指数计算与指数函数
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。
在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。
本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。
一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。
指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。
底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。
例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。
指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。
指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
指数有一些基本的性质。
首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。
其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。
此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。
以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。
经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。
指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。
2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。
例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。
指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。
3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。
指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。
4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。
指数运算与指数函数(优质课)教案
1．70.3>1.70＝1，
0.93.1<0.90＝1，
∴1.70.3>0.93.1.
答案：< <
>
练习 1:比较下列各题中两个值的大小．
(1)0.3x 与 0.3x＋1；
(2)12－2 与 2.
答案：> >
练习 2: (2014～2015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数 f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1)
答案：D 练习 1：若函数 y＝ax＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则( )
A．a>1
B．a>1，且 m<0
C．0<a<1，且 m>0 D．0<a<1
答案：B
练习 2：(2014～2015 学年度山西太原市高一上学期期中测试)在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y
＝12x 的图象之间的关系是(
形如 a f (x) = ag(x) (a 0, a 1) 的方程，化为 f ( x) = g ( x) 求解。
形如 a2x + b • ax + c = 0 的方程，可令 t = ax 进行换元，转化成 t2 + bt + c = 0(t 0) 一元二次方程
进行求解。 七、指数不等式的解法：
答案：f(23)＜f(32)＜f(13)
1、把下列各式中的 a 写成分数指数幂的形式 （1） a5 = 256 ；（2） a−4 = 28 ；
1
−1
答案：（1） a = 2565 ；（2） a = 28 4
3
−3
2、计算（1） 9 2 ； （2）16 2
( ) ( ) 3
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。
3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。
4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。
二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。
2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。
3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。
4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。
5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。
指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。
指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。
2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。
3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。
5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。
指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。
2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。
3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。
4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。
总结：。
10指数运算和指数函数
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习10指数运算和指数函数【考点解读】 指数：B 级指数函数的图象与性质：B 级 【复习目标】1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；2．理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象。
活动一：基础知识 1．指数幂的概念（1）根式：如果一个数的n 次方等于a （1,)n n N >∈*,那么这个数叫做a 的n 次方根，也就是，若nx a =，则x 叫做 ，其中1,n n N >∈*，式子n a 叫做 ，这里n 叫做 ，a 叫做 。
（2）根式的性质：① 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号 表示；② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示。
正负两个n 次方根可以合写为 （a >0）；③ ()nn a = ；④ 当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n na a == ； ⑤ 负数没有偶次方根； ⑥ 0的任何次方根都是0. （3）分数指数幂的意义：① n ma = (0.,,1)a m n N n *>∈> ② nm a-= (0.,,1)a m n N n *>∈>（4）有理数指数幂的运算性质：① r s a a •= (0,,a r Q s Q >∈∈); ② rsa a ÷= (0,,a r Q s Q >∈∈); ③ ()r Sa = (0,,a r Q s Q >∈∈); ④ ()rab = (0,0,a b r Q >>∈) 2．指数函数（1）指数函数的定义： （2）指数函数(0,1)xy a a a =>≠的图像及性质如下表：图像性质 定义域为 值域为过定点单调性当x >0时，y >1,当x >0时，0<y <1,活动二：基础练习1．化简与计算：（1）(1a -（2； （3）10.50.25310.25()62527--+-；（4）44•；（5）1123()(3)a a a x y x •；（6；（7）22110.50.25332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]0.062589----+÷⨯÷。
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数
指数的运算与指数函数
指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。
2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。
注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。
2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。
当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。
此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。
3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值： （1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（ ） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值； （2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 （1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数 函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ； （2）值域 ：0>y ;（3） 奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 （1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（ ）。
高中数学指数运算与指数函数课件
(2)f (x)＝2x2＋x＋1－1 2＝1－2x＋2 1， 因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋2 1<2， 即－2<－2x＋2 1<0， 所以－1<1－2x＋2 1<1。 所以 f (x)的值域为(－1,1)。
(3)g(x)为偶函数。 由题意知 g(x)＝f xx＝22xx＋ －11·x， 易知函数 g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， g(－x)＝(－x)·22－ －xx＋ －11＝(－x)·11－＋22xx＝x·22xx－＋11＝g(x)， 所以函数 g(x)为偶函数。
(2)若 f (x)为奇函数，则 f (0)＝0，即 a－20＋2 1＝0，解得 a＝1。 此时 f (－x)＝1－2－x2＋1＝1－12＋·22xx＝－1－2x＋2 1＝－f (x)，故当 a＝1 时，函数 f (x) 为奇函数。 (3)由(2)知 f (x)＝1－2x＋2 1，因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋1 1<1， 所以 0<2x＋2 1<2，所以－2<－2x＋2 1<0，所以－1<1－2x＋2 1<1，即－1<f (x)<1，所以 f (x)的值域为(－1,1)。
【解析】 因为 2x>0，所以 2x＋1>1，即|y|>1，又因为曲线|y|＝2x＋1 与 直线 y＝b 没有公共点，所以－1≤b≤1。
【答案】 [－1,1]
方法小结 (1)处理函数图象问题的策略 ①抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)。 ②巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)。 ③利用函数的性质：奇偶性与单调性。
23－x 的图象。
答案 A
[解析] (2)
由题意得[f(x)－2]·[f(x)－a]＝0，所以 f(x)＝2 或 f(x)＝a， 所以|3x－1|＋1＝2 或|3x－1|＋1＝a，所以|3x－1|＝1 或|3x－1|＝a－1， |3x－1|＝1 有一个根，所以方程|3x－1|＝a－1 有两个不同的实根， 函数 y＝|3x－1|的图象如图所示，所以 0<a－1<1，所以 1<a<2.
