正方形的定义性质判定
正方形的性质与判定【十大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题5.3 正方形的性质与判定【十大题型】【浙教版】【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 (1)【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】 (3)【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】 (4)【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】 (6)【题型5 判定正方形成立的条件】 (10)【题型6 正方形判定的证明】 (12)【题型7 正方形的判定与性质综合】 (16)【题型8 探究正方形中的最值问题】 (19)【题型9 正方形在坐标系中的运用】 (20)【题型10 正方形中的多结论问题】 (23)【题型1 正方形的性质（求角的度数）】【例1】（2022春•建阳区期中）如图，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形，求：（1）∠BAE的大小（2）∠AED的大小．【变式1-1】如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．【变式1-2】（2022•武威模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE＝EF，EF交CD于点G．（1）求证：DE＝EF；（2）求∠DEF的度数．【变式1-3】（2022春•新市区校级期末）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（）A．一直减小B．一直减小后增大C．一直不变D．先增大后减小【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】【例2】（2022春•牡丹江期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（）A．2√2B．4C．4−√2D．4+√2【变式2-1】（2022春•巴南区期末）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，且DE ＝1，作EF∥BC分别交AC、AB于点G、F，P、H分别是AG，BE的中点，则PH的长是（）A．2B．2.5C．3D．4【变式2-2】（2022•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG=√2，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（）A．√102B．√3C．√132D．32【变式2-3】（2022春•吴中区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4√5．E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为．【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】【例3】（2022春•鄞州区期末）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（）A．28B．29C．30D．31【变式3-1】（2022春•工业园区校级期中）如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE 为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2√2，若CE•DE＝3，则正方形ABCD的面积为（）A．5B．6C．8D．10【变式3-2】（2022•台州）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．【变式3-3】（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（）A．△ABC的面积B．正方形ADEB的面积C．正方形ACFG的面积D．正方形BNMC的面积【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】【例4】（2022秋•中原区校级月考）如图，线段AB＝4，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE 与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）请直接写出△AEF的周长．【变式4-1】（2022春•雁塔区校级期末）在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，该角可以绕点A转动，∠MAN的两边分别交射线CB，DC于点M，N．（1）当点M，N分别在正方形的边CB和DC上时（如图1），线段BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？你的猜想是：，并加以证明．（2）当点M，N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时（如图2），线段BM，DN，MN之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论．【变式4-2】（2022春•莆田期末）如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．（1）求证：AO＝BO；（2）求证：∠HEB＝∠HNB；（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则PE−PA的值．PB【变式4-3】（2022春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．（1）若OF＝5，求FH的长；（2）求证：BF＝OH+CF．【题型5 判定正方形成立的条件】【例5】（2022春•海淀区校级期中）已知四边形ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是（填序号）．①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形；③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．【变式5-1】（2022春•岳麓区校级月考）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是．【变式5-2】（2022春•汉寿县期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC 上，且OE＝OF，连接DE并延长至点M，使DE＝ME，连接MF，DF，BE．