勾股定理导学案

勾股定理 1 勾股定理（一）

学习目标：

1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的容，会用面积法证明勾股定理。

2. 利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。

学习重点：探索和验证勾股定理。 学习难点：证明勾股定理。 导学流程： 一、 自主学习 前置学习：

自学指导：阅读教材第64至66页，完成下列问题。 1. 教材第64至65页思考及探究。

2. 画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。（勾3，股4，弦5）。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现23+24与25的关系，25+212和2

13的关系，即23+24_____25，25+212_____213，那么就有____2+____2=____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a 、b ， 斜边为c ，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 。 二、展示成果

活动1 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：222a b c +=。

证明：如爽弦图，

思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗？

活动2 如果将活动1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？

知识点归纳：

上述问题可视为命题1的证明

命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ， 斜边为c ，那么 。

总结：经过证明被确认正确的命题叫 。 命题1在我国称为 ，而在西方称为 。 三、合作探究

活动3 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则

（1）a = 。（已知c 、b ，求a ） （2）b = 。（已知a 、c ，求b ） （3）c = 。（已知a 、b ，求c ） 活动4 △ABC 的三边a 、b 、c ，

（1）若满足222a b c +=，则∠C 是 角； （2）若满足222a b c +>，则∠C 是 角； （3）若满足222a b c +<，则∠C 是 角。 四、当堂自测 基础训练：

1. 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，若=5a ，=12b ，则=c 。

2. 在直角三角形ABC 中，若=3a ，=5b ，则=c 。

3. 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则其斜边扩大到原来的 。

4. 在ABC ∆中，90C ∠=︒．

b

b

B C E

H

第12题图

（1）已知6AC =，8BC =，求AB 的长 （2）已知17AB =，15AC =，求BC 的长

能力提升：

5. 直角三角形的两边长的比是3:4，斜边长是20，则它的两直角边的长分别是 。 五、中考

1.（2011，13，3分）在直角三角形ABC

中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，则AB ＝ ． 2. (2009年达州) 图是一株美丽的勾股树，其中所

有

的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形．若正方形A 、B 、 C 、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大 正方形E 的面积是 A. 13 B. 26 C. 47 D. 94

3. （2009年）

已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作 等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的

面积为 ．

六、布置作业：

教材第69页习题18.1 题1

七、备注(小结反思)：

1 勾股定理（二）

学习目标：

1. 熟知并运用勾股定理进行简单的计算。

2. 灵活运用勾股定理解决生活中的问题。 学习重点：运用勾股定理进行简单计算。

学习难点：灵活运用勾股定理解决简单实际问题。 导学流程： 一、自主学习 前置学习：

自学指导：阅读教材第66至68页，完成下列问题。 1. 勾股定理的具体容是： 。 2. 填空: 在Rt △ABC ，∠C=90°

（1）如果a =7，c =25，则b = 。 （2）如果∠A=30°，a =4，则b = 。 （3）如果c =10，a b -=2，则b = 。

（4） 如果a 、b 、

c 是连续整数，则a b c ++= 。 （5）如果b =8，:a c =3:5，则c = 。 3. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

要点感知：勾股定理的前提是_____三角形，已知直角三角形的两边，求第三边，要先弄清楚哪条是直角边，哪条是斜边，不能确定时，要________________。 二、 展示成果

活动1 在Rt △ABC ，∠C=90°， （1）已知5a b ==，求c ；（2）已知a =1，c =2，求b ；（3）已知:a b =1:2，c =5，求a 。 分析：（1）已知_________边，求________边,直接用_______定理。（2）已知_____边和_______边，求__________边，用勾股定理的变形式。（3）已知一边和两边比，求未知边。

活动2 教材第66页探究1 知识点归纳： 在直角三角形中，

D

B

A

A

1. 已知任意两边都可以求出第三边；当不能确定直角边还是斜边时，必须要__________________；

2. 已知一边和两边关系，也可以求出未知边。 三、合作探究

活动3 教材第67页探究2

活动4 已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。 （1）求等边△ABC 的高. （2）求S △ABC 。

注意：勾股定理的使用围是在_________三角形中，因此注意要创造_______三角形，作__________是常用的创造______三角形的辅助线做法。 四、当堂自测 基础训练： 1. 填空题

（1）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。

（2）已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。

（3）小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。

2. 已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。

能力提升：

3. 已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ， AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长。

4. 如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

5. 如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，

∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。 （精确到1米）

五、中考

1.（2009年滨州）如图1，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝ 10，BC 边上的高AD ＝8， 则边BC 的长为（ ） A. 21 B. 15 C. 6 D. 以上答案都不

对

2. （2009年）如图2，等腰ABC △中，

AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm AB =，

6cm BC =，则AD = cm 六、布置作业：

教材第68页 练习 题2；第69页 习题18.1 题2、8

七、备注(小结反思)：

A

D

B

2 A

C D B

1

B

A

B D E F