北师大版高中数学课件必修第1册第三章 指数运算与指数函数
2.
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
3．[江苏镇江 2021 高一期中]已知指数函数 f(x)的图象过点(－2，4)，则 f(6)＝( B )
3
1
4
A.
B.
C.
4
64
3
1 D.
12
解析
1
设
f(x)＝ax(a>0
且
a≠1)，∴f(－2)＝a－2＝4，解得
1 a＝ ，∴f(6)＝
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
6．[宁夏大学附属中学 2021 高一期中]已知 f(x)＝ka－x(k，a 为常数，a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0，1)，B(－ 3，8)． (1)求 f(x)的解析式；
f（x）－1
(2)若函数 g(x)＝
，试判断 g(x)的奇偶性并给出证明．
10
解析
103x－2y＝103x＝（10x）3＝33＝27，故选 C. 102y （10y）2 42 16
§2 指数幂的运算性质
刷能力
5．已知 ab＝－5，则 a
A．2 5 C．－2 5
解析
b － ＋b
a
a － 的值是( B )
b
B．0
D．±2 5
由题意知 ab<0，a 故选 B.
b － ＋b
a
a － ＝a
2
6＝
1
.故选
B.
2
64
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
4．[福建福州第三中学 2021 高一期中]以下关于函数 f(x)＝2x 的说法正确的是( D ) A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n) C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)
指数的运算与指数函数
模块一：指数的运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。
②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
知识内容指数运算与指数函数题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值：⑴⑵⑶⑷)a b <；⑸238； ⑺1225-； ⑻512-⎛⎫ ⎪⎝⎭； ⑼341681-⎛⎫⎪⎝⎭．【巩固】求值：⑴238， ⑵12100-, ⑶ 314-⎛⎫ ⎪⎝⎭, ⑷ 341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.【例2】 用分数指数幂表示下列各式：（1）32x（2）43)(b a +（a ＋b ＞0）（3）56q p ⋅（p ＞0）（4）mm 3【巩固1】用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)（1）43a a ⋅（2）aa a（3典型例题【巩固2】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴⑵； ⑶54m ⋅．【例3】 求下列各式的值：(1)432981⨯ （2）（3）【例4】 计算下列各式：⑴ 111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫- ⎪⎝⎭>-． （2） 211511336622(2)(6)(3);a b a b a b -÷-题型二 指数运算求值【例5】 a 的取值范围是（ ）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a >D ．12a ≤ 【例6】 下列判断正确的有①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【例7】 已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.【巩固1】已知13x x -+=,求下列各式的值：（1）1122x x -+ （2）3322.x x -+【巩固2】已知31x a -+=，求2362a ax x ---+的值.【巩固4】化简：)()(41412121y x y x -÷-【例8】 解方程0633232=-⨯-x x【巩固】解方程024254=-⨯-xx模块二：指数函数1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比题型一 指数函数的概念【例9】 判断下列函数是否为指数函数。
指数与指数函数
调性来研究函数的单调性，构建方程获解． 解 令 t＝ax (a>0 且 a≠1)，
则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数． 所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16，所以 a＝－15或 a＝13. 又因为 a>0，所以 a＝13.
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(1) R
值域 性质
(2) (0，＋∞)
(3)过定点 (0,1) (4)当 x>0 时， y>1 ； (5)当 x>0 时， 0<y<1 ；
x<0 时， 0<y<1
x<0 时， y>1
(6)在 R 上是 增函数 (7)在 R 上是 减函数
[难点正本 疑点清源] 1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数
∴y2＝4a，y2＝ 2x2 ＝4a.
∴x2＝2a，即 B(2a,4a)． 又∵点 O、A、B 共线，∴2aa＝24aa， ∴2a＝2，即 a＝1.∴A 的坐标为(1,2)．
题型三 指数函数的性质
例3 设 a>0 且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1,1]上
的最大值是 14，求 a 的值．
由上式推得 t2－2t>－2t2＋k.
[12 分]
即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0， 而 Δ＝4＋12k<0，解得 k<－13.