（1）当DF＝MF时，证明：四边形EMBF是矩形；（2）当△DMF满足什么条件时，四边形EMBF是正方形？请说明理由．【变式5-3】（2022春•沛县期中）已知在△ABC中，D为边BC延长线上一点，点O是边AC上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠ACD的平分线相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）试确定点O在边AC上的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．（3）在（2）的条件下，且△ABC满足条件时，矩形AECF是正方形？．【题型6 正方形判定的证明】【例6】（2022春•虹口区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．【变式6-1】（2022春•宜城市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，过点D作DE ∥AC与BC的延长线交于点E，连接AE交DC于F．（1）求证：BC＝CE；（2）连接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求证：四边形ABCD是正方形．【变式6-2】（2022秋•市南区期末）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．（1）求证：AF＝CG；（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH 是正方形？【变式6-3】（2022•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【题型7 正方形的判定与性质综合】【例7】（2022•威海）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O．（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2．【变式7-1】（2022•萧山区模拟）如图，P为正方形ABCD内的一点，画▱P AHD，▱PBEA，▱PCFB，▱PDGC，请证明：以E，F，G，H为顶点的四边形是正方形．【变式7-2】（2022•萧山区模拟）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长．【变式7-3】（2022春•潜山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【题型8 探究正方形中的最值问题】【例8】（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，在正方形ABCD中，M，N是边AB上的动点，且AM＝BN，连接MD交对角线AC于点E，连接BE交CN于点F，若AB＝3，则AF长度的最小值为．【变式8-1】（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A．2B．1C．√5−1D．√5−2【变式8-2】（2022•青山区模拟）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4AB＝8，E为线段AD上一动点，以CE 为边向上构造正方形CEFG，连接BF，则BF的最小值是．【变式8-3】（2022•郧阳区模拟）如图，P A=2√2，PB=4√2，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为．【题型9 正方形在坐标系中的运用】【例9】（2022春•市中区期末）在平面直角坐标系中，对于两个点P、Q和图形W，如果在图形W上存在点M、N（M、N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．已知正方形的边长为2，一边平行于x轴，对角线的交点为点O，点D的坐标为（2，0）．若点E（x，2）与点D是正方形的一对平衡点，则x的取值范围为（）A．﹣3≤x≤3B．﹣4≤x≤4C．﹣2≤x≤2D．﹣5≤x≤5【变式9-1】（2022秋•永新县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，﹣2）、C（2，0）、D（0，2），求证：四边形ABCD是正方形．【变式9-2】（2022春•顺城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OC：yOC＝3x与直线AC：yAC＝﹣x+8相交于点C（2，6）．（1）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交直线OC，AC于点P，Q，请你在图1中画出图形，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，当点M运动秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）．【变式9-3】（2022•河南模拟）如图，正方形OABC 中，点A （4，0），点D 为AB 上一点，且BD ＝1，连接OD ，过点C 作CE ⊥OD 交OA 于点E ，过点D 作MN ∥CE ，交x 轴于点M ，交BC 于点N ，则点M 的坐标为（ ）A ．（5，0）B ．（6，0）C ．（254，0）D ．（274，0） 【题型10 正方形中的多结论问题】【例10】（2022春•慈溪市期末）如图，正方形ABCD 中，点P 为BD 延长线上任一点，连结P A ，过点P 作PE ⊥P A ，交BC 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BP 于点F ．下列结论：（1）P A ＝PE ； （2）BD ＝2PF ；（3）CE =√2PD ； （4）若BP ＝BE ，则PF =(√2+1)DF ．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式10-1】（2022春•渝中区校级期中）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），∠DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF =√2BE ，CF 与AD 相交于点G ．连接EC 、EF 、EG ．下列结论：①∠ECF ＝45°；②△AEG 的周长为（1+√22）a ；③BE 2+DG 2＝EG 2；④当G 是线段AD的中点时，BE =13a ．正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式10-2】（2022秋•三水区月考）如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①HF＝2HG；②∠GDH＝∠GHD；③图中有8个等腰三角形；④S△CDG＝S△DHF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式10-3】（2022春•玉林期末）如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠F AE，AG分别交BC、EF于点G、H，连接EG、DH．则下列结论中：①BF＝DE；②∠EGC＝2∠BAG；③AD+DE=√3DH；④DE+BG＝EH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有．。
