第5章-机械振动

第五章机械振动

5-1. 从运动学看什么是简谐振动？从动力学看什么是简谐振动？一个物体受到使它返回平

衡位置的力，它是否一定作简谐振动？

答：从运动学观点来看，物体在平衡位置做往复运动，运动变量（位移、角位移等）随

时间t 的变化规律可以用一个正（余）弦函数来表示，则该物体的运动就是简谐振动；从动

力学来看，如果物体受到的合外力（矩）与位移（角位移）的大小成正比，而且方向相反，

则该物体的运动就是简谐振动。由简谐振动的定义可看出，不一定作简谐振动。

5-2. 若物体的坐标x ，速度υ和时间t 分别具有下列关系，试判断哪些情况下物体的运动是

简谐振动？并确定它的周期。

（1）2sin x A Bt =； （2）2A Bx υ=-

（3）5sin()2x t π

π=+； （4）cos At x e t π-= （各式中A 、B 均为常数）。

答：只要物体的运动状态方程满足cos()x A t ωϕ=+或者sin()x A t ωϕ=+ ，或者满足2220d x x dt

ω+=的形式，则均为简谐振动。由此可判定出 ：（1）是简谐振动，振动周期T

B π

=；（2）是简谐振动，因为满足2220d x x dt ω+=的判椐。振动周期T = （3）是简谐振动，振动周期2T s =； （4）不是简谐振动。

5-3 刚度系数分别为k 1和k 2的两根轻质弹簧，与质量为m 的滑块相连，水平面光滑，

如图5-3所示。试证明其为简谐振动，并求出振动周期。

解：建立坐标并对物体m 进行受力分析。设初时物体处于坐

标原点O 的右侧x 处，初速度v 0，物体受左右弹簧力的合力为

12()F k k x =-+，

大小与x 成正比，方向与位移方向相反 ，

满足简谐振动的动力学规律，故是简谐振动。

由牛顿第二定律可得：

22

12122()()0k k k k d x x m dt m ω++=+= ，即 习题5-3图

2122()0k k d x x dt m

++=，由此知园频率 212()k k m ω+=，周期为 2T =

5-4 质量为31.010-⨯kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按3510cos(8)()

3x t m π

π-=⨯+

的规律振动，式中t 单位为s 。试求：

（1） 动的振幅、周期，初位相、速度及加速度的最大值。

（2） 求t = 2s 、10s 时刻的位相及系统的机械能。

解：写出简谐振动的位移状态方程的标准形式：cos()x A t ωϕ=+，将其与题中状态

方程对照可得：

(1) 振幅A =3510m -⨯，周期T =0.25s ，初位相φ0= π/3，任意时刻速

0/s i n ()d x d t A t υωωϕ==-+得最大速度111.310()m A ms υω--==⨯；

(2) 任意时刻加速度：

20/cos()a d dt A t υωωϕ==-+，得最大加速度223.2()m a A ms ω-==；

5-5 一弹簧振子，弹簧的刚度系数k = 9.8N/m ，物体的质量为m = 200g ，现将弹簧自平

衡位置拉长并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s ，求该振子的运动

学方程（SI 制）。

解：要求出运动学方程cos()x A t ωϕ=+，只要得出A ， ω及ϕ即可。

ω，当t=0 时，解方程

00cos()sin()

x A A ϕυωϕ=⎧⎨=-⎩ 得 A =0.03m ，0.3ϕ=， 振子的运动学方程：2

310cos(70.3)x t -=⨯-

5-6 画出某简谐振动的位移—时间曲线，其运动规律为2cos 2(0.25)x t π=+（SI 制）。

提示：振幅A =2m ，周期T=1s ，t=0时，初位置x 0=0。位移—时间曲线如下

5-7 （1）一简谐振动的运动规律为5cos(8)4x t π

=+，若计时起点提前0.5s ，其运动

学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？

（2）一简谐振动的运动学方程为8sin(3)x t π=-，若计时起点推迟1s ，它的初相

是多少？欲使其初相为零，应怎样调节计时起点？

提示：（1）5cos(84)4x t π=-+，计时起点提前32s π； （2）332π-，计时起点推迟2

s π。

5-8 图为两个简谐振动的x —t 曲线，试分别写出其简谐振动方程。

(a) (b)

习题5—8图

解：本题有两种常见思路。

思路一：设简谐振动方程为cos()x A t ωϕ=+

由图（a ）知振幅A =10cm ，周期T=2s ，园频率ω=π(rad/s)，由初始条件 t =0时，位

移和速度可表示为：

00cos()0sin()

x A A ϕυωϕ==⎧⎨=-⎩ 得ϕ=/2π 或 ϕ=/2π-，但此时00υ>，故ϕ=/2π，简谐振动方程可写为：0.1cos(/2)x t ππ=+ m

仿图(a)中解，图(b)可得t =0时，00

cos()5sin()0x A A ϕυωϕ==⎧⎨=->⎩，ϕ=/3π-； t =1s 时，0cos()0x A ωϕ=+=， ω=5/6π 0.1cos(5/65/3)x t m ππ=+，或0.1cos(5/6/3)x t m ππ=-

思路二：旋转矢量法

以图(b)为例，如右图所示

t =0时，对应旋转矢量在1或2的位置，但

由速度方向可判定，位置2是旋转矢量的

初始位置，可求得初相位ϕ=/3π-，从t =0s

到t =1s 旋转矢量转过的角度△ϕ=5/6π，故ω=5/6π，从而可简单地得到振动方程

为 0.1cos(5/65/3)x t m ππ=+

5-9 天花板以0.9m 长的轻绳悬挂一个质量为0.9kg 的小球。最初小球静止，后另有一

质量为0.1kg 的小球沿水平方向以1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的

运动学方程。

t (s) t (s) x (cm) x

(cm)