运筹学课后习题答案__林齐宁版本__北邮出版社.

·No .1 线性规划

1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而

工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h 。 (1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；

(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型

的解是否有影响？

解：(1)设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：

max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4

=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4

s.t. ⎪⎩

⎪

⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i

(2)如果组织这次生产有一次性的投入20万元，由于与产品的生产量无关，

故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。 2、将下列线性规划化为极大化的标准形式 解：将约束条件中的第一行的右端项变为正值，

并添加松弛变量x 4，在第二行添加人工变量x 5，将第三行约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令x x x 333='-''，则有

max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5('-''x x 33

)+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7} s.t. 0,,,,,,,13

55719 13 55719

16 9976 5 765433217

3321633

215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧±≥≤+-=-+--≥-+++=不限3213213213213

21 ,0,13|5719|169765 ..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f

3、用单纯形法解下面的线性规划

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 解：在约束行1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可行解和单纯形

答：最优解为x 1 =244.375, x 2 =0, x 3 =123.125, 剩余变量x 6 =847.1875；最优解

的目标函数值为858.125。

No .2 两阶段法和大M 法 解：将原问题变为第一阶段的标准型

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=+-+=+-+--⋅+⋅=0,,,,,75

3802 ..00)(max 6

54321642153216

521x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f

答：最优解为x 1 =14，x 2 =33，目标函数值为254。

1、用两阶段法解下面问题：

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++=0,75

3802 ..64)(min 2

121212

1x x x x x x t s x x x f

2、用大M 法解下面问题，并讨论问题的解

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≥≥++≤++-≤++++= ,0,,52151565935 ..121510)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f

解：第1、2行约束条件添加x 4, x 5松弛变量，第3行添加x 6剩余变量和x 7

答：最后单纯形表中检验数都小于等于0，已满足最优解判定条件，但人工变量x 7仍未迭代出去，可知原问题无可行解(无解)。

No .3 线性规划的对偶问题

解：对偶问题为

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧

±≥≤=+-≥++-≥+≤+++=不限

321313213121321,0,00 53 2 2..645)(min y y y y y y y y y y y y t s y y y y g

⎪⎪

⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨

⎧≤≥±-≥-≤≥≤-≥≤0

,0,12 8 4 14 2

6321

332211x x x x x x x x x 不限 令改写后约束条件每行对应的对偶变量为y 1,...,y 6，则有对偶规划如下：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤≥+-≤+=+--++-=0

,, ,0,,8 3 4 ..12841426)(max 642531654321654321y y y y y y y y y y y y t s y y y y y y y g

1、写出下列线性规划问题的对偶问题：

(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧±≥≤=++≤+≥+-+-+=不限

43214323143213

21 ,0,,06 4 2 5

..532)(max x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f (2)

⎪⎩

⎪

⎨⎧-≤≤-≤≤≤≤-+-=8

1214

46

2 ..834)(min 3213

21x x x t s x x x x f

解：原问题的约束条件可改写为右式