正方形的判定(教材分析)
正方形的判定(教材分析)1. 引言在初等数学课程中，正方形是一个重要的概念。
在教学过程中，学生需要掌握如何判定一个图形是否为正方形，以及正方形的性质和特点。
本文将对目前教材中关于正方形判定的内容进行分析和评价，以确定教材是否充分满足学生的研究需求。
2. 教材内容分析2.1 正方形的定义教材首先对正方形进行明确定义，即四边相等且四个角都是直角的四边形。
该定义准确简练，容易理解。
2.2 正方形的判定方法教材介绍了两种判定正方形的方法：边长判定和对角线判定。
2.2.1 边长判定教材提供了判定正方形的边长判定方法：如果一个四边形的四条边相等，则该四边形为正方形。
该方法简单易行，适合学生初步了解和判定正方形的特点。
2.2.2 对角线判定教材还介绍了对角线判定正方形的方法：如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，则该四边形为正方形。
这种方法在实际问题中更具实用性，能够帮助学生更深入地理解正方形的特点。
2.3 正方形的性质和特点教材对正方形的性质和特点进行了详细的介绍：- 正方形是长方形的特殊情况，它具有长方形的所有性质。
- 正方形的周长等于4倍的边长，面积等于边长的平方。
- 正方形的对角线相等且互相平分。
通过对这些性质和特点的介绍，学生可以更好地理解正方形的几何性质和应用价值。
3. 教材评价3.1 优点教材在正方形判定的内容上有以下优点：- 正方形的定义准确简练，易于理解。
- 出现了多种判定方法，有利于学生掌握不同的思路和方法。
- 对正方形的性质和特点进行了全面深入的介绍，有助于学生扩展和应用相关知识。
3.2 不足之处教材在正方形判定的内容上也存在以下不足之处：- 缺乏足够的例题和练题，学生在应用判定方法时缺乏实践机会。
- 缺乏关于正方形相关问题的应用实例和拓展，将正方形的几何知识与实际问题相结合的能力有待提高。
4. 教材改进建议为了更好地满足学生的研究需求，本文提出以下教材改进的建议：- 增加更多例题和练题，让学生能够主动运用判定方法来判断一个图形是否为正方形。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。
本文将对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。
一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
以下是正方形的一些性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。
3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。
4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是直角。
二、正方形的判定条件如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，则这个四边形是正方形。
2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。
3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。
三、应用举例1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形是正方形。
2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四边形是正方形。
3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边形是正方形。
四、正方形的应用领域正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质，在很多领域都有广泛的应用：1. 建筑设计：正方形的对称性使得它在建筑设计中常用于布局规划，例如正方形的房间、庭院等。
2. 绘画和艺术：正方形作为一种几何图形，在绘画和艺术作品中常常被用作构图元素，营造平衡和和谐感。
3. 数学研究：正方形是数学研究中的重要对象，与其他几何形状有着密切的联系，深入研究正方形的性质可以推广到其他领域。
正方形的性质和判定
A
E A
M B
E
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O 又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形 OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会 发生变化？并说明理由。 探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边 分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间 的关系.
正方形的定义
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四 边形叫做正方形 一个角是直角 正方形 平行四边形 一组邻边相等
正 方 形 的 性 质
边 角
正方形的对边平行且相等 正方形的四个角都是直角
正方形的 两条对角线互相垂直平分 对角线 且相等,每条对角线平分一组对角
1.正方形的定义？
A B
O D C
2. 正方形具有哪些性质？
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ）
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
6．四个内角都相等的四边形一定是（C ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 7．在四边形ABCD中，O是对角线的交点， 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
3. 正方形有哪些判定方法？
一般平行四边形与特殊平行四边形的关系 （从定义观察）
菱 形
平行 四边形
正方形
矩 形
平行四边形、矩形、菱形、 正方形四者关系
正方形的性质及判定
正方形的性质及判定
学习目标
1.掌握正方形的概念，理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，发展思维能力.
2.经历从矩形、菱形类比，归纳总结正方形的性质和判定定理的过程，掌握正方形的性质和判定定理，能够综合运用正方形的性质和判定定理进行计算或证明，提高抽象概括和逻辑推理能力.
教学过程
活动一:正方形的定义
定义：条边都，四个角都是的四边形叫做正方形.
