第5章-机械振动

第五章机械振动
5-1. 从运动学看什么是简谐振动？从动力学看什么是简谐振动？一个物体受到使它返回平
衡位置的力，它是否一定作简谐振动？
答：从运动学观点来看，物体在平衡位置做往复运动，运动变量（位移、角位移等）随
时间t 的变化规律可以用一个正（余）弦函数来表示，则该物体的运动就是简谐振动；从动
力学来看，如果物体受到的合外力（矩）与位移（角位移）的大小成正比，而且方向相反，
则该物体的运动就是简谐振动。

由简谐振动的定义可看出，不一定作简谐振动。

5-2. 若物体的坐标x ，速度υ和时间t 分别具有下列关系，试判断哪些情况下物体的运动是
简谐振动？并确定它的周期。

（1）2sin x A Bt =； （2）2A Bx υ=-
（3）5sin()2x t π
π=+； （4）cos At x e t π-= （各式中A 、B 均为常数）。

答：只要物体的运动状态方程满足cos()x A t ωϕ=+或者sin()x A t ωϕ=+ ，或者满足2220d x x dt
ω+=的形式，则均为简谐振动。

由此可判定出 ：（1）是简谐振动，振动周期T
B π
=；（2）是简谐振动，因为满足2220d x x dt ω+=的判椐。

振动周期T = （3）是简谐振动，振动周期2T s =； （4）不是简谐振动。

5-3 刚度系数分别为k 1和k 2的两根轻质弹簧，与质量为m 的滑块相连，水平面光滑，
如图5-3所示。

试证明其为简谐振动，并求出振动周期。

解：建立坐标并对物体m 进行受力分析。

设初时物体处于坐
标原点O 的右侧x 处，初速度v 0，物体受左右弹簧力的合力为
12()F k k x =-+，
大小与x 成正比，方向与位移方向相反 ，
满足简谐振动的动力学规律，故是简谐振动。

由牛顿第二定律可得：
22
12122()()0k k k k d x x m dt m ω++=+= ，即 习题5-3图
2122()0k k d x x dt m
++=，由此知园频率 212()k k m ω+=，周期为 2T =
5-4 质量为31.010-⨯kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按3510cos(8)()
3x t m π
π-=⨯+
的规律振动，式中t 单位为s 。

试求：
（1） 动的振幅、周期，初位相、速度及加速度的最大值。

（2） 求t = 2s 、10s 时刻的位相及系统的机械能。

解：写出简谐振动的位移状态方程的标准形式：cos()x A t ωϕ=+，将其与题中状态
方程对照可得：
(1) 振幅A =3510m -⨯，周期T =0.25s ，初位相φ0= π/3，任意时刻速
0/s i n ()d x d t A t υωωϕ==-+得最大速度111.310()m A ms υω--==⨯；
(2) 任意时刻加速度：
20/cos()a d dt A t υωωϕ==-+，得最大加速度223.2()m a A ms ω-==；
5-5 一弹簧振子，弹簧的刚度系数k = 9.8N/m ，物体的质量为m = 200g ，现将弹簧自平
衡位置拉长并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s ，求该振子的运动
学方程（SI 制）。

解：要求出运动学方程cos()x A t ωϕ=+，只要得出A ， ω及ϕ即可。

ω，当t=0 时，解方程
00cos()sin()
x A A ϕυωϕ=⎧⎨=-⎩ 得 A =0.03m ，0.3ϕ=， 振子的运动学方程：2
310cos(70.3)x t -=⨯-
5-6 画出某简谐振动的位移—时间曲线，其运动规律为2cos 2(0.25)x t π=+（SI 制）。

提示：振幅A =2m ，周期T=1s ，t=0时，初位置x 0=0。

位移—时间曲线如下
5-7 （1）一简谐振动的运动规律为5cos(8)4x t π
=+，若计时起点提前0.5s ，其运动
学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？
（2）一简谐振动的运动学方程为8sin(3)x t π=-，若计时起点推迟1s ，它的初相
是多少？欲使其初相为零，应怎样调节计时起点？
提示：（1）5cos(84)4x t π=-+，计时起点提前32s π； （2）332π-，计时起点推迟2
s π。

