将军饮马问题教学文案

将军饮马问题

第一讲将军饮马问题

学习要点与方法点拨

一、主要内容（1）将军饮马问题的概念。

（2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。

（3）将军饮马问题与勾股定理。

二、本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次

函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。

课前预习

轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。

模块精讲

一、将军饮马问题的概念和基本思路

起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：

如图，有一位将军从位于A点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一条小河MN边，让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程

中，走过的路程最短？

精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。

A

初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问

题中A点和B点在河MN的同一侧，那么，如果A点和B点在河MN的不同侧呢？

那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？

例1，如图，一匹马从S点出发，先去河OP边喝水，再去草地OQ吃草，然后再回

到S点。该如何选择线路，使得经过的总路程最短？

草地 O M 例1图例2图

二、将军饮马与坐标系

例2，已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，

求AN+NM+BM的最小值，并求出此时M、N的坐标。

①两段折线→作一次对称→转化折线

三段折线→作两次对称→转化折线

②连线段→最小值

例3，已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+AN的最小值，并求此时对应的m的值。

运用平移的性质

例4，已知A(4,1)、B(-3,-2)，试在x轴上找一点C，是|AC-BC|最大，求出点C 的坐标和这个最大值。

构造三角形，运用三角形的边长关系

三、将军饮马问题解题思路的归纳

学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。

首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。

1. 怎么对称，作谁的对称？

2. 对称完以后和谁连接？

3. 所求点怎么确定？

4. 将军饮马一定是求最短距离吗？

本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，

四、将军饮马与勾股定理

例5，如图，将军的军营在A处，与河岸的距离OA=4km，将军的家在B处。且QA=7km，QB=8km，他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。

O 小河

P

A• B

A

1

Q B 例5图例6图 O A A

2

Q

例6，如图，∠POQ = 20°，A为OQ上的点，B为OP上的点，且OA=1，OB=2，

在OB上取点A

1 ，在OQ上取点A

2

，求AA

1

+ A

1

A

2

+ A

2

B的最小值。

例7，∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。

五、三角形、正方形中的将军饮马

例8，如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一

点，且AE=2，求EM+EC的最小值。

例8图例9图

例9，如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__________。

例10，如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上,且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

例10图例11图

例11，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝

例12，一次函数y = kx + b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，

4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．

y

例13，如图，在坐标系xOy中，有一条河，

河岸分别为x轴和直线MN，直线MN与y轴的·P

交点为A(0,2)，P、Q两地位于河的两岸，且

P(0,5)、Q(5,-1)。现在需要在河上架一座桥，

(桥必须垂直于河岸)，来沟通P、Q两地，求 M A B

N

桥的端点B、C的坐标，使得从P地到Q地的

路程最短。 O C x

·Q

总结：将军饮马问题 = 轴对称问题 = 最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。

所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现“线段a+b的最小值”

这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。