理工大泛函分析复习题.docx
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
(完整word版)大连理工大学泛函分析复习题与答案
泛函分析期末复习题和答案（2005-2006年度）此为答案 复习题在后面1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x ，y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。
子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。
3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L ，则集合x 0+L={x 0+l ，l ∈L}称为E 中一个线性流形。
4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x ，y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。
5、 设x ，y 是线性空间E 中的两个元素，d(x ，y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x ，y)＞0，且d(x ，y)＝0＜―――＞x=y （2） 对称性：d(x ，y)=d(y ，x)（3） 三角不等式：d(x ，y)≤d(x ，z)+d(y ，z) for every x ，y ，z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：设x={x 1，x 2，…x n }T ，y={y 1y 2，…y n }Td 2(x ，y)=(21||niii x y=-∑)1/2d 1(x ，y)=1||ni i i x y =-∑d p (x ，y) = (1||np iii x y=-∑ )1/p d ∞(x ，y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x ，d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ，x 0)→0(n →∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n →x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0，且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||，λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||，for every x ，y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0，总存在自然数N ，使得当n>N ，m>N 时，均有|x m -x n |<ε，则称序列{x n }是E 中的基本列。
(完整word版)理工大泛函分析复习题
一、（10分）设(,)d x y 为空间X 上的距离。
证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+ 也是X 上的距离。
1、 求证 为 空间。
（其中 为 空间, 为 空间）2、 S 是由一切序列 组成的集合, 在S 中定义距离为3、 , 求证S 是一个完备的距离空间。
4、 Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有界算子。
5、 附加题开映射定理( ) 设 都是 空间, 若 是一个满射, 则 是开映射。
Hahn —Banach 延拓定理( ) 设 是 空间, 是 的线性子空间, 是定义在 上的有界线性泛函, 则在 上必有有界线性泛函 满足：()()()()()()()000012f x f x x X f f =∀∈=延拓条件；保范条件，其中00f 表示0f 在0X 上的范数。
闭图像定理( ) 设 都是 空间, 若 是 的闭线性算子, 并且 是闭的, 则 是连续的。
共鸣定理( ) 设 是 空间, 是 空间, 如果, 那么存在常数 , 使得()A M A W ≤∀∈。
五、（10分）在 上定义内积:（1）如果21(),6f x x x =-+求||||f ； （2）证明任一函数()g x a bx =+都正交于21()6f x x x =-+。
六、（10分）设 为Hilbert 空间 的闭子空间, 证明对每个 必存在唯一的 有0inf y Mx x x y ∈-=- 七、（15分）设 , 求证: 。
八、（15分）简答题1.试说明 与 中函数的差异；一、2.泛函分析也称无穷维分析, 为什么要研究无穷维分析, 试举例说明；3.Hilbert 空间是最接近有限维Euclid 空间的空间，请做简要说明。
二、在 上定义内积 ,若记 为 中奇函数全体, 为 中偶函数全体, 求证： 且。
三、设 为内积空间 中的一个稠密子集, 且 , 证明 。
在 中赋予距离 问 是完备空间吗？ 为什么？设 若 是从 的算子, 计算 若 是从 的算子再求 。
泛函分析总复习
泛函分析总复习（按与课本先后顺序排列）1、设M 是n R 中的有界闭集，映射M M T →:满足),(),(y x Ty Tx ρρ<()y x M y x ≠∈∀,,。
求证T 在M 中存在唯一的不动点。
证明： 因为),(),(00x x Tx Tx ρρ<，所以0),(0),(00→⇒→Tx Tx x x ρρ。
再由三角不等式，得到),(),(),(),(0000Tx Tx x x Tx x Tx x ρρρρ+≤-。
由此可见，),()(Tx x x f defρ==在M 上连续。
因为M 是n R 中的有界闭集，所以Mx ∈∃0，使得),(m i n )(m i n )(),(000Tx x x f x f Tx x Mx Mx ρρ∈∈===。
如果0),(00=Tx x ρ，那么0x 就是不动点。
今假设0),(00>Tx x ρ。
根据假设，我们有),(min ),(),(00020Tx x Tx x x T Tx Mx ρρρ∈=<。
但是M x T Tx ∈020,，这与),(00Tx x ρ是最小值矛盾。
