-
1<=an<=bn<=bn-1）；
2.每个区间的长度趋于零（即对于任意n>=1，都有bn-an趋近于0）。
那么这些区间所包含的唯一点就是一个单点。
换句话说，如果我们不断缩小一个闭区间序列，并且这些闭区间之间存在包含关系，那么最终这些闭区间所包含的唯一点就是一个单点。
这个定理在实际应用中非常有用。
例如，在证明柯西收敛准则时就需要使用到它。
此外，在数学分析、拓扑学、概率论等领域中也经常会涉及到该定理。
总之，区间套定理是数学中一个非常重要的定理，它告诉我们，在某些条件下缩小闭区间序列所得到的唯一点是一个单点，这个定理在解决一些重要问题时起到了关键作用。
r—n定理及有关问题
r—n定理及有关问题Rn定理是一个重要的数学定理，由德国数学家Karl Rn发现的。
在数学中，有历史悠久的内容，Rn定理又添加一个珍品。
Rn定理的发明使得数学家得以更进一步理解非线性系统的特征，研究非线性系统的性质，提供了一个新的研究旋律，数学家可以从这一研究入手来进一步深入其他更加复杂的非线性系统。
Rn定理说明，任何系统可以用数学表达式描述，普通微分方程形式如下：$y=f(x,y)$其中，$y(x)$ $x$函数，$f(x,y)$ $x$ $y$函数。
Rn定理指出，只要微分方程有单调性，即，函数 $f(x,y)$用变量 $x$变量 $y$表达，它就可以解决出 $y(x)$解析形式，其中，$y(x)$为定积分。
Rn定理的另一个重要的特性是，只要微分方程有可解性，不管它有多么复杂，它都可以通过Rn定理求出解析形式。
这样，Rn定理具有鲜明的实用性，可以用来解决大量的问题，如天文学、流体力学等。
Rn定理已经极大地方便了现代数学的研究，为数学应用的发展提供了重要的支持，其最大的用处之一就是可以用Rn定理来求解非线性泛函方程，以解决许多非线性系统的复杂性。
Rn定理可以用来求解一定的非线性系统的最优解，如数学优化问题。
另外，Rn定理也可以用来求解非线性微分方程组，以及非线性系统在给定条件下收敛到特定状态的模拟计算等。
Rn定理在推动数学发展中起着很重要的作用，其实，数学正在不断发展，得到应用。
Rn定理可以用来研究非线性系统，它可以帮助我们更深入地理解复杂的系统，揭示它们的动态变化规律，进而更好地研究它们的性质。
总之，Rn定理是一个重要的数学定理，它有助于深入地理解复杂的非线性系统和机制，能提供一种新的研究方向，为数学研究开辟了新的道路。
Rn的完备性定理
我们知道柯西收敛准则、闭区间套定理、致密性定理、以及聚点定理,在讨论一元函数的性质时起到重要作用. 为讨论多元函数的性质, 我们需要将以上几个定理推广到n维欧几里得空间.12,,,np p p nR 中按正整数顺序排列的一串点定义1{},.n k R p 称为中的点列记为{}.n nk p R p R ∈设为中的点列,定义20,,,N N k N ε+∀>∃∈∀>若,(,),k k p p p U p εε-<∈有即,p 且极限是记为lim .k k p p →∞={},n k p p R ∈若点列不存在极限,即对任意的{}.k p 则称点列发散{},{}k k p p p 则称点列收敛于或点列存在极限,{},k p p 都不是点列的极限{}()()()12(,,,)n k k k k k n p R p x x x = 设为中的点列,其中,12(,,,).n p x x x = 定理1lim k k p p →∞=则的充分必要条件是()lim ,1,2,,.k i i k x x i n →∞==证明:lim ,k k p p →∞=设必要性0,,,N N k N ε+∀>∃∈∀>则有()21().n k k i i i p p xx ε=-=-<∑从而(),1,2,,.k i i k xx p p i n ε-≤-<= ()lim ,1,2,,.k i i k x x i n →∞== 所以lim .k k p p →∞=因此充分性0,,,N N k N ε+∀>∃∈∀>则有()21().n k k i i i p p xx ε=-=-<∑从而(),1,2,,.k i i x x i n n ε-<= ()lim ,1,2,,,k i i k x x i n →∞== 设nR 这说明中的点列收敛等价于按坐标收敛.n R 中收敛点列的极限是唯一的.推论1{}n k R p 若中的点列的点所组成{:}.k p k N 的集合是有界集n R 中的收敛点列是有界点列.推论2{}nk p R 称为中的一个有界点列.{}n k p R 设是中的点列.定义30,,,,N N m k N ε+∀>∃∈∀>若,{}.m k k p p p ε-<有则称为柯西列{}nk R p 中的点列收敛的充分必要条件定理2(柯西收敛准则){}.k p 是为柯西列证明:{},nk R p p 设中的点列收敛于点必要性0,,,N N k m N ε+∀>∃∈∀>则，有,.22k m p p p p εε-<-<由距离的三角不等式,,,m k N ∀>有.22m k m k p p p p p p εεε-≤-+-<+={}.k p 因此,是柯西列{}()()()12,(,,,),1,2,.k k k n k k n p p x x x R k =∈= 设为柯西列并设充分性于是有{}()(1,2,,)k i x i n = 因此满足数列的柯西收敛准则,lim ,1,2,,.ki i k x x i n →∞== 设0,,,,N N m k N ε+∀>∃∈∀>则有()()21().nm k m k i i i p p xx ε=-=-<∑()(),1,2,,.m k i i m k x x p p i n ε-≤-<= {}()(1,2,,).k i x i n = 知数列收敛lim .k k p p →∞=则12(,,,).n p x x x = 令,{}.k p 因此点列收敛{}2k D R 设是中的闭矩形列,其中1(1),1,2,,;k k D D k n +⊃= (2)lim ()0.k k diam D →∞=21,.k k p R p D∞=∈∈ 则存在唯一的一点使得定理3( 闭矩形套定理)={(,):,},k n n n n D x y a x b c y d k N +≤≤≤≤∈.