指数运算与指数函数
§2.7 指数运算与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理 1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ＋. (2)式子na 叫作根式，这里n 叫作根指数，a 叫作被开方数． (3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂 (1)正分数指数幂给定正数a 和正整数m ，n (n >1，且m ，n 互素)，若存在唯一的正数b ，使得b n ＝a m ，则称b 为a 的mn 次幂，记作b ＝mn a .这就是正分数指数幂．(2)负分数指数幂给定正数a 和正整数m ，n (n >1，且m ，n 互素)，定义m na －＝1m na＝1na m，这就是负分数指数幂．3．无理数指数幂一般地，给定正数a ，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数a α，自然地，规定a －α＝1a α.4．指数幂的运算性质a αa β＝a α＋β；(a α)β＝a αβ；(ab )α＝a αb α(a >0，b >0，α，β∈R )． 5．指数函数及其性质(1)定义：给定正数a ，且a ≠1时，对于任意的实数x ，都有唯一确定的正数y ＝a x 与之对应，因此y ＝a x 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4(－4)4＝－4.( × )(2)2a ·2b ＝2ab .( × )(3)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x－1的值域是(0，＋∞)．( × ) (4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) 教材改编题1．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x＋b都是指数函数，则a ＋b 等于( )A ．不确定B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1，由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1. 2．计算：()()222327130π－－＋－－＝________.答案 1 解析 原式＝2333⎛⎪⨯⎫⎝⎭－＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________. 答案 2或12解析 若a >1，则f (x )max ＝f (1)＝a ＝2；若0<a <1，则f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝2，得a ＝12.题型一 指数幂的运算 例1 计算： (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93； (2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅(a >0，b >0)．解(1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93 ＝1＋2233222710938⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫322－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19.(2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅＝331322223322240.1a b a b--⋅⨯⨯＝2×1100×8＝425.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 跟踪训练1 计算： (1)933713332÷·aa a a -- ；(2)()13633470.001+16+238-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭.解 (1)因为a －3有意义，所以a >0，所以原式＝7139333322a a a a --⋅÷⋅＝3a 3÷a 2＝a ÷a ＝1.(2)原式＝()()61113343234101+2+23-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭－＝10－1＋8＋23·32＝89. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知非零实数a ，b 满足3a ＝2b ，则下列不等关系中正确的是( ) A ．a <bB ．若a <0，则b <a <0C ．|a |<|b |D ．若0<a <log 32，则a b <b a 答案 BCD 解析 如图，由指数函数的图象可知，0<a <b 或者b <a <0，所以A 错误，B ，C 正确； D 选项中，0<a <log 32⇒0<a <b <1，则有a b <a a <b a ，所以D 正确．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案BD解析由函数f(x)＝a x－b的图象可知，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝a x－b的图象是由y＝a x的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确．题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式大小 例3 设a ＝30.7，b ＝2－0.4，c ＝90.4，则( )A ．b <c <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <a <c答案 D解析 b ＝2－0.4<20＝1，c ＝90.4＝30.8>30.7＝a >30＝1， 所以b <a <c .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (2023·青岛模拟)已知y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0) C ．(0,1)∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 ∵y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x －3·2x ＋3≤7. ∴－1≤2x ≤1或2≤2x ≤4. ∴x ≤0或1≤x ≤2.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝8x ＋a ·2x a ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )，且f (x )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2], 都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝1a ×2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以1a ×12x ＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1a ×2x ＋12x ， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ＝0， 即1a＋1＝0，解得a ＝－1.(2)因为f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥m ⎝⎛⎭⎫12x －2x ， 所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的有( )A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案 AC解析 对于A 中，由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，函数f (x )的图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 错误；对于C 中，设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋yy －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1,1)，所以C 正确；对于D 中，对∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，可得函数f (x )为减函数，而f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．(2)已知函数f (x )＝24313ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋，若f (x )有最大值3，则a 的值为________．