有限单元法第十章
《弹性力学问题的有限单元法》
《弹性力学问题的有限单元法》弹性力学问题的有限单元法（FiniteElementMethod，简称FEM）是一种经典的多学科跨领域的计算方法，它用于估算连续体结构中非线性材料力学性能，如强度、刚度和破坏。
有限单元法已成为工程和材料科学中最重要的数值计算方法，可用于解决各种复杂多学科优化和设计问题。
有限单元法的基本思想是把复杂的连续体结构划分成许多小的、较容易处理的有限元素，而不是像一般的解析方法那样求取整体的解析解。
基于有限元素重要的性质，即小元素经过一系列的连接后就可以构成整个结构的模型，有限单元法的本质是数值分析，也就是根据模型的物理知识，选择有效的数值化方法，用数值计算的方法求解所要求的结果，从而使这些数值计算结果符合实际结构物理知识。
有限单元法是一种有效计算弹性力学问题的方法，它可以用来求解任意形状的结构问题，无论是有边界条件还是无边界条件，无论是线性或者非线性的形状变化，有限单元法都能够有效地应用。
其优势在于以节省计算时间和消耗的成本，在特殊的材料条件下，它可以比较快速地获得弹性力学问题的有效精确解。
其精度依赖于计算模型元素的类型、形状和几何尺寸等，因此通常需要调节元素的类型、形状和尺寸，以满足计算需要。
在计算机技术的发展下，有限单元法的计算能力越来越强大，可以对更多的复杂问题进行分析，可以更有效地解决工程设计中的实际问题。
由于计算机可以模拟各种变形和应力的变化，因此有限单元法可以为工程设计和材料研究提供更可靠的结果。
有限单元法在工程应用中的实际作用是显而易见的。
它不仅可以用来计算弹性结构中的材料力学特性，还可以分析复杂结构的动态响应。
此外，有限单元法还可以用来计算弹性结构中的表面张力、刚度，以及各种材料的裂缝扩展。
通过有限单元法的应用，可以获得有效的数值结果，从而提高设计效果和工程安全性。
因此，有限单元法对于材料科学和工程设计都具有重要价值，今后还将发挥更多的功能。
有限单元法是多学科跨学科的计算方法，它可以用来有效地分析复杂形状结构的力学特性，计算出精确的结果，从而提高工程设计的效果和安全性。
地球物理中的有限单元法
地球物理算法技术（论文）地球物理中的有限单元法院系:地球物理与信息技术院姓名:刘雅宁学号:2010120053任课老师:张贵宾地球物理中的有限单元法一、有限单元法的介绍在地球物理理论计算中，存在着两类基本问题：正问题和反问题。
给定场源的分布，求解场值的大小，这是正问题，或者称为正演问题。
地球物理正演的数值计算方法，种类很多，最常用的有：有限差分法和有限单元法。
有限单元法是50年代首先在弹性力学中发展起来的方法。
主要优点是，适用于物性参数复杂分布的区域，但计算量大。
随着计算机技术的发展，有限单元法在解决各个工程领域的许多数学物理问题中，得到了广泛的应用，称为一种高效、通用的计算方法。
地球物理中的一些边值问题，也采用了有限单元法，解决了许多从前无法计算的地球物理问题。
有限单元法解决数学物理边值问题的基本思路和过程如下：1、给出地球物理边值问题中的偏微分方程和边界条件（及初始条件）。
这一点看起来似乎容易，但做起来并不容易，特别是边界条件的给定。
只有对地球物理方法的原理和问题有深入的理解，才能给边值问题中的偏微分方程和边界条件以正确的描述。
2、将地球物理边值问题转变为有限元方程。
实现这种转变的主要数学工具是变分法，用变分法得到的有限元法方程称为泛函极值问题。
3、用优先单元法解决泛函极值问题其步骤大致如下：把研究区域剖分成有限个小单元，在每个单元上，把函数简化成线性函数、二次函数或高次函数，这称为单元上函数的插值。
用简化后的函数计算每个单元上的泛函。
各单元之间，通过单元间节点上的函数值相互联系起来。
对各单元的泛函求和，获得整个区域上的泛函。
这样，有限单元法将连续函数的泛函，离散成各单元节点上函数值得泛函。
根据泛函取极值的条件，得到各节点的函数值应满足的线性代数方程组。
解代数方程组，得到各节点的函数值。
有限单元法的主要优点是，适用于物性复杂分布的地球物理问题，而且，其解题过程也比较规范化。
这些优点是有限单元法在地球物理中获得广泛的应用。
有限单元法
有限单元法人们常说：“教学有法，教无定法。
”的确，要提高语文课堂教学的质量，要提高学生的语文素养，教师不能一味地把知识灌输给学生，而应该为学生营造轻松、自主、开放的课堂氛围，从而提高学生的学习兴趣。
如何将课堂活动落到实处？语文老师们苦思冥想，找出了许多种教学方法，但这些教学方法都存在一个共同的问题：一节课下来，学生的知识似乎没有增加多少，他们好像只懂得了听讲，对知识点不求甚解，效果可见不佳。
那么怎样才能让学生在有限的时间内既扎实基础又培养能力呢？有限单元法可以助你一臂之力。
这就是有限单元法。
