15.3分式方程例题与讲解(2013-2014学年新人教版七年级上)
初一数学分式方程试题答案及解析
初一数学分式方程试题答案及解析1.解方程：.【答案】x=10【解析】解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验.方程两边都乘以（x﹣2）（x+2）得，x（x+2）-3(x-2)=(x+2)(x-2)x2+2x-3x+6=x2-4-x=-10x=10经检验，x=10是原方程的解，所以，原分式方程的解是x=10．本题涉及了解分式方程，解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.2.先化简，然后从-1、1、2三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．【答案】，当时，原式=2【解析】先对小括号部分通分，同时把除化为乘，然后约分，最后选择一个合适的x的值代入求值.原式当时，原式.【考点】分式的化简求值点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.3.解分式方程：.【答案】【解析】先去分母得到整式方程，再解所得的整式方程即可，注意解分式方程最后要写检验.去分母得解得经检验是原方程的增根∴原方程无解.【考点】解分式方程点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.4.若为常数，当为时，方程有解．【答案】【解析】有解，即x-3≠0，则x≠3.把方程去分母得x-2（x-3）=m，即-x+6-m=0，所以x=6-m，则6-m≠3，解得m≠3【考点】分式方程点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，求出分母x-3的取值范围为解题关键.5.【答案】（增根）【解析】解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验.两边同乘得解这个方程得经检验是增根，所以原方程无解.【考点】解分式方程点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.6.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【答案】甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；因为y是整数，所以y取20，21，22，23．共有四种方案．【解析】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，，经检验x=15是原方程的解．∴5．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，解得．因为y是整数，所以y取20，21，22，23．共有四种方案．【考点】分式方程和不等式组应用点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程和不等式组解决实际问题的应用。
人教版八年级上册数学试题： 15.3 分式方程 经典题、易错题(解析)
分式方程 经典题1. 如果0132=--x x ，则=+221xx ． 分析：这是一道填空题，题目与例3极为相近，唯一区别在于条件中常数项一个是“1+”，另一个是“1-”．把0132=--x x 变形后得到31=-xx ，两边平方，不难得到911222=+⋅⋅-x x x x ，整理为11122=+xx ．同学们观察后，容易发现 “1+” 与“1-”的区别，前者结果为平方后等式右边的值“2-”；而后者结果为平方后等式右边的值“2+”．解：如果0132=--x x ，则=+221x x 11 ．2．若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 . 分析：在解分式AB值为零这类问题时必须注意到A=0且B ≠0的条件，•二者缺一不可. 解：由分式值为零的条件得：|x|-1=0且x+1≠0，得x=1； 3．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 分析：原方程有增根，说明分母为0的那个值是使得方程出现增根，x=1，只要带入方程即可求出a 值。
解：去分母并整理，得ax +1=x -1，因为原方程有增根，增根只能是x =1，将x =1代入去分母后的整式方程，得a =-1．4. 解方程43.44x x x +=-++ 分析：注意到本题中有相同的分母，这是应该将其移项、合并。
解：原方程可化为43,44x x x +=-++ 合并，得43,4x x +=-+ 即1=－3，结论矛盾，故原分式方程无解．5. 解方程2.65x xx x +=-- 分析：注意到方程两边只是各有一个分式，此时应该交叉相乘比较简单。
解：由原方程，得(x+2)(x －5)=x(x －6),可得x=10.3经检验：x=103是原分式方程的解．6. 解下列方程：xx x x -++=--212253 析解：先确定最简公分母，再两边同乘以最简公分母，将原方程化为整式方程，求出根并检验即可．原方程即为212253-+-=--x x x x 方程两边同乘以（x 一2），去分母，得： 3x 一5=2（x 一2）一（x 十1）整理，得x=0检验：当x=0时，x 一2≠0 所以x=2是原方程的根．点评：去分母的关键是找出最简公分母，将分式方程转化为整式方程，但还应注意：（1）灵活运用分式符号法则，有时将能使最简分母更简单，（2）方程两边同乘以最简公分母时，别忘了常数项相乘（3）当去分母时，分数线消失，应在分子部分添上括号，并且要特别注意符号．7.解方程2x+15x +=3x －2+1.5x + 分析：本题可以将方程两边相同的分式消去解：方程左右两边分式相消，得 2x=3x －2，解得x=2.经检验：x=2是原分式方程的解． 8. 解方程11 3.22xx x-=--- 分析：本题可用一般的解题方法解答，这里还可以是一个参数，达到化简的目的 解：设x －2=y,则x －1=y+1.原方程可化为11 3.y y y+=- 即112y y=-，0=－2，结论矛盾． 所以原分式方程无解．9. 已知方程214x -＋2＝2kx -有增根，则k ＝______________. 分析：原方程有增根，说明分母为0的那个值是使得方程出现增根，增根可能是2x =或2x =-.，然后分别代入求解。
分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版
第十五章分式的方程15.3分式的方程第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）1教学目标1.1知识与技能：[1]理解分式方程的意义。
[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。
[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。
1.2过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。
1.3 情感态度与价值观：[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。
2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。
[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。
2.2 教学难点[1]理解解分式方程时可能无解的原因。
[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。
3 专家建议本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。
在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。
（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。
从下一节起将开始分式方程的应用。
因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。
4 教学方法[1]分组讨论。
[2]类比推理。
[2]启发引导探索的教学方法。
5 教学用具多媒体，黑板6教学过程6.1复习提问【师】同学们好。
同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？【生】答：（1）前面已经学过了一元一次方程．（2）一元一次方程是整式方程．（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一。
分式方程及其解法公开课PPT课件
2021/7/24
12
【分式方程的解】
上面两个分式方程中，为什么
120 20+x
=
80 20-x
x1-去5 分= 母x1后20-2得5 到去的分整母式后方得程到的的解整就式是方它程的的解解，却而不
18
【例题】
解分式方程
x x-1
-1 =
3 (x-1)(x+2)
解 ：方程两边同乘以最简公分母(x－1) (x＋2),得
X(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解整式方程,得 x = 1
检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝０，x=１不
是原分式方程的解，原分式方程无解．
解分式方程
(1)
2 x-1
如何去掉分母，化 为整式方程还保持
等式成立?
16
解方程 100 30 x x7
解 方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得 100(x-7)=30x
解这个整式方程, 得 X=10
检验:把x=10代入x(x-7), 得
10×(10-7)≠0
所以, 2021/7/24 x=10是原方程的解.
17
(2) xx22x2164xx22
x+5=10
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使
分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解
2021/7/24
13
【分式方程解的检验】
= 120
20+x
2800-x当两x边=4同时乘,((2200++xx))((2200--xx))≠1020(20-x)=80(20+x)
分式方程ppt课件
36
根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
人教版八年级数学上册《15.3分式方程》课件
2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。
3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。
4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。
5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午6时22分21.11.718:22November 7, 2021
x -x
x -1
2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3),
化简,得 4x=-12.
解得 x=-3.
关闭
检验:当 x=-3 时,(2x-3)(2x+3)≠0,
所以 x=-3 是原分式方程的解.
图中共有
8 个三角形,其中以 BC 为边的三角形是
(2)方程两边同乘 x(x+1)(x-1),得
A,D 是整式方程,B 不是方程,只有 C 是分式方程.
关闭
C
解析
答案
1
2
2x-4
2.要把分式方程
A.2x-4
C.2x(x-2)
3
2
3
4
= 2x化为整式方程,则方程两边同乘(
5
).
B.2x(2x-4)
D.2x
关闭
C
答案
1
1
3
3.方程x = x+2的解是
2
3
4
5
.
