第5讲 找简单数列的规律
四年级奥数-找规律
第一节、奥数找规律一、知识综述（一）简单数列的规律找规律填数是指给定一列数，这列数按照某种规律排列起来，其中留有部分空缺。
只要从连续的几个数中找规律，那么就可以知道其余所有的数，从而把题目中给定的空缺补充完整。
寻找数列的排列规律，除了从相邻两个数的和、差考虑外，有时还可以从积和商来考虑。
解决这类问题的基本思路就是认真观察出现的已知数量，在观察的基础上找出规律，然后运用规律解决问题。
找规律填数经常用到的知识有以下几个方面：1、找规律时要抓住日常生活和学习中通常存在的现象以及已经被人们公认的习惯。
比如数是由小到大排列的或由大到小排列的，即人们所说的等差数列。
如：2,4,6,____,______.2、找规律时要善于观察数与数之间的关系，有时相邻的两个数相差的数又形成一个等差数列。
如：1,2,4,7,11,______,______.3、有些找规律填数的题目，相邻的两个数之间存在着倍数关系（称为等比数列）。
比如数与数之间存在着2倍、3倍关系，或者存在着2倍多1、3倍少1的关系，甚至有的数列相邻的两个数之间商是一组连续的数。
4、找规律填数，一定要细心观察，从中找出它们之间存在的规律。
有些数列属于双数列，即不仅相邻数有一定的排列规律，而且相隔的数也存在着一定的排列规律。
比如：5,6,8,9,11,____,_____,_____.5、介绍几个特殊的数列。
○1完全平方数列：即每项都等于自身项数与项数的乘积。
如：1,4,9,16,_____,_____.○2斐波那契数列：即三个数为一组，每组中前两个数相加的和等于第三个数。
如: 1,1,2,3,5,8,_____,______.○3相邻的两个数十位上的数字有一定的规律，个位上的数字也有一定的规律。
如：98,87,76,65,_____,_____,_____.○4有一些数列相邻的两个数的差又能构成一个等比数列。
如：5,7,11,19,35,______.找规律填数也可以发展为按规律填图，遇到这样的题目就要注意研究图形的变化规律，从中找到解题的途径。
高二数学经典讲义 第5讲 数列与等差数列学生版
满分晋级第5讲数列和等差数列数列1级数列初步数列2级数列的小伙伴们数列3级求和知识切片考点1：数列的定义与分类1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a L ，，，简记为{}n a ． 2．数列的分类① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列．【例1】 ⑴下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？①全体自然数组成数列：0，1，2，3，…；②某校6个班学生人数构成的数列：15，16，18，20，22，30；2.1数列的认识经典精讲知识点睛③数列：5，1-，3， 2.6-， 1.5-，8； ④数列：5，5，5，5，5；⑤数列：100，90，80，70，60，50，…． ⑵根据数列的规律填空①1 1 2 3 5 8 ＿＿②5 3 10 6 15 12 ＿＿ ＿＿ ③3 5 9 17 33 ＿＿④1 2 2 3 4 6 ＿＿ ⑶给出下面的数表序列：12845314311表3表2表1 其中表(123)n n =L ，，，有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，写出表4．【趣味答题】请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112，211213，______．2．按规律填空：①17 ＿＿ 9 100；②3 6 21 42 84 69 291 ＿＿ ＿＿；考点2：数列的通项公式与递推公式数列的表示方法：⑴ 图象法：数列是以正整数集*N （或它的有限子集{}12n L ，，，）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一系列函数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．全体正偶数组成的数列246L ，，，用图象法表示为（如图）： 数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点．⑵ 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．n 1 2 3 … k …n a2 4 6 … 2k …整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示．⑶ 递推公式法：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任意一项n a 与它相邻的一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式．如：数列知识点睛10865443221Ona n5，6，7，…用递推公式可这样表示：13a =，11n n a a +=+，n *∈N ．⑷ 通项公式法：数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项．如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可用一个函数关系()n a f n =来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．⑶中的数列可以用()*2n a n n =+∈N 来表示．【例2】 ⑴观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式① 1111--L ，，，，； ② 0101L ，，，，； ③ 1234--L ，，，，； ④ 1111111111L ，，，，； ⑤ 131793832435--L ，，，，，； ⑥ 11315228432，，，，，…； ⑵已知数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n -=+（*2n n ∈N ，≥），则2a =_____；5a =______． ⑶已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a -=+（*2n n ∈N ，≥）），则2a =_____；10a =______．⑷（目标班专用）我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()n *∈N ，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项．【例3】 ⑴根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析． ① 24816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？②111124816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ③111124816----⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ④ 111124816--⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ⑵类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质．① 数列{}n a 的通项公式是2610n a n n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？ ② 数列{}n a 的通项公式是()23.61n a n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？【拓展】若25n a n n λ=-+，当且仅当3n =时n a 有最小值，问λ的取值范围．考点3：数列的前n 项和n S经典精讲数列{}n a 的前n 项和用n S 来表示，如果n S 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前n 项和公式．数列的前n 项和121n n n S a a a a -=++++L ．于是有1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥111n n n S S n a S n --=⎨=⎩，≥，【铺垫】⑴已知数列{}n a 的前n 项和3n S n =，则1a =______，3a =_____，通项n a =______．⑵已知数列{}n a 的前n 项和1n n S n+=，则1a =_____，6a =______． 【例4】 ⑴已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =＿＿；若它的第k 项满足58k a <<，则k =＿＿．⑵已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则其通项n a =______；满足2013k a <的最大正整数k 为______．1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+-，求n a ．2．已知数列{}n a 的前n 项和2n n S =，求n a ．知识点睛经典精讲前n 项和减去前1n -项和第1项 12n n S a a a =+++L<教师备案>前面我们对于一般的数列学习了一些基本概念和知识，总体而言，大部分数列是没什么规律的，小部分规律明显，接下来我们学习一类有迹可循的特殊数列．例如：自然数数列，每个数都比它后面的数小1，正偶数数列，从第二项起，每项都比它前面的数多2，等等．这一类特殊的数列就是等差数列．考点4：等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．【例5】 下列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由．①13579L ，，，，，；②5137--L ，，，，；③5555L ，，，，； ④222222---L ，，，，，，；⑤531123---L ，，，，，，；考点5：等差数列的通项公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，第n 项（通项）为n a ，通项公式：()11n a a n d =+-．)1a n d +-【例6】 ⑴已知等差数列{}n a 的通项公式为73n a n =-，则公差为_______，首项为_____．⑵等差数列951L ，，，的第4项4a =_______，第20项20a =_______．