在上《夏天里的成长》这篇课文时，我把全班分成了三组，每一组负责查阅《大自然的语言》《夏天里的成长》和《童年的水墨画》三篇课文。
每个小组安排一名组员负责摘抄三篇课文中具有代表性的段落，并把它们进行分类整理，写出自己的感受。
这一环节引导学生在课外对课文进行深入地了解，发挥了课本学习的延伸作用。
《夏天里的成长》一课中，安排了三次关于“蝉鸣”的交流讨论，我告诉学生“不同的季节会听到不同的蝉声，我们所熟悉的蝉声就来自这个春天……”“请大家拿出各自的工具书，通过字典或百度来了解一下‘蝉’这个字的含义。
”“‘鸣’的古意是什么？”通过交流与探讨，同学们纷纷表示会收集“鸣”的资料，丰富自己的知识。
整个过程轻松愉快，活跃了课堂气氛，培养了学生读书的好习惯。
除了这些，我还用了有限单元法设计了“一石激起千层浪”这一环节，精心创设教学情境，使学生置身于具体的情境之中，受到熏陶，得到启迪。
在交流讨论时，有同学提出“有的蝉是好几年才叫一次的，一辈子就叫一回，也有的蝉在一年中的不同时候都叫……那么蝉为什么叫的次数不同呢？”面对这样的问题，我们没有急于给出答案，而是鼓励学生继续查阅资料，多思考，相信他们肯定会带着这个问题走进下一课。
这一环节的设计巧妙利用了网络资源，拓宽了学生的视野，开阔了学生的思路，学生仿佛一下子解开了心中的疑惑，收获良多。
有限单元法智慧树知到课后章节答案2023年下山东科技大学
有限单元法智慧树知到课后章节答案2023年下山东科技大学山东科技大学绪论单元测试1.有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”。
( )A:错 B:对答案:对第一章测试1.下列属于平面应力问题的是（）。
A:挡土墙 B:受内水压力作用的圆管 C:平板坝的平板支墩 D:重力水坝答案:平板坝的平板支墩2.平衡方程研究的是（）之间关系的方程式。
A:应力和位移 B:应力和应变 C:应变和位移 D:应力和体力答案:应力和体力3.弹性力学的边界条件有（）。
A:应力边界条件 B:位移边界条件 C:混合边界条件 D:应变边界条件答案:应力边界条件;位移边界条件;混合边界条件4.弹性力学的基本假定有（）。
A:假设物体是连续的 B:假设物体的变形是很小的 C:假设物体是完全弹性的 D:假设物体内无初应力 E:假设物体是均匀的和各向同性的答案:假设物体是连续的;假设物体的变形是很小的;假设物体是完全弹性的;假设物体内无初应力;假设物体是均匀的和各向同性的5.在体力为常量时，平衡方程、相容方程及应力边界条件中均不含弹性常数E和μ，故我们可以由一种材料替代另一种材料，用平面应力问题替代平面应变问题作实验，得到的应力是完全一样的。
（）A:对 B:错答案:对第二章测试1.一维变带宽存储的存储量（）。
A:与结点编号有关 B:与结点编号和单元编号有关 C:与单元编号有关 D:与存储上三角或者下三角有关答案:与结点编号有关2.应变矩阵与（）。
A:材料参数有关 B:单元几何尺寸和材料参数都有关 C:单元几何尺寸和材料参数都无关 D:单元几何尺寸有关答案:单元几何尺寸有关3.单元刚度矩阵建立了单元的与之间的关系。
（）A:应力，结点位移 B:应力，应变 C:结点力，结点位移 D:应变，结点位移答案:结点力，结点位移4.为了保证有限元解的收敛性，位移函数要满足（）条件。
A:位移函数应能反映单元的常应变状态 B:位移函数应包含刚体位移 C:位移函数在单元内要连续，在单元边界上要协调。
有限单元法
弹塑性有限单元法汽车车体冲压件通常使用弹塑性材料，在冲压过程中，这种材料的变形成形过程非常复杂，一般用刚塑性FEM与弹塑性FEM二种方法来评价整个冲压成形过程。
在刚塑性FEM中，忽略弹性变形，仅将塑性应变作为计算指标。
因此，在冲压成形过程中，当材料放置到模具上因自重产生的弯曲挠度，从模具中取出冲压件厚产生的弹性恢复等材料变形不能进行计算。
因此，有人提出了根据刚塑性FEM的计算结果，再用弹性FEM计算其卸载过程，但是，刚塑性FEM很难正确地预测在冲压过程中产生的缺陷。
弹塑性FEM可以再空间上时间上交替考虑弹性变形与塑性变形，从理论上讲可以正确地描述整个冲压过程，所以弹塑性FEM可以说是评价冲压过程的最好解析方法。
现有的弹塑性FEM，根据其时间积分方法的不同，可分为“静态显函数法”“静态隐函数法”和“动态显函数法”。
讲加速度项加入平衡方程式求解的称为动态，反之，平衡方程式中不包含加速度项的解法称为静态。
隐函数与显函数是常微分方程数值计算方法中的数学用语。
显函数求方程的解不需要反复计算，而隐函数常微分方程求解时需要迭代多次逼近其解。
显函数解法要求增分补偿不能取得太大，解析冲压成形过程需要较多的计算解析次数。
隐函数解法通常可以保证应力平衡方程式成立，因而增分步长可以取得较大些，以减少解析计算次数。