关闭
x=1
答案
1
3-x
1
4.解分式方程:(1) + =1;
7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观
15.3分式方程(解析版)
八年级上册数学《第十五章分式》15.3分式方程◆1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π是常数)．◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.◆2、“去分母法”解分式方程的步骤（1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；（4）写出原方程的解.简记为：“一化二解三检验”.◆3、检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解.◆4、分式方程的增根增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．◆列分式方程解应用题的一般步骤：1.审清题意；2.设出未知数；3.找相等关系；4.列出方程；5.解这个分式方程；6.检验(包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；7.作答.【例题1】（2022秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+2=1B．x+1=2C．2x＝x﹣5D．x﹣4y＝1【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．解题技巧提炼分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．【变式1-1】（2022秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+2=1B．+1=2C．3x＝x﹣5D．2x﹣y＝1【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．【解答】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意；B．该方程是分式方程，符合题意；C．该方程是一元一次方程，不符合题意；D．该方程是二元一次方程，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．【变式1-2】（2023春•渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是（）A．+1B．1r1=12K3C．r23=5D．1+=0【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：A、+1不是方程，故本选项错误；B、方程1r1=12K3的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；C、方程r23=5分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；D、方程1+=0的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【变式1-3】（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+1，②1−3＝a+4，③2+5x＝6，④2K3=1中，其中关于x的分式方程的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程．【解答】解：①x2﹣x+1是分式，不是分式方程；②1−3＝a+4是关于a的分式方程；③2+5x＝6是一元一次方程；④2K3=1是关于x的分式方程，故关于x的分式方程只有一个．故选：A．【点评】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键．【变式1-4】（2023春•宜宾月考）在方程1r1=3K2，3+1=2，3−2=0，=1中，分式方程有个．【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：在方程1r1=3K2，3+1=2，3−2=0，=1中，分式方程有1r1=3K2，3+1=2，=1，一共有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【变式1-5】下列方程：①3−7=2，②=3，③4K13−r12=54，④+=5，⑤1r2+1＝0中，关于x的分式方程有（填写序号）：．【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．【解答】解：方程①3−7=2、②=3、③4K13−r12=54、④+=5的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤1r2+1＝0的分母中含有未知数，是分式方程，所以分式方程有⑤．故答案为：⑤．【点评】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是解此题的关键．【例题2】（2022春•濮阳期末）解分式方程K3=53−−2去分母变形正确的是（）A．x＝5﹣2（x﹣3）B．x＝﹣5﹣2（x﹣3）C．x＝5﹣2（3﹣x）D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）【分析】根据等式的基本性质解决此题．【解答】解：K3=53−−2去分母，得x＝﹣5﹣2（x﹣3）．故选：B．【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．【变式1-1】关于x的分式方程K5=1，下列说法正确的是（）A．方程的解是x＝m+5B．m＞﹣5时，方程的解是正数C．m＜﹣5时，方程的解为负数D．无法确定【分析】先按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值讨论m的范围，即可作出判断．【解答】解：方程两边都乘以x﹣5，去分母得：m＝x﹣5，解得：x＝m+5，∴当x﹣5≠0，把x＝m+5代入得：m+5﹣5≠0，即m≠0，方程有解，故选项A错误；当x＞0且x≠5，即m+5＞0，解得：m＞﹣5，则当m＞﹣5且m≠0时，方程的解为正数，故选项B错误；当x＜0，即m+5＜0，解得：m＜﹣5，则m＜﹣5时，方程的解为负数，故选项C正确；显然选项D错误．故选：C．【点评】本题在判断方程的解是正数时，容易忽视m≠0的条件．【变式1-2】（2022春•南岸区期末）解分式方程K1K2=1−1的过程如下：解：方程两边都乘x（x﹣2），得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②解这个方程，得x＝1③检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④以上解答过程中，开始出错的一步是（）A．①B．②C．③D．④【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：K1K2=1−1，方程两边都乘x（x﹣2），得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①，以上解答过程中，开始出错的一步是：①，故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．【变式1-3】（2023•高新区校级模拟）解分式方程2K1+21−2=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3B．x﹣2＝3C．x+2＝3（2x﹣1）D．x﹣2＝3（2x﹣1）【分析】首先根据2K1+21−2=3，可得：2K1−22K1=3，然后方程两边同时乘（2x﹣1），判断出去分母化为一元一次方程，正确的是哪个即可．【解答】解：∵2K1+21−2=3，∴2K1−22K1=3，方程两边同时乘（2x﹣1），可得：x﹣2＝3（2x﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确等式的性质的应用．【变式1-4】（2023秋•昌黎县期中）分式31−与2互为相反数，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可．【解答】解：由题意得31−+2=0，去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．经检验得x＝﹣2是原方程的解．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义及解分式方程，记忆解分式方程的步骤是解题关键．结果要检验．【变式1-5】（2023秋•长沙期中）解分式方程：（1）1r2+1K4=0；（2）K2r2−1=162−4．【分析】（1）先去分母，方程两边同乘以（m+2）（m﹣4）得到m﹣4+m＝2＝0，解得m＝1，然后检验：把m＝1代入（m+2）（m﹣4）进行计算即可得到原方程的解；（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）得到（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，然后进行检验得到x＝﹣2是原方程的增根，于是原方程无解．【解答】解：（1）方程两边同乘以（m+2）（m﹣4）得，m﹣4+m+2＝0，经检验m＝1是原方程的解，所以原方程的解为m＝3；（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）得，（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2是原方程的增根，所以原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程：解分式方程的基本步骤为①找出最简公分母，去分母，把分式方程转化为一元一次方程；②解一元一次方程；③检验；④确定分式方程的解．【变式1-6】（2023秋•武冈市期中）解方程：（1）2K2−22−=1；（2）r1K1−42−1−1＝0．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x+2＝x﹣2，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1﹣4﹣x2+1＝0，解得：x＝1，经检验，x＝1不是原方程的解，方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意不要忘了检验．【变式1-7】（2023秋•宁远县期中）解方程：（1）2=3r1；（2）3r2+4K2=162−4．【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1）2=3r1，2（x+1）＝3x，检验：当x＝2时，x（x+1）≠0，∴x＝2是原方程的根；（2）3r2+4K2=162−4，3（x﹣2）+4（x+2）＝16，解得：x＝2，检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．【例题3】（2022秋•仁寿县校级月考）若42−4=−1，则2=（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2【分析】根据用换元法解分式方程即可．【解答】解：设1=a，则12=a2，原方程可变形为4a2﹣4a＝﹣1，所以4a2﹣4a+1＝0，所以（2a﹣1）2＝0，解得a=12，所以x＝2，经检验，x＝2是原方程的根．所以2=1．故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法解分式方程是解题的关键．【变式3-1】（2023春•万源市校级期末）用换元法解方程2−12−2−12=3时，设2−12=y，则原方程可化为（）A．y−1−3＝0B．y−4−3＝0C．y−1+3＝0D．y−4+3＝0【分析】把y=2−12代入原方程，移项即可得到答案．【解答】解：设2−12=y，则原方程可化为：y−1=3，即y−1−3＝0，故选：A．【点评】本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．【变式3-2】（2023春•松江区期末）解方程K1−2K1=3时，设K1=y，则原方程可化为关于y的整式方程是（）A．y−2=3B．y2﹣2y＝3C．y2﹣3y﹣2＝0D．y2+3y﹣2＝0【分析】先将K1=y代入原方程，通过去分母，将原方程化为关于y的整式方程．【解答】解：解方程K1−2K1=3时，设K1=y，则原方程可化为−2=3去分母，得y2﹣2＝3y即y2﹣3y﹣2＝0故选：C．【点评】本题主要考查了换元法解分式方程，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，有时需要通过变形才能换元．【变式3-3】（2023春•虹口区期末）用换元法解分式方程时K1−2K1+1=0，如果设K1=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．y2+y﹣2＝0B．y2﹣2y+1＝0C．2y2﹣y+1＝0D．2y2﹣y﹣1＝0【分析】先换元，再化成整式方程．【解答】解：设K1=y，则：y−2+1＝0．∴y2+y﹣2＝0．故选：A．【点评】本题考查换元法，确定新未知数与方程中代数式的关系是求解本题的关键．【变式3-4】（2022秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：K1−4K1=0．解：设y=K1，则原方程化为：y−4=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y−4=0的解．当y＝2时，K1=2，解得：x＝﹣1；当y＝﹣2时，K1=−2，解得：x=13．经检验：x1＝﹣1或x2=13都是原分式方程的解．∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：（1）若在方程K14−K1=0中，设y=K1，则原方程可化为：；（2）若在方程K1r1−4r4K1=0中，设y=K1r1，则原方程可化为：；（3）模仿上述换元法解方程：K1r2−3K1−1＝0．【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设=K1r2，将原方程化为−1=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．【解答】解：（1）将=K1代入原方程，则原方程化为4−1=0．故答案为：4−1=0；（2）将=K1r1代入方程，则原方程可化为−4=0．