答案 1解析 令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )， ∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，则⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1.课时精练1．若m ＝5(π－3)5，n ＝4(π－4)4，则m ＋n 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．1 D ．7 答案 C解析 m ＋n ＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f (x )＝(2a 2－5a ＋3)a x 在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意得2a 2－5a ＋3＝1，∴2a 2－5a ＋2＝0，∴a ＝2或a ＝12.当a ＝2时，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a ＝12时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． ∴a ＝2.3．函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当a >1时，0<1a <1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a个单位长度可得，故A ，B 错误；当0<a <1时，1a >1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度可得，故D 正确，C 错误．4．已知1122x x－＋＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 答案 B 解析 因为1122x x－＋＝5，所以21122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝52，即x ＋x －1＋2＝25，所以x ＋x －1＝23，所以x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝23.5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．2a ＋2b >2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0 答案 CD解析 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错，C 对． 由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错，D 对．6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a >1，函数y ＝(a －1)x －1＋1的图象必过定点A (m ，n )，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x 的定义域为[0,2]，g (x )＝f (2x )＋f (x )，则g (x )的值域为( ) A ．(0,6] B ．(0,20] C ．[2,6] D ．[2,20]答案 C解析 令x －1＝0得x ＝1，y ＝2，即函数图象必过定点(1,2)， 所以m ＝1，n ＝2，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x＝2x，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤2x ≤2，解得x ∈[0,1]，g (x )＝f (2x )＋f (x )＝22x ＋2x ，令t ＝2x ， 则y ＝t 2＋t ，t ∈[1,2]， 所以g (x )的值域为[2,6]． 7．计算化简： (1)()1123232770.02721259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________；232a --÷＝________.答案 (1)0.09 (2)1566a b-解析 (1)112323277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.232a --÷＝2211333212113332a bb a a ba b ---⨯＝2112112132332333·ab＋－－－－－＝1566.a b －8．已知函数f (x )＝3x ＋1－4x －5，则不等式f (x )<0的解集是________． 答案 (－1,1)解析 因为函数f (x )＝3x ＋1－4x －5，所以不等式f (x )<0即为3x ＋1<4x ＋5，在同一平面直角坐标系中作出y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象，如图所示，因为y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象都经过A (1,9)，B (－1,1)，所以f (x )<0，即y ＝3x ＋1的图象在y ＝4x ＋5图象的下方，所以由图象知，不等式f (x )<0的解集是(－1,1)．9．已知定义域为R 的函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a >0，且a ≠1)是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f (1)<0，判断函数f (x )的单调性，若f (m 2－2)＋f (m )>0，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，∴k ＝2，经检验k ＝2符合题意，∴k ＝2.(2)f (x )＝a x －a －x (a >0，且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1， ∴0<a <1，从而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x 在R 上单调递增，故由单调性的性质可判断f (x )＝a x －a －x 在R 上单调递减，不等式f (m 2－2)＋f (m )>0可化为f (m 2－2)>f (－m )，∴m 2－2<－m ，即m 2＋m －2<0，解得－2<m <1，∴实数m 的取值范围是(－2,1)．10．(2023·武汉模拟)函数f (x )＝a 2x ＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a 的值．解 由f (x )＝a 2x ＋a x ＋1，令a x ＝t ，则t >0，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 其对称轴为t ＝－12. 该二次函数在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增． ①若a >1，由x ∈[－1,1]，得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋a ＋1＝13，解得a ＝3或a ＝－4(舍去)．②若0<a <1，由x ∈[－1,1]，可得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a ＋1＝13.解得a ＝13或a ＝－14(舍去)． 综上可得，a ＝3或13.11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0,2)答案 ABD解析 ∵函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象过原点， ∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |－a ， 且f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2，故A 正确； 由于f (x )为偶函数，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于在(－∞，0)上，f (x )＝2－2·2x 单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；∵⎝⎛⎭⎫12|x |∈(0,1]，∴f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2∈[0,2)，故D 正确． 12．(2022·长沙模拟)若e x －e y ＝e ，x ，y ∈R ，则2x －y 的最小值为________．答案 1＋2ln 2解析 依题意，e x ＝e y ＋e ，e y >0，则e 2x －y ＝e 2x e y ＝(e y ＋e )2e y ＝e y ＋e 2ey ＋2e ≥2e y ·e 2e y ＋2e ＝4e ， 当且仅当e y ＝e 2ey ，即y ＝1时取“＝”， 此时，(2x －y )min ＝1＋2ln 2，所以当x ＝1＋ln 2，y ＝1时，2x －y 取最小值1＋2ln 2.13．