故0),(00=Tx x ρ，即存在不动点0x 。
不动点的唯一性是显然的。
事实上，如果存在两个不动点1x ，2x ，则从),(),(),(212121x x Tx Tx x x ρρρ<<即得矛盾。
2、对于积分方程)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ，其中]1,0[)(C t y ∈为一给定函数，λ为常数，1<λ，求证存在唯一解]1,0[)(C t x ∈。
证明： 考虑由)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ),()()(10t y e ds s x e t x e tst---=-⇒⎰λ),()(),()(t y e t t x e t z t t def--===ζ则原方程等价于ds s z t t z ⎰+=1)()()(λζ。
(完整word版)泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
（完整word版）北京理工大学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）
（完整word版）北京理⼯⼤学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）北京理⼯⼤学2012-2013学年第⼀学期2010级泛函分析试题（A 卷）⼀、（10分）设T 是赋范线性空间X 到⾃⾝的线性映射。
证明以下三条等价：（1）T 连续；（2）T 在零点连续；（3）T 有界。
⼆、（10分）设H 是Hilbert 空间。
证明：（1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →；（2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。
三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ?∈≥，证明：存在()1A B H -∈。
四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性⼦空间。
证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。
注：M 仅为H 的⼦集时充分性不成⽴，试举反例五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈，令[]()0,1max x f f x ∈=。
证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。
六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。
证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ?? ?=∈ ?。
七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性⽆关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。
证明：（1）M 是闭的线性⼦空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈￡。
(完整word版)北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)
北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级泛函分析试题（A 卷）一、（10分）设T 是赋范线性空间X 到自身的线性映射。
证明以下三条等价： （1）T 连续； （2）T 在零点连续； （3）T 有界。
二、（10分）设H 是Hilbert 空间。
证明： （1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →； （2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。
三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ∀∈≥，证明：存在()1A B H -∈。
四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。
证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。
注：M 仅为H 的子集时充分性不成立，试举反例 五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈， 令[]()0,1max x f f x ∈=。
证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。
六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。
证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭⎰。
七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性无关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。
证明：（1）M 是闭的线性子空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈£。
泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
《泛函分析》课程考试试题