故答案为：−4=0；（3）原方程化为：K1r2−r2K1=0，设=K1r2，则原方程化为：−1=0，方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程−1=0的解，当y＝1时，K1r2=1，该方程无解，当y＝﹣1时，K1r2=−1，解得：=−12，经检验：=−12是原分式方程的解，∴原分式方程的解为=−12．【点评】本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．【变式3-5】在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（K1）2﹣4（K1）+4＝0．学生甲：老师，原方程可整理为2(K1)2−4K1+4＝0，再去分母，行得通吗？老师：很好，当然可以这样做．再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？学生乙：老师，我发现K1是整体出现的！老师：很好，我们把K1看成一个整体，用y 表示，即可设K1=y ，那么原方程就变为y 2﹣4y +4＝0．全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y ﹣2）2＝0老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y 2﹣4y +4＝0的根是y ＝2，那么就有K1=2学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x ＝2，再验根就可以了！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK ，换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：（1）（2）2−4K1+1＝0；（2+4r=3−1r=1．【分析】（1）设2K1=，则原方程变形为：y 2﹣2y +1＝0，求得y 的值，继而可得关于x 的方程，即可求得x 的值；（2）设1K =u ，1r=v ，将原方程组转化为关于u 、v 的方程组求得u 、v 的值，继而可得关于x 、y 的方程组，解方程组可得．【解答】解：（1）设2K1=，则原方程变形为：y 2﹣2y +1＝0，即（y﹣1）2＝0，故y＝1，则：2K1=1，解得：x＝﹣1，经检验：x＝﹣1是原方程的解．（2）设1K=u，1r=v，则原方程组化为：6+4=39−=1，解得：=16=12，所以+=2−=6，解得：=4=−2，经检验，=4=−2是原方程组的解．【点评】本题主要考查换元法解方程或方程组，解方程或方程组是基本技能，要熟练掌握其基本步骤和方法，将合适的整体设为新元是换元法的关键．【例题4】（2022春•盐城期末）若x＝4是分式方程K2=1K3的根，则a的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】将x＝4代入分式方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求得答案．【解答】解：将x＝4代入分式方程可得，K24=1，解得：a＝6，故选：D．【点评】本题主要考查分式方程及其算法，关键在于正确运算解答答案．【变式4-1】（2023•淄博）已知x＝1是方程2−−1K2=3的解，那么实数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】将x＝1代入原方程即可求出m的值．【解答】解：将x＝1代入方程，得：2−1−11−2=3，解得：m＝2．故选：B．【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x＝1代入原方程中得到关于m的方程．【变式4-2】（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程2B+3K=34的解，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【分析】把x＝1代入分式方程2B+3K=34就得到关于a的方程，从而求出a的值．【解答】解：把x＝1代入分式方程2B+3K=34得：2r3K1=34，去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值为﹣3．故选：D．【点评】考查了分式方程的解，本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．【变式4-3】（2023•锦江区模拟）若关于x的分式方程K2−K12−=3的解为x＝3，则m的值为（）A．1B．2C．3D．5【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程K2−K12−=3中得：3−2−3−12−3=3，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝3代入方程K2−K12−=3中得：3−2−3−12−3=3，∴m+2＝3，解得：m＝1，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．【变式4-4】（2023•驻马店二模）若关于x的分式方程r K1=2的解是2，则m的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】将x＝2代入原方程解答即可．【解答】解：∵关于x的分式方程r K1=2的解是2，∴r22−1=2，∴m＝﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．【变式4-5】已知方程1K1=r1的解为x＝2，求K1−12−的值．【分析】先把x＝2代入即可得出a的值，再化简K1−12−，把a的值代入即可得出K1−12−的值．【解答】解：把x＝2代入1K1=r1得，a＝3，∴原式=22−−12−=(r1)(K1)oK1)=r1，当a＝3时，原式=r1=43．【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式的化简求值，把分式化简是解题的关键．【变式4-6】（2022秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程2r4=与分式方程32=1K1的解相同，求m2﹣2m的值．【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入2r4=，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算．【解答】解：32=1K1，3（x﹣1）＝2x，解得x＝3，检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0，∴x＝3是此方程的解；把x＝3代入2r4=，得23+4=3，解得m=67；把m=67代入m2﹣2m=(67)2−2×67=−4849．【点评】本题考查了分式方程解，熟练掌握分式方程解的步骤是解题关键．【例题5】（2023春•雁塔区校级期末）若关于x的分式方程K2−K12−=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣5B．m＞﹣5且m≠﹣1C．m＞﹣3D．m＞﹣3且m≠﹣1【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．【解答】解：K2−K12−=3，m+（x﹣1）＝3（x﹣2），m+x﹣1＝3x﹣6，m﹣1+6＝3x﹣x，2x＝m+5，=r52，∵分式方程的解为正数，即=r52＞0，∴m＞﹣5，又∵使分式方程有意义，x﹣2≠0，∴r52−2≠0，∴m≠﹣1，综上：m＞﹣5且m≠﹣1．故选：B．【点评】本题考查了分式方程，掌握使分式方程解大于零且分式方程有意义是解题的关键．【变式5-1】（2023春•莲池区校级期末）若关于x的分式方程2K K2=13的解为非负数，则实数a的取值范围是（）A．≥23B．a≤23C．≥23且a≠4D．a≤23且a≠﹣4【分析】表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的范围即可．【解答】解：去分母得：6x﹣3a＝x﹣2，解得：x=3K25，由分式方程的解为非负数，得到3K25≥0，且3K25≠2，解得：a≥23且a≠4．故选：C．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对分式方程增根的讨论是解题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）若关于x的方程r1−2r1=1的解为负数，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＜3C．m＜2且3m≠1D．m＜3且m≠2【分析】先银分式方程求得解为x＝m﹣3，再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可．【解答】解：r1−2r1=1，m﹣2＝x+1，x＝m﹣3，∵原方程解为负数，∴m﹣3＜0，∴m＜3，∵x+1≠0，∴m﹣3+1≠0，∴m≠2，∴m＜3且m≠2，故选：D．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键．【变式5-3】（2023秋•渝中区校级期中）若整数a使关于x≥−8−2有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程K3+33−=−1的解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和为（）A．8B．6C．10D．7【分析】分别解不等式组和分式方程，确定a的取值范围，进而求解即可．≥−8−2的解集是﹣1≤x＜r86，∵该不等式组有且只有3个整数解，∴1＜r86≤2，解得﹣2＜a≤4．分式方程K3+33−=−1的解是y＝6﹣a（y≠3），∵y＜7，即6﹣a＜7，解得a＞﹣1，且a≠3．综上，﹣1＜a≤4（a为整数），且a≠3，∴a＝0，1，2，4，∴0+1+2+4＝7．故选：D．【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式组等，熟练掌握它们的解法是本题的关键．【变式5-4】（2022秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程2K4−1=K2的解为非负数，求k的取值范围．【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．【解答】解：2K4−1=K2，去分母得：k﹣2x+4＝2x，解得：x=r44，∵x﹣2≠0，∴r44≥0且r44−2≠0，解得：k≥﹣4且k≠4．所以k的取值范围为：k≥﹣4且k≠4．【点评】本题考查分式方程的解，正确进行分式的计算是解题关键．【变式5-5】若关于x的方程K4−3=K4的解不小于2，求a的取值范围．【分析】根据解分式方程，可得关于a的表达式，根据解不等式，可得答案．【解答】解：两边都乘（x﹣4），得x﹣3（x﹣4）＝a，解得x=12−2≠4，由关于x的方程K4−3=K4的解不小于2，得12−2≥2，解得a≤8，a的取值范围是a≤8且a≠4．【点评】本题考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．【变式5-6】（2022秋•石家庄期末）若关于x的分式方程K2=2−2−的解为正数，求满足条件的正整数m的值．【分析】根据分式方程的一般解法得到方程K2=2−2−的解为x＝4﹣m；由于该方程的解为正数，则x ＞0，由于要使方程有意义，则x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣m≠2；根据所得的方程，求出m的值，结合题意m为正整数，可得m的值，至此可得答案．【解答】解：∵K2=2−2−，∴K2=2+K2，K K2=2，x﹣m＝2（x﹣2），解得x＝4﹣m．∵原分式方程的解为正数，∴x＞0且x≠2，即4﹣m＞0且4﹣m≠2，∴m的取值范围为m＜4且m≠2．∵m为正整数，∴m的值为1，3．【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是求出m的范围，本题属于中等题型．【例题6】（2022秋•益阳期末）已知关于x的方程K3+3=K43−有增根，则k为多少？【分析】有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程K3+3=K43−有增根，∴x﹣3＝0，则x＝3，∵原方程可化为4x＝13﹣k，将增根x＝3代入得k＝1．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-1】（2022秋•芝罘区期末）若关于x的分式方程1K2=2−+1有增根，则m为（）A．﹣1B．1C．2D．﹣1或2【分析】增根就是分母为零的x值，所以对分式方程去分母，得m＝x﹣3，将增根x＝2代入即可解得m 值．【解答】解：分式方程去分母，得：1＝﹣m+2﹣x，∴m＝x﹣3，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，将x＝2代入m＝x﹣3中，得：m＝2﹣3＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查分式方程的解，解答的关键是理解分式方程有增根的原因．【变式6-2】（2023秋•慈利县期中）若关于x的分式方程2K4=3−K4有增根，则m的值是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4．【解答】解：分式方程2K4=3−K4两边同时乘x﹣4去分母，得2＝3（x﹣4）﹣m，由分式方程的最简公分母是x﹣4，∴分式方程的增根是x＝4．把x＝4代入2＝3（x﹣4）﹣m，∴m＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-3】（2022秋•武冈市期末）关于x的方程：B+1K1−21−=1．若这个方程有增根，求a的值．【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可．【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，解得：x＝1，将x＝1代入整式方程得：a﹣1＝﹣4，解得：a＝﹣3，综上，a的值为﹣3．【点评】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是确定增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-4】（2022秋•娄星区校级期中）若关于x的分式方程r1−r12+=r1有增根，求m的值．