(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系为( )A ．f (c x )≥f (b x )B ．f (c x )≤f (b x )C ．f (c x )>f (b x )D ．f (c x )＝f (b x )答案 A解析 根据题意，函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，则有b 2＝1，即b ＝2， 又由f (0)＝3，得c ＝3，所以b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x <0，则有c x <b x <1，而f (x )在(－∞，1)上单调递减，此时有f (b x )<f (c x )，若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f (b x )＝f (c x )，若x >0，则有1<b x <c x ，而f (x )在(1，＋∞)上单调递增，此时有f (b x )<f (c x )，综上可得f (b x )≤f (c x )．14．(2023·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－23，0 解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝－03x －m ＋1，∴2m ＝－03x -－03x ＋2，构造函数y ＝－03x -－03x＋2， x 0∈[－1,1]， 令t ＝03x ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增， 在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时， 函数取得最小值－43， ∴y ∈⎣⎡⎦⎤－43，0， 又∵m ≠0，∴－43≤2m <0， ∴－23≤m <0.。
指数计算及指数函数练习
指数计算及指数函数练习一、指数计算 （1） ()443π- （2） 211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)［32)5(-］43(4) 46394369)()(a a ⋅ (5)210319)41()2(4)21(----+-⋅- (6) 已知,32121=+-x x 求3212323++++--x x x x 的值． 二、图像特征1 当0<a<1,b<－1时，函数y=a x +b 的图象 必不经( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 若函数y=a 2x+b + 1 (a>0且a ≠1,b 为实数)的图象恒过定点(1，2)，则b=_____.3 如图，曲线C 1,C 2,C 3,C4 分别是指数函数y=a x , y=b x, y=c x , y=d x,的图象,则a,b,c,d 与1的 大小关系是 ____4．在下列图象中，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 与函数y =(a b )x 的图象可能是 （）三、求定义域与值域 （1） y=2x (-1≤x ≤1) （2）y（3）1218x y -= （4）11()2x y =- （5） 3x y -=四、综合练习1、若122-=x a ，则x x xx aa a a --++33等于 （ ） A ．22－1 B ．2－22 C ．22＋1 D ． 2＋1 2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则 （）A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 23．若集合S ＝{y |y ＝3x ，x ∈R}，T ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，则S ∩T 是（ ）A ．SB ．TC ．φD ．有限集4．下列说法中，正确的是 （ ）①任取x ∈R 都有3x ＞2x ②当a ＞1时，任取x ∈R 都有a x ＞a －x ③y =(3)－x 是增函数 ④y =2|x |的最小值为1 ⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴 A ．①②④ B ．④⑤C ．②③④D ．①⑤ 5．函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则=a ．6．函数y =121+x 的值域是_ _______． 7．不等式1622<-+x x 的解集是 ．五、单调性与奇偶性1、（12分）(1) 解不等式145-+<x x a a （a>0且a ≠1）(2) 函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，求满足1)(>x f 的x 的取值范围2、已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于原点对称，当x ＞0时，f(x) = (1/2) x 试求f(x)的解析式。
指数运算与指数函数(教案)
指数运算与指数函数高考要求知识梳理知识点一：有理数指数幂1. n 次方根概念与表示一般地，如果nx ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*N n ．2.根式概念式子a n叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．3.根式的性质①n a =.②||,a n a n ⎧=⎨⎩，为奇数为偶数； 4.分数指数幂正分数指数幂：a mn=√a m n(a >0,m,n ∈N ∗,n >1) 负分数指数幂：a − m n =1a m n=√a mna >0,m,n ∈N ∗,n >1)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (ab )r =a r b r (a >0,s ∈Q )知识点二：指数函数的图像和性质1.指数函数概念：形如0(>=a a y x且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质R知识点三：指数函数性质的运用（比较大小）指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大考点解析典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算【解析】原式⨯⨯=45612121311)32(56+--+-y x 24=61y x 24=61y ，当27=x ,64=y 时，原式48224=⨯=. 例2、已知 01x <<，且13x x -+=，求1122x x --的值.【解析】因为13x x -+=，则12122121=-+=---x x x x ）（，因为01x <<， 则0112121＜xx x x xx -=-=--，所以12121-=--x x典型习题二：指数函数的图像问题例1、已知函数2()x f x m-=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数||1()()x b g x a+=的图象为（ ）)65)(41(561312112132-----y x y x yx【解析】根据指数函数的性质，可得函数2)(-=x m x f ，恒经过定点）（1,2，即1,2==b a ,所以函数1)21()(-=x x g ，当1-=x 时1)1(=-g ，且函数为偶函数，且在），（∞+1-上函数为单调递减函数，所以函数的图像为D 项，故选D . 例2、函数221()2x xy -+=的值域是（ ）A.RB.1[,)2+∞ C.(2,)+∞ D.(0,)+∞【解析】令22t x x =-+，则1()2t y =，而222(1)11t x x x =-+=--+≤，所以11()22ty =≥.故选B .例3、函数12y ⎛=⎪⎝⎭的单调递增区间是 ．【解析】由题意得，函数满足220x x -++≥，解得12x -≤≤，且函数()22f x x x =-++，在区间1(,)2-∞上单调递增；在区间1[,)2+∞上单调递减，根据复合函数的单调性，可得12y ⎛= ⎪⎝⎭的单调增区间为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例4、若21212()4x x +-≤，则函数2x y =的值域是（ ） A.1[,2)8 B.1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1(,]8-∞ D.[2,)+∞ 【解析】将2122(2)12()=24x x x +---≤化为212(2)x x +≤--，即2230x x +-≤，解得[]3,1x ∈-，所以31222x -≤≤，所以函数2x y =的值域是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选C .例5、函数()()23201xx f x aa a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 ．