活动二:正方形的性质
1.平行四边形的性质
（1）边：对边（2）角：邻角，对角（3）对角线：对角线
2.菱形的性质
（1）边：四条边（2）对角线：对角线，并且每一条对角线平分一组
3.矩形的性质
（1）角：四个角都是（2）对角线：对角线
归纳总结：正方形的性质
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形具有菱形和矩形所有的性质。
（1）边：对边，且四条边 ;
（2）角：四个角都是 ;
（3）对角线：对角线且互相，
每条对角线一组对角.。
正方形的定义与判定
正方形那点事儿：一看就懂的定义与判定嘿，朋友们，今儿咱们来聊聊一个既简单又有趣的几何图形——正方形。
别一听到“几何”俩字儿就头疼，咱们用大白话，保证让你一听就明白，一看就懂！一、正方形是啥玩意儿？首先啊，咱们得知道正方形是个啥。
正方形，说白了，就是四条边都一样长，四个角都是直角的四边形。
哎，别急，咱一个个来解释。
四条边都一样长：想象一下你手里有个正方形的纸片，你不管怎么量它的四条边，长度都是一样的。
不像长方形那样，有长边和短边之分。
四个角都是直角：直角就是咱们平时说的90度的角。
你瞅瞅正方形的四个角，每一个都是直愣愣的，跟咱们家里墙角那个样儿一模一样。
所以，正方形就是这样一个规矩得不能再规矩的图形，既匀称又美观。
二、咋判定一个图形是不是正方形？好了，知道了正方形是啥样儿的了，那接下来咱们就说说怎么判断一个图形是不是正方形。
别急，咱们一步步来。
方法一：直接观察法这个最简单了，你直接拿眼睛看。
如果一个图形看起来四条边都差不多长，四个角也都是直角的，那它八成就是正方形了。
不过啊，这种方法有点儿靠不住，毕竟咱们的眼睛有时候也会骗人，特别是图形画得不太标准的时候。
方法二：尺子量一量拿出你的尺子，开始量吧！如果一个四边形的四条边长度都一样，那你就可以先给它打个“可能是正方形”的标签了。
接着，你再拿量角器量量它的四个角，如果都是90度，那恭喜你，这个图形就是正方形了。
方法三：利用性质判定这个稍微复杂点儿，但是很有用。
正方形作为四边形的一种，它有一些特殊的性质。
咱们可以利用这些性质来判断一个图形是不是正方形。
对边平行且相等：这是四边形的基本性质，正方形作为四边形，当然也得满足。
不过光这一点儿还不够，因为长方形也对边平行且相等，但它不是正方形。
对角线相等且互相垂直平分：正方形的对角线不仅长度一样，而且它们还互相垂直，并且把对方平分成两段。
这个性质可是正方形独有的哦！邻边垂直：正方形的相邻两条边是垂直的。
这一点儿也很重要，因为它把正方形和菱形区分开来了。
正方形的性质
正方形的性质正方形是一种具有特殊性质的四边形，它拥有独特的内部结构和几何特征。
下面我将详细介绍正方形的性质，并探讨其在几何学和实际生活中的应用。
1. 基本定义正方形是一个特殊的长方形，四条边长度相等且四个内角均为90度。
正方形的对角线相等且垂直，且对角线也是正方形的轴对称线。
例如，当边长为a时，正方形的周长为4a，面积为a^2。
2. 对称性正方形具有多种对称性质。
首先，它是轴对称的，即以中心点为对称中心，可将正方形分成两个相等的部分。
其次，正方形也是旋转对称的，即围绕中心点旋转180度或90度都可得到相同的正方形。
3. 内角性质所有正方形的内角均为90度。
这意味着正方形的四个角均相等，并且每个角的补角也是90度。
无论正方形怎样旋转或翻转，其内角性质不会改变。
4. 相关定理正方形的性质也产生了一些重要的几何定理和性质。
以下是一些常见的相关定理：a. 对角线定理：正方形的对角线相等，并且垂直于彼此。
这个定理十分重要，因为它不仅适用于正方形，还适用于其他一些四边形。
b. 垂直性质：正方形的内角都是直角，因此四条边都彼此垂直。
这使正方形在建筑工程和制图中得到广泛应用。
