方差与标准差

.方差与标准差

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§2、1 方差与标准差审核人：戴蔚

【目标导航】

1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性.

2．掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义.

3．经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验.

【要点梳理】

1．我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感.

2．描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小

3．设在一组数据X1，X2，X3，X4，……X N中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（X1- ）2，（X2- ）2，（X3- ）2，……，（X n- ）2,,那么我们求它们的平均数，即用S2= .

4．一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。

5．方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差说明数据越稳定，6．为什么要这样定义方差？

7．为什么要除以数据的个数n?

8．标准差与方差的区别和联系？

【问题探究】

知识点1.探究计算数据方差和标准差的必要性

例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下（单位：mm）A厂：40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 ，40.2 ，39.8 ，40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1

B厂：39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 ，39.9 ，40.1 ，39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2

思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差？

2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗？

3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗？

直径/mm 直径/mm

A 厂

B 厂

知识点2.如何计算一组数据的方差和标准差

例2.在一组数据中x 1、x 2、x 3…x n 中，它们与平均数的差的平方是(x 1－)2, (x 2－)2 , (x 3－)2 , …, (x n －)2

.

我们用它们的平均数，即用S 2=1N [(x 1－)2＋(x 2－)2 ＋(x 3－)2…＋(x n －)2

]来描述这组数据的离散程

度，并把它叫做这组数据的 .

在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差.

【变式】甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是：

甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1

分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？

知识点3.

例3.已知，一组数据x 1,x 2,……，x n 的平均数是10，方差是2，

①数据x 1+3,x 2+3,……，x n +3的平均数是 方差是 ， ②数据2x 1,2x 2,……，2x n 的平均数是 方差是 ， ③数据2x 1+3,2x 2+3,……，2x n +3的平均数是 方差是 ，

你能找出数据的变化与平均数、方差的关系吗？

【课堂操练】

1、一组数据：2-，1-，0，x ，1的平均数是0，则x = .方差=2

S . 2、如果样本方差[]

242322212

)2()2()2()2(4

1

-+-+-+-=x x x x S

， 那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .

3、已知321,,x x x 的平均数=x 10，方差=2

S 3，则3212,2,2x x x 的平均数为 ，方差

为 .

4、样本方差的作用是 （ ）

A 、估计总体的平均水平

B 、表示样本的平均水平

C 、表示总体的波动大小

D 、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 5、小明和小兵10次100m 跑测试的成绩（单位：s ）如下：

小明：14.8 , 15.5 , 13.9 , 14.4 , 14.1 , 14.7 , 15.0 , 14.2 , 14.9 , 14.5 小兵：14.3 , 15.1 ，15.0 ，13.2 ，14.2 ，14.3 , 13.5 , 16.1 , 14.4 , 14.8 如果要从他们两人中选一人参加学校田径运动会，那么应该派谁去参加比赛？

６、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩均为7环，10次射击的方差分别分别是3和1.2。设问射击成绩较为稳定的是谁？

【每课一测】

（完成时间：45分钟，满分：100分）

一、填空题（每题5分，共35分）

1、随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：13=甲x ，13=乙x ，

6.3S 2=甲，8.15S 2=乙，则小麦长势比较整齐的试验田是 .

2、样本数据3，6，a , 4，2的平均数是3，则这个样本的方差是 .

3、 数据1x , 2x ,3x ，4x 的平均数为m ，标准差为5，那么各个数据与m 之差的平方和为_________.

4、 已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为_________ ，标准差为_______ 。

5、已知一组数据-1、x 、0、1、-2的平均数为0，那么这组数据的方差是 。

6、若一组数据的方差是1，则这组数据的标准差是 。若另一组数据的标准差是2，则方差是 。

7、一组数据的方差是0，这组数据的特点是 ；方差能为负数吗? 二、选择题（每题5分，共35分）

8、甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是S 甲2

=2.4，•S 乙2

=3.2，则射击稳定性是（ ） A ．甲高 B ．乙高 C ．两人一样多 D ．不能确定

9、若一组数据1a ，2a ，…，n a 的方差是5，则一组新数据12a ，22a ，…，n a 2的方差是 （ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．50

10、 在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的 ( )

A ．平均状态

B ．分布规律

C ．离散程度

D ．数值大小

11、已知甲、乙两组数据的平均数分别是80x =甲，90x =乙，方差分别是210S =甲，2

5S =乙，比较这两组数据，下

列说法正确的是 ( ) A ．甲组数据较好 B ．乙组数据较好 C ．甲组数据的极差较大 D ．乙组数据的波动较小 12、下列说法正确的是 （ ）

A ．两组数据的极差相等，则方差也相等

B ．数据的方差越大，说明数据的波动越小

C ．数据的标准差越小，说明数据越稳定

D ．数据的平均数越大，则数据的方差越大

13、对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得；甲=乙，S 2

甲=0.025,S 2

乙=0.026,下列说法正

确的是 （ ）

A 、甲短跑成绩比乙好

B 、乙短跑成绩比甲好

C 、甲比乙短跑成绩稳定

D 、乙比甲短跑成绩稳定

14、数据70、71、72、73、74的标准差是 （ ）