大学物理(西南交大)作业参考答案5

NO.5 电势、导体与※电介质中的静电场 （参考答案）

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一 选择题

1．真空中一半径为R 的球面均匀带电Q ，在球心O 处有一带电量为q 的点电荷，如图所示，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O 距离为r 的P 点处的电势为： （A ）r q

04πε； （B ）)(041

R Q

r

q

+πε；

（C ）r Q

q 04πε+； （D ）)(0

41

R q

Q r q

-+

πε

；

参考：电势叠加原理。 [ B ] 2．在带电量为-Q 的点电荷A 的静电场中，将另一

带电量为q 的点电荷B 从a 点移动到b ，a 、b 两点距离点电荷A 的距离分别为r 1和r 2，如图，则移动过程中电场力做功为：

（A ）)(2

101

14r r Q --πε； （B ）)(2

101

14r r qQ

-πε；

（C ）

)(2

1

114r r qQ --πε； （D ）

)

(4120r r qQ --πε。

参考：电场力做功＝势能的减小量。A=W a -W b ＝q(U a -U b ) 。 [ C ] 3．某电场的电力线分布情况如图所示，一负电荷从M 点移到N 点，有人根据这个图做出以下几点结论，其中哪点是正确的？

（A ）电场强度E M ＜E N ； （B ）电势U M ＜U N ； （C ）电势能W M ＜W N ； （D ）电场力的功A ＞0。

[ C ]

4．一个未带电的空腔导体球壳内半径为R ，在腔内离球心距离为d （d ＜R ）处，固定一电量为+q 的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心O 处的点势为：

（A ）0； （B ）d q

04πε； （C ）-R q

04πε； （D ）)(11

40

R d

q

-

πε

。

参考：如图，先用高斯定理可知导体内表面电荷为-q ，外表面无电荷（可分析）。虽然内表面电荷分布不均，但到O 点的距离相同，故由电势叠加原理可得。 [ D ] ※5．在半径为R 的球的介质球心处有电荷+Q ，在球面上均匀分布电荷-Q ，则在球内外处的电势分别为：

（A ）内r Q πε4+，外r Q

04πε-； （B ）内r Q

πε4+，0； 参考：电势叠加原理。注：原题中ε为ε0 （C ）R Q r Q

πεπε44-+内

，0； （D ）0，0 。 [ C ]

r 2

(-Q)A

b

r 1 B a （q ）

※6．用两种介质填充平行板电容器，两极板上分别带有电荷+q 和-q ，若介质I 与II 的相对介电常数为εr1＞εr2（如图），则：

（A ）E 1＞E 2，D 1＞D 2； （B ）E 1＞E 2，D 1＜D 2； （C ）E 1＜E 2，D 1=D 2； （D ）E 1＞E 2，D 1=D 2； [ C ] 参考：D=εr ε0E.

二 填空题

1．图中所示为静电场的等势（位）线图，已知U 1＜U 2＜U 3，在图上画出a 、b 两点的电场强度的方向，并比较他们的大小，E a ＝ E b （填＜、＝、＞）。

2．在边长为a 的正三角形的三个顶点上放置电荷+q ，在三边中点处分别放置电荷-q ，则在三角形中心处一点的电势为a q 0433πε-

。

3．一半径r 1=5cm 的金属球A ，带电量为q 1=+2.0×10-8C ，另一内半径为r 2=10cm 、外半径为r 3=15cm 的金属球壳B ，带电量为q 2=+4.0×10-8C ，两球同心放置，如图，若以无穷远处为电势零点，则A 球电势U A =5400V ，B 球电势U B = 3600V 。

参考：U A = ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++-32

1211141

r q q r q r q π

ε U B = 3

0214r q q πε+

4．导体球1与2相距很远，半径分别为R 1与R 2，设R 1＞R 2，带电量均为Q ，若用一导线

将他们联起来时，将有电荷Q R R R R 2

12

1+-从 2 流向 1 。

参考：连接后，有U 1=U 2=U,即有2

0210144R Q R Q πεπε=

，Q R R R Q 2111+=

，Q R R R Q 2

12

2+=。

也可用孤立导体的电容来做。

5．一带孔的球其半径为R ，孔也是球形，半径为R/2，孔表面在某点与大球面相切，若有体密度为ρ的正电荷Q 均匀分布于球体内，则大球球心O

处的电势为 R

Q

R 00

2

145125πεερ=。

参考：用补全法。该题相当于一个半径为R 电荷密度为ρ的球体和一个半径为R/2电荷密

U

U U 3

度为－ρ的球体组成。0

202020

3

002

1251222

423444ερερερπεπρπεπρR R R R R r dr r U R =-+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅-+⋅=⎰。

※6．在电容为C 0的平行板空气电容器中，平行地插入一厚度为两极板距离一半的金属板，则电容器的电容C= 2 C 0 。参考：00022

2

C d

S

d S

C ===

εε。

三 计算题

1．图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为λ=λ0（x-a ），λ0为一常数，取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势。 解：在x 处取一长为dx 的电荷元dq ，则：

dx a x dx dq )(0-=⋅=λλ ，

则dx x

a x x dq

dU 0004)

(4πελπε-==

， ∴⎰⎰

++-=-==l

a a

o a

l

a a l dx x a x dU U )ln (44000

0πελπελ

2．如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点，试求： （1）球壳内外表面上的电荷；

（2）球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势； （3）球心O 点处的总电势。

解：（1）在导体球壳内部取一高斯面（如图），

由于导体内部场强处处为零，故有：

00

==⋅⎰⎰

∑S

q s d E ε

，

∴

q q q q -==+内内,0，

又由电荷守恒知：q Q q Q q +=-=内外；

（2）a

q a

q U O 0044πεπε-=

=

内内

；

（3）)(41

0b

q Q a q r q U U U U O O q ++-=++=πε外内。

O