结构最优设计的一种自动高效迭代算法

结构最优设计的一种自动高效迭代算法

t陈树勋喻定新吴朝生

摘要论述结构优化数学规划法与准则法迭代求解的计算效率,讨论准则法遇到的两类困难与解决途径,介绍一种高效结构优化理性准则法)))导重法所使用的步长因子法及其在自动迭代计算中存在的问题,提出一种求解结构优化准则方程组的自动高效迭代算法)))类埃特金法,大量算例表明,该算法具有优化效率高,无需人为干预,适用范围广的优点。

关键词:结构优化导重法步长因子类埃特金法

中图分类号:T H166文献标识码:A文章编号:1671)3133(2004)04)0077)04

An automatic and efficient iteration algorithm of structural optimization

t Chen Shuxun,Yu Dingxin,Wu C haosheng

Abstract Discusses the efficiency of iteration computation of mathematics program method and criterion method of structur al optimizatio n,discusses two kinds of difficulties that ar e encounter ed w hen criterio n method is used and the approaches of solv ing t hese difficult ies,and introduces the method of step-length factor which is used by a efficient method of structure optimization) G uide-W eigh Method.Finally,an automatic and efficient algor ithm to so lve a g roup of criterion equations of structure opt imiza-tion is pro posed and is call Atken-Analog Algor ithm.It was proved by examples that the algorithm has the advantages of high ef-ficiency,no need of being interfered by peo ple and wide applicable field.

Key words:Structure optimization Iteration efficiency Guide-Weigh Method Aitken-Analog Algorithm

一、结构优化迭代算法的困难

11结构优化的迭代格式与优化效率

结构优化方法与迭代算法越来越多,但大多数优化算法不是应用范围窄,就是算法繁杂,编程困难。为此,需寻找一种应用范围广,计算效率高,算法稳定,无需人为干预,编程简单的结构优化方法及其迭代算法。

结构优化方法主要有数学规划法与准则法两大类。数学规划法的本质是根据当前设计点的形态函数及其导数信息,确定寻优方向和步长,一步一步地逼近最优点。其迭代通式为X(k+1)=X(k)+A(k)S(K),其中A是迭代步长,S是迭代方向,其优点是有较强的数学基础,通用性好,可处理不同性质的优化问题。但由于结构优化问题是涉及高次非线性隐函数的非线性规划,随着设计变量与约束条件的增加,求解问题规模的加大,采用数学规划法需要的结构分析次数即迭代计算次数迅速增加,优化效率低,尤其是优化迭代的前几步优化效果不明显,因而影响其在工程结构优化实践中的推广和应用。

结构优化设计准则法的特点是事先给定结构最优的准则,把寻找最优结构问题转化为寻求满足某一准则的结构问题。早期的结构最优准则是根据经验直接给出的,如满应力准则、满约束准则及满应变能准则等,属于感性准则法,感性准则法优化效果较差。后来人们把满足结构优化不等式极值问题最优性必要条件即Kuhn-Tucker条件作为结构最优的准则,这就是理性准则法。与感性准则法相比,理性准则法具有坚实的数学基础,优化效果好,一般可保证解的最优性。结构最优准则可表达为非线性方程组:X=F(X),其优化直接迭代求解的算法格式为:X(k+1)=F(X(k))。由于结构优化准则法以满足最优准则为明确迭代方向,故有较高的优化效率;同时准则法比较直观,程序编制与规划法相比也相对简单,因而在工程实际中得到广泛应用。

21结构优化准则法优化计算的困难与解决途径

结构优化准则法优化计算的第一类困难是由优化准则不准带来的。优化准则不准使优化迭化计算得到的解并不是原结构优化问题的真正的最优解,它严重影响着结构优化准则法的优化效果。且不说感性准则法的满应力准则、满约束准则以及满应变能准则等,由于它们是根据力学经验给出的最优准则,而结构优化的本质是数学上的条件极值问题,力学感性准则不可能保证得到原结构优化数学问题的最优解,即使是利用了不等式极值必要条件)Kuhn-T ucker条件的虚功准则法也存在准则不准优化效果差的问题。

虚功准则法是国内、外流行很广的一种结构优化理性准则法,其特点是结构位移采用虚功表达。1980年,钱令希等提出了一种对多单元、多工况、多约束问题进行优化的虚功准则法。由于这种方法采用线性互补问题解法求解Kuhn-Tucker乘子,从而有效地确定

了临界约束,将优化准则法与数学规划法结合起来,解决了早期准则法不能有效区分临界与非临界约束的缺陷。但该虚功准则法的结构最优准则推导中,由于位移采用虚功表达,位移导数公式中不得不忽略结构自重与质量惯性载荷对设计变量的导数,这就是虚功准则不准的关键所在。例如,在对如下数学模型表达的单位移约束桁架结构最轻设计中:

Find A =[A 1,,,A N ]min W (A )=2l i Q i A i s.t. u(A )=[u]

L (A )=W (A )+K {u(A )-[u]}由于位移采用虚功表达:

u(A )=6N

j =1N P j N V

j l j

E j A j

(1),,,,,,,,,,位移对尺寸变量的导数公式中不得不忽略结构自身质量引起的自重与惯性载荷对设计变量的导数,否

则无法得到如下简单表达:

5L

5A i =l i p i -K N p i N V i l i E i A 2i =0(2),,,,,,,,和求解尺寸变量的准则方程组:

A i =1[u]6N

j =1l j

N p j N V j p j E j

N p j N V j

E j p j

(3)

,,,, (i =1,N )

所以虚功准则法具有准则不准的先天缺陷,对于质量引起的自重及惯性载荷可以忽略的结构优化尚且可用,对于质量引起的自重及惯性载荷为主要载荷不可忽略的结构,如大型天线结构、航空航天结构及精密机械等,其优化结果与原结构优化问题的最优解相差甚远。另外虚功准则法不能进行几何变量优化和动力特性优化,应用范围受到很大限制。后面介绍的结构优化导重法可以克服以上困难。

结构优化准则法优化计算的第二类困难是优化迭代算法收敛性带来的,它严重影响着结构优化准则法的优化效率。对于形如X =F (X )的多元非线性准则方程组,例如虚功准则方程组式(3),一般采用最简单的形如X

(k +1)

=F (X

(k )

)的直接迭代算法求解,虚功

准则方程组式(3)的直接迭代算式为:

A i (k +1)=

1[u]6N

j =1l j

N p j N V j p j

E j

N p j N V j E j p j

(k)

,(4)

这种直接迭代算法有着严格的收敛条件,要求该多元非线性方程组一阶偏导数组成的雅克比方阵的谱半径小于1,结构优化准则方程组一般很难满足其收敛条件,所以直接迭代求解准则方程组往往遇到难以收敛的困难。为此人们经常采用后面介绍的步长因子迭代算法来改善其收敛性。影响虚功准则法迭代求解收敛速度的另一困难是负数开方,即式(3)中被开方项在迭代计算中有可能为负值,使迭代计算失去意义。对此不得不人为地限制每次迭代设计变量的变化量,这就严重影响了虚功准则法的计算效率。必须指出的是,限制每次迭代设计变量的变化量至多只能起到使迭代顺利进行以求得满足虚功准则解的作用,绝不可能改变虚功准则不准的事实,故不可能对虚功准则法的解的最优性即优化效果有所改善。

在采用准则法进行结构优化时,必须仔细分析影响优化效果和优化效率的各种困难,采取不同策略,克服不同困难,且勿混为一谈。

二、结构优化导重法迭代算法的进步

11结构优化导重法与直接迭代步长因子法1981年,陈树勋提出了一种更有效的理性准则法)导重准则法,弥补了虚功准则法的准则不准的缺陷。导重准则是严格按照K uhn -Tucker 条件推导得出的,具有简洁明确的意义,最优结构应当按照导重正比分配结构重量,并由此建立优化迭代公式,通过约束线性化得到求解K uhn -T ucker 乘子的二次规划问题,并用线性互补问题的L emke 算法求解,同样自动区分了临界与非临界约束,因而导重法将优化准则法与数学规划法结合起来,兼备了准则法与规划法的优点。由于导重准则是从求解位移的刚度方程入手推导位移敏度的,从而避免了位移的虚功表达,准则推导中无需忽略任何项,可以考虑随设计变量变化自重等质量惯性载荷的导数,从而克服了虚功准则不准的缺陷。导重法尤其适用于自重等惯性载荷不可忽略的结构,比如天线、航空航天飞行器结构的优化设计。并由于避免了位移的虚功表达,除可进行构件尺寸优化外还可进行几何形状优化及动静力多种目标与约束的结构优化,大大扩展了结构优化准则法的适用范围和优化功能。所以说导重法克服了由于结构优化准则不准带来的困难。

对于具有多种约束的结构优化问题,求解最优结构设计变量的导重准则方程组为:

x i =(2K j G j

x i )/H x i (i=1~N)(5)

,,,,,上述导重准则方程组的求解与虚功准则方程组式(1)的求解一样,可归结为形如X=F(X)的多元非线性方程组的求解问题。这种非线性方程组的求解是工程数值计算中经常遇到的具有广泛一般性的问题,它在数学上是不动点映射问题。早期一般采用最简单的