《泛函分析》课程考试试题学年第 学期 班级时量：100分钟 总分100分考试形式 开卷 一、判断题（以下各题中，正确的打错误打X,每题5分，共30分）.如果离散度量空间1可数，那么X 是可分空间.（）1 .赋范线性空间不是度量空间.（）.设X 是复内积空间，x, yeX,那么||x+y 『=||x 『+|| y 『的充要条件是（）82 .设/〃（p 〉0）表示满足Z ㈤"< 8的实（或复）数列X = M 的全体，对/〃中点X = ■｝ k=T 5,设7为赋范线性空间X 的子空间0（7）到赋范线性空间y 中的线性算子，那么T = sup Tx .料国.设｛&｝是Hilbert 空间X 中可数规范正交系，那么对每个XE X,成立8G£卜,哂=卜『/=1二、证明题（此题共6个小题，请任选5个小题作答，每题14分，共70分）6 .设T 是度量空间X 到X 中的压缩映射，那么对任意正整数— 7〃也是压缩映射.7 .设X 是完备度量空间，A 是X 到X 中映射，假设且那么映射A 有唯一不动点. 8 .设sup|«,J <oo,在尸中定义线性算子y = Tx, q=a£, i = l,2,…，其中 n>\x =，・・・，〃，・・・),y = (〃],%,・・・,〃〃，・・・)，那么T 是有界线性算子，且||T|| = supMn>\.设X 是实可分的Hilbert 空间，证明乃中存在一个可数的完全规范正交系｛〃｝.9 .设X 是赋范线性空间，与，九2，毛是1中3个线性无关向量，是一组数，假设对 任意数彳"2，%3，有那么在X 上存在满足以下条件（1）、（2）的线性泛函（1）/（工,）=4，u = l, 2,3⑵II 小L〃心叩d(A«心，)-°“)，d(x, y) 〃心叩d(A«心，)-°“)，d(x, y) (77 f oo) 定义人定义人 XI 成为完备的赋范线性空间.k=10.设（（以=1,2,・•，是Banach空间X到赋范线性空间丫中有界线性算子，假设对每个XE X,{7>}都收敛，令笈=1的7>,证明T是X到丫中有界线性算子.。
泛函分析习题及参考答案
En
∫x
n
− x dt +
p
Fn
∫x
n
− x dt 。此时，
p
1 1 ⎡ ⎤ p p p p p p x x dt ( x dt ) ( x dt ) − ≤ + ⎢ ⎥ ， ∫ x n − x dt < (b − a ) ⋅ ε 。 n n ∫ ∫ ∫ ⎢ En ⎥ Fn En En ⎣ ⎦
泛函分析习题及参考答案
一、在 R 中定义如下三种距离： x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 ) ∈ R ，
2
2
d1 ( x, y ) = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 ， d 2 ( x, y ) = max{ x1 − y1 , x2 − y2 } ，
i =1
= ∑ ξi( n ) − ξi +
p i =1
K
i = K +1∑∞ξi( n ) − ξi
p
≤∑ξ
i =1
K
(n) i
− ξi
p
∞ p 1 ⎛ ∞ p 1 ⎞ + ⎜ ( ∑ ξi( n ) ) p + ( ∑ ξi ) p ⎟ < 2ε p 。 i = K +1 ⎝ i = K +1 ⎠
1
取 δ = min(δ 1 , δ 2 ) ，则 e ⊂ E ， me < δ 时，
∫
e
x n (t ) dt ) p < ε ，对每个自然数 n 成立。
p
即 {x n (t )} 在 [a, b] 上具有等度绝对连续的积分。 充分性证明，对任何 ε > 0 ，令 E n (ε ) = E ( x n − x ≥ ε ) ，则 mE n (ε ) → 0 。由此可知， 对任何 δ > 0 ，存在 N > 0 ，使得 n > N 时， mE n (ε ) < δ 。 令 Fn (ε ) = E ( x n − x < ε ) ，则 ρ ( x n , x ) =
《 泛函分析》期末试题
存在 xn X , xn 0 使得 Txn . 3 （15 分） 设 X 是 Banach 空间， An , A B( X ), 则 An x Ax, x X 当且仅当{ An }
有界并且存在子集合 G 使得 spanG X ，在 G 上 An x Ax. 4 （15 分） 对于内积空间 H 中的规范正交集{e1, , en}和 H 中的 x ，证明函数
n
f (1, , n ) x iei 当且仅当 i (x, ei ) （ i 1, , n) 时达到 i1
极小值。
5 （15 分） 设 H 是 Hilbet 空间，{en , n 1}是其中的规范正交系。证明级数 nen 按 n1 H 的范数收敛等价于弱收敛。
《 泛函分析》期末试题
1（20 分） 证明非ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性积分方程
b
x(t) a K (t, s, x(s))ds y(t), t [a,b]
在 足够小时有唯一连续解。这里 y(t) C[a,b], K : [a,b][a,b] R R
连续并且满足
K(t, s,1) K(t, s, 2 ) L1 2 , t, s [a,b]. 2 (15 分) 设 X ,Y 是线性赋范空间，T : X Y 是线性算子, 则T 不是有界的当且仅当
(完整word版)泛函分析题目集
泛函分析复习题一．选择题：1. 设 },,,,{21 n e e e 是希尔伯特空间H 上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是 ( )A. },,,,{21 n e e e 线性无关；B. 对任何的H x ∈，都有∑∞==122|),(|n n xe x ；C. 任意两组数N a a a ,,,21 ，N b b b ,,,21 都有 ∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛Nn n n N n N n n n n n b a e b e a 111,；D. ()⎩⎨⎧≠==ji j i e e j i ,0,1,， ,3,2,1,=j i 。
2. 下列关于p L 空间（1≥p 且2≠p ）的论述不正确的是（ ）A. pL 空间是一个赋范线性空间；B. p L 空间是完备的；C. p L 空间是距离空间；D. p L 空间是希尔伯特空间。
3. 下列关于2L 空间的论述不正确的是（ ）A. 2L 空间是一个赋范线性空间；B. 2L 空间不一定完备的；C. 2L 空间是内积空间；D. 2L 空间是可分的。