2.2等差数列基本量计算经典精讲知识点睛经典精讲知识点睛首项公差 等差数列{}n a 第n 项⑶等差数列3711103L ，，，，的项数n =______，第5项为_______．⑷已知数列{}n a 是等差数列，且22a =-，510a =，则数列{}n a 的通项n a =_______．【挑战5分钟】 ⑴已知43n a n =-，则d =______．⑵已知1001n a n =-，则d =______．⑶已知123a d ==，，则n a =______．⑷已知512a d ==-，，则n a =______．⑸已知4132a d ==，，则n a =______．⑹已知315122a d ==-，，则n a =_____．⑺等差数列34575L ，，，，的项数为______． ⑻等差数列42026-L ，，，，的项数为_______． ⑼等差数列3032013-L ，，，，的项数为______． ⑽等差数列110824--L ，，，，的项数为______．考点6：等差数列的求和公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，通项为n a ，前n 项和为n S ． 前n 项和n S 的公式：⑴()12n n n a a S +=；⑵()112n n n S na d -=+．1n n a d n a S ，，，，知三求二，可考虑根据公式统一转化为两个基本量．()()11122n n n a a n n S na d +-==+【铺垫】⑴等差数列371179L ，，，，的各项的和为_______．⑵已知数列{}n a 是等差数列，13a =，2d =，则20S =________．经典精讲知识点睛项数 首项 等差数列前n 项和 第n 项 公差【例7】 ⑴已知数列{}n a 是等差数列，15a =，525a =，则前n 项和n S =________．⑵已知数列{}n a 是等差数列，14a =，716a =，则使得154n S =的项数n =________． ⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和236n S n n =+，则1a =_____，n a =_______． ⑷设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ．⑸已知正整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5考点7：等差数列的性质1．等差中项：若x A y ，，成等差数列，则A 称为x y ，的等差中项，2x yA +=． 2．等差数列{}n a 的简单性质（其中公差为d ）： ⑴ ()n m a a n m d =+-（*m n ∈N ，）；⑵ 若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）；n +p q m n⑶ 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +K ，，为等差数列，公差为md ；⑷{}n a 的前n 项和为n S ，则()2121n n S n a -=-． (2121n S n -=-【铺垫】⑴在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）2.3 等差数列性质初步 经典精讲知识点睛下标和相等对应项的和相等211221n n S a a a --=+++L项数中间项A ．5B ．6C ．8D ．10⑵在等差数列{}n a 中，37513a a ==，，则d =_______．11a =______．13S ＝_______．【例8】 ⑴①a 是42-与42+的等差中项，则a = ；②220180a ，，为等差数列，则a = ．⑵如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=L （ ） A ．14 B ．21 C ．28 D ．35⑶设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S = ． ⑷已知等差数列{}n a 满足244a a +=，7910a a +=，则其前10项的和10S =______．⑸（目标班专用）在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为________．【演练1】 写出下列数列{}n a 的通项n a ：⑴ 9999999999L ，，，，；⑵1313L ，，，；⑶24816--L ，，，，．【演练2】 数列{}n a ：111234L ，，，，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？【演练3】 已知数列{}n a 是一个等差数列，且48a =-，820a =-，则数列{}n a 的通项n a =______．【演练4】 ⑴已知等差数列{}n a 满足3824a a +=，则它的前10项的和10S 为________．⑵在等差数列{}n a 中，{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，则24a a += ．实战演练【演练5】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，求5a 的值，当n S 取最小值时n 的值．【演练6】 第1列 第2列 第3列... 第1行 1 2 3 ... 第2行 2 4 6 (3)369… … … … ……列的数是 ．1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n a =___________．2．等差数列{}n a 的前n 项和公式n S =_______________=_____________． 3．等差数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a +____2m a概念要点回顾11谷神星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列：3，6，12，24，48，96，192……的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列：4，7，10，16，28，52，100，196……再把每个数都除以10，最后得到：0.40.711.6 2.8 5.21019.6L ，，，，，，，，令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯——波得定则即太阳系行星与太阳的平均距离．当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星．1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了．根据这一定则，在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星，只是还没有被发现．于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程．1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空．突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯——波得定则中2.8的位置上．可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了．等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却不知去向了．皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”．在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法．可是，这个方法太麻烦．高斯决心去寻找一种简便易行的方法．在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论．他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里．1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空．果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了．高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用．。
小学三年级奥数-找规律-知识点与习题
第5讲找规律(一)这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如，(1) 1，2，3，4，5，6，…(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，…(4) 1，1，2，3，5，8，13。
一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。
如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。
一般地，我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。
许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。
数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n。
数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。
数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a 3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a 6=3+5=8，a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。
例如数列(1)(2)。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。
例如数列(3)(4)。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。