【解析】由题意得，令0＞xa t =，因为]1,1[-∈x ，当1＞a 时，则],1[a aa t x∈=，则417)23(23)(22-+=-+=t t t x f ，所以当a t =，函数取得最大值，此时最大值为823)(2=-+=a a a f ，解得2=a ，所以函数的最小值为412213)21()21(2-=-⨯+=f ；当10＜＜a 时，则]1,[aa a t x∈=，则417)23(23)(22-+=-+=t t t x f ，所以当at 1=时，函数取得最大值，此时最大值为8213)1()1(2=-⨯+=a aa f ，解得21=a ，所以函数的最小值为412213)21()21(2-=-⨯+=f ，所以函数的最小值为41-. 典型习题三：指数函数性质的运用（比较大小）例1、已知3116=a ，542=b ，325=c，则（ ）A.c a b >>B.b c a >>C.a b c >>D.b a c >>【解析】因为324342==a ，幂函数32x y =在），（∞+0上是增函数，5大于4，所以a c ==323245＞，又因为指数函数xy 2=是增函数，3454＞，所以a b ==345422＜，所以c a b ＜＜，故选D .达标训练1．若0a >，且m ，n 为整数，则下列各式中正确的是（ ） A ．m mn naa a÷=B ．mn mn aa a ⋅=C ．()nmm n a a +=D ．01nna a-÷=2．化简1260[()]()21---的结果为（ ）A ．9-B ．7C ．10-D ．93 A ．0B ．2()a b -C ．0或2()a b -D ．a b -4．下列函数中：①23xy =⋅；②13x y +=；③3x y =；④3y x =.其中，指数函数的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数xa y )1(-=在实数集R 上为减函数，则a 满足（ ） A ．1＜aB ．10＜＜aC ．21＜＜aD ．21＜＜a6．函数12+=x y 的大致图象是（ ）7．若102,104mn==，则3210m n-= ．8．化简并求值：（1）252008.0)949(827325.032⨯+--）（； （2）413322338(14a a b a b-÷-+ 9．已知函数()131xf x a =++为奇函数，则a 的值为 . 10．求下列函数的定义域与值域：（1）y =（2）2121x x y -=+；（3）y =11．已知函数)(x f 的定义域是)2,1(，则函数)2(xf 的定义域是（ ） A ．)1,0(B ．)4,2(C ．)1,21(D ．)2,1(12．化简625625++-=___________13．已知0a >，0b >，且baa b =，9b a =，求a 的值. 14．已知13x x-+=,求下列各式的值：（1）1122x x -+； （2）3322xx -+15．设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞16．函数xak x f -⋅=)((a k ,为常数，10≠a a ，且＞)的图象过点)1,0(A ，)8,3(B ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数()1()()1f xg x f x -=+，试判断函数)(x g 的奇偶性，并给出证明．答案与解析 1.【答案】D【解析】由指数幂的运算，A 、B 、C 错误，故选D ． 2.【答案】B【解析】原式=126)2(17-=. 3.【答案】C【解析】当0≥-b a 时，原式)(2b a b a b a -=-+-=；当0＜b a -时，原式0=-+-=b a a b ，故选C .4.【答案】B【解析】①中x3前面的系数不是1，不是指数函数；②中指数不是x 而是1+x ，不是指数函数；③是指数函数；④中自变量在底数上，不是指数函数.所以指数函数的个数是1，故选B . 5.【答案】C【解析】依题意，有011a <-<，即12a <<. 6.【答案】A【解析】函数12+=x y 的图象是由函数x y 2=的图象向左平移一个单位长度得到的，观察各选项可知选A . 7.【解析】3331312222222101010(10)(10)24m nm n m n -=÷=÷=÷=．8.【答案】（1）2312；（2）a ． 【解析】（1）原式9722325432512=-+⨯=；（2）原式313131312313131231312)2(2)()8(aba ab b a a b a a ⨯-⨯++-=a b a b a a=--=++331331313131)2()()8(．9.【答案】21-【解析】方法一：)(x f 为奇函数，0131131,0)()(=+++++=+-∴-a a x f x f xx 即， 113131311312-=++-=+-+-=-x x x x a ，21-=∴a方法二：由题意得a a f +=++=21131)0(0， 又0)0(=f ，21-=∴a10.【答案】（1）定义域为[0,)+∞，值域为[0,1)；（2）定义域为R ，值域为(1,1)-；（3）定义域为(,1]-∞，值域为[1,)+∞.【解析】（1）∵11()02x-≥，∴1()12x≤，解得0x ≥， ∴原函数的定义域为[0,)+∞.令11()(0)2xt x =-≥，则01t ≤<，∴01≤，∴原函数的值域为[0,1). （2）易知原函数的定义域为R .由2121x x y -=+，得121x y y +=--，∵20x>，∴101y y +->-，∴11y -<<.∴原函数的值域为(1,1)-. （3）∵10x -≥，∴1x ≤， ∴原函数的定义域为(,1]-∞.0≥，∴1≥，∴原函数的值域为[1,)+∞. 11.【答案】A【解析】∵)(x f 的定义域是)2,1(，101222221＜＜，即＜＜x x ∴10＜＜x ∴故选A .12.【答案】32【解析】2322323223+⨯+++⨯-=原式 )23()23(++-= 32=13.【解析】∵0a >,0b >，baa b =，∴1119()()(9)a b a b b b a b a b a a =⇒=⇒=，∴ 81829993a a a =⇒=⇒=14．【答案】（1；（2）【解析】（1）11112112222()2325x x x x x x---+=++=+=，∴1122x x-+=13x x -+=，0x ∴>，1122x x -∴+=（2）3311332222()()x xx x --+=+11111122222222()[()()]x x x x xx ---=+-+11122()[()1]1)x x x x --=++-=-=15.【答案】C【解析】当0a <时，不等式()1f a <可化为1()712a-<，即1()82a<，解得30a -<<；当0a ≥时，不等式()1f a <可化为121a -<，所以01a ≤<．故a 的取值范围是(3,1)-故选C ．16.【答案】（1）xx f 2)(=；（2）奇函数，证明见解析.【解析】（1）由已知得318k k a -=⎧⎨⋅=⎩，∴11,2k a ==，∴xx f 2)(=.（2）函数)(x g 为奇函数．证明：21()21x x g x -=+，其定义域为R ，又211221()()211221x x x x x x g x g x ------===-=-+++，∴函数)(x g 为奇函数．课后训练1．若21025x-=，则10x 的值为（ ）A ．15±B ．15 C ．15-D ．16252．已知22x x-+=，且1x >，则22x x --的值为（ ）A ．2或2-B ．2-C ．6D ．23．化简：10.5233277(0.027)2______1259-⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．设 1.20.80.4614,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 5．已知xa x f -=)((10≠a a ，且＞)，且)3()2(f f ＞-，则a 的取值范围是（ ） A ．0＞a B ．1＞a C ．1＜aD ．10＜＜a6．当10≠a a ，且＞时，函数3)(2-=-x a x f 的图象必过定点 .7.= ． 8.已知函数12log )(2--=x x x f 的定义域为集合A ，关于的不等式xa a --22＜的解集为B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．9.（110421()0.25(2-+⨯； （2）已知11223x x-+=，求22112x x x x --++++的值. 10.是否存在实数a ，使得函数()()22101x x f x a a a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为14？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.11.12．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数13.求函数11()()142xxy =++的值域.14．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（–∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 .16．已知函数)10()(≠+=a a b a x f x，＞的定义域和值域都是]0,1[-，则ba += .答案与解析 1.【答案】B 【解析】25)10(2=-x ，所以5110=x ，故选B . 2．