4. 设X为一个实赋范线性空间，⋅为他上面的范数，则下面不正确的是（ ）A. 对任何X x ∈，都有0≥x ，B. 对任何X x ∈，R a ∈都有x a ax ||=，C. 对任何X x ∈，X y ∈，都有222y x y x +=+， D. 对任何X x ∈，X y ∈，都有y x y x +≤+。
5. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（ ）A. X 和空集φ都是开集；B. 任意多个开集的并还是开集；C. 任意多个开集的交也是开集；D. 有限多个开集的交也是开集。
6. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（ ）A. X 和空集φ都是闭集；B. 任意多个闭集的并还是闭集；C. 任意多个闭集的交也是闭集；D. 有限多个闭集的并也是闭集。
7. 下面论述正确的是（ ）A. 紧集不一定是有界的。
B. 紧集的子集一定是紧集。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的公理之一？A. 封闭性B. 加法结合律C. 交换律D. 分配律答案：A2. 一个线性泛函在定义域内是连续的，那么它在定义域内也是：A. 有界的B. 无界的C. 可微的D. 可导的答案：A3. 紧算子一定是：A. 有界算子B. 单射算子C. 满射算子D. 可逆算子答案：A4. 希尔伯特空间中，下列哪个性质不是正交性的定义？A. 正交向量的长度不为零B. 正交向量的内积为零C. 正交向量的数量可以是无限的D. 正交向量在同一个空间中答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是巴拿赫空间，并给出一个例子。
答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，即在该空间中，任何柯西序列都收敛于该空间中的一个点。
一个典型的例子是所有连续函数构成的空间，赋予最大范数。
2. 什么是紧算子？请解释其性质。
答案：紧算子是定义在巴拿赫空间上的有界线性算子，其值域是原空间的一个闭子空间，并且是可分的。
紧算子的一个重要性质是它们将单位球面映射到一个相对紧集。
三、计算题（每题20分，共40分）1. 设线性算子A在希尔伯特空间H上定义，且满足A^*A = I，证明A是单射的。
答案：设x, y属于H，且Ax = Ay，那么A^*(Ax) = A^*(Ay)，即x = y。
因此，A是单射的。
2. 给定线性泛函f在希尔伯特空间H上定义，且满足f(x) = <x, y>，其中y是H中的一个固定向量。
证明f是连续的。
答案：由于f(x) = <x, y>，根据内积的性质，|f(x)| ≤ ||x||||y||，其中||y||是y的范数。
因此，f在H上是连续的。
四、论述题（每题20分，共20分）1. 论述希尔伯特空间中正交投影算子的性质。
答案：希尔伯特空间中的正交投影算子P具有以下性质：- P是线性的。
- P是自伴的，即P^* = P。
泛函分析考试试卷.doc
泛函分析考试试卷选择题。
1、下列说法不正确的是（）A、n维欧式空间疋是可分空间B、全体有理数集为疋的可数稠密了集C、严是不可分空间D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的答案：D2、设T是度量空间（X,d）到度量空间（Y, d~）的映射，那么T在xocx连续的充要条件是（）A、：1 2 3 4 51 x n—x° (n-co)时,B、当Xn—Xo (mcc)时,C、当x0—>x n (n—)时,D、当x n—Xg(n—0)时，答案:D必有TxnfTxo (n—xx) 必有Tx()—>Tx n(n—>oo)必有Txn—>Tx°(n—>oo)必有Txn- T XQ(n—0)答案：原像是X中的开集2设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y屮的线性算了，则T为有界算子的充要条件是T是X上的____ 匚答案：连续算子。
3若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是対一切xCX有 _________________________________________________________________________ 匚答案：（Tx, x）=04有界线性算子T的共馳算子尸也是有界线性算子，并且_『11。
答案：=5设仏｝是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果仏｝在X的每点X处有界，那么｛仏｝ _______________________________________________________________________ o_答案：一致有界B 、(A*)*=A** D 、(aA)*=aA* 3、在度量空间屮有（）A 、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B 、 柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案:C4、 关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）A 、 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B 、 L p [a, b] （p>l ）是巴拿赫空间C 、 空间卩是巴拿赫空间D 、 赋范线性空间的共轨空间不是巴拿赫空间 答案：D5、 下列对共純算子性质描述错误的是（）A 、(A+B)*=A*+B*; C^ 当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案：B 二、填空题1、度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中的任意开集M 为三、判断题1、 自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。
泛函分析考查课习题(周一交,按学号排列,抄题)(1)
一、简答题：（每小题5分）
1、 给出常用的Hahn-banach 定理、共鸣定理、逆算子定理？
2、 （上大）紧集与相对紧集的概念与不同之处？
3、 （交大）弱*收敛和弱收敛有什么不同，哪个更弱一些?