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘x（x+1），得x2﹣（m+1）＝（x+1）（x+1）∵原方程增根为x＝0或x＝﹣1，∴把x＝0代入整式方程，得m＝﹣2，把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0．【点评】本题考查了整式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-5】（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程K3−1=(K3)(K4)．（1）m为何值时，这个方程的解是5？（2）m为何值时，这个方程有增根？【分析】（1）把x＝5代入，然后解关于m的方程即可；（2）去分母化为整式方程，再求出方程有增根时x的值，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：（1）∵方程的解是5，∴把x＝5代入K3−1=(K3)(K4)，得55−3−1=(5−3)(5−4)，解得m＝3；（2）K3−1=(K3)(K4)，两边都乘以（x﹣3）（x﹣4），得x（x﹣4）﹣（x﹣3）（x﹣4）＝m，整理得3x﹣12＝m，∵方程有增根，∴x＝3或x＝4，当x＝3时，m＝3×3﹣12＝﹣3，当x＝4时，m＝3×4﹣12＝0，∴m的值为﹣3或0．【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，熟练掌握当分母等于0时分式方程有增根是解答本题关键．【例题7】（2022秋•泰山区校级期末）若关于x的分式方程K3+33−=2无解，则a的值为（）A．1B．1或12C．﹣1或12D．以上都不是【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．【解答】解：K3+33−=2，分式方程两边同乘以（3﹣x）得：﹣x+3a＝2a（3﹣x），（2a﹣1）x＝3a，要使原分式方程无解，则有以下两种情况：当2a﹣1＝0时，即=12，整式方程无解，原分式方程无解，当2a﹣1≠0时，则=32K1，令最简公分母为0，即x﹣3＝0，解得x＝3，∴当32K1=3，即a＝1时，原分式方程产生增根，无解，综上所述可得：a＝1或12时，原分式方程无解．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是关键．【变式7-1】（2023秋•海阳市期中）若分式方程2+1−B K2=12−无解，则k的值为（）A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2【分析】先去分母，方程两边同时乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出来，然后根据各个选项中的k值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案．【解答】解：2+1−B K2=12−，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程2+1−B K2=12−无解，∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，当k＝1时，原方程为：2+1−K2=12−，2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴k＝1时，原方程无解；综上可知：分式方程2+1−B K2=12−无解时，k的值为1或2，故选：C．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法．【变式7-2】（2023•洪雅县模拟）若关于x的方程2=2r1无解，则m的值为（）A．0B．4或6C．4D．0或4【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m﹣4＝0时，当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，进行计算即可．【解答】解：2=2r1，方程两边同乘x（2x+1）得：2（2x+1）＝mx，整理得：（m﹣4）x＝2，∵原方程无解，∴当m﹣4＝0时，即m＝4，当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，此时，=2K4，解得：x＝0或=−12，当x＝0时，=2K4=0无解，当=−12时，=2K4=−12，解得：m＝0．综上，m的值为0或4．故选：D．【点评】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式7-3】（2022秋•岱岳区期末）关于x的分式方程7K1+5=2K1K1无解，则m的值为．【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，根据方程无解即可判断．【解答】解：去分母，得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1，整理，得6x＝m+2，解得x=r26，∵方程无解，则x＝1，r26=1，解得m＝4．故答案为：m＝4．【点评】本题考查了分式方程，正确记忆无解的条件是分母等于0是解题关键．【变式7-4】（2023春•灌云县期末）已知关于x的分式方程K K2−5=1．（1）若分式方程有增根，求a的值；（2）若分式方程无解，求a的值．【分析】（2）原方程整理得（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x＝2，分两种情况分别求解即可；（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，分a+3＝0和a+3≠0两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），整理得，（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x＝2，把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，综上可知，a＝2；（2）由（1）可知，（a+3）x＝10，当a+3＝0时，方程无解，即a＝﹣3，当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a＝2，综上可知，a＝﹣3或a＝2．【点评】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．【变式7-5】（2023秋•冷水滩区期中）已知关于x的方程3+K1=B+2−．（1）当a＝6，b＝1时求分式方程的解；（2）当a＝6时，求b为何值时，分式方程3+K1=B+2−无解．。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程(教案)
-鼓励学生在日常生活中发现并解决分式方程问题，提高数学素养
7.课后作业（课后自主完成）
-针对本节课所学内容，布置课后习题，巩固所学知识
-鼓励学生自主探索、拓展学习，提高解题能力
五、教学反思
在本次分式方程的教学中，我发现学生们对于分式方程的概念和求解方法的理解总体上是不错的。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握去分母、移项等基本操作。然而，我也注意到，部分学生在面对高次分式方程或者分式方程组时，会感到困惑，这成为了他们学习的难点。
举例：重点讲解分式方程2/(x-3) = 1/(x+2)，突出求解过程中每一步的关键操作，如交叉相乘去分母，合并同类项等。
2.教学难点
-分式方程去分母的技巧：对于复杂的分式方程，如何选择合适的去分母方法，避免出现计算错误。
-高次分式方程的求解：涉及高次方程的求解，如何运用降次或其他数学方法简化问题。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册：15.3分式方程
1.分式方程的定义与特点
2.分式方程的求解方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.应用题：利用分式方程解决实际生活中的问题
4.分式方程的常见类型及解题技巧
a.简单分式方程
b.复杂分式方程
c.高次分式方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式方程的定义及其基本性质：理解分式方程中分子、分母的关系，掌握分式方程的基本形式。
-分式方程的求解方法：重点讲解去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，强调每一步的运算规则。
-分式方程的验根方法：教会学生如何检验求得的解是否满足原方程，确保解的正确性。
人教版初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附答案解析
人教版初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附答案解析一、选择题1．分式方程22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2C ．x ＝﹣1D ．无解【答案】D 【解析】 【分析】观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得． 【详解】方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得： x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2， 解方程得：x ＝﹣1，检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0， 所以x ＝﹣1不是方程的解． 故选：D ． 【点睛】此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ）A ．60045025x x =- B ．60045025x x =- C ．60045025x x=+ D ．60045025x x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个，∴60045025x x =+， 故选：C. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.3．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2C ．-3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜，由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．如果关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1，则a 的值是（ ）． A ．a =3 B ．a ≤-3C ．a =-3D ．a >3【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集得出关于a 的方程，解方程即可． 【详解】解：因为关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1， 所以a+1＜0，即a ＜-1，且21a +=-1，解得：a=-3． 经检验a=-3是原方程的根 故选：C ．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．5．已知关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-D ．2k <且1k ≠【答案】B 【解析】 【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案. 【详解】 解：211x kx x-=--Q， 21x kx +∴=-， 2x k ∴=+，Q 该分式方程有解，21k ∴+≠， 1k ∴≠-， 0x Q >， 20k ∴+>， 2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.6．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x 个零件，下面所列方程正确的是（ ）A ．90606x x =- B ．90606x x =+ C ．90606x x=- D ．90606x x=+ 【答案】A 【解析】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（x ﹣6）个零件，由题意得：90606x x =-．故选A ．7．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】方程()22240x a x a --+=有实数解，∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0， 解得a ⩽2∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2方程1311y a y y+-=-- 解得y=2a+2 ∵y 有整数解 ∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2， 符合条件的a 的值的和是−2 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．8．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．120100x x 10=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x=- D ．120100x 10x=+ 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120100 x x10=-.故选A.9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是()A．4116xx x+=+-B．416xx x=-+C．4116xx x+=--D．4116xx x+=-+【答案】D 【解析】【分析】首先根据工程期限为x天，结合题意得出甲每天完成总工程的11x-，而乙每天完成总工程的16x+，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可.【详解】∵工程期限为x天，∴甲每天完成总工程的11x-，乙每天完成总工程的16x+，∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，∴可列方程为：4116xx x+=-+，故选：D.【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（）A．