例1找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)4，7，10，13，( )，…(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，…(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，…(6)2，6，12，20，( )，( )，…解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现(1)的规律是：前项+3=后项。
所以应填16。
(2)的规律是：前项-12=后项。
学而思初一数学秋季班第5讲.找规律、程序运算和定义新运算.基础-提高班.教师版
1初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版生活水平提高了满分晋级阶梯漫画释义5找规律、程序运算 和定义新运算代数式3级 找规律、程序运算 和定义新运算代数式2级整体思想求值代数式1级整式的概念及加减运算2初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版题型切片（六个） 对应题目题型目标 数列的规律 例1；练习1 数表的规律 例2；练习2 图形的规律 例3；练习3 算式的规律 例4；练习4 程序运算例5、例6：练习5 定义新运算 例7；练习6找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系. ⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.常见的数列规律：⑴ 1，3，5，7，9，… ，21n -（n 为正整数）． ⑵ 2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）． ⑶ 2，4，8，16，32，…，2n （n 为正整数）． ⑷ 2，5，10，17，26，…，21n +（n 为正整数）． ⑸0, 3, 8, 15， 24，…，21n - （n 为正整数）． ⑹ 2， 6， 12， 20，…， (1)n n +（n 为正整数）． ⑺x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．⑻x +，x -，x +，x -，x +，x -，…，1(1)n x +-（n 为正整数）． ⑼特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.【例1】 ⑴ 观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数 的第k 个数是 ．（k 为正整数）数列的规律思路导航题型切片3初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是 ．⑶找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，， ，第n 个数为： . （n 为正整数）⑷有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 ．第n 个数为 . （n 为正整数）（5）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 .（n 为正整数）【解析】 ⑴ 212k k -； （2） 10096， ⑶1132-，21(1)2n n n +-；⑷ 750-，2(1)1nn n -+ ；（5）207b a -，31(1)n n nb a --．【例2】 ⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序数对(),m n 表示第m 行，从左到右第n 个数，如()4,3表示分数112.那么()9,2表示的分数是 . 1112211136311114121241111152030205（2） 正整数按图的规律排列. 请写出第20行第21列的数字: ．数表的规律4初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为 .当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为 .②如果设“X”型框中间的数为a ，请用含a 的代数式表示“X”型框中五个数的和； ③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这-13 -5 7 -9 11 -13 15 -17 19 -21 23 -25 27 -29 31 -33 35 -37 39 -41 43 -45 47 -49 51 -53 55 -57 59 -61 63 -65 67 -69 71 ………………【解析】 ⑴172⑵ 420；观察可得规律： 第一行第二列的数：212=⨯；第二行第三列的数：623=⨯； 第三行第四列的数：1234=⨯； ……第n 行第1n +列的数：(1)n n +故可得第20行第21列的数为：2021420⨯=.（3）①-45，171 ②-3a ③不能，中间数字应该为95，但是95却在最后一列第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)232221………5初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例3】 ⑴ 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由 个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个 图案由 个基础图形组成．⑵观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★，第n 个图形有 个★.⑶ 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．图3图2图1① 图2有 个三角形；图3有 个三角形；② 按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形？⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】 ⑴ 10，31n +； ⑵；28,3n+1；⑶ ①5，9．② 43n -． ⑷(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-；算式的规律图形的规律第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形6初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例4】 观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a+=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．【解析】 1342=+aa ； 122+=++n a n n a .一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．【例5】 ⑴ 如下图，输入23x =-，则输出值y 是 ．y=-x +4(x >1)y=x +4(x ≤1)输出 y输入 x⑵ 如下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是 .YES NO输出结果<-5计算1+x -2x 2输入x 的值⑶ 如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为 ．x +3x 2x 为奇数x 为偶数输出输入x⑷ 按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x 的所有值.程序运算思路导航7初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版>800输出结果是否将值赋给x ，再次运算计算4x +1的值输入x【解析】 ⑴5-；此程序为选择式，因91x =-≤，故4945y x =+=-+=-.⑵ 9-；经过第一次程序运算得2-，因为25->-，需要返回循环；经第二次运算得9-，因为95-<-，此程序结束，故输出结果为9-. ⑶ 6．（提示：利用循环，多进行几次运算．）⑷ 由题意：()85314213>0-÷=，()2131453>0-÷=，()531413>0-÷=，()13143>0-÷=，()1314>02-÷=∴只有213，53，13，3符合题意．（也可用方程思想理解：∵ x 为正整数， ∴ 415x +≥. 当41853x +=时，213x =. 当41213x +=时，53x =. 当4153x +=时，13x =. 当4113x +=时，3x =.综上所述，213x =或53x =或13x =或3x =）.【例6】 阅读右面的框图并回答下列问题： （1）若A 为785，则E=_____________；（2）按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于．．2．”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明． 【解析】 ⑴E =1089； ⑵ E 的值都相同．理由如下：设A =100a+10b +c 且a －c =2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=99a －99c =99(a －c )=99×2=198． ∴D =891．∴E =C +D =198+891=1089． (3) E =1089．8初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版证法1：设A =100a +10b +c 且a －c >2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=100(a －c )+(c －a )=100(a －c －1)+10×9+(10+c －a ) ． ∴D =100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1) ．∴E =C +D =[100(a －c －1)+10×9+(10+c －a )]+[ 100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1)]=1089．定义新运算⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序. ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.