为什么？
4、 （同济）Hilbert 空间的共轭空间有什么特殊性？
5、 叙述线性空间，度量空间，赋范空间，Banach 空间，
Hilbert 空间的定义与关系？
二、计算证明题（每小题15分）
6、（川大）证明：Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有
界算子.
7、（北航）S 是由一切序列()12,,,,n x x x x =⋯⋯组成的集合，在
S 中定义距离为：
()11,21n n n n n n x y x y x y ρ∞
=-=+-∑， 求证：S 是一个完备的距离空间。
8、（山大）空间C[a,b]，X(t)是[a,b]上的连续函数，对于f ∈C[a,b],
定义算子(Tf)(t)=X(t)f(t) 。
求证：T 是C[a,b]上的有界算子，并求||T||
9、(山大)证明：内积空间X 中的两向量x,y 正交
⇔ 对一切x,有||x y ||||x ||α+≥
三、论述题：（共15分）
10、探究泛函分析各发展阶段代表人物及其主要工作.。
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的基本元素？A. 向量B. 线性组合C. 线性映射D. 拓扑结构答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个性质不是内积空间必须具备的？A. 正定性B. 线性C. 对称性D. 交换性答案：D3. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. 赫尔德不等式B. 闵可夫斯基不等式C. 贝叶斯定理D. 一致有界性原理答案：C4. 巴拿赫空间是指完备的赋范线性空间，以下哪个条件不是巴拿赫空间必须满足的？A. 线性B. 赋范C. 完备性D. 有限维答案：D5. 在泛函分析中，紧算子是指将有界集映射到相对紧集的线性算子，以下哪个性质不是紧算子必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 单射性答案：D6. 下列哪个概念不是泛函分析中的拓扑概念？A. 开集B. 闭集C. 连续性D. 线性映射答案：D7. 泛函分析中，下列哪个概念与巴拿赫空间无关？A. 赋范线性空间B. 完备性C. 紧性D. 线性答案：C8. 在泛函分析中，下列哪个性质不是线性泛函必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 单射性D. 连续性答案：C9. 下列哪个定理不是泛函分析中解决方程问题的基本定理？A. 赫尔德定理B. 拉克斯-米尔格拉姆定理C. 贝祖定理D. 弗雷德霍姆选择定理答案：C10. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子的基本性质？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 可逆性答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中的线性空间必须满足向量加法和标量乘法的______性。
答案：封闭2. 希尔伯特空间中的内积必须满足正定性、线性、对称性和______性。
答案：共轭对称3. 巴拿赫空间是完备的______线性空间。
答案：赋范4. 紧算子将有界集映射到______集。
答案：相对紧5. 巴拿赫空间中的完备性是指空间中的每个柯西序列都收敛到空间内的某个元素，这种性质也称为______性。
（完整word版）泛函分析习题标准答案
（完整word版）泛函分析习题标准答案第⼆章度量空间作业题答案提⽰ 1、试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-能定义度量吗？答：不能，因为三⾓不等式不成⽴。
如取则有(),4x y ρ=,⽽(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、试证明：（1）()12,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x yρ-=+-在R 上都定义了度量。
证：（1）仅证明三⾓不等式。
注意到21122x y x z z y x z z y ??-≤-+-≤-+- ?故有111222x yx z z y-≤-+-（2）仅证明三⾓不等式易证函数()1xx x=+在R +上是单调增加的，所以有()()a b a b ??+≤+,从⽽有1111a b a b a b++≤≤+++++++令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y zy x z x y z---≤++-+-+-4.试证明在[]b a C ,1上，)12.3.2()()(),(?-=ba dt t y t x y x ρ定义了度量。
证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成⽴。