【答案】D【解析】222222()()44x x x x ---=+-=，因为1x >，所以22x x ->，所以222x x --=.3．【答案】0.09【解析】原式255=0.0933++-． 4．【答案】A【解析】由题得 1.20.8 1.60.46 1.38 1.2142,82,22-⎛⎫====== ⎪⎝⎭a b c ，又函数2=x y 在R 上是增函数，所以a b c >>，故选A ． 5．【答案】D【解析】因为32--＞时，且)3()2(--f f ＞)，所以函数xa x f -=)((10≠a a ，且＞)是增函数，所以10＜＜a .故选D . 6．【答案】()2,2-【解析】令20x -=，即2x =，则2)(,12-=∴=-x f a x ，从而函数()f x 的图象过定点()2,2-. 7.【答案】78a11117118248824a a a a a++===. 所以答案应填：78a．8.【答案】1a≤-.【解析】要使有意义，则，解得，即由，解得，即∴解得故实数的取值范围是9.【答案】（1）3-；（2）316.【解析】（1）原式32215)2(21142421-=⨯+-=-⨯+--=--（1）4779)(,3221221212121=+⇒=+⇒=+∴=+----xxxxxxxx，∴原式316948==.10.【答案】133a=或.【解析】令ta x=，则122-+=tty，开口向上，对称轴为1-=t，当1>a时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈aat,1，故函数122-+=tty在⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa,1上单调递增，故14122max=-+=aay，解得3=a或5-=a（舍去）当10<<a时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈aat1，，故函数122-+=tty在⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa1，上单调递增，故1411212max=-+⎪⎭⎫⎝⎛=aay，解得31=a或51-=a（舍去）综上所述：a的值为133a=或.1111==. 12．【答案】A【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A .13．令1()2x t =，(0,)t ∈+∞，则22131()24y t t t =++=++. 因为函数213()24y t =++在(0,)t ∈+∞上单调递增， 所以1y >，即函数11()()142x xy =++的值域为(1,)+∞.14.【答案】),41(+∞-【答案】由题意得：当21＞x 时，12221＞-+x x恒成立，即21＞x ；当210≤x ＜时，11212＞+-+x x 恒成立，即210≤x ＜；当0≤x 时，4111211-⇒+-++＞＞x x x ，即041≤-x ＜.综上，x 的取值范围是),41(+∞-. 15.【答案】13(,)22【解析】由题意知()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<，即112a -<，解得1322a <<，即a 的取值范围为13(,)22． 16．【答案】23-【解析】当01a <<时，函数)10()(≠+=a a b a x f x，＞是减函数，在定义域]0,1[-上，值域为11,b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，所以1110b b a+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，则()13=2=22a b ++--；当1a >时，函数)10()(≠+=a a b a x f x，＞是增函数，在定义域]0,1[-上，值域为11b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，所以1011b b a +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，此方程组无解.综上，得3=2a b +-.。
指数运算与指数函数
指数运算与指数函数
指数运算是数学中一种常见的运算方式，它可以帮助我们简化复杂的计算过程。
在指数运算中，我们使用指数来表示一个数的乘方。
指数函数则是以指数为变量的函数，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
指数运算可以表示为a的n次幂，其中a被称为底数，n被称为指数。
例如，2的3次幂可以写成2³，它的值为8。
指数运算还具有一些特殊的性质，比如指数为0时，任何数的0次幂都等于1；指数为1时，任何数的1次幂都等于它本身。
指数函数是指以指数为变量的函数，通常表示为f(x) = aˣ，其中a 是常数。
指数函数在数学和科学中有着重要的应用，例如在复利计算、放射性衰变等领域。
指数函数的图像通常具有特殊的形状，当指数大于1时，函数图像上升得很快；当指数小于1时，函数图像下降得很快；当指数为0时，函数图像经过点(0, 1)；当指数为负数时，函数图像在x轴的正半轴上。
指数运算与指数函数在实际生活中有着广泛的应用。
在金融领域中，我们可以利用指数运算来计算复利，帮助我们更好地理解财务问题。
在自然科学中，指数函数可以用来描述物质的衰变过程，帮助我们预测放射性元素的衰变速率。
在生物学中，指数函数可以用来描述生物种群的增长规律，帮助我们研究生物的进化和生态系统的平衡。
指数运算与指数函数在数学和科学中扮演着重要的角色。
它们不仅可以帮助我们简化复杂的计算，还可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
通过学习和应用指数运算与指数函数，我们可以提升我们的数学和科学能力，为更广阔的领域做出贡献。
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指数计算与指数函数一．选择题（共11小题）1．已知2x＞21﹣x，则x的取值范围是（）A．R B．x＜C．x＞D．∅2．运算的结果是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．以上都不正确3．化简的结果是（）A．a2B．a C．D．4．已知，则的值是（）A．3 B．5 C．7 D．95．函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（）A．f（xy）=f（x）•f（y）B．f（x+y）=f（x）•f（y）C．f（xy）=f（x）+f（y）D．f（x+y）=f（x）+f（y）6．若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7 B．10 C．12 D．347．函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，则a的值为（）A．1 B．3 C．2 D．1或38．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b9．已知函数f（x）=2x﹣b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（3，1），则f（x）的值域为（）A．[4，16] B．[2，10] C．[，2]D．[，+∞）10．函数f（x）=的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]11．已知全集U=R，集合，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4} D．{x|0≤x＜2或x＞4}二．填空题（共11小题）12．=．13．计算：=，8=．14．计算：（）﹣1+（）0﹣9=．15．若10x=3，10y=4，则10x+y=．16．计算：的值是．17．×÷=．18．函数的单调增区间为．19．函数的值域为．20．函数y=2+a x﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点，它的坐标为．21．若函数f（x）=2x的值域是[4，+∞），则实数x的取值范围为．22．函数的单调递增区间是．三．解答题（共8小题）23．计算：．24．计算（1）log54•log65+log69（2）（3）解不等式：x2+（a﹣3）x﹣3a＞0．25．已知函数f（x）=a x（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．26．已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．27．已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．28．已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．29．已知函数y=2|x|，x∈R（1）作出其图象；（2）说出其单调减区间、奇偶性、最大值、最小值．30．已知f（x）=9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．（1）设t=3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知2x＞21﹣x，则x的取值范围是（）A．R B．x＜C．