【例7】 ⑴现定义两种新运算∆∇、，对于任意两个整数a 、b ，都有：1a b a b ∆=+-， 1b a b a ∇=-.试求：(∆∆∇(34)21)的值.⑵ 用“×”定义新运算：对于任意a b ，，都有a ×b 2a b =-． 例如，4×27479=-=，那么5×3= ； 当m 为有理数时，m ×（1-×2）= ．⑶ 对于正整数a ，b ，c ，d ，规定a b ad bc c d=-，若1134bd <<，则b d += ．⑷ 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-， ① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ，…，依此类推，则2009a = ．【解析】 ⑴ 6；⑵ 22，21m +；⑶由题意得42bd -=，故2bd =，又b d ，为正整数，所以3b d +=.定义新运算思路导航9初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑷ ①34；② 4；③ 13-；34. 【点评】 一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．【选讲题】【例8】 （1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是_______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．【解析】 B ，603，63n + . （2）数1234,,,,a a a a 满足下列条件：10a =，211a a =-+ ,322a a =-+,433a a =-+,则2013a 的值为 .【解析】 1006(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：⑴ 填表：⑵ 如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ ⑶ 如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？【解析】 ⑴ 如表．剪的次数1 23 4 5 正方形个数 47101316⑵ 如果剪了100次，共剪出11003301+⨯=个小正方形； ⑶ 如果剪n 次，共剪出13n +个小正方形.剪的次数1 2 3 4 5 正方形个数 4 710 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版训练1. 下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应该是（ ）A ．20022B ．200221-C ．20012D ．以上答案均不对【解析】 C.训练2. 根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x 的值为32，则输出的结果是 ．（汇文中学期中） 【解析】 72-.训练3. 读一读：式子“12345100++++++”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999++++++，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）； 又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．⑴ 246810100++++++（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ． ⑵ 计算5211n n =-=∑（） ．（填写最后的计算结果）（北大附中期中）【解析】 ⑴ 5012n n =∑；⑵ 50,52222221(1(11(21(31(41(5150n n=-=-----=∑))+)+)+)+)训练4. 在某种特制的计算器有一个按键★★★，它代表运算2a b a b++-．例如：输入顺序 1，★★★，2-，ENTER=屏幕显示()1***2-2上述操作即是求()()12122+-+--的值，运算结果为2．回答下面的问题：y=-x -2(1<x ≤2)y=x 2(-1≤x ≤1)y=x -2(-2≤x <-1)输出y 的值输入x 的值11初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑴ 小明的输入顺序为5-，★★★，7，ENTER=，运算结果是 ．⑵ 小杰的输入顺序为100101，★★★，165-，ENTER=，★★★，1101-，ENTER=，★★★，6665-，ENTER=，★★★，101100，ENTER=，运算结果是 ．⑶ 若在20112012-，20102011-，20092010-，……，12-，0，12，……，20092010，20102011这些数中，任意选取两个作为a 、b 的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是 ．（一零一期中）【解析】 ⑴ 7⑵6665⑶ 2011201212 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版数列的规律【练习1】 ⑴ 观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（ ）A ．20072B ．200721-C ．20082D ．20062⑵ 观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数）【解析】 ⑴ C ． ⑵ 582665x x -， ，12(1)(1)n n n x +-+.数表的规律【练习2】 下面是由自然数排成的数表，分为A ，B ，C 三列，按这个规律，1999在第 列。
05讲找规律（二）
05讲找规律（⼆）第5讲找规律（⼆）会点：应⽤四则运算表⽰数之间的关系解决⼀步运算规律问题；重点：掌握数列中的找规律、以及数组的找规律，解决数列、数组变化规律问题；难点：找出数表的规律，根据数表之间的数解决数组规律问题。
⼀、数列规律我们经常会碰到许多个按⼀定顺序排列的数，这样的⼀列数叫作数列。
例如：（1）1，3，5，7，9，……（2）2，5，8，11，14，……（3）3，4，6，9，13，18，24……在⼀个数列中，从左向右数到第⼏个数，这个数就叫作这个数列的第⼏项，如数列（1）中的第2项是3，数列（3）中的第5项是13。
数列中的项的个数可以是有限个的，如数列（3），也可以是⽆限个，如数列（1）和数列（2）。
数列中的数是按照⼀定规律排列的。
对于⽐较简单的数列，⼀般从相邻两个数的和、差、积、商中找规律。
对于⽐较复杂的数列则要考虑先将数列合理地拆分成若⼲个部分，再分别考虑它们的排列规律。
数列中的规律有很多种类型：有的是所给的每个数之间有规律，有的是隔⼀个数之间有规律。
这些规律可能是同加、同减、同乘⼀个数、⼀个数列或⼀个数的平⽅。
⼆、数组规律找数组中的规律时，⼀般我们可以考虑从每个数组的对应位置上的数进⾏规律性分析。
我们还可以以每个数组的第⼀个数为基准，分析已知数组中所有数的⼀个共性规律。
三、数表规律除了可以将数排成⼀⾏形成数列之外，还可以将数按照⼀定的形状排成图表，这样就得到了数表。
数表往往是由⼀个或多个数列组成的。
第 1 关数列找规律1、观察下列数列，找到规律并填空。
（1）1，4，7，10，（），16，……（2）2，3，6，11，（），（），……（3）1，2，4，8，（），32，（），……（4）1，1，2，3，5，8，13，（），（），……2、观察下列数列，找到规律并填空。
（1）18，2，15，2，12，2，9，2，（），（），……（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，（），（），……（3）1，4，9，16，25，（），（），64，……【过关检测】1、观察下列数列，找到规律并填空。
人教数学-一年级下册-第八单元-第5课时《找规律》
找规律
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激趣导入
你认为哪组中的小羊排列是有规律的？
知识讲解
如何发现简单事物的排列规律？
不同颜色的物体或图形可以有规律地排列； 也可以根据事物的类别将事物有规律地排列。Fra bibliotek知识讲解
如何发现数列的变化规律？请举例说明。
可以按照数重复的特点，或者通过计算相邻两个数的差等特点 来找规律。
练习巩固 遮住了7个珠子，有（ 2 ）个 ，（ 5 ）个 。
练习巩固
想一想，填一填。
6 12 18 24 30 16 22 28 34 40 26 32 38 44 50 36 42 48 54 60 46 52 58 64 70
练习巩固
找规律，“？”处应填几？
20
4
5
11
29 14 6
9
4？5 16 9
练习巩固
在合适的图形后面的（ ）里画“√”。
1.
（）
（√）
2.
（√）
（）
3.
（√）
（）
练习巩固
找规律，在横线上补充合适的图形。 1.
2.
3.
练习巩固
找规律，涂一涂。 1.
2.
3.
练习巩固
请你接着画，并在（ ）里填上相应的数。
1. 1 （ 2） （3） （4 ） （ 5）
2. （ 6 ） （5 ） （ 4 ） （ 3） （ 2）
练习巩固
3. （ 2 ） （ 4 ） （ 6 ） （ 8 ） （10 ）
4. （ 9 ） （7 ） （5 ） （ 3 ） （ 1）
练习巩固
找规律，填一填。。 1.5，7， 9 ， 11 ，13， 15 ，17 。 2.8，10 ，12， 14 ，16 , 18 ,20, 22 。 3.10，20 ，30 ，40，50， 60 ，70 。
小六数学第5讲：递推与归纳
第五讲递推与归纳有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。
例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64；分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。
若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36，再看36+13=49得到验证。
⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。
那么所求的是第六项是62=36。
我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。
像这种解题方法称为递推法。
1. 理解递推法的概念。
2. 会用递推法解题例1：999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？分析：我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。