c. 角平分线定理：正方形的对角线同时也是相邻两个角的平分线。
这个定理可以用来计算正方形内部角的大小。
d. 定比分点定理：正方形的对角线将其内部分为两个等比例的三角形。
这个定理可以用来解决一些相关题目，如计算正方形内部具体点的坐标等。
5. 实际应用正方形作为一种具有独特性质的几何图形，在实际生活中得到了广泛应用。
以下是一些实际应用的例子：a. 建筑设计：正方形具有稳定而坚固的结构特征，因此在建筑设计中被广泛使用。
例如，许多大型建筑物的基础是正方形的，以确保其稳定性和平衡性。
b. 绘画和艺术：正方形是一种简单而美观的形状，常被艺术家用于创作各种艺术作品。
作为图形的基本元素，正方形可以为作品带来平衡和和谐感。
c. 瓷砖和地板设计：正方形的瓷砖和地板设计在家居装饰中非常常见。
正方形的概念与性质
正方形的概念与性质正方形是平面几何中的一种特殊形状，它具有独特的概念和性质。
在本文中，我们将探讨正方形的定义、性质以及一些相关的内容。
一、正方形的定义正方形是在平面上的一种四边形，其四条边相等且四个角皆为直角的特殊图形。
正方形的定义可以简述为：具有四条相等边长且四个角度均为90度的四边形。
二、正方形的性质正方形具有多个性质，包括：1. 对角线相等：正方形的对角线相等长，且互相垂直。
2. 对角线平分角：正方形的对角线能够将正方形的内角平分成两个相等的角度。
3. 直角边：正方形的任意一条边都与其相邻边垂直，即正方形的每条边都是直角边。
4. 等边等角：正方形的四边相等，四个内角度也相等，每个内角度均为90度。
5. 最大对称性：正方形具有最大的对称性，可通过旋转或翻转得到完全相同的图形。
三、正方形的应用正方形广泛应用于各个领域，包括建筑、设计和科学等。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑物中的空间布局或者地基设计需要使用正方形的概念和性质，以确保结构的稳定性和均衡性。
2. 数学和几何研究：正方形是基础几何图形之一，在代数、几何和计算几何等数学分支中有重要的应用。
3. 程序设计：在计算机图形学中，正方形经常用于显示和处理图像、窗口和屏幕等方面。
4. 游戏开发：在游戏设计和开发过程中，正方形常用于设计游戏界面和定义游戏区域。
5. 装饰艺术：正方形在设计和装饰领域中被广泛运用，如平面设计、室内设计和产品设计等。
四、与正方形相关的概念和图形1. 矩形：矩形是正方形的一种特殊情况，其具有相对较长和相对较短的两条相邻边，且所有内角均为90度。
2. 菱形：菱形是另一种与正方形相关的概念，其拥有四个相等的边长，但不同于正方形的是，菱形的内角不一定为90度。
3. 正方形的切线：在正方形的每个顶点，都存在一条与正方形接触且垂直于相邻边的切线。
综上所述，正方形是一种具有特殊定义和性质的几何图形。
在不同领域中，正方形的概念和性质都具有广泛的应用。
正方形的判定和性质
练习1:如图：在正方形ABCD中,CF=CE求证：BG DF
n
4.对角线相等的菱形是正方形。
二、例题讲解
考点一：正方形的性质
例1:（2011天津，5，3分）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折
痕BE、BF，则/EBF的大小为（
练习1:例4.如图：正方形ABCD, AE+CF=EF求证：EDF45
例2:如图，在等腰直角△ABC中，AC BC,D E为底边AB的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等分点，过D和E作AB的垂线，分别
交AC于G交BC于F.求证：四边形DEF（为正方形.
练习1:已知：如图，△ABC为等边三角形，且AB2，四边形DEFG为正方形，且D G分别在AB AC上,E、F在BC上，求正方形DEFG勺面积.
