八年级上册全等三角形单元综合测试(Word版 含答案)

八年级上册全等三角形单元综合测试（Word 版 含答案）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．

【答案】10

【解析】

【分析】

由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．

【详解】

解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，

∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，

∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，

∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，

∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，

∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，

过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152

DE BD ==，12

BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，

∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，

∴11451022

ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=． 故答案为：10．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．

2．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限

内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1

2

），且

△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．

【答案】-8

3

．

【解析】

【分析】

先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的

面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝13

2

，故可得出a的值．

【详解】

∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，

∴22

3+213

AB＝＝，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

∴

1113

•1313

222 ABC

S AB AC⨯⨯

＝＝＝，

作PE⊥x轴于E，连接OP，

此时BE＝2﹣a，

∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，

∴

111

•••

222 ABP POA AOB BOP

S S S S OA OE OB OA OB PE ++

＝﹣＝﹣，

111113

3322

22222

a

⨯⨯+⨯⨯⨯⨯

＝（﹣）﹣＝，

解得a＝﹣8

3

．

故答案为﹣8

3

．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程．

3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在边AB上，∠ACD=15°，则AD

BC

=____．

【答案】

2

2

．

【解析】

【分析】

根据题意作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH＝DH，连接DH，并设AD＝2x，解直角三角形求出BC（用x表示）即可解决问题．

【详解】

解：作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH=DH，连接DH．

设AD=2x，

∵AB=AC，∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=x ， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，

∴∠HDC=∠HCD=15°， ∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，

∴DH=HC=2x ，FH 3=x ，

∴AB=AC=2x+23x ，

在Rt △ACE 中，EC 12

=AC=x 3+x ，AE 3=EC 3=x+3x ， ∴BE=AB ﹣AE 3=x ﹣x ，

在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =

+=22x ， ∴22

22AD BC x ==． 故答案为：

22． 【点睛】

本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

4．如图，∠MON ＝30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2，B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推，若OA 1＝3，则a 2=_______，a 2019=_______.

【答案】6； 3×22018.

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1=6，得出a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而得出答案．

【详解】

解： 如图，