x＞D．∅【解答】解：2x＞21﹣x，可得x＞1﹣x，解得x＞．故选：C．2．（2016秋•肃州区校级期中）运算的结果是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．以上都不正确【解答】解：==3，故选：A3．（2015秋•枣庄期中）化简的结果是（）A．a2B．a C．D．【解答】解：==，故选C．4．（2013秋•鹿城区校级期中）已知，则的值是（）A．3 B．5 C．7 D．9【解答】解：∵，∴=，∴=7．故选：C．5．（2016秋•邹平县期中）函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（）A．f（xy）=f（x）•f（y）B．f（x+y）=f（x）•f（y）C．f（xy）=f（x）+f（y）D．f（x+y）=f（x）+f（y）【解答】解：由函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1），得f（x+y）=a x+y=a x•a y=f（x）•f（y）．所以函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）•f（y）．故选B．6．（2017春•东莞市校级月考）若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7 B．10 C．12 D．34【解答】解：2x+y=2x•2y=3×4=12，故选：C．7．（2016秋•仙桃期末）函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，则a的值为（）A．1 B．3 C．2 D．1或3【解答】解：由题意得：，解得：a=2，故选：C．8．（2017•和平区模拟）若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，则选：C．9．（2016秋•辛集市期末）已知函数f（x）=2x﹣b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（3，1），则f（x）的值域为（）A．[4，16] B．[2，10] C．[，2]D．[，+∞）【解答】解：因为函数f（x）=2x﹣b的图象经过点（3，1），所以1=23﹣b，则3﹣b=0，解得b=3，则函数f（x）=2x﹣3，由2≤x≤4得，﹣1≤x﹣3≤1，则2x﹣3≤2，所以f（x）的值域为[，2]，故选C．10．（2016•海淀区一模）函数f（x）=的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]【解答】解：要使函数有意义，则需2x﹣1≥0，即为2x≥1，解得，x≥0，则定义域为[0，+∞）．故选A．11．（2016•鹰潭一模）已知全集U=R，集合，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4} D．{x|0≤x＜2或x＞4}【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}，∴∁U B={x|x＞4或x＜2}，即A∩（∁U B）={x|0≤x＜2或x＞4}，故选：D．二．填空题（共11小题）12．（2016秋•昌平区校级期末）=4．【解答】解：=+1+=+1+=4，故答案为：4．13．（2016春•湖州期末）计算：=5，8=27．【解答】解：==5，8==27，故答案为：5，27．14．（2016秋•响水县校级月考）计算：（）﹣1+（）0﹣9=0．【解答】解：（）﹣1+（）0﹣9=2+1﹣3=0．故答案为：0．15．（2016秋•延川县校级期中）若10x=3，10y=4，则10x+y=12．【解答】解：∵10x=3，10y=4，则10x+y=10x•10y=3×4=12．故答案为：12．16．（2015秋•益阳校级期中）计算：的值是．【解答】解：原式==2﹣4=．故答案为．17．（2017春•长汀县校级月考）×÷=．【解答】解：原式=×÷=××=，故答案为：18．（2016秋•江阴市期中）函数的单调增区间为[2，+∞）．【解答】解：令t=﹣x2+4x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+4，则f（x）=，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t=﹣（x﹣2）2+4 的减区间为[2，+∞），故答案为[2，+∞）．19．（2016秋•阜宁县期中）函数的值域为（0，] ．【解答】解：∵x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1∴函数的值域为（0，]故答案为：（0，]20．（2015秋•大庆校级期末）函数y=2+a x﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点，它的坐标为（2，3）．【解答】解：令x=2，得y=a0+2=3，所以函数y=2+a x﹣2的图象恒过定点坐标是（2，3）．故答案为：（2，3）21．（2016春•杭州期末）若函数f（x）=2x的值域是[4，+∞），则实数x的取值范围为[2，+∞）．【解答】解：函数f（x）=2x，在定义域内为增函数，∴2x≥4，∴x≥2．∴实数x的取值范围为[2，+∞）故答案为：[2，+∞）．22．（2015秋•虹口区校级期末）函数的单调递增区间是（﹣∞，0] ．【解答】解：函数的单调递增区间，即函数y=|x|的减区间，而函数y=|x|的减区间为（﹣∞，0]，故答案为：（﹣∞，0]．三．解答题（共8小题）23．（2009秋•杭州月考）计算：．【解答】解：==24．（2014秋•惠来县校级期中）计算（1）log54•log65+log69（2）（3）解不等式：x2+（a﹣3）x﹣3a＞0．【解答】解：（1）原式=．（2）原式=．（3）原式可化为：（x﹣3）（x+a）＞0．①当a=﹣3时，化为（x﹣3）2＞0，解得x≠3，此时不等式的解集为{x|x≠3}；②当a＞﹣3时，解得﹣a＜x＜3，此时不等式的解集为{x|﹣a＜x＜3}；③当a＜﹣3时，解得3＜x＜﹣a，此时不等式的解集为{x|3＜x＜﹣a}．25．（2017春•黄陵县校级月考）已知函数f（x）=a x（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）=a x（x≥0）的图象经过点（2，），∴=a2，∴a=；（2）由（1）知f（x）=（）x，∵x≥0，∴0＜（）x≤（）0=1，即0＜f（x）≤1．∴函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，1]．26．（2016春•济南期末）已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）=a x得a﹣2=9，解得a=，∴f（x）=（2）∵f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，∴f（2m﹣1）＜f（m+3），∵f（x）=为减函数，∴2m﹣1＞m+3，解得m＞4，∴实数m的取值范围为（4，+∞）27．（2014•奎文区校级模拟）已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．【解答】解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x 轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，y miin=0．28．（2015秋•灌南县校级月考）已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．【解答】解：（1）由题意：函数f（x）=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．则有：解得：．（2）由（1）可知，那么：函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8=﹣4+8∵x∈[﹣2，1]∴则，当，即x=﹣2时，f（x）max=53．当，即x=时，f（x）min=4所以函数的值域为[4，53]．29．（2014春•宁强县校级期中）已知函数y=2|x|，x∈R（1）作出其图象；（2）说出其单调减区间、奇偶性、最大值、最小值．【解答】解：（1）函数y=2|x|，x∈R的图象由函数y=2x，经过一次横向的对折变换得到，故其图象如下图所示：（2）由（1）中函数图象可知：函数y=2|x|，x∈R单调减区间为：（﹣∞，0）、函数图象关于y轴对称，故为偶函数、无最大值、最小值为1．30．（2016秋•仙桃期末）已知f（x）=9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．（1）设t=3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）设t=3x，∵x∈[﹣1，2]，函数t=3x在[﹣1，2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为．（2）由f（x）=9x﹣2×3x+4=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为t=1，且≤t≤9，故当t=1时，函数f（x）有最小值为3，当t=9时，函数f（x）有最大值为67．。