1515112x x-=+B．1515112x x-=+C．1515112x x-=-D．1515112x x-=-【答案】B【解析】【分析】设小李每小时走x千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设小李每小时走x 千米，依题意得：1515112x x -=+ 故选B ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．11．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x -=+ B ．606030(125%)x x-=+ C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C 【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米，依题意得：606030125%x x-=+，即()60125%6030x x⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12．若数k 使关于x 的不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y 的分式方程1k y -+1＝1y ky ++的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ）A ．2B ．0C ．﹣3D ．﹣6【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案． 【详解】解：解不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩得：﹣3≤x ≤﹣3k ，∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤﹣3k＜1， 解得：﹣3＜k ≤0， 解分式方程1k y -+1＝1y k y ++得：y ＝﹣2k +1，∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1， 解得：k ＜12且k ≠0， 综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选A ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．13．方程31144x x x --=--的解是（ ） A ．－3 B ．3C ．4D ．－4【答案】B 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：3-x-x+4=1， 解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解． 故选：B ． 【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．如果关于x 的分式方程2ax 423x x 3++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34yy a⎧-⎨≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16 B ．﹣15C ．﹣6D ．﹣4【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)， 解得：x 12a 2=--， 由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解， 所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10，不等式组整理得：y<9y a -⎧⎨≥⎩，由不等式组无解，即a≥﹣9，∴符合条件的所有整数a 有1，0，﹣1，﹣4， ∴a ＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( ) A ．3036101.5x x-= B ．3030101.5x x-= C ．3630101.5x x -= D ．3036101.5x x+=【解析】【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10=亩，根据等量关系列出方程即可．【详解】设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为：3036101.5x x-=．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．16．关于x的方程2111axx x-=++的解为非正数，且关于x的不等式组22533a xx+⎧⎪+⎨⎪⎩„…无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣9【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，得到31a-≤0，且31a-≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2．不等式组整理得：224axx-⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a-＜4，解得：a＞﹣6，∴满足题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（）A．24x2+-20x=1 B．20x-24x2+=1C．24x-20x2+=1 D．20x2+-24x=1【答案】B试题解析：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：2020412x x +-=+， 即：202412x x -=+． 故选B ．考点：分式方程的应用.18．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．60048040x x =- B ．60048040x x =+ C ．60048040x x =+ D ．60048040x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：48060040x x =+. 故选B ． 【点睛】读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480x天和现在生产600台机器所需时间为60040x +天是解答本题的关键．19．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x ax -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．20．甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x 个零件，则可以列出方程为（ ）A ．480360140x x =-B ．480480140x x =-C ．480360140x x +=D ．360480140x x-= 【答案】A【解析】【分析】设甲每天做x 个零件，根据甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，列出方程即可．【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：480360140x x=-，故选：A．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．。
人教版数学八年级上册第15章第8课15.3分式方程(教案)
在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们表现得非常积极，能够主动参与到讨论和实验操作中。这说明他们对分式方程的实际应用还是充满兴趣的。但在成果分享环节，部分学生表达不够清晰，逻辑不够严密。为了提高学生的表达能力和逻辑思维，我计划在后续课程中增加一些课堂讨论和展示的机会，让学生多加锻炼。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有未知数的分式等于另一个分式的方程。它在解决实际问题中起着重要作用，尤其是在涉及比例、速度等方面。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设甲、乙两人分别以不同的速度行走，甲走x小时后，乙走了2x小时，甲走的路程是乙的$\frac{3}{4}$，如何求x的值？这个案例将展示分式方程在实际中的应用以及如何帮助我们解决问题。
最后，我还要关注学生的学习反馈，及时发现和解决他们在学习过程中遇到的问题。通过不断反思和改进，使我的教学方法更加符合学生的需求，帮助他们更好地掌握分式方程这一知识点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要按比例分配或计算速度的情况？”（如购物打折、两人合作完成工作等）。这个问题与我们将要学习的分式方程密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式方程的奥秘。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言表达现实问题的能力，增强数感，提高对分式方程概念的理解；
(完整版)初中数学分式方程典型例题讲解
第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件：1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。
新人教版数学八年级上册教案：15.3 分式方程
§15.3 分式方程（1）一、教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点1．教学重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法．2．教学难点：检验分式方程解的原因三、教学过程(一)复习及引入新课提问：什么叫方程？什么叫方程的解？(二)新课板书：分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断下列各式哪个是分式方程．解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得2(x+1)=5+x 2x+2=5+x x=3．检验：把x=3代入原方程左边=右边 ∴x=3是原方程的解．例2：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时， 可列方程v 20100＋＝v 2060－解方程得：v ＝5检验：v ＝5为方程的解.所以水流速度为5千米/时.(三)课堂练习：(四)小结：谈谈你的收获(五)布置作业P154页习题15.3第1（1）、（2）、（3）、（4）、2题(六)板书设计四、教学反思：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．§15.3 分式方程（2）一、教学目标：1、使学生会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法3、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力二、重点难点：.1. 重点：会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程；2. 难点：了解分式方程必须验根的原因三、教学过程：1．复习引入解方程：（1）51144x x x --=-- （2）22162242x x x x x -+-=+--思考：上面两个分式方程中，为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？2．讨论（1）为什么要检验根？（2）验根的方法3．应用例1 解方程 x 33x 2=－4、课堂练习解方程 )2x )(1x (311x x +-=－－ 5、小结：谈谈你的收获6、布置作业P154—P155习题15.3第3、5题7、板书设计四、教学反思：引导学生参与学习过程，掌握学习方法。
最新人教版八年级数学上册《15.3 分式方程(第2课时)》优质教学课件
解：设提速前列车的平均速度为x km/h，则提速前列车行驶
s
（x+v）
s km所用的时间为 h；提速后列车的平均速度为
km/h，
x
s+50
（s+50）km，所用时间为 x+v h. 根据行驶时间
提速后列车运行
的等量关系可以列出方程:
s s+50
x = x+v
探究新知
去分母得：s(x+v)=x (s+50)
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符
合实际意义.
6. 答:注意单位和语言完整.
探究新知
素养考点 1 利用分式方程解答工程问题
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x， 解得 x=1.
检验:x=1时，6x≠0,x=1是原分式方程的解.
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
1
而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
3
巩固练习
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件
新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都
解：方程两边都乘以最简公分母 ( x 1)( x 1)
得： （x–1）+2（x+1）=4
∴x=1
检验：当x=1时，（x+1）（x–1）=0，
所以x=1不是原方程的根.
∴原方程无解.
课堂检测
最新人教版初中数学八年级上册 15.3 分式方程(第1课时)分式方程及其解法课件
课堂练习
练习1 解方程：
（1）xx+1
-
3 x-1
=1；（2）2xx--32
=
1 1-x
+2．
解：(1)方程两边乘(x+1)(x-1),得 x2-4x-3=x2-1
解得 x=-0.5
检验：当x=-0.5时，(x+1)(x-1)≠0
所以，原分式方程的解为x=-0.5.
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解得
x=1 检验：当x=1时，（x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原方程的解. 所以，原分式方程无解.
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解含字母系数的分式方程
例3
解关于x 的方程
a x-a
+b=1
（b 1）.
