定积分的应用--平面图形的面积

d
y
y 1 ( x)
oa x b x
a xb
h 2 ( x) 1 ( x)
X —型：
c o
x 1 ( y )
x
Y —型：
c yd
h 2 ( y ) 1 ( y)
1.通过本堂课的学习,你获得了什么数学知识? 定积分解决平面上曲边形面积的问题 一 般 步 骤
o
-4
B
2
x
y 4
D
f ( x) x 2
抽象
y
AS
0 a
S1
b X0
S2
曲边形
长方形
曲边梯形
面积 S=S1-S2
3 例2 求 y x 与直线x 1, x 2 及 x 轴所围成的
平面图形的面积。 解 所围成的图形如图所示：
y
yx
1
3
则
s 1 x dx

b
a
f ( x)dx
就是位于x轴下方的曲边梯形 面积的相反数. 即

b
a
f ( x)dx S
几何意义
对于函数值有正有负的连续函数 f ( x ) 定积分
b
y
a
f ( x)dx
d
S1
C
S3
b
a
S2
x

b a
f ( x ) d x S1 S 2 S 3
热身练习
1.用定积分求下列图形的面积 1
①根据题意画出图形; ②确定积分上下限和被积函数， 写出相应的积分表达式 ③计算定积分，得出所求图形 的面积
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的 跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程 求由曲线围成的平面图形面积
3米 6米
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的 跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ 解：如图建立平面直角坐标系，
问题情境

b
a
f ( x )dx 的几何意义是什么？
几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分
y f ( x)

b
a
f ( x)dx
0
a
b
x
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积
几何意义
y 当函数 f (x) 0 ， 定积分
a
b
x
y f ( x)
法二： 的面积 . 解: 由 得交点
所围图形
y
y 2 2x
(2 , 2) , (8 , 4)
此平面图形为Y—型 则有 4 2 A ( y4 1 2 y )d y 2
(8 , 4)
o
y x4
(2 , 2)
x
18
定积分在几何上的应用
y
y 2 ( x)
y
x 2 ( y )
可设抛物线方程为
3米 6米
y
2
y ax
(a 0)
-3
o
-3
3x
点 ( 3,3) 代入方程， 得 1 a 3 1 2 于是抛物线方程 y x 3
( 3,3)
( 3,3)
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的 跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ 解：如图建立平面直角坐标系，
1 3 2 ( 2) 3 3


16 3
f ( x) x 2
变式
2、 如图所示由 y
2 和 所围图形的 f ( x ) x 4 y 面积是多少？ 解: S ABCD - S曲边梯形 ABCD
s
2 x dx A 4 4 - 2 -2 16 16 3 C 32 3 2
3
0
2 3 x dx 0
17 4
0
2
x
范例
3.计算由曲线 y x 2 与 y x 所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积
2 y x x 1 解方程组 2 得交点横坐标为 x 0 及 y x
y
Байду номын сангаас
y x2
B C D
y x
Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ
y
y 1 x
1
x
2
-1
o
热身练习
y sin x
x
y

0

范例
1、 计算：由曲线 f ( x) x 2 ,直线 y
-2
x 2, x 2和 x 轴所围成的
曲边梯形的面积
2 2 2 2
o
2
解:
x
2 2
1 3 S = - x dx x dx x 2 2 3
＝ ＝
1 0
1
-1
O -1
1 A
x
x dx x 2 dx
0
3 1 2
1
2 x 3
1 31 2 1 x ＝ ＝1 0 3 3 3 3 0
提升
y
A
0 a bX a
1
A2
b a b
曲边形
曲边梯形
面积 A=A1-A2
巩固练习
例3计算由 y 2x
和 y x 4及 x 轴所围图形
可设抛物线方程为
y
o
-3
C3 x
B
于是抛物线形拱桥的横截面积
y ax
2
(a 0)
S= S长方形 - S曲边梯形
1 2 = 18 - 3 3 x dx 3 1 2 =12 - 3 x dx 3
3
点 ( 3,3)代入方程， 得 1 a 3 1 2 所以抛物线方程 y x 3
y x4
的面积. 解 先求两曲线的交点。
{ y x4
y
2x
(8,4).
y2 2 x
思考题：
计算由 y 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
2
解 先求两曲线的交点。
y x4
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
y2 2 x
可设抛物线方程为
3米 6米
y
2
y ax
(a 0)
-3
o
-3
3x
点 ( 3,3) 代入方程， 得 1 a 3 1 2 于是抛物线方程 y x 3
( 3,3)
( 3,3)
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的 -3 D 跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ A 解：如图建立平面直角坐标系，
计算