考点二：正方形中常见的全等 例1:如图，在正方形ABCD^，点G为BC上任意一点，连接AG过B、D两点分别作BE!AG DF丄AG
正方形的性质和判定
一、基础知识
（一）正方形的定义
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
（二）正方形的性质
1.正方形四个角都是90°,四条边相等；
2.正方形对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（三）正方形的判定
1.一组邻边相等的矩形是正方形；
2.有一个角是直角的菱形是正方形；
3.对角线互相垂直的矩形是正方形；
正方形的性质与判定教案
正方形的性质与判定教案教案：正方形的性质与判定一、教学目标1.理解正方形的定义和性质。
2.能够判断一个图形是否为正方形。
3.能够运用正方形的性质解决相关问题。
二、教学内容1.正方形的定义和性质。
2.正方形的判定方法。
3.正方形的应用。
三、教学过程Step 1：引入话题（5分钟）教师向学生介绍正方形这一图形，并引出正方形的定义和一些常见的性质。
Step 2：正方形的定义（15分钟）1.教师通过投影或者板书向学生展示正方形的定义：四条边相等且四个角都是直角的四边形。
2.引导学生观察正方形，并与定义进行比较，确保学生理解正方形的定义。
3.教师提供一些真实生活中的正方形图像，让学生找出图中的正方形，并对其进行命名。
再让学生用自己的话解释正方形的定义。
Step 3：正方形的性质（15分钟）1.教师通过投影或者板书讲解正方形的一些常见性质，如：四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且垂直等。
2.学生根据教师的讲解，进行思考和讨论，总结正方形的性质，并记录在笔记中。
3.教师给出一些练习题，让学生运用正方形的性质进行解答。
Step 4：正方形的判定（20分钟）1.教师给出一些图形，让学生判断是否为正方形，并解释判断的依据。
2.学生进行小组合作活动，互相检查答案，并找出判断正方形的关键点。
3.学生将判定的依据总结出来，向全班汇报。
Step 5：正方形的应用（20分钟）1.教师讲解正方形在实际生活中的应用，如：建筑设计、画框制作等。
2.学生通过小组合作，思考并总结其它正方形的应用，并向全班汇报。
3.教师提供一些问题，让学生运用正方形的性质和应用解决问题。
Step 6：课堂小结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行小结，并对学生的学习情况进行评价。
四、教学评价方法与学习活动设计1.教学评价方法：-师生互动的提问评价：教师通过提问学生，检查学生对正方形定义和性质的理解程度。
-小组合作评价：学生通过小组合作，互相检查问题、判断正方形、总结正方形性质等活动，从而培养学生的团队协作能力和思维的综合能力。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是几何学中常见的一个形状，具有许多独特的性质和特点。
本文将探讨正方形的性质与判定方法。
一、正方形的定义正方形是一种四边相等且四个角均为直角的特殊四边形。
它既是矩形，也是菱形，同时也是正多边形。
正方形的特点使其在几何学中具有重要的地位。
二、正方形的性质1. 边长性质正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。
2. 角度性质正方形的四个内角均为直角，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。
3. 对称性质正方形具有各种对称性质。
其中包括中心对称、对角线对称和轴对称。
正方形可绕其中心旋转180°得到一模一样的图形。
4. 对角线性质正方形的对角线相等且垂直平分对方的角。
即AC=BD=2r，且AC⊥BD。
5. 对应边平行性质正方形的对边是平行的，即AB∥CD，BC∥AD。
三、正方形的判定方法确定一个四边形是否是正方形可以根据以下几种常见的判定方法。
1. 边长判定如果一个四边形的四条边长度均相等，则可以判定为正方形。
2. 角度判定如果一个四边形的四个内角均为直角，则可以判定为正方形。
3. 对角线判定如果一个四边形的对角线相等且垂直平分对方的角，则可以判定为正方形。
4. 组合判定可以结合使用边长、角度和对角线的性质来判定一个四边形是否是正方形。
例如，如果一个四边形的对边平行且相等，并且对角线垂直且相等，则可以判定为正方形。
四、应用举例正方形的性质和判定方法在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
1. 建筑设计在建筑设计中，正方形的对称性和稳定性使其成为设计方案中常见的形状之一。
例如，一些公共广场的地面铺装常采用正方形的铺砖方式。
2. 基础几何证明正方形的性质经常被用于解决数学几何证明问题。
例如，可以利用正方形的对角线性质证明勾股定理。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，正方形常被用作显示屏幕的基本像素单位，通过在像素网格中填充正方形像素来构建图像。
正方形的性质和判定
正方形的性质和判定正方形是几何学中的一种特殊形状，它具有许多独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍正方形的性质以及如何准确地判定一个形状是否为正方形。
一、正方形的性质正方形是一种具有四条相等边且四个内角均为90度的四边形。
以下是正方形的主要性质：1. 边长性质：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 内角性质：正方形的每个内角均为90度。
3. 对角线性质：正方形的对角线相等且垂直平分对方顶点的内角。
4. 对称性质：正方形具有对称性，笛卡尔坐标系中以正方形的中心为原点，可以将正方形分为四个相等的象限。
5. 封闭性质：正方形的四条边围成一个封闭的区域。
二、如何判定一个形状是否为正方形判定一个形状是否为正方形的关键在于验证其是否满足正方形的定义和性质。