解：方程两边同乘 x-a ，得 a+（b x-a）= x-a. 去括号，得 a+bx-ab= x-a. 移项、合并同类项，得（b-1）x= ab-2a. ∵ b1， ∴ b-1 0，
解：∴
x=-
m m-n
．
检验：当
x=-
m m-n
时，（x x+1） 0，
所以，x=-
m m-n
是原分式方程的解．
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课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）解分式方程的一般步骤有哪些？关键是什么？
解方程的过程中要注意的问题有哪些？
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15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
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课件说明
• 本课是在学生已经学习了分式方程的概念并能够 解简单的分式方程的基础上，进一步巩固可化为 一元一次方程的分式方程的解法，归纳出解分式 方程的一般步骤，能够列分式方程解决简单的实 际问题．
人教版八年级数学上册《15.3 分式方程》练习题-附参考答案
人教版八年级数学上册《15.3 分式方程》练习题-附参考答案一、选择题1．下列关于x的方程是分式方程的是（）A．2+x5=3+x6B．x2−3=x3C．x−17+x=3D．35x=12．某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x棵，那么下面所列方程中，正确的是（）A．600x−50=450xB．600x+50=450xC．600x =450x+50D．600x=450x−503．若关于x的分式方程x−3x−1=mx−1+2产生增根，则m的值为（）A．−1B．−2C．1 D．24．解分式方程2x−1+x+21−x=3时，去分母后变形正确的是（）A．2+(x+2)=3(x−1)B．2−(x+2)=3(1−x) C．2+(x+2)=3(1−x)D．2−(x+2)=3(x−1)6．关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是（）A．a>−1B．a>−1且a≠0C．a<−1D．a<−1且a≠−27．若关于x的分式方程6x−1=x+3x(x−1)−kx无解，则k的取值是（）A．k=−3B．k=−3或k=−5 C．k=1D．k=1或k=−58．已知x=1是方程m2−x −1x−2=3的解，那么实数m的值为（）A．−2B．2 C．−4D．4整数a的值之积是（）A．0 B．4 C．5 D．6二、填空题9．若关于x 的方程2x−2+2x−m 2−x=3有增根，则m 的值是 ．10．若yx+y ＝12．则xy ＝ ．11．某化肥厂原计划五月份生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨.设原计划每天生产化肥x 吨.根据题意，列方程为 .12．若关于x 的分式方程3xx−1=m1−x +4的解为正数，则m 的取值范围是 ．13．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 元． 三、解答题 14． 解方程． （1）x2x−1+21−2x =3； （2）4x 2−4−1x−2=0．15．某玩具店用2000元购进一批玩具，面市后，供不应求，于是店主又购进同样的玩具，所购的数量是第一批数量的3倍，但进价贵了4元，结果购进第二批玩具共用了6300元，若两批玩具的售价都是120元，且两批玩具全部售完，求该玩具店销售这两批玩具共盈利多少？16．某快餐店欲购进A 、B 两种型号的餐盘，每个A 种型号的餐盘比每个B 种型号的餐盘费用多10元，且用120元购进的A 种型号的餐盘与用90元购进的乙餐盘的数量相同． （1）A 、B 两型号的餐盘单价为多少元？（2）若该快餐店决定在成本不超过3000元的前提购进A ．B 两种型号的餐盘80个，求最多购进A 种型号餐盘多少个？17．为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元． （1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有哪几种方案？参考答案1．C 2．B 3．B 4．D 6．D 7．B 8．BD9．2 10．111．120x =180x+312．m>−4且m≠−313．8514．（1）解：原方程去分母得：x﹣2＝3（2x﹣1）去括号得：x﹣2＝7x﹣3移项，合并同类项得：﹣5x＝﹣4系数化为1得：x＝12经检验，x＝15故原方程的解为x＝45；（2）解：原方程去分母得：4﹣（x+2）＝0去括号得：4﹣x﹣3＝0移项，合并同类项得：x＝2经检验，x＝3是分式方程的增根故原方程无解．15．解：设第一批购进书包的单价是x元．则：．解得：x=80．经检验：x=80是原方程的根．则 ×（120﹣80）+ ×（120﹣84）=3700（元）．答：商店共盈利3700元．16．（1）解：设A 型号的餐盘单价为x 元，则B 型号的餐盘单价为元，解得经检验是方程的解且符合实际情况∴B 型号的餐盘单价为（元）；答：A 、B 两型号的餐盘单价分别为40元、30元． （2）解：设购进A 种型号餐盘m 个解得；答：最多购进A 种型号餐盘60个17．（1）解：设甲种套房每套提升费用为x 万元，乙种套房每套提升费用为(x +3)万元 依题意，可得625x=700x+3解得：x =25经检验：x =25符合题意 x +3=28；答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元． （2）解：设甲种套房提升m 套，那么乙种套房提升(80−m)套 依题意，得{25m +28×(80−m)≥209025m +28×(80−m)≤2096 解得：48≤m ≤50 因为m 取整数即m =48或49或50，所以有三种方案方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套． 方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套 方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套．。
人教版初中数学八年级上册第十五章15.3 分式方程 课件(共12张PPT)
去分母
解整式方程 检验
是 x =a不是分式 方程的解
=4 1-x2
；
（3）1 + 2 =1； （4）1 ＞5．
3x x2
x
（5）x 1 2； （6）x2 4 0. x
例题分析
解分式方程：x 3 2 3x 3 4x 8x
根据你的经验， 思考：上面的分式方程应该怎样解？
类比一元一次方程的解法
去分母
分式方程
整式方程
模仿练习
解分式方程： 3 1 3x x 1 x 1
注意： 由于去分母后所得的整式方程的解不一 定是原分式方程的解，所以一定要检验．
那么，怎样对方程的解进行检验呢？
变式练习
x 3 2 3x 3 4x 8x
3 1 3x x 1 x 1
提示：对比观察上面两个方程与下面两个方程 在结构上的不同，思考下面的方程怎样解？
解分式方程： 2 3 x3 x
观察：方程 3 1 3x 和 2 3 与上面的方程 x 1 x 1 x 3 x
有什么共同特征？
像这样，分母中含未知数的方程叫做分式方程.
你能再写出几个分式方程吗？
概念辨析
练习：下列式子中，属于分式方程的是 (2)(3，)(5)
属于整式方程的是 (1)(6. )
（1）x 3
+
x-1 =1； 2
（2）1-2x
反思小结
1、分式方程的概念？解分式方程的一般步骤与 注意事项？
2、你在解分式方程时有过哪些失误的地方？应 该怎样改正？
3、你还有哪些方法上的收获？
过关检测
解分式方程： x 1
3
x 1 (x 1)(x 2)
相信自己
提高练习
分式方程50题 参考答案与试题解析
分式方程50题参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，整理得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解；（2）去分母得：（x﹣2）2＝（x+2）2+16，整理得：x2﹣4x+4＝x2+4x+4+16，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解．2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣1）＝2x，去括号得：3x﹣3＝2x，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解；（2）去分母得：（x﹣2）2﹣x2+4＝16，整理得：x2﹣4x+4﹣x2+4＝16，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解．3．【分析】（1）方程两边同乘2（4+x），得关于x的一元一次方程，解方程可求解x值，最后验根即可；（2）方程两边同乘x2﹣1，得关于x的一元一次方程，解方程可求解x值，最后验根即可．【解答】解：（1）方程两边同乘2（4+x），得2（3﹣x）＝4+x，解得x＝，当x＝时，2（4+x）≠0，∴x＝是原方程的解．（2）方程两边同乘x2﹣1，得x﹣1+2＝0解得x＝﹣1，当x＝﹣1时，x2﹣1＝0，∴x＝﹣1是方程的增根，∴原方程无解．4．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程整理得：﹣＝1﹣，方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：x+3﹣8x＝x2﹣9﹣x（x+3），解这个方程得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的增根，所以原方程无解．5．【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝•＝•＝；（2）分式方程整理得：＝1+，去分母得：x＝2x﹣1+2，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，2x﹣1≠0，则分式方程的解为x＝﹣1．6．【分析】两方式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：3（x+1）＝2（x﹣2），去括号得：3x+3＝2x﹣4，解得：x＝﹣7，经检验x＝﹣7是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1＝x2﹣1+4，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．7．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2（x+2）＝3（3x﹣1），去括号得：2x+4＝9x﹣3，移项合并得：﹣7x＝﹣7，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．8．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：原方程可化为：﹣＝1，去分母，得3x﹣6＝x﹣2，解得：x＝2，经检验：x＝2是原方程的增根，所以原方程无解．9．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+3＝2x，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：x（x+3）＝18≠0，则分式方程的解为x＝3．10．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：+＝4，去分母得：x+4+2＝4x﹣12，移项合并得：﹣3x＝﹣18，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解．11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：5x+7﹣2（x+5）＝x2+4x﹣5，整理得：x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x＝1或x＝﹣2，经检验x＝1是增根，则分式方程的解为x＝﹣2．12．【分析】根据解分式方程的解法步骤求解即可．【解答】解：去分母得，（x+1）（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝3（x+2）去括号得，x2﹣x﹣2﹣x2+4＝3x+6移项得，x2﹣x﹣x2﹣3x＝6+2﹣4合并同类项得，﹣4x＝4系数化为1得，x＝﹣1经检验，x＝﹣1是原方程的解，所以原方程的解为x＝﹣1．13．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：最简公分母为（x﹣2）2，去分母得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，整理得：x2﹣2x﹣x2+4x﹣4＝4，解得：x＝4，检验：把x＝4代入得：（x﹣2）2＝4≠0，∴分式方程的解为x＝4．14．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到方程的解．【解答】解：去分母得：5﹣m＝m﹣2﹣3，移项合并得：2m＝10，解得：m＝5，检验：把m＝5代入得：m﹣2＝5﹣2＝3≠0，∴分式方程的解为m＝5．15．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：3+x2﹣9＝x（x+3），解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，x2﹣9≠0，∴原方程的解为x＝﹣2．16．【分析】方程两边都乘以x﹣1得出3x+2＝5，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘以x﹣1得：3x+2＝5，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣1＝0，所以x＝1不是原方程的解，即原方程无解．17．【分析】方程两边都乘以x（x﹣1）得出x﹣8+3x＝0，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1）得：x﹣8+3x＝0，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，所以x＝2是原方程的解，即原方程的解是：x＝2．18．