9×9=81，有1个奇数；99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2个奇数；999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有3个奇数；……从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。
例2：如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？分析：先从AB之间只有一个点开始，在逐步增加AB之间的点数，找出点和线段之间的规律。
我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。
AB之间只有1个点：线段有 1+2=3条。
AB之间只有2个点：线段有 1+2+3=6条。
AB之间只有3个点：线段有 1+2+3+4=10条。
小学三年级奥数精品讲义(1-34讲全集)
小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。
你可以试一试。
”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。
中班数学认识简单的数列
中班数学认识简单的数列数学是一门抽象而又严谨的学科，在幼儿教育中，数学的学习也是至关重要的。
而数列作为数学中的一个重要内容，对于幼儿的数学认知也有着重要影响。
本文将为大家介绍中班阶段数学中简单的数列认识。
1. 数列的基本概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
每个数称为数列的项，而数列中的规律又称为数列的公式。
在幼儿园的中班阶段，数列通常以自然数为基础，比如从1开始的数列。
2. 数列的规律数列的规律是数列中的数按照一定的顺序排列的方式，幼儿可以通过观察数列中的数字，找出其中的规律。
比如，幼儿可以发现从1开始的自然数列，每个数都比前一个数大1。
这种规律可以用数学公式表示为：an = an-1 + 1，其中an表示数列中的第n个数。
3. 数列的延伸对于中班幼儿来说，数列的认识不仅停留在简单的自然数列上，还可以进行一些延伸。
比如，可以将数列的规律扩展到其他类型的数，比如偶数列、奇数列等。
幼儿可以通过观察和思考，找出不同类型数列的规律，并进行总结和归纳。
4. 数列与图形数列与图形之间也有着紧密的联系。
幼儿可以通过数列中的数字，绘制出相应的图形。
比如，幼儿可以利用数列规律绘制出一条直线、一个方形等等。
这种将数列与图形结合起来的方法，可以增强幼儿对数列的理解，提升他们的空间想象力。
5. 数列的应用数列在日常生活中也有着广泛的应用。
比如，时间就可以看作一种数列，每一分钟都可以看作是数列中的一项。
幼儿可以通过学习数列，对时间有更好的认识和把握。
此外，数列还可以应用于排队、编码等方面，通过数列的认知，幼儿可以更好地理解和应用这些概念。
通过对中班数学认识简单的数列的介绍，我们可以发现数列不仅仅是一种数学问题，更是培养幼儿思维能力、逻辑思维和观察力的一种有效方法。
数列的学习可以激发幼儿的兴趣，增强他们对数学的兴趣和学习动力。
因此，在幼儿教育中，我们应该重视数列的教学，以培养幼儿良好的数学素养和思维能力。
总结起来，中班数学中简单的数列认识是幼儿数学学习中的基础内容，通过对数列的学习，幼儿可以培养良好的数学思维能力和观察能力。
二升三暑假奥数培训讲义
二升三暑假奥数培训讲义第一讲机智与顿悟数学需要踏实与严谨，也含有机智与顿悟．例1有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口人？例2小明给了小刚2支铅笔，他们俩的铅笔数就一样多了，问小明比小刚多几支铅笔？例3小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一遍，便说道，车里没买票的人数是买票的人数的2倍．你知道车上买了票的乘客最少有几人吗？例4大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，如2+3+4比2×3×4小．那么请你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几个数相加的和大还是相乘的积大？例5两个数的和比其中一个数大17，比另一个数大15，你知道这两个数都是几？你由此想到一般关系式吗？例6小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买的是数学本．已知小英买的数学本的本数是小明买的作文本的2倍．又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价钱的2倍，请问他俩谁用的钱多？例7中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天．小明对小英说：“已经连续三天下雨了，你说再过36小时会出太阳吗？”小朋友你说呢？作业1：1．如图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁？2．一个课外小组活动日，老师进教室一看，来参加活动的学生只占教室里全体人数的一半．老师很生气．你知道这天共来了多少学生吗？3．小林和小蓉两人口袋里各有10元钱．两人去书店买书．买完书后发现，小林花去的钱正好和小蓉剩下的钱数一样多．请问，现在他们两人一共还有多少钱？4．满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完．请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水？5．小黄和小兰想买同一本书．小黄缺一分钱，小兰缺4角2分钱．若用他俩的钱合买这本书，钱还是不够．请问这本书的价钱是多少？他俩各有多少钱？6．一个骑自行车的人以每小时10公里的速度从一个城镇出发去一个村庄；与此同时，另一个人步行，以每小时5公里的速度从那个村庄出发去那个城镇．经过一小时后他们相遇．问这时谁离城镇较远，是骑车的人还是步行的人？7．有人去买葱，他问多少钱一斤．卖葱的说：“1元钱1斤．”买葱的说：“我要都买了．不过要切开称．从中间切断，葱叶那段每斤2角，葱白那部分每斤8角．你卖不卖？”卖葱的一想：“8角+2角就是1元”．他就同意全部卖了．但是卖后一算账，发现赔了不少钱．小朋友，你知道为什么吗？第二讲仔细审题例1①树上有5只小鸟，飞起了1只，还剩几只？②树上有5只小鸟，“叭”地一声，猎人用枪打下来1只，树上还剩几只？例2要把一个篮子里的5个苹果分给5个孩子，使每人得到1个苹果，但篮子里还要留下一个苹果，你能分吗？例3两个父亲和两个儿子一起上山捕猎，每人都捉到了一只野兔.拿回去后数一数一共有兔3只.为什么？例4一个小岛上住着说谎的和说真话的两种人.说谎人句句谎话，说真话的人句句是实话.假想某一天你去小岛探险，碰到了岛上的三个人A、B和C.互相交谈中，有这样一段对话：A说：B和C两人都说谎；B说：我没有说谎；C说：B确实在说谎.小朋友，你能知道他们三个人中，有几个人说谎，有几个人说真话吗？例5如左下图，三根火柴棍可以组成一个等边三角形，再加三根火柴棍，请你组成同样大小的四个等边三角形.例6一笔画出由四条线段连接而成的折线把九个点串起来，你能做到吗？（如右上图）.作业2：1.①一个学生花2角钱买了2个练习本，花5角钱能买几个练习本？②在上学的路上2个学生拾到了2角钱，问5个学生捡到多少钱？2.桌上放着一堆糖果，两个母亲和两个女儿，还有一个外祖母和一个外孙女，每人拿了一块，这堆糖果就被拿完了，而这堆糖只有3块.这是为什么？3.天上飞着几只大雁：两只在后，一只在前；一只在后，两只在前；一只在两只中间，三只排成一条线.请你猜猜看，天上共有几只雁？4.小强带了5元钱上街，他到书店买了3本书，应付一元五角钱，可是售货员找给他五角钱，你说售货员一定错了吗？5.一栋大楼内有60盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少盏灯？6.大海中有一个小岛，小岛上住着的100名妇女中有一半人只戴一只耳环.余下的妇女中一半人戴两只耳环，另一半人不戴耳环.问这100名妇女共戴有多少只耳环？7.有一人一天读20页书，第三天因病没读，其他日子都按计划读了书.问第十二天他读了多少页书？8.王老师有一个孩子，李老师也有一个孩子，两位老师共有多少个孩子？9.一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？10.一家冷饮店规定，喝完汽水后，用4个空汽水瓶可以换1瓶汽水.老师带着32个学生进店后，他只买了24瓶汽水.问每个学生能喝到一瓶汽水吗？第三讲速算与巧算（一）一、凑十法：同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用这些结果，可以使计算又快又准。
05讲 找规律(二)
第5讲找规律（二）会点：应用四则运算表示数之间的关系解决一步运算规律问题；重点：掌握数列中的找规律、以及数组的找规律，解决数列、数组变化规律问题；难点：找出数表的规律，根据数表之间的数解决数组规律问题。
一、数列规律我们经常会碰到许多个按一定顺序排列的数，这样的一列数叫作数列。
例如：（1）1，3，5，7，9，……（2）2，5，8，11，14，……（3）3，4，6，9，13，18，24……在一个数列中，从左向右数到第几个数，这个数就叫作这个数列的第几项，如数列（1）中的第2项是3，数列（3）中的第5项是13。
数列中的项的个数可以是有限个的，如数列（3），也可以是无限个，如数列（1）和数列（2）。
数列中的数是按照一定规律排列的。
对于比较简单的数列，一般从相邻两个数的和、差、积、商中找规律。
对于比较复杂的数列则要考虑先将数列合理地拆分成若干个部分，再分别考虑它们的排列规律。
数列中的规律有很多种类型：有的是所给的每个数之间有规律，有的是隔一个数之间有规律。
这些规律可能是同加、同减、同乘一个数、一个数列或一个数的平方。
二、数组规律找数组中的规律时，一般我们可以考虑从每个数组的对应位置上的数进行规律性分析。
我们还可以以每个数组的第一个数为基准，分析已知数组中所有数的一个共性规律。
三、数表规律除了可以将数排成一行形成数列之外，还可以将数按照一定的形状排成图表，这样就得到了数表。
数表往往是由一个或多个数列组成的。
第 1 关数列找规律1、观察下列数列，找到规律并填空。
（1）1，4，7，10，（），16，……（2）2，3，6，11，（），（），……（3）1，2，4，8，（），32，（），……（4）1，1，2，3，5，8，13，（），（），……2、观察下列数列，找到规律并填空。