5-8 图为两个简谐振动的x —t 曲线，试分别写出其简谐振动方程。

(a) (b)
习题5—8图
解：本题有两种常见思路。

思路一：设简谐振动方程为cos()x A t ωϕ=+
由图（a ）知振幅A =10cm ，周期T=2s ，园频率ω=π(rad/s)，由初始条件 t =0时，位
移和速度可表示为：
00cos()0sin()
x A A ϕυωϕ==⎧⎨=-⎩ 得ϕ=/2π 或 ϕ=/2π-，但此时00υ>，故ϕ=/2π，简谐振动方程可写为：0.1cos(/2)x t ππ=+ m
仿图(a)中解，图(b)可得t =0时，00
cos()5sin()0x A A ϕυωϕ==⎧⎨=->⎩，ϕ=/3π-； t =1s 时，0cos()0x A ωϕ=+=， ω=5/6π 0.1cos(5/65/3)x t m ππ=+，或0.1cos(5/6/3)x t m ππ=-
思路二：旋转矢量法
以图(b)为例，如右图所示
t =0时，对应旋转矢量在1或2的位置，但
由速度方向可判定，位置2是旋转矢量的
初始位置，可求得初相位ϕ=/3π-，从t =0s
到t =1s 旋转矢量转过的角度△ϕ=5/6π，故ω=5/6π，从而可简单地得到振动方程
为 0.1cos(5/65/3)x t m ππ=+
5-9 天花板以0.9m 长的轻绳悬挂一个质量为0.9kg 的小球。

最初小球静止，后另有一
质量为0.1kg 的小球沿水平方向以1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞。

求两小球碰后的
运动学方程。

t (s) t (s) x (cm) x
(cm)
解：如图5-9所示，以两小球为研究对象，在碰撞过程中，时间较短，
可认为角动量守恒。

打击前只有质量为0.1kg 的小球有角动量，即系统角动量：
J 0= mrv 0 =0.1×0.9×1=0.09 (kg m 2/s)
打击后瞬间两小球以共同的速度前进，此时系统角动量:
J = (m+M) r v= 1×0.9×v
由系统角动量守恒得：
J 0 = J, 得共同速度 v=0.1(m/s)
在随后过程中（将它们当作质点），可认为机械能守恒，
算得上升的最大高度：(m+M)gh=(m+M) v 2/2， h=5×10-4 m, 习题图5-9
由此判定（m+M ）的张角小于5°，可将它们视为单摆，
其运动学方程可设为：cos()x A t ωϕ=+,
t=0
时，振幅ω=，00cos()0sin()0
x A A ϕυωϕ==⎧⎨=->⎩
，ω=得运动学方程：0.03cos(3.3)2x t π
=-
5-10 把一单摆的摆球拉开一个很小的张角θ，如习题图5-9所示。

将此时刻作为计时起
点，然后放开任其摆动，问此张角θ是否就是初位相？小球绕悬点转动的角速度是否就是圆
频率？
答：此张角θ不是初位相，初位相是 t=0时，由00cos()0sin()
x A A ϕυωϕ==⎧⎨=-⎩得出，由小球绕悬
点转动的角速度也不是圆频率，园频率由ω=
5-11 一质点同时参与两个同一直线上的简谐振动，振动方程如下（SI 制）
3
0.05cos(10)5
x t π=+
10.06cos(10)5x t π=+ 求它们合振动的振幅、初位相及振动方程。

解：由题知，A1=0.05，103/5ϕπ= ；A2=0.06，
20/5ϕπ=。

合振动振幅
A =
= 28.9210-⨯（m ）， 初位相 1102200110220
sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+,得 '06813ϕ= ， 合振动方程2'8.9210cos(106813)x t -=⨯+ （m ）。

5-12 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.20m ，位相与第一振动
的位相差/6π，若第一振动的振幅为0.173m ，求第二振动的振幅以及第一、第二两振动的
位相差。

解：由题知A=0.05，A1=0.06，
010/6ϕϕπ-=，
由合振幅A = 及由位相差1102200110220
sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+ 得 A 2 = 0.10m ，第一、第二两振动的位相差/2ϕπ∆=。

※5-13 如图5—14所示，两个相互垂直的简谐振动的合振动图形为一
椭圆，已知x 方向的振动方程为6cos(2)x t π=cm ，求y 方向的振动方程。

解： 由图可知两简谐振动的合成为椭圆 ,满足一般椭圆方程
22220102010221212
2cos()sin ()x y xy A A A A ϕϕϕϕ+--=- 已知 A 1 = 6cm ，10ϕ=0，由图可知： 习题图5—14
x =1,y =0；x =0,y =2 ,将它们代入椭圆方程即可解得
y 方向的振动方程为：12cos(2)2y t π
π=+ cm 。