【分析】（1）方程两边都乘以x（x+1）得出5x+2＝3x，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘以2（x﹣1）得出2x＝3﹣4（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以x（x+1）得：5x+2＝3x，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0，所以x＝﹣1是增根，即原方程无解；（2）方程两边都乘以2（x﹣1）得：2x＝3﹣4（x﹣1），解得：x＝，检验：当x＝时，2（x﹣1）≠0，所以x＝是原方程的解，即原方程的解是：x＝．19．【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：＝+1，方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．故x＝3是原方程的解．20．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程两边同乘x（x﹣1）得：9（x﹣1）＝8x，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解；（2）方程两边同乘x﹣2得：x﹣1﹣3（x﹣2）＝1，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．21．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程﹣＝1，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．22．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）分式方程整理得：﹣＝1，去分母得：1﹣2＝x﹣2，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解；（2）去分母得：x2+x﹣x2+1＝3，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．23．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）＝，去分母得：x﹣3＝2x，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解；（2）方程整理得：﹣1＝﹣，去分母得：x﹣2x+1＝﹣3，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．24．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+3）（x﹣1）﹣x2+9＝2，整理得：x2+2x﹣3﹣x2+9＝2，即2x＝﹣4，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解．25．【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程组整理得：，①×2+②得：11x＝22，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝3，则方程组的解为；（2）去分母得：3x+3﹣4x＝x﹣1，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．26．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）+＝0，去分母得：x﹣2+x+3＝0，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解；（2）﹣＝1，去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．27．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），①×2+②得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为；（2）分式方程整理得：﹣2＝﹣，去分母得：3x﹣2（x﹣3）＝﹣3，去括号得：3x﹣2x+6＝﹣3，解得：x＝﹣9，经检验x＝﹣9是分式方程的解．28．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程整理得：+1＝﹣，去分母得：2x﹣4+4x﹣2＝﹣3，移项合并得：6x＝3，解得：x＝，经检验x＝是增根，分式方程无解．29．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），①+②得：3x＝9，解得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝0，则方程组的解为；（2）分式方程＝+1，去分母得：3＝1+y﹣2，解得：y＝4，经检验y＝4是分式方程的解．30．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）＝，去分母得：3x＝2x﹣2，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解；（2）方程组整理得：，①+②得：6y＝6，解得：y＝1，把y＝1代入①得：x＝3，则方程组的解为．31．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），①+②得：4x＝12，解得：x＝3，把x＝3代入②得：y＝1，则方程组的解为；（2）分式方程整理得：﹣＝1，去分母得：4﹣3＝x﹣2，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．32．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），②×2﹣①得：7y＝7，解得：y＝1，把y＝1代入②得：x＝2，则方程组的解为；（2）分式方程整理得：﹣＝﹣5，去分母得：﹣3＝x﹣5（x﹣1），去括号得：﹣3＝x﹣5x+5，移项合并得：4x＝8，解得：x＝2．33．【分析】（1）根据加减消元法解方程即可求解；（2）方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：（1）．②﹣①×2得：7x＝﹣14，解得：y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：x＝2．故方程组的解为；（2）+2＝，方程两边都乘（x﹣2）得1﹣x+2（x﹣2）＝﹣1，解得x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，是增根．故原方程无解．34．【分析】（1）利用加减消元法解方程组；（2）方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得到整式方程，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1），②﹣①得4x＝28，解得x＝7，把x＝7代入①得7﹣3y＝﹣8，解得y＝5，所以方程组的解为；（2）去分母得﹣2＝2（x﹣1）﹣（x+1），解得x＝1，经检验：原方程的解为x＝1．35．【分析】（1）方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）根据加减消元法解方程即可求解．【解答】解：（1）＝1+，方程两边都乘（x﹣2）得x＝x﹣2+x+1，解得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2≠0．故x＝1是原方程的解；（2），①+②×5得：17x＝17，解得：x＝1，把x＝1代入②得：y＝﹣5．故方程组的解为．36．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程+1＝，去分母得：2+1+x＝4x，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．37．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：﹣1＝，去分母得：（x﹣2）2﹣（x2﹣4）＝12，整理得：x2﹣4x+4﹣x2+4＝12，移项合并得：﹣4x＝4，解得：x＝﹣1，检验：把x＝﹣1代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣1．38．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：﹣＝1，去分母得：（x+2）2﹣20＝x2﹣4，整理得：x2+4x+4﹣20＝x2﹣4，移项合并得：4x＝12，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，则分式方程的解为x＝3．39．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），①+②得：6x＝18，解得：x＝3，①﹣②得：4y＝8，解得：y＝2，则方程组的解为；（2）分式方程整理得：﹣2＝，去分母得：x﹣2（x﹣3）＝3，去括号得：x﹣2x+6＝3，移项合并得：﹣x＝﹣3，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0，∴x＝3是增根，则分式方程无解．40．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程整理得：﹣＝1，去分母得：x﹣2﹣4x+8＝x2﹣4，即x2+3x﹣10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0，解得：x＝2或x＝﹣5，经检验x＝2是增根，则分式方程的解为x＝﹣5．41．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+1＝4（x﹣2），解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x﹣2）（x+1）≠0，∴x＝3是原方程的解．42．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：4﹣（x+2）＝0，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．43．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣2（x+3）＝x﹣3，去括号得：3﹣2x﹣6＝x﹣3，移项合并得：﹣3x＝0，解得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解．44．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：3x﹣6﹣2x＝0，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．45．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同时乘以（x+3）（x﹣3）得（x﹣3）+2（x+3）＝12，去括号得：x﹣3+2x+6＝12，移项得：x+2x＝12+3﹣6，合并得：3x＝9，解得：x＝3，检验：把x＝3代入（x+3）（x﹣3）＝0，∴x＝3是增根，原方程无解．46．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2+4x+4﹣3x2＝2x2+4x，整理得：4x2＝4，即x2＝1，解得：x＝1或x＝﹣1，经检验x＝1和x＝﹣1都为分式方程的解．47．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x＝3x﹣6，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣x，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，则原方程无解．48．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2＝2x﹣1﹣3，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解；（2）去分母得：x﹣3﹣2＝1，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解．49．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程两边同乘（3+x）（3﹣x），得9（3﹣x）＝6（3+x），解这个方程，得x＝，检验：当x＝时，（3+x）（3﹣x）≠0，则x＝是原方程的解；（2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得4+x2﹣1＝（x﹣1）2，解这个方程，得x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，x＝﹣1是增根，则原方程无解．50．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x+3＝5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的根；（2）去分母得：3﹣x+1＝x﹣4，解得：x＝4，经检验x＝4是增根，方程无解．。
人教版七年级上册数学 分式方程(1) 专项提高讲义
人教版七年级说上册数学13.3分式方程（1）基础知识：1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程整式方程：像一元一次方程等分母里不含有未知数的方程称为整式方程方程的根：只含有一个未知数的方程的解称为这个方程的根.注：对于整式方程一般都称几元几次方程；而分式方程则只能称可以化为几元几次方程的分式方程。
2、如何解分式方程（1）解分式方程的基本思想：“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程。
（2）解分式方程的步骤：①去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程并求解；③检验并写出结论：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（3）“增根”是怎样产生的？把分式方程“转化”为整式方程时，在分式方程两边同乘一个整式，由于这个整式的值可能为0，这就产生了增根。
注：①把分式方程“转化”为整式方程的条件是去掉分式方程中的分母。
如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤。
②用分式方程中各式的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母。
但要注意用最简公分母乘方程两边的每一分式或项，切勿漏项。
③解分式方程可能产生“增根”的情况，那么验根就是解分式方程必要的步骤。