[]),(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dtt y t z dt t z t x dtt y t z dt t z t x dtt y t x y x bab ab aba ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明∑∑==≤??ni in i i x n x 1221证：∑∑∑∑=====?≤??ni in i n i i n i i x n x x 1212122118.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积21R R R ?=上定义了度量{}212/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三⾓不等式。
泛函分析期末考试题库及答案
泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 线性算子C. 微分方程D. 范数答案：C2. 希尔伯特空间中的内积满足的性质不包括以下哪一项？A. 线性B. 对称性C. 正定性D. 可逆性答案：D3. 以下哪个是紧算子的性质？A. 有界B. 可逆C. 连续D. 可微答案：A4. 以下哪个定理是泛函分析中的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 里斯表示定理D. 牛顿-莱布尼茨定理答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，一个线性空间的基是一组线性______的向量。
答案：无关2. 一个线性算子是______的，如果它将一个有界集映射到一个有界集。
答案：有界3. 一个线性算子是______的，如果它将一个紧集映射到一个紧集。
答案：紧4. 一个线性算子是______的，如果它在某个线性空间上是连续的。
答案：连续三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是线性空间，并给出其基本性质。
答案：线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足加法和数乘两种运算，并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配律等性质。
2. 解释什么是紧算子，并给出一个例子。
答案：紧算子是一个线性算子，它将任意有界序列映射到一个收敛序列。
例如，考虑在L^2空间上的算子K，定义为K(f)(x) =∫f(t)sin(x-t)dt，它是一个紧算子。
3. 描述什么是希尔伯特空间，并说明其与欧几里得空间的关系。
答案：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，它允许无限维向量的存在。
希尔伯特空间是欧几里得空间的推广，其中欧几里得空间是有限维的希尔伯特空间。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性算子A: L^2(0,1) → L^2(0,1)，定义为A(f)(x) =∫₀^x f(t)dt，证明A是一个紧算子。
答案：略2. 考虑在L^2(-1,1)上的算子B，定义为B(f)(x) = xf(x)，证明B是一个有界算子，并求出其范数。
泛函分析期中复习题
|K(t, s, ω1(s)) − K(t, s, ω2(s))| ≤ k||ω1 − ω2||.
证明当 |λ| 足够小时, 此方程存在唯一解 x0 ∈ C[a, b].
5. 设 {aij}(i, j = 1, 2, · · · , n) 是一组实数, 满足条件
∑n (aij − δij)2 < 1,
∫1
∫1
1
1
∥x∥1 = ( |x(t)|dt) 2 , ∥x∥2 = ( (1 + t)|x(t)|dt) 2 .
0
0
求证 ∥ · ∥1 和 ∥ · ∥2 是 C[0, 1] 中两个等价的范数.
七. Hölder 不等式和 Minkowski 不等式.
1. 判断正误.
(1) 若 1 ≤ p ≤ q, 则 lp ⊂ lq. (
∑k ∥x∥ = max x(i)(t) ,
a≤t≤b i=0
其中 x(0)(t) 表示 x(t), 求证 Ck[a, b] 成为赋范空间.
4. 设 k 是非负整数, 证明 [a, b] 上次数不超过 k 的多项式全体 Pk[a, b]
是 C[a, b] 的闭子空间.
5. 对 x(t) ∈ C[0, 1], 令
度量.
二. 可分性.
1. 判断正误.
(1) 连续函数空间 C[a, b] 是可分的. (
)
(2) [a, b] 上的多项式函数空间 P [a, b] 在度量 d(x(t), y(t)) = maxt∈[a,b] |x(t)−
y(t)| 下可分. (
)
2. 证明: lp(1 ≤ p < ∞) 是可分空间.
.