各种弹塑性FEM的优缺点如下：动态显函数法：该方法求解各节点的独立性运动方程以获得节点变形，因而不需要组成刚度矩阵，即使单元划分得再细，节点再多也占用的计算内存较少，并且每一模拟步骤的计算速度也比其他方法快，因此可以计算对象的单元分割得很细。
但是这种方法是用动态的冲击求解变形问题，时间增量需控制在10-6秒以下，要模拟一秒钟的冲压过程，就需要计算10^6次，实际上这种计算方法十分耗时，为减少运算时间，常常将物理意义不十分清楚的衰减项加入到运动过程，人为地将质量附以加权常数以减少模拟计算次数。
此外，即使在方程式中加入了衰减项，应力值还是会发生振动，增加了弹性恢复计算的难度。
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
结构力学课后答案第10章结构动力学
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
结构力学课后答案第10章结构动力学
10-40用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2，材料密度 ＝0.0025kg/cm3；柱子的横截面面积A1=100cm2，惯性矩I1=833.33cm4；梁的横截面面积A2=150cm2，惯性矩I2=2812.50cm4。
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106N·m2，t1＝0.1s，FP0＝8×104N。
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
解：
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
解：
有限单元法原理及应用简明教程
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图2-31 铰接三角形
24
第二章 结构几何构造分析
结构的特征是：当它受载荷作用时会产生微小的 位移， 但位移一旦发生后， 即转变成一几何不变结 构，但结构的内力可能为无限大值或不定值，这样的 结构称为瞬变结构。显然，瞬变结构在工程结构设计 中应尽量避免。
(a) 瞬变结构
(b) 分离体分析 图2-32 瞬变结构
9
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
10
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式 2.5 结构几何不变结构组成规律
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17
第二章 结构几何构造分析
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。
(1) 具有奇数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
2.2.3 结构对称性的利用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析 图2-22对称性利用示意图
(c) 对称性利用
18
第二章 结构几何构造分析
② 对称刚架承受反对称载荷作用
(a) 对称刚架
(b) 变形状态分析 图2-23 反对称性利用示意图
(c) 反对称性利用
19
第二章 结构几何构造分析
(2) 具有偶数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 对称性利用
图2-24对称性利用示意图
规律3 一个几何不变结构（ 或刚体 ）与另一个几 何不变结构（或刚体）用六根即不平行也不相交于同一 条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结构， 且无多余约束。
有限单元法(第十章)
北 工 业 大 将式（10.26）,（10.32）代入式（10.30）， 学 可得一组相互独立的微分方程 土 木 工 （10.34） 程 学 院
第十章 动力分析
10.3 结构动力响应 10.3.1 振型叠加法
河 北 工 业 大 学 土 木 工 程 学 院
（10.17）
其中，ωi称为结构的第i阶固有频率，对应的特 征向量φi称为第i阶固有振型。
第十章 动力分析
10.2 结构固有特性 10.2.2 特征值和特征向量
河 北 工 业 大 学 土 木 工 程 学 院
它们满足方程
（10.18）
显然，如果是广义特征问题的特征向量，乘以 不等于零的常数后仍为特征向量。通常使特征向 量满足
（10.7）