（1）18，2，15，2，12，2，9，2，（），（），……（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，（），（），……（3）1，4，9，16，25，（），（），64，……【过关检测】1、观察下列数列，找到规律并填空。
小学数学简单数列的规律与推算知识点
小学数学简单数列的规律与推算知识点在我们的小学数学学习中，有一个特别有趣的部分，那就是简单数列的规律与推算。
这可不像听上去那么枯燥，其实充满了惊喜和乐趣呢！记得有一次，老师在课堂上给我们出了一道数列题：“2，4，6，8，（），12”。
当时，教室里一下子安静下来，大家都开始冥思苦想。
我也不例外，眼睛紧紧盯着黑板上的数字，心里琢磨着：这后面到底该填个啥呢？我先试着用加法，2 加上 2 等于 4，4 加上 2 等于 6，6 加上 2 等于8，那 8 加上 2 不就等于 10 嘛！心里一阵小激动，觉得自己找到了答案。
可又有点不放心，万一不是这么简单的规律呢？再看看周围的同学，有的皱着眉头，嘴里还念念有词；有的拿着笔在草稿纸上不停地写着画着；还有的一脸迷茫，好像完全被这道题给难住了。
这时候，老师开始在教室里走动，查看大家的思考情况。
我心里有点紧张，怕自己的答案不对。
老师走到我的身边，看了看我的草稿本，微笑着点了点头。
这一点头，让我心里踏实了不少。
接着，老师开始讲解这道题。
她说：“同学们，这个数列的规律就是后一个数都比前一个数大 2，所以括号里应该填 10。
”听到老师的答案和我想的一样，我别提多高兴了，感觉自己像个小英雄似的。
通过这道题，我发现原来数列的规律有很多种呢。
比如说，有的数列是依次增加相同的数，就像刚刚那道题；有的数列是依次减少相同的数，比如“15，12，9，6，（）”，这里就是每次都减少 3，括号里应该是 3。
还有一种常见的规律是相邻两个数的差值不一样。
比如“1，3，6，10，（）”，3 减去 1 等于 2，6 减去 3 等于 3，10 减去 6 等于 4，那下一个差值就应该是 5，所以 10 加上 5 等于 15，括号里就填 15 啦。
除了差值有规律，有的数列是倍数关系。
像“2，4，8，16，（）”，4 除以 2 等于 2，8 除以 4 等于 2，16 除以 8 等于 2，后面的数都是前面数的 2 倍，那括号里就应该是 16 乘以 2 等于 32 。
小学奥林匹克竞赛——找出数列的排列规律-
找出数列的排列规律（一）找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。
（一）思路指导例1. 在下面数列的（）中填上适当的数。
1，2，5，10，17，（），（），50例2. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：1，4，7，10……问：第100个数是多少？例3. 已知一列数：2，5，8，11，14，……，44，……，问：44是这列数中的第几个数？试试看：数列7，11，15，……195，共有多少个数？例4. 观察下面的序号和等式，填括号。
序号1234（ ）等式 1236357155811247111533++=++=++=++= ( )+( )+7983=( )综上所述，括号里应填的数是：（1996） （3991）＋（5987）＋7983＝（17961）例5. 已知数列1，4，3，8，5，12，7，16，……，问：这个数列中第1997个数是多少？第2000个数呢？ 分析与解：从整体观察不容易发现它的排列规律，注意观察这个数列的单数项和双数项，它们各自的排列规律为：单数项：1，3，5，7，……双数项：4，8，12，16，……显然，它们各自均成等差数列。
为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少，必须先求出它们各自在等差数列中的项数，其中：第1997个数在等差数列1，3，5，7，……中是第()()199712999+÷=个数；第2000个数在等差数列4，8，12，16，……中是第()20002÷=1000个数。
所以，第1997个数是()1999121997+-⨯=。
第2000个数是()41000144000+-⨯=（二）尝试体验1. 按规律填数。
（1）1，2，4，（ ），16；（2）1，4，9，16，（ ），36，49；（3）0，3，7，12，（ ），25，33；（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34；（5）2，7，22，64，193，（ ）。
(完整版)三年级知识点找简单数列的规律
三年级知识点：找简单数列的规律找简单数列的规律日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。
例1 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数. ①2，5，8，11，（），17，20。
②19，17，15，13，（），9，7。
③1，3，9，27，（），243。
④64，32，16，8，（），2。
⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…⑥1，3，4，7，11，18，（），47…⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）. ⑧1，2，6，24，120，（），5040。
⑨1，1，3，7，13，（），31。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
(11)1，4，9，16，25，（），49，64。
(12)0，3，8，15，24，（），48，63。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析与解答①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。
小学三年级奥数教程讲义
小学三年级奥数教程讲义Newly compiled on November 23, 2020小学三年级奥数教程学校：________________________班次:__________________________姓名：_________________________目录◆第一讲加减法的巧算（一）◆第二讲加减法的巧算（二）◆第三讲乘法的巧算◆第四讲配对求和◆第五讲找简单的数列规律◆第六讲图形的排列规律◆第七讲数图形◆第八讲分类枚举◆第九讲填符号组算式◆第十讲填数游戏◆第十一讲算式谜（一）◆第十二讲算式谜（二）◆第十三讲火柴棒游戏（一）◆第十四讲火柴棒游戏（二）◆第十五讲从数量的变化中找规律◆第十六讲数阵中的规律◆第十七讲时间与日期◆第十八讲推理◆第十九讲循环◆第二十讲最大和最小◆第二十一讲最短路线◆第二十二讲图形的分与合◆第二十三讲格点与面积◆第二十四讲一笔画◆第二十五讲移多补少与求平均数◆第二十六讲上楼梯与植树◆第二十七讲简单的倍数问题◆第二十八讲年龄问题◆第二十九讲鸡兔同笼问题◆第三十讲盈亏问题◆第三十一讲还原问题◆第三十二讲周长的计算◆第三十三讲等量代换◆第三十四讲一题多解◆第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
二年级第5讲按规律填数
第五讲找规律填数找规律在奥数题目中属于常见题型，主要分为找规律填图和找规律填数。
上一讲我们已经学过了找规律填图，是不是很简单又很有趣啊？这一讲啊我们就要来看看数字找规律都有什么题目。
在这一讲中我们会学到四种不同的数列，别看只有四种，二年级的奥数常见的数列基本都包含在这几种里面了哦！所以小朋友们一定要认真观察，发现规律，找到缺失的数！让我们一起练一练吧！【知识要点总结】一·数列的概念：按一定顺序排列的一列数，叫数列。
等差数列：每相邻的两个数相差的数都相等等比数列：以相同的倍数变化的一列数兔子数列：从第三个数开始，每个数都是前两个数相加的和二·做题方法：（1）相邻看（2）跳着看（隔着看）（3）分组看三·例题解析：例题1：（1）1,3,5,7，（），（）（2）2,4,6,8，（），（）（3）1,5,9,13，（）（4）25,20,15，（），（）注意此题都是等差数列例题2：（1）2,6,18，（），（）（2）1, 10.，100, 1000，（），（）此题学生都能做对，每个数都比前面一个多一个0，其实就是每个数都乘以10注意：此题都是等比数列，应用乘法较多，有些同学乘法算的比较慢。
比如54×3不会，我们可以用加法54+54+54，但是同学得加强乘法练习哦！尤其是竖式法的练习想想做做：1,2,4,7,11，（），（）,( )相邻看依次相差1,2,3,4，…..所以（11+5=16）,(16+6=22),(22+7=29)1,2,2,4,3,6,4,8，（），（）跳着看1,2,2,4,3,6,4,8，（5），（10）1,2,4,8，（），（）相邻看，都乘以2，等比数列1,2,4,8，（16），（32）35,28,21，（），（）相邻看，都相差7，等差数列35,28,21，（14），（7）1,3,4,7,11,( ),( ),( )兔子数列1+3=4 3+4=7 4+7=11（7+11=18），（18+11=29），（18+29=37）例题4.(1)4,6,9,13,( ),24相邻看，相差2,3,4，所以4,6,9,13,(13+5=18 ),24(2)100,81,64,( )，36,25，（），9,4,1方法一相差的都是连续的奇数，（64-15=49），（25-9=16）方法二100=10×10 81=9×9 64=8×8 所以47×7=49, 4×4=16, (3)4,8,16，（），64，（），256等比数列，都乘以2。
2021届新课标数学一轮复习讲义_第五章_第5讲_数列的综合应用