(2) 对于每个有界序列 (αn), 定义线性算子 T : lp → lp 为
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-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。
证明
l + d(3)
也是X上的距离。
1、求证/(X,r)为3空间。
(其中X为/空间，丫为B空间)
2、S是由一切序列兀=(召，兀2,•…,£，・・・)组成的集合，在S中定义距离为
p(x，y ,求证S是一个完备的距离空间。
3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。
4、附加题
开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。
Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。
是X的线性子空间，人是定义在X。
上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足:
⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件);
(2)||/|| = UII0(保范条件),
其中表示人在X。
上的范数。
闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是X T Y的闭线性算子，并且D(T)是闭的，则卩是连续的。
共鸣定理(毘9)设X是B空间，丫是£空间，如果
Wu/(X,Y),使得sup||Ar||<oo(VxG X),那么存在常数M ,使得
AeW
|A||<M(VAG w)0
五、(10 分)在C[0,1]上定义内积：厶[0,1],(x)g(x)必
(1)如果 /(兀)=疋一X + ；,求11/11；
6
9 1
(2)证明任•一函数g(x) = a + bx都正交于/(x) = x2 -X + — o
六、(10分)设M为Hilbert空间X的闭子空间，证明对每个xw X必存在唯一的x o eM,
x-x0 = inf x-y
yeM
七、（15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\且求||/||。
八、（15分）简答题
1•试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异;
2.泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明；
3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。
一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全
体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M㊉W二且丄。
设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0.
二、在R中赋予距离p（x,y） =| arctan x-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什么？设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从
Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门
四论述题：
1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。
2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。
3、证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。
ie[a,b]
设H是内积空间，£，兀儿则当X" t X,儿Ty时，（£,几）T（x,y）,即内积
关于两变元连续。
10・设叭叭皿赋范空何，©“ 八码），证明
⑴+ 7V,
（2）
fit （】）任取f€E;及则
（T: + T t） V（r）r s）«> f（T^） + /（r»z >
-r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） •
山人工的任尴性.得：
《珀 + T护= +
<2）由共馳算子性质1•■即得:工
7. i 殳T 足賦范空何E 到赋范空间上的线性右界算 子，如果存在正数乩 使符对任何乂€戌
|Tz|>6|x|
证明T 仔在逆算子T J 时仪幷H"1是仔界的・
a 対f •线竹奔十儿？？氏UEE )划由关系式 ”工14“阖为彩="・因此T 起材到&上的1-1映谢。
所U 厂>“任。
任取必疗住唯一的心:,使
Tx^y
令则易证足吊到£的找性算子・由于 \Tx\>b\x\.所以
IT «!/PkKj
因此T ' ;&閃到E 的线性仆界算子・沫
4・设M.是区间［a, &］上有界瓯数的全体，％中的 线性运祥与C ［a 』］中的相同，在M 。
上定义范敷
l«l" sup ［«(0| «<(<*
证明时。
是巴拿般空间.
証 M 证耐。
关于|・|成为賦范空间•现证M 。
是完备的.
设仗■｝为M.中的基本列，那么对v^>O.^a ：N >0. g n>N 时，有
«up I«4O-x w (t)|<«.
・•・対”堆［a#h 右
JxXt)-x nl (O|<«
(n, m >N) ・・・・・・(▲)
P!此{况化”为一致墓本列•从而存在xW.使
一致 ..
'
x,(O — x(O (n — oo) 显然x€ *V 0.在(▲》式中，固定"，令加一oo,便仔 1^(0 - x(i)|*5« (n^N)
・：
|观・兀|= sup «(t )l • c • ■ t <b 即 “ •■・：・
… 7.证明：设｛e l9e 2,...,ej 是Hilbert 空间中的一个标准正交集，令 M =里初｛勺,勺,•••，£”｝，如果P 是H 到M 上的正交投影算子，则办w H,有
Px = ^{x,e k )e k o
k=\
3•设M 是Hilbert 空间H 的闭线性子空间，仁H ,且f.eM 是满足
||/z-/o|| =
M 。
为巴拿赫空间.※
rf(7z,M) = inf||x-/z||的唯一元素,那么,h-f Q丄M。
4设X是内积空间,｛e n：nEN｝是X中的标准正交系，则对任意的xeX#成立Bessel 不等式：
£|v心“ ＞『外『・
n=l
7.证明：设｛勺心,…,—｝是Hilbert空间中的一个标准正交集，令
M =也劝｛勺,02，・・・,匕｝,如果P是H到M上的正交投影算子，则0兀w H,有
川
Px = ^(x9e k)e kO
k=l。