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.3 系数矩阵
河 如果假定阻尼应力正比于应变速度（由于材 北 料内摩擦引起的结构阻尼通常可以简化为这种 工 情况），则可表示为 业 大 于是，根据初应力的等效节点荷载公式（9.50）， 学 可以得到单元阻尼矩阵 土 木 （9.50） 工 程 学 院 （10.11）
河 （3）阻尼力的等效节点荷载 假设阻尼力正比于运动速度，比例常数为α，则 北 工 单元内单位体积上作用的阻尼力可表示为 业 （f） 大 学 阻尼力的等效节点荷载为 （g） 土 木 工 程 其中，Ce阻尼力的等效节点荷载为 学 （10.7） 院
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.2方程的推导
（10.19）
这样规定的特征向量或振型称为正则振型。 将特征解（ωi2,φi）和（ωj2,φj）分别代 回方程（10.15）得到
有限单元法课后习题全部答案_王勖成
是给定函数，w 是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.
= δΠ ( w)
∫
L
0
d 2w d 2w EI 2 δ 2 + kwδ w + qδ wdx dx dx
L
∫
L
0
L d 2 w d 2δ w d 2 w d (δ w) d 3 w d (δ w) − EI = dx EI EI dx 2 2 dx 2 dx 0 ∫0 dx 3 dx dx dx L d 2 w d (δ w) d 3w d 4w = EI 2 − EI 3 δ w + ∫ EI 4 δ wdx 0 dx dx 0 dx dx 0 L L
EI a 2π 2 πx k 2 2 πx π x dx sin 2 + a sin + qa sin 2 ∫0 L 2 L L 2 L EIa 2π 4 kLa 2 2 L qa = + + π 4 L3 4
∂Π EI π 4 a kLa 2 Lq 4qL4 = 3 + + = − 0→a= π ∂a 2L 2 EI π 5 + kπ L4 w= − 4qL4 πx 4qL4 L ， 当 ， sin w x = = − max 2 EI π 5 + kπ L4 L EI π 5 + kπ L4
（2） 选取满足边界条件的幂级数近似解
= x(L − x)(a1 + a2 x + ....) 取一次 w = ax(L − x) w ′ = w dw d 2w ′′ = = aL − 2ax ， w = −2a dx 2 dx
= Π ( w)
第十章拱坝分解
保证坝体承载能力还是存在的。根据国内外拱坝 结构模型试验研究表明，拱坝的超载能力可以 达到设计荷载的5~11倍。
在抗震性能上，由于拱坝是整体性的空间结 构，坝体比较轻韧，弹性较好，只要基岩稳定， 拱坝抗震能力是比较好的。意大利的柯尔费诺拱 坝，高40m，曾遭受破坏性地震，附近市镇的建 筑大都被毁，这个坝却没有裂缝和伤损。我国河 北省邢台地区峡沟水库的浆砌石拱坝，高78m， 在满库情况下曾经受1966年3月的强烈地震，震 后检查坝体，并未发现任何裂缝和损坏。
对于底部狭窄的V形河谷，为了不致降低拱的效 应，宜将各层拱圈的外半径从上到下逐步减小， 使各层拱圈的中心角基本上保持一致。但要使中 心角完全保持一致很难实现，所以在实标工程中 广泛采用上下拱圈的外半径和中心角都不相等的 “变半径、变中心角”式的拱坝坝型。
三、拱坝的泄水方式
拱坝的泄水方式主要有：自由跌流式、鼻坎 挑流式、坝身泄水孔等方式 。
§10-2 拱坝的布置
拱坝布置的任务是结合坝址地形、地质、水 文和施工条件选择坝型，拟定坝体基本尺寸，作 为坝体应力公析的依据。然后反复修改以求得安 全可靠、经济合理的设计方案。
一、拱坝的几何尺寸
现取单位高度的等截面圆拱来说明坝体几何
尺寸的特点。在沿外弧均布的压力p的作用下，设
拱圈厚度为T，外弧拱半径为Ru，拱形中心角为 2φA。假定拱圈两端与河岸的支承条件为滚动支 座，拱圈内部只存在沿拱轴线方向的均轴y为
拱圈的对称轴，沿y轴方向按力的平衡条件可列出
下列平衡方程：
2N sinA
A 0
pRu
cosd
即
N pRu
如坝体的容许应力为 [σ] ，按强度条件 N/A≤[σ]，可得出所需要的拱圈厚度T为：
50.有限单元法(2020版)
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、课程介绍1.课程描述（中英文）：有限单元法是土木工程等专业的一门重要的专业课。
有限单元法是偏微分方程的一种数值解法，随着有限元软件的普及和应用，已经成为各种结构设计的基本工具；有限单元法中大量创造性的思想方法，如等参元、变分原理、数值积分、数据管理等对诸多学科都有借鉴意义。