以下是两种常见的判定方法：1. 边长相等判定：通过测量四条边的长度，如果它们相等，则可以初步判断该形状为正方形。
但该方法仅适用于已知各边长度的情况。
2. 内角度数判定：通过测量四个内角的度数，如果它们均为90度，则可以确定该形状为正方形。
注意，只有测量到了90度的误差范围内，才能断定该形状为正方形。
三、案例分析下面通过一个具体的案例演示如何判定一个形状是否为正方形：假设有一个形状ABCD，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，同时角ABC=90度，我们需要判定该形状是否为正方形。
根据判定方法，首先我们测量四条边的长度，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，满足正方形的边长性质。
接下来，我们需要测量四个内角的度数，已知角ABC=90度。
如果我们测量到剩余三个角的度数也均为90度，那么可以确定该形状为正方形。
在实际测量中，如果我们测得角BCD、角CDA和角DAB的度数也均为90度（在90度的误差范围内），那么该形状可以被判定为一个正方形。
四、总结正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定方法。
通过测量边长和角度数，我们可以判断一个形状是否满足正方形的定义。
正确理解和应用正方形的性质和判定方法，有助于我们更好地理解几何学中的基础概念，并能够准确判断形状的类型。
正方形的性质及判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】 正方形有 条对称轴．【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】 如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】 如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例23】 如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。
正方形的性质与判定条件
正方形的性质与判定条件正方形是几何学中一个重要的形状，具有独特的性质和判定条件。
正方形是指具有四条相等边和四个直角的四边形。
本文将探讨正方形的性质与判定条件，以及其在几何学中的重要应用。
一、正方形的性质1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。
2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（即90度），即∠BAD=∠CDA=∠DCB=∠ABC=90°。
3. 对角线相等：正方形的对角线相等，即AC=BD。
4. 对角线互相平分：正方形的对角线互相平分，即AC和BD分别平分对方的两个内角，即∠BAD=∠CDA和∠ABC=∠BCD。
5. 对边互相平行：正方形的对边互相平行，即AB∥CD且BC∥DA。
二、正方形的判定条件1. 边长相等的四边形：若一个四边形的四条边长度相等，则它是一个正方形。
2. 直角四边形：若一个四边形的四个内角都是直角，则它是一个正方形。
3. 对角线相等且互相平分：若一个四边形的对角线相等且互相平分对方的两个内角，则它是一个正方形。
三、正方形的应用1. 建筑设计：正方形具有稳定的结构，常被应用于建筑设计中，如平面布局、房间设计等。
2. 四边形研究：正方形是四边形的一种特殊情况，通过了解正方形的性质，有助于深入理解其他类型的四边形。
3. 数学证明：正方形是许多几何学问题的理论基础，通过研究正方形的性质，可以推导出其他几何形状的性质和定理。
总结：正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形，具有边长相等、内角为直角、对角线相等、对角线互相平分以及对边互相平行的性质。
正方形可以通过边长相等、直角四边形、对角线相等且互相平分的判定条件进行确认。
正方形在建筑设计、四边形研究和数学证明等领域有着广泛的应用。
通过深入了解正方形的性质与判定条件，可以拓展对几何学的认知，提高数学学习的效果。
以上就是关于正方形的性质与判定条件的文章。
正方形作为一种几何图形，其特点和性质在实际生活和学术领域中有着重要的应用和意义。
第三讲正方形的性质与判定
第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。
正方形的判定和性质
正方形性质与判定1）定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
2）性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴。
正方形也是中心对称图形。
）3）判定：① 有一个内角是直角的菱形是正方形； ② 邻边相等的矩形是正方形； ③ 对角线相等的菱形是正方形；④ 对角线互相垂直的矩形是正方形。
4）正方形的周长和面积： 正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长例题讲解1. 如图，正方形ABCD 中，△EBC 是正三角形，求∠EAD 的度数。
2. 如图，正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，以CG 为边做正方形GFEC ， 求证：BG=DE3. 如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BG ⊥CE 于G 交AD于F ， 求证：CE=BF 。
4. 分别以三角形ABC 两边向形外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，求证：BG=CE 。
5. 如图，平行四边形ABCD 中，△ABE 、△BCF 是以AB 、BC 为边的等边三角形，求证：△DEF 是等边三角形。
6. 如图，正方形ABCD 对角线BD 、AC 交于O ，E 是OC 上一点，AG ⊥DE 交BD 于F ， 求证：EF ∥DC 。