第5讲 数列的综合应用考点一__等差数列与等比数列的综合问题______已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)． (2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.[规律方法] 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．1.已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25 ，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2.故a n ＝－2n ＋27. (2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .考点二__数列的实际应用问题__________________某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，求S n (n ≥7)．[解] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ； 当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，34为公比的等比数列．又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7. (2)由等差及等比数列的求和公式得 当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6 ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6.[规律方法] 解答数列实际应用问题的步骤：(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型．基本特征见下表：数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少等比数列 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 简单递推数列指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a (常数)作为下年度的开销，即数列{a n }满足a n ＋1＝1.2a n －a(2)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确；(3)给出问题的答案：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．2.现有流量均为300 m 3s 的两条河A ，B 汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2 kgm 3和0.2 kgm 3，假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1 s 内交换100 m 3的水量，即从A 股流入B 股100 m 3水，经混合后，又从B 股流入A 股100 m 3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01 kgm 3(不考虑沙沉淀)． 解：设第n 个观测点处A 股水流含沙量为a n kg m 3，B 股水流含沙量为b n kgm 3，则a 1＝2，b 1＝0.2，b n ＝1400(300b n －1＋100a n －1)＝14(3b n －1＋a n －1)，a n ＝1400(300a n －1＋100b n －1)＝14(3a n －1＋b n －1)，a n －b n ＝12(a n －1－b n －1)，∴{a n －b n }是以(a 1－b 1)为首项，12为公比的等比数列．∴a n －b n ＝95×⎝⎛⎭⎫12n －1.解不等式95×⎝⎛⎭⎫12n －1<10－2，得2n －1>180，∴n ≥9.因此，从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01 kg m 3.考点三__数列与不等式的综合问题(高频考点)__数列与不等式的综合问题是每年高考的难点，多为解答题，难度偏大． 高考对数列与不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度： (1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题．等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *， ∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18， ∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2.∴2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3. ∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)，∴3(2n －1)>k ·3·2n －1－2，∴k <2－13·2n －1对一切n ∈N *恒成立． 令f (n )＝2－13·2n －1，则f (n )随n 的增大而增大，∴f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53，∴k <53.∴实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，53. [规律方法] 数列与不等式的综合问题的解题策略(1)数列与不等式的恒成立问题．此类问题常构造函数，通过函数的单调性、最值等解决问题；(2)与数列有关的不等式证明问题．解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．3.(1)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.①当n ∈N *时，求f (n )的表达式；②设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2； (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－⎝⎛⎭⎫2n ＋1a n (n ∈N *)．①求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；②设数列{2n a n }的前n 项和为T n ，A n ＝1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ，试比较A n 与2na n 的大小．解：(1)①令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，∴f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n .②证明：设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝⎛⎭⎫12n， ∴T n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ，12T n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2×⎝⎛⎭⎫123＋3×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴T n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n <2.(2)①证明：由a 1＝S 1＝2－3a 1，得a 1＝12，当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n n ＝12×a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项和公比均为12的等比数列．②由①得a n n ＝12n ，于是2n a n ＝n ，所以T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，则1T n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，于是A n ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1，而2na n ＝2n ＋1n 2，所以问题转化为比较2n n 2与n n ＋1的大小． 设f (n )＝2n n 2，g (n )＝n n ＋1，当n ≥4时，f (n )≥f (4)＝1，而g (n )<1，所以f (n )>g (n )． 经验证当n ＝1，2，3时，仍有f (n )>g (n )． 因此对任意的正整数n ，都有f (n )>g (n )．即A n <2na n.交汇创新——数列与函数的交汇设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n . [解] (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n . 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以T n ＝2n ＋1－n －22n.[名师点评] 数列与函数的交汇创新主要有以下两类：(1)如本例，已知函数关系转化为数列问题，再利用数列的有关知识求解；(2)已知数列，在求解中利用函数的性质、思想方法解答．[提醒] 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决，同时要注意n 的范围．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)．(1)求{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，3a n ＋1＋2S n ＝3⇒a 2＝13；当n ≥2时，3a n ＋1＋2S n ＝3⇒3a n ＋2S n －1＝3，得3(a n ＋1－a n )＋2(S n －S n －1)＝0，因此3a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1a n ＝13，因为a 2a 1＝13，所以数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝13的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1.(2)因为∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，即32k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，所以k ≤1－⎝⎛⎭⎫13n .令f (n )＝1－⎝⎛⎭⎫13n，n ∈N *，所以f (n )单调递增，k 只需小于等于f (n )的最小值即可， 当n ＝1时，f (n )取得最小值，所以k ≤f (1)＝1－13＝23，实数k 的最大值为23.1．设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则a b 1＋a b 2＋a b 3＋a b 4＋a b 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1， ∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0. 4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，则a n ＝( ) A ．