{}k D 若满足下列条件:n R 中的任一有界点列都存在收敛的子点列.证明:()()()12{},(,,,),1,2,.n k k k n k k n p R p x x x R k =∈= 设是中的一个有界点列其中定理4(致密性定理)()()()12{}{},{},,{},1,2,.k k k k n p n x x x k = 的坐标组成个数列.n 那么这个数列都是有界的1()()111{},{},{}{}k k x xk k 则存在收敛的子列记为这里为正整数列的某个子列.12()()22{},,{}.k k x x又是有界的故又存在收敛的子列记为22()()12{}{}k k x x 于是与都是收敛的.()()()112,{}{}{},{},,{}n n n k k k n n n k k x x x 依次类推最后我们找到的子列,使得都收敛,()()()12{}{},{},,{}n n n n k k k k n p n x x x 即点列的坐标所组成的个数列都收敛.{}n n k R p 而中的点列收敛等价于按坐标收敛,故收敛.{}{}n k k p p 因此,点列存在一个收敛的子列.定理5(聚点定理)n R 中的任意有界无限点集至少有一个聚点.。
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引理 （柯西准则） 空间点列｛ 收敛的充分必要条件是： 任意给定正数!， 必存在正整数 $ ， # "｝ 使得当 ""$ 时， 对于一切自然数 % 都有" （# ）! # ( "， "’ % # 定义 对于两个有界区域 &， 设 (， 则称 ’， $ 分别是其边界上的任意一点， （&， （( ， # ’） )* + , $） " 为这两个有界区域之间的距离。
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第7卷第"期
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［ ］ 陈宗铎， 陈 娓+再谈区间套定理及其应用 ［ ］ " 4 +长沙大学学报+ ! # # # + & ［ ］ 华东师范大学数学系+数学分析 （第二版） ［9］ 高等教育出版社， ! +北京： " 6 6 " +
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［ ］ 孙 " 哲+ ［ ］ （自然科学版） ， ： ( 多项式、 ( .多项式与 , . / 0 1 2 2 3多项式 4 +兰州大学学报 ! # # # % 5 ! 5 6 ! ! 7 & +
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定理中的闭区域对应于 - 中的闭区间， 于是前述闭区域套定理这时候就对应于 - 中就是开区间， 实数域 - 中的闭区间套定理， 前述开区域套定理这时候就对应于由文献 ［ ］ 的实数域 - 中的开区 " 间套定理。这时开区域套定理在 - 中还可表述为： 若开区间列｛ （ ｝ 满足下面三个条件 3 4 #， #） （ ） （ （ ， ， ， ， … " 3 4 ’ 3 4 #) " ! % #， #） #’ "， #’ "） （ ） ｛ （ （ ， ｝ ， ， ， ， … ! 8 3 / 3 3 4 4 ) # #) " ! % #’ "* #） #* #’ "） （ ） （ % 2 3 8 4 3 ) # #* #）
% ! 方法与技巧
高等数学研究 1 2 3 4 5 6 1 5 78 $ 9 9 6 : 6; < 2 = 6 ; < 2 5 8 1
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则存在唯一的点 # ， ， ， … ") % . ( #&) "，
) 证明 对有界开域列 ｛ ， 它们对应的闭域列为 ｛ ， 其中) （下转) ) ) &页） "｝ "｝ " 为) " 加上其边界。
Rn空间的区域套定理
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 张伟， 许宏伟 郑州航空工业管理学院,郑州,450005 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2004，7(1) 2次
参考文献(2条) 1.陈宗铎.陈娓 再谈区间套定理及其应用 2000(04) 2.华东师范大学数学系 数学分析 1991
引证文献(2条) 1.李响.李春明 闭区间套定理的延伸[期刊论文]-齐齐哈尔大学学报（自然科学版） 2008(4) 2.魏静 区间套定理的推广和应用技巧[期刊论文]-喀什师范学院学报 2008(3)
本文链接：/Periodical_gdsxyj200401005.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：e8a46680-121e-4f99-a5da-9dca01076c18 下载时间：2010年8月6日
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（ ） 式的证明： 我们用微分积分法证明更一般的公式— — —幂和多项式积分递推公式 % （)） （ ）* , （ （ ）*） ） ( "$’ ( ) （ ’ ## %’ ( ’ ’ "*+ ’ "*+ $ $
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