典型题：1：（1）下列方程中，不是分式方程的是（）A.31=+x x B.21=x C.21452=+-x x x D.321=+πx （2）下列关于x 的方程：①10512=--x x ；②30400600-=x x ；③x x 2514=+；④x x a 12=，其中是分式方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（3）下列方程中，3=x 不是它的一个解的是（）A.3131=+x xB.0342=+-x xC.21523+=-x xD.3313-=+-x x x 2.解方程：（1）26321311-=+-x x （2）26321311-=+-x x （3）1232=++-x x x （4）1637222-=--+x x x x x 练习2直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________3.解方程：86107125265222+--=---+-+x x x x x x x x x 4.（裂项）解方程：()()()2121111+=++++x x x x x ()()()()143132121=--+--+-x x x x x ()()()()()()1221128184141+=+++++++x x x x x x x ()()()()()()()32431321211111=+++++++++++-x x x x x x x x x5.（构造）解方程：71618151+++=+++x x x x ．32234114-+-=-+-x x x x 6.（分离常数）解方程1191513171597--+--=--+--x x x x x x x x ：78563412++-++=++-++x x x x x x x x 7.（分离常数）解方程：9113458296106222222---=++++-++++x x x x x x x x x x 121421232222++++=+-+-+x x x x x x x x 8.（1）已知关于x 的分式方程()()313222+=+-+-x x x mx x 有增根为，求的值；（2）如果方程11322x x x-+=--有增根，那么增根是9.关于x 的方程()()121122-+-=-+++x x m x m x m ．（1）m 为何值时，方程有增根？（2）m 为何值时，方程无解？分式方程2131=-+-xx ax 无解，求a 的值；如果关于x 的方程23222112+-+=-+-x x a x a x 有增根，求a 的值．关于x 的方程132323-=--+--x nx x x 无解，求n 的值．已知关于x 的分式方程()()313222+=+-+-x x x mx x ，该方程有增根，求m 的值．10.关于x 的方程xx x m -=--131的解为非负数，求m 的取值范围．当m 为何值时，分式方程622132-+-=-+-+x x m x x x x x 的解不小于1?若关于y 的分式方程4222=-+-+ya y a y 的解是正数，求a 的取值范围．关于x 的分式方程312=+-x m x 的解为负数，求m 的取值范围11.已知4112=++x x x ，求（1）1242++x x x 的值（2）x x x x 386234+--的值已知31-=-xx ，求201813234+++x x x 的值12.已知yx z x z y z y x +=+=+，求z y x +的值13.对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号{}b a ,min 表示a 、b 中较小的值，如{}24,2min =，按照这个规定，求方程243,1min -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧xx x 的解．对于两个不相等的有理数a 、b ，规定{}b a ,max 表示a 、b 中较大的值，如果{}44,2max =．按照这个规定，求方程132,2max -=⎭⎫⎩⎨⎧-x x x 的解14.知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空：（1）例题：解方程vv -=+30603090，解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为vv 390180260180-=+，由分子相同，得分母相同，即______．解法2：分式两边通分，得()()()()()()v v v v v v -++=-+-3030306030303090，由分母相同，得分子相同，即______．（2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用下图来解释．如图，90=ABCD S 长方形，60=AGHD S 长方形，v EB GE ==,30==DF AE ，v AB +=30,v AG -=30．则v v AD -=+=30603090，EF AD =，AES EF AEFD 长方形=，由75=AEFD S 长方形,30=AE ，得=AD ______，从而求得=v ______．（2）图（3）图问题解决：（3）如图所示，在三角形ABC 中，D 、E 是BC 边上的点，且EC DE =，248cm S ABC =∆，236cm S ABD =∆，cm BE 21=，求BC 的长．15.阅读理解:定义：若分式A 和分式B 满足n B A =-（n 为正整数），则称A 是B 的“n 差分式”．例如：31313=---x x x ，我们称13-x x 是13-x 的“3差分式”，解答下列问题：（1）分式x -11是分式x x -1的“差分式”．（2）分式29x C A -=是分式xx B -=32的“2差分式”．①=C （含x 的代数式表示）；②若A 的值为正整数，x 为正整数，求A 的值．（3）已知1=xy ，分式y y x 3-是x xy +-的“4差分式”（其中y x ,为正数），求y x -的值．。
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15.3 分式方程1．分式方程的概念分母中含未知数的方程叫做分式方程．谈重点 分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．【例1】 下列方程：①x －35＝1，②3x ＝2，③1＋x 5＋x ＝12，④x 2＋2x ＝5.其中是分式方程的有( )． A ．①② B ．②③C ．③④D ．②③④解析：根据分式方程的定义知②③④是分式方程，故选D.答案：D2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程――→去分母转化整式方程． (2)解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； ②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．(3)对分式方程解法的理解：①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误．【例2】 解下列方程：(1)7x 2＋x ＋3x 2－x ＝6x 2－1；(2)x 2x －5－1＝55－2x. 解：(1)方程两边同乘x (x ＋1)(x －1)，得7(x －1)＋3(x ＋1)＝6x .解这个方程，得x ＝1.检验：当x ＝1时，x (x ＋1)(x －1)＝0，所以x ＝1是原方程的增根，即原方程无解．(2)方程两边同乘2x －5，得x －(2x －5)＝－5.解这个方程，得x ＝10.检验：当x ＝10时，2x －5≠0，所以x ＝10是原方程的解．3．分式方程的应用 分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的．列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②找：找出相等关系；③设：设未知数；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程； ⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；⑦答：写出答案．解技巧 构建分式方程的方法 (1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系列方程；(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数．【例3】 今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？解：设原计划每天生产x 吨纯净水，则依据题意，得1 800x －1 8001.5x＝3， 整理，得4.5x ＝900，解之，得x ＝200.把x ＝200代入原方程，成立，∴x ＝200是原方程的解．答：原计划每天生产200吨纯净水．4．分式方程无解型问题解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值)代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程)，从而求出方程中的参数值．5．生活中的分式方程列分式方程解实际问题时，关键是从实际问题中找出等量关系．另外，还要注意对方程的根进行检验．检验时，要注意双重检验：既要根据所列方程进行检验，又要根据实际问题进行检验．举例：甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等．已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，问甲、乙两人每天各加工多少个玩具？解：设甲每天加工x 个玩具，则乙每天加工(35－x )个玩具．根据题意，得90x ＝12035－x，解得，x ＝15. 经检验，x ＝15是原方程的解且符合实际意义．所以35－x ＝35－15＝20(个)．答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．【例4－1】 已知关于x 的分式方程a －1x ＋2＝1有增根，则a ＝________. 解析：去分母得a －1＝x ＋2，将x ＝－2代入得a －1＝0，解得a ＝1.答案：1【例4－2】 若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2无解，求m 的值． 解：方程两边同乘(x －3)，得x －2＝m ＋2(x －3)．整理，得m ＝－x ＋4.因为当x ＝3时，分式方程无解，所以m ＝1.【例5】 某文化用品商店用2 000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6 300元．(1)求第一批购进书包的单价是多少元？(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 解：(1)设第一批购进书包的单价是x 元，则第二批购进书包的单价为(x ＋4)元．根据题意，得2 000x ×3＝6 300x ＋4，解得x ＝80. 经检验，x ＝80是原方程的解．答：第一批购进书包的单价是80元．(2)解法一：2 00080×(120－80)＋6 30084×(120－84)＝1 000＋2 700＝3 700(元)． 解法二：2 00080×(1＋3)×120－(2 000＋6 300)＝12 000－8 300＝3 700(元)． 答：商店共盈利3 700元．6．分式方程中的阅读题在解分式方程中的阅读题时，首先要认真阅读题意，仔细观察列举的条件，观察比较所给各方程的特点和它的解与原方程的关系，发现解答过程的错误或探究得出其中的规律，然后根据题目的要求改正题目中的错误或者根据发现的规律解答提出的问题．阅读理解题是新课标理念下的创新题型，应予以重视．7．分式方程中的开放型问题分式方程中的开放型问题，其答案一般不唯一．有两种类型：一是条件开放型问题，二是结论开放型问题．解答这类题目的一般方法是：通过条件，联想有关概念或法则，探求结论．例如：请根据所给方程6x ＋6x －5＝1联系生活实际，编一道应用题．(要求题目完整，题意清楚，不要求解方程)解：甲、乙两人合作加工一批零件，已知甲比乙每小时多加工5个零件，他们合作6 h 完成了加工任务．问：甲、乙每小时各加工零件多少个？这批零件共有几个？8．列分式方程解答综合性问题解答应用题的关键是弄清题目中的数量关系，选择合适的关系式列出分式方程，求出方程的解来解决问题．如果涉及用其他知识的综合题，应认真分析题意建立适当的数学模型来解答．例如：从甲地到乙地共50千米，其中开始的10千米是平路，中间的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路．小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路和上坡路上保持匀速)．解：设小明在平路上的速度为x 千米/时，根据题意，得136－10x＝3⎝⎛⎭⎫116－20x ， 解得x ＝15.经检验，x ＝15是所列方程的解，且符合题意．答：小明在平路上的速度为15千米/时．【例6】 先阅读下列一段文字，然后解答问题：已知方程x －1x ＝112的解是x 1＝2，x 2＝－12. 方程x －1x ＝223的解是x 1＝3，x 2＝－13. 方程x －1x ＝334的解是x 1＝4，x 2＝－14. 方程x －1x ＝445的解是x 1＝5，x 2＝－15. 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x －1x ＝101011的解．把你解题得到的收获用语言表述出来，和你的同伴互相交流．解：x 1＝11，x 2＝－111.方程的左边是未知数与其倒数的差，方程的右边是比带分数的整数部分大1的数与其倒数的差，此时方程的解就可以直接写出了．【例7】 请选择一组a ，b 的值，写出一个形如a x ＋2＝b 的关于x 的分式方程，使它的解为x ＝2，这样的分式方程可以是__________．解析：根据题意，把x ＝2代入方程a x ＋2＝b 中， 化简整理，得a ＝4b .再任意给出一对a ，b 的值，使其满足a ＝4b 即可．写出一个题目所要求的分式方程，如当a ＝4，b ＝1时，所写的方程为4x ＋2＝1.答案：4x ＋2＝1(不唯一) 【例8】 某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来． 解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设(x －20)米．根据题意得350x ＝250x －20，解得x ＝70. 检验：x ＝70是原分式方程的解．答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队(1 000－y )米．由题意，得⎩⎨⎧y 70≤10，1 000－y 50≤10.解得500≤y ≤700. 所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．。