(n －2)·2n B ．1－12n C.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n ，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)．设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n ＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n－2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n＝1时，上式成立，所以选A.5．在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，其公比为1q ，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q 3.又因为⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n ， 即a 1（1－q n）1－q≤1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q 3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：67．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________． 解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2. 再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2. 答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q 为常数，∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1. ∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n .解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)， 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n＋1)．故数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n－（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.1．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n－1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1， 3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.2．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，北京市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．依题意，得{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列．所以{a n }的前n 项和S n ＝128×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n1－32＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n－1，{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n （n －1）2a . 所以经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n－1＋400n ＋n （n －1）2a .(2)若计划7年内完成全部更换，则S (7)≥10 000，所以256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫327－1＋400×7＋7×62a ≥10 000，即21a ≥3 082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.3．已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n .问T n >1 0002 015的最小正整数n 是多少？解：(1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，a 1＝f (1)－c ＝13－c ， a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。
数列规律公式
数列规律公式数列，这俩字儿一出来，估计不少同学脑袋都大了一圈儿。
但其实啊，数列就像一群排好队的小精灵，它们都有自己的规律，而咱们要做的，就是找到那个能指挥它们的魔法公式。
咱先来说说啥是数列。
比如说，1，3，5，7，9 这一组数，这就是个简单的数列。
那数列规律公式呢，就是能帮咱们快速搞清楚这些数为啥这么排，下一个数该是啥的神奇工具。
我记得有一次，我在课堂上讲数列规律公式，有个同学一脸迷茫地看着我，就好像我在讲外星语言。
我就问他：“咋啦，没听懂？”他怯生生地说：“老师，这感觉比解谜题还难！”我笑着告诉他：“别着急，咱们一步步来。
”咱就拿等差数列来说吧，像 2，5，8，11，14 这样的，每两个相邻数之间的差值都一样，这个差值叫公差。
如果首项是 a1，公差是 d，那么第 n 项 an 就可以用公式 an = a1 + (n - 1)d 来表示。
比如说在这个数列里，a1 就是 2，d 是 3，那第 5 个数 a5 就是 2 + (5 - 1)×3 = 14 ，是不是一下子就清楚啦？再说说等比数列，像 2，4，8，16，32 这种，每个数都是前一个数乘上一个固定的数，这个固定的数叫公比。
如果首项是a1，公比是q，那么第 n 项 an 就等于 a1×q^(n - 1) 。
就拿这个数列来说，a1 是 2，q 是2，那第 5 个数 a5 就是 2×2^(5 - 1) = 32 。
还有那种一会儿大一会儿小，看起来毫无规律的数列，其实也有办法。
比如说先递增再递减的，咱们就得仔细观察转折点，看看前后的变化规律。
我曾经给学生布置过一道数列题，那数列长得可奇怪了，好多同学都抓耳挠腮的。
有个聪明的小家伙，他没有被表面的混乱吓住，而是静下心来，一项一项地分析，最后居然找到了规律，用公式算出了正确答案。
当时我可高兴了，狠狠地表扬了他。
其实啊，掌握数列规律公式就像拥有了一把万能钥匙，能打开很多数学难题的大门。
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第5讲找简单数列的规律
在日常生活中，我们经常会碰到一定排列的数，比如：
一列自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，…
年份：1980，1981，1982，1983，1984，1985，1986，…
某工厂全年产量（按月份排）：400，450，500，450，50 0，550，…
像上面的这些例子，都是按某种法则排列的一列数，这样的一列数就叫做数列。
数列里的每一个数都叫做这个数列的项。
其中第1个数叫做数列的第1项，第2个数叫做数列的第2项，第n个数列叫做数列的
第n个数叫做数列的第n项。
比如在年份数列中，第4项是1983，第7项就是1986。
研究数列的目的是为了发现数列中的数排列的规律并依据这个规律来解决问题。
例题与方法
例1 找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数。
（1）3，6，9，12，（），18，21
（2）28，26，24，22，（），18，16
（3）60，63，68，75，（），（）
（4）180，155，131，108，（），（）
（5）196，148，108，76，52，（）
（6）6，1，8，3，10，5，12，7，（），（）
（7）0，1，1，2，3，5，8，（），（）
（8）10，98，15，94，20，90，（），（）
例2 在下面数列中填出合适的数。
（1） 1，3，9，27，（），243
（2） 1，2，6，24，120，（），5040
（3） 1，1，3，7，13，（），31
（4） 0，3，8，15，24，（），48，63
例3 在下面数列的每一项由3个数组成的数组成的数表示，它们依次是：（1，5，9），（2，10，18），（3，15，27），……。
问第50个数组内三个数的和是多少？
例4 先找规律，再填数。
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=（）
12345×9+6=（）
123456×9+7=（）
1234567×9+8=（）
例5
第6讲图形的排列规律
找规律是解决数学问题的一种重要手段。
而发现规律既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力。
同学们一定听说过福尔摩斯这个人吧，他是世界著名的大侦。
我们从小说和电视剧中看到福尔摩斯的“破案”简值神极了，什么疑难案件，他都能把业超级大国去肪分析清楚。
他靠的不仅是渊博的知识，还有细心敏锐的观察与严密的逻辑推理。
这一讲将为你提供很多图形，它们在某一个方面，比如颜色、形状、大小、结构、位置或繁难等有些共同的特征或变化规律，我们要学会通过观察找规律，并根据规律来推断结果。
例题与方法
例1 下面哪个图形和其他几个不一样，请你找出来，并打上“√”。
(1)
(2)
(3)
例2 按顺序观察下图的变化规律，想一想在带“？”处应选择哪一个图形？可供选项：
例3 仔细观察下面的三个图形，然后选择一个合适的图形填在“？”处。
例4 根据等号左边两个图形的变换关系，推断出“？”处应选择第几号图形？
①②③④
例5 下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适
当的图形。
例6
练习与思考
1．选择合适的图形，将图号填入虚线框内。
（1）
（2）
（2）
？ ？
（3）
2．仔细观察下面图形，按其变化规律在“？”处填上合适的图形。
（1）
(2)
(3)
3.根据左边图形的关系，画出右边图形的另一半。
(2)
(3)
4．从所给的6个图形中，选出一个适当的图形，将它的编号填入“？”处。
(1)
(2)
?
① ② ③ ④ ⑤
① ② ③ ④ ⑤。