7. 如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于O ，DE 平分∠ADB ，CN ⊥DE 于N ，求证：OF=21AG 。
8. 如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF. （1） AE 与BF 相等吗？为什么？（2） AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。
FE D C B AA BCDEFGFEDCBAABCDEFGO CDEFOG NAB CD E FGABCDED A F A B C DEDCB A E F P DCB A EG FD C B A EG F A BCDEF G9. 如图，在正方形ABCD 中，取AD 、CD 边的中点E 、F ，连接CE 、BF 交于点G ，连接AG 。
正方形定义和性质及判定正方形的特征正方形的判定方法
正方形，正方形的性质，正方形的判定
正方形的定义：
在平面几何学中，正方形是具有四条相等的边和四个相等内角的多边形。
正方形是正多边形的一种：正四边形。
四个顶点为ABCD的正方形可以记为\square ABCD。
正方形是二维的超方形，也是二维的正轴形。
正方形的特征：
1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；
2、内角：四个角都是90°；
3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。
正方形的判定方法：
1：对角线相等的菱形是正方形
2：对角线互相垂直的矩形是正方形
3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形
4：一组邻边相等，对角线互相平分的四边形是正方形
5：一组邻边相等，对角线互相垂直的平行四边形是正方形
6：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
7：每个角都是90度的平行四边形是正方形
正方形的面积公式：
正方形面积公式是边长乘边长
正方形有的周长公式：
正方形的周长是它的边长的4倍。
如果边长为a，那么周长
正方形的对称性：
正方形是一种高度对称的平面图形，它关于两条对角线的交点中心对称（这个点又被称作正方形的中心）。
它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线。
保持正方形不变的变换有8种，包括全等变换，以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的旋转，以及关于四条对称轴的反射。
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正方形的定义性质判定
执笔：陈振华课型：新课审稿：八年级数学组
教学目标：理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定方法
预习导航
一、理解定义
1、如何将长方形纸片折叠后得到正方形图形，折一折
2、如何在下面的长方形中画一条直线得到正方形图形，试一试
由上面的操作可给正方形定义为______________的矩形叫正方形
3、如何将顶点不固定的棱形变为正方形
因此，我们还可以把_____________的棱形叫正方形
二、找性质
1、因为正方形是特殊的矩形，所以
它具有矩形的性质，对边_________，四角都是__________，对角线__________ _____
2、因为正方形是特殊的棱形，所以
它具有棱形的性质，四边_____，对角线______且_________
讲例与探究
探究一、（1）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个全等的等腰直角三角形
（2）若边长为a，求BO的长A B
O
D C
探究二、
边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30度到正方形AB1C1D1的位置，则图中阴影部分的面积是
课堂练习
1、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形
2、在边长为12cm的正方形纸片ABCD的BC边上有一点P，已知PB＝5cm，如果将纸折起，使点A落在点P上，试求折痕的长度。
3、设P是正方形ABCD内的一点，满足PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，求∠APB．
4、ABCD为正方形，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
课外练习
2、如图，正方形ABCD 中，△BEC 为等边三角形，求∠EAD 的度数
3、四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任一点，∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角的平分线CF 于点F ，求证：AE=AF
1．如图(5)，在AB 上取一点C ，以AC 、BC 为正方形
的一边在同一侧作正方形AEDC 和BCFG 连结AF 、BD 延长BD 交AF 于H 。
试猜想AF 与BD 的关系并证明
D A
B E
D B
探究三、在下图中，正方形ABCD的边长为b，对角线交于点O，点O又是正方形
A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等。
那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是多少？并说明道理。
我们来当设计师：下图是一块正方形的草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，请将你的方案画出来，能画几种就画几种，画完后比比谁有创意。
教学反思
1。