初中数学中考复习专题一：方法专题突破集训1.中点问题五大模型
中考数学必考几何模型：中点四大模型
中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DCBAFF ACABCDCA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FECA1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC与△EDB中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DEADBDEADCCDBD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，∴4＜AD＜16，故AD的取值范围为4＜AD＜16．2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝41(AB2＋AC2)．NMD CA证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD ＝DC ， ∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）．模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．ABCDDCBA模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．NM CB A解答： 连接AM ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝4352222=-=-BM AB ．∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN ． 即：21×3×4＝21×5×MN ．∴MN ＝512跟踪练习1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．F证明：连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABDEFACDDCA解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， ＝S △CFE ＋S △DBC ，＝S △CFE ＋21S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ．∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC ． 21ABCDE模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EDDA模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDCBA解答如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ．∴∠HFE ＝∠HEF ． ∵FH ∥MB ，HE ∥NC ，∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ． ∴∠BME ＝∠CNE ．练习：1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？ （3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.E D CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图31.解答（1）如图①，分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌ △BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK .又∵HK =BK +BC +CH =AB +BC +AC . ∴DE =12（AB +AC +BC ）.（2）猜想结果：图②结论为DE =12（AB +AC -BC ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK . 又∵HK =BK +CH -BC =AB +AC -BC∴DE =12（AB +AC -BC ）GABCDEKHF 图2（3）图③的结论为DE =12（BC +AC -AB ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 或延长线于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12KH . 又∵HK =BH -BK =BC +CH -BK =BC +AC -AB∴DE =12（BC +AC -AB ）.ABCD EKHF图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO F E DC BAE图2G ABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH ，EH ，如图①）（2）△AGD 是直角三角形如图②，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF ，HE . ∵F 是AD 的中点， ∴HF ∥AB ，HF =12AB . ∴∠1=∠3.同理，HE ∥CD ，HE =12CD ， ∴∠2=∠EFC ， ∴AB =CD ， ∴HF =HE . ∴∠1=∠2.∵∠EFC =60°，∴∠3=∠EFC =∠AFG =60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF =FG . ∴GF =FD .∴∠FGD =∠FDG =30°.∴∠AGD =90°，即△AGD 是直角三角形.图2321G A BCDF H模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线DCBA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA证明连接DE ，DF .BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DF =12BC ，DE =12BC .DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形. DM ⊥EF ，点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCDEFM练习：1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.1.解答取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM .即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM . 又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN . ∴DM =5.N MD CBA2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA2.证明延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE ∥BD .∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ， 且∠BMD =∠GME ， ∴△BMD ≌△GME . ∴BM =MG .∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF DCBA图2ABCDE FM图3ABCDF M3.解答∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点， ∴DE =12AB ，DF =12AB .∴DE =DF . ∵DE =KDF ， ∴k =1. （2）∵CB =CA ， ∴∠CBA =∠CAB . ∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM . ∴AM =BM .∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ， ∴∠MEB =∠MF A =90°. 又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ） ∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ， 又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ） ∴DE =DF .（3）DE =DF .图1M F E DCB A如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH. ∵点D是边AB的中点，∴DG∥BM，DG=12 BM.同理可得：DH∥AM，DH=12AM.∵ME⊥BC于E，H是BM的中点.∴在Rt△BEM中，HE=12BM=BH.∴∠HBE=∠HEB.∴∠MHE=2∠HBE.又∵DG=12BM，HE=12BM，∴DG=HE.同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC.∵DG∥BM，DH∥GM，∴四边形DHMG是平行四边形.∴∠DGM=∠DHM.∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，∠MBC=∠MAC，∴∠MGF=∠MHE.∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.∴∠DGF=∠DHE.在△DHE与△FGD中DG HEDGF DHEDH FG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHE≌△FGD（SAS）∴DE=DF.图2AB CDEFM。