通过本课程的学习、问题讨论和分析实践，可使学生掌握解决工程问题的思路和方法，提高分析问题和解决问题的能力，并为应用有限元分析软件包解决实际问题奠定基础。
Finite Element Method is an important professional course for civil engineering and other majors. The finite element method is a numerical method for partial differential equations. With the popularization and application of finite element software, it has become a basic tool for various structural designs. A large number of creative ideas and methods emerging from the finite element method, such as isoparametric element and variational principle, numerical integration, data management, etc. can be used for reference to many disciplines. Through the study, problem discussion and practical analysis, students can master the ideas and methods for solving engineering problems, improve their ability to analyze and solve- 5 -problems, and lay a foundation for solving practical problems with finite element analysis software package.2.设计思路：根据有限单元法课程的特点，本课程以课堂讲授为主，结合大量的课下作业和上机实践，使学生掌握有限单元法的基本原理和方法，并能够使用有限元软件对简单的杆系结构和连续体结构进行力学分析。
有限单元法原理及应用简明教程
(a) 变形状态分析
(b) 对称性利用
图2-24对称性利用示意图
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第二章 结构几何构造分析
② 反对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 反对称性状态分析
(c) 反对称性受力分析
(d) 反对称性利用
图2-25对称性利用示意图
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第二章 结构几何构造分析
2.3 结构几何构造分析的自由度与约束
(1) 自由度
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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第二章 结构几何构造分析
② 对称刚架承受反对称载荷作用
(a) 对称刚架
(b) 变形状态分析
(c) 反对称性利用
图2-23 反对称性利用示意图
19
第二章 结构几何构造分析
(2) 具有偶数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
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第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
按图2-37(c)所示，可把基础及在基础上增加的由支 座链杆①、②组成的二元体一起看成刚片Ш，并选基本 三角形BCE 为刚片Ⅱ， 杆件DF为刚片Ⅰ， 则三刚片间 的相互联接关系如下:
刚片Ⅰ和Ⅱ间用杆件DB、FE相联，虚铰位置在此 二平行杆件延长线的无穷远处；
30
有限单元法
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
有限单元法
线性、二次和三次单元 Plate element
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单元划分原则 •误差与单元尺寸成正比
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•误差与单元单元最小内角正弦成反比
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•分界线处单元划分
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•载荷分布
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网格疏密
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•凹槽，孔
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逐步加密
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§4.2.3 单元分析
单元分析的主要内容： ➢ 由节点位移求单元内部任一点的位移。 ➢ 根据几何方程，任一点的位移对坐标求偏导得到该
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例如当气流流过一个很高的铁塔时就会使 铁塔产生变形,而塔的变形又反过来影响到 气流的流动……这就需要用固体力学和流 体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解, 即所谓"流固耦合"的问题。
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•增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高
效率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的 逐步完善,尤其是计算机运算速度的飞速发展,整个计 算系统用于求解运算的时间越来越少,而数据准备和 运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工程工作 站上,求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要 用几十分钟。
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在国内，我国数学家冯康独立于西方提出了有限 元法。1965年，他发表论文《基于变分原理的差 分格式》，标志着有限元法在我国的诞生。冯康 的这篇文章不但提出了有限元法，而且初步发展 了有限元法。他得出了有限元法在特定条件下的 表达式，独创了“冯氏大定理”并且初步证明了 有限元法解的收敛性。虽然冯康创造的有限元法 不成熟，但他能在当时的条件下独立提出有限元 法已十分不易。对于他的这项成就，国内外专家 学者和国家领导人都有很高的评价。
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复习题
10.8如何利用一个单元模型对K 非奇异性和s K 奇异性进行估计？为什么说仅是
估计？两种情况下，一个单元的模型有何区别？为什么？
解：由于不可能事先规定单元数和自由度数，常采用如下公式：
K 非奇异性b b s s e n d n d N +≥——○1
s K 奇异性s s
n d j <或1s s j r n d =>——○2
e N
一个单元仅给予刚体运动约束后的自由度数。
j 在已形成部分网格的基础上再增加一个单元所增加的自由度数。
r
奇异性指标，r 越大表示s K 的奇异性越高。
○1式不是K 非奇异性的必要条件，也不是充分条件；○2不是s
K 奇异性的充分条件，因为具有不同网格和边界约束情况的实际系统的自由度数N 既可能小于，
也肯能大于○
2式中的自由度数j 推算出的M j ⨯。
两种情况？
10.9什么是用于Mindlin 板单元的假设剪切应变方法？如何选择它的取样点和插值函数？
如同Timoshenko 梁情况，为避免剪切锁死，可以从分析造成锁死的根源出发，另行假设剪切应变场以代替原泛函中按应变和位移的几何关系得到的剪切应变场。
C型拉格朗日单元的方法构造，8,12
节点Serendipity单元可按Serendipity单元的方法构造。
即分别按两个方向一维拉格朗日插值函数相乘的方法和变结点的方法构造。
练习题
10.5 同上题分析的四边固支的方板受均布载荷q 作用。
板边长L，厚度t。
由于对称取1/4进行分析，网格分别取2×2，4×4，6×6；L/t 分别取100，300，500；对4 节点，8 节点，9 节点的Mindlin 板单元是否发生剪切锁死情况进行检验并对结果进行分析。
解：
10.6 问题同题10.5，只是板的四边改为简支。
解：。