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
2019初中数学辅助线专项突破 专题1——中点专题 中点常见辅助线的作法
第一章中点专题三角形是初中几何的重要内容之一，也是历年中考命题的热点。
其中，三角形各边的中点、中线及中位线的有关性质的应用，是中考的必考内容，历年多以计算和证明题的形式出现。
我们预计与中点有关的操作性试题和综合性的探究题将是今后几年中考数学的重点题型。
方法技巧提炼与中点有关的辅助线，我们总结下列四种类型：类型一见中线，可倍长1.倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形或平行四边形2.有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需再证一次全等三角形，即“二次全等”.在证明第二次全等时，难点通常会体现在倒角上.常见的倒角方法有：①“8”字型(如图1-8)；②平行线；③180° (平角；三角形内角和）；④360° (周角；四边形内角和）；⑤小旗子（三角形外角）；⑥90° (互余角）类型二见等腰三角形，想“三线合一”已知等腰三角形底边的中点，可以考虑与顶点连接，用“三线合一”类型三见斜边，想中线已知直角三角形斜边的中点，可以考虑构造斜边中线，目的是得到三条等线段和两对等角.类型四见多个中点，想中位线已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线；已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.精题精讲精练类型一见中线可倍长例题1.如图1-9，在∆ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点 F, AF=EF，求证：AC=BE.【思路提示】AD是中线，可考虑倍长中线.变式.如图1-10，在∆ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF//AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为三角形ABC的角平分线，求证：BG=CF.例题2.如目1-11,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC的中点，点E,F分别为AB,AC上的点,且ED⊥FD,以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？【思路提示】倍长中线DF,造全等三角形变式1.如图1-12，已知点M 为△ABC 中BC 边上的中点，∠AMB, ∠AMC 的平分线分别交AB, AC 于点E ，F,连接 EF.求证：BE+CF>EF.变式2.如图1-13，在△ABC 中，点 D 是 BC 的 中 点，DM ⊥DN ，如果BM 2+CM 2=DM 2+DN2求证：AD 2=41(AB 2+AC 2).例题3.(丰台一模）已知 ABC 和△AED 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA = BC ，DA = DE ，连接EC ，取EC 的中点M ，连接BM 和DM. 如图1-14（1），如果点D ，E 分别在边AC ，AB 上，那么BM ，DM 的数量关系与位置关系是 ； 将图1-14（1）中的△ADE 绕点A 旋转到图1-14（2）的位置，判断（1）中的结论是否依然成立，并说明理由.【思路提示】见到中点可考虑倍长中线证全等，得到线段相等和平行线，再证二次全等即可.检测1：如图1-15，在∆ABC中，若AB=10，AC = 6，求边上的中线AD的取值范围.检测2：如图1-16，在∆ABC中，D是BC边上的中点，DE丄DF于点D，DE交AB于点E：，DF交 AC 于点F，连接EF.求证：BE + CF>EF.类型二见等腰三角形，想“三线合一”例题4.如图1-17，一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G, H始终在边AB,BC上.（1）在旋转过程中线段和CH大小有何关系？证明你的结论.（2）若AB=BC=4cm，在旋转过程中四边形的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围.（3）若交点G，H分别在边AB，BC的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论.【思路提示】见到中点D，而且在等腰直角三角形的底边上，可以想“三线合一”，再证全等.例题5.如图1-18，点P是等腰Rt∆ABC底边BC上一点，过点P作BA，AC的垂线，垂足分别为点E，F,设点D为BC的中点.求证：DEF∆是等腰直角三角形.【思路提示】欲证明DEF∆=90°,故只要证明∆是等腰直角三角形，需证明DE=DF,DEF∆即可解决.≅DEF∆DAF检测1：如图1-19，∆ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E, F分别是AB, AC 边上的点，且DE丄DF.（1）请说明：DE=DF；（2）请说明：BE2+ CF2= EF2；（3）若BE=6，CF=8，求∆DEF的面积.（直接写结果）类型三见斜边，想中线例题6.如图1-20，∆ABC中，若∠B=2∠C，AD丄BC，E为BC边的中点.求证：AB=2DE.【思路提示】取斜边AC或AB的中点，利用斜边中线性质和中位线性质.例题7.如图1-21，在Rt∆ABC中，∠ACB = 90°,点D，E分别是AB, AC的中点，点F在BC 的延长线上，且∠CEF=∠A.求证：DE=CF.【思路提示】点D，E分别是直角三角形ABC斜边和直角边的中点，利用斜边中线的性质和中位线解题.检测1：如图1-22，在Rt ∆ABC 中，∠ACB = 90°，M 是AB 的中点，E ，F 分别是AC ，BC 延长线上的点，且CE=CF=21AB ，则EMF ∠的度数为多少？检测2：如图1-23，在Rt ∆ACB 中，C 为直角顶点，∠ABC=25°，O 为斜边中点.将OA 绕着点O 逆时针旋转θ (0°<θ<180°）至OP ，当∆BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为多少？类型四见多个中点，想中位线例题8.问题一：如图1-24 (1)，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF 并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME=∠CNE.问题二：如图1-24 (2)，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD 的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断OMN∆的形状，请直接写出结论.问题三：如图1-24 (3)，在∆ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接GD。
2021年中考复习 第07讲—中点五大模型
总结（题目中出现中点时）：①倍长中线（普通的一个中点时）②连出“三线合一”的线（出现底边上的中点时） ③连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） ④构造中位线（出现多个中点时） ⑤构造8字型全等（平行线夹中点）模型一：倍长中线模型【例1】如图，在ABC ∆中，6,8==AC AB ，求BC 边上的中线AD 的取值范围解答：构造8字型全等，得证71<<AD【例2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，延长BE 交AC 于F ，EF AF =，求证：BE AC =解答：①方法一：倍长中线【DG AD =构造8字型全等+集散思想】 ②方法二：类倍长中线【DE DG =构造8字型全等+集散思想】 可证【例3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，AD EF //交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若CF BG =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线解答：类倍长中线+集散思想，可证模型二：平行线夹中点模型【例1】如图，在菱形ABCD 中，110=∠A ，F E ,分别是边AB 和BC 的中点，CD EP ⊥于点P ，则=∠FPC （ ）A.35 B.45 C.50 D.55解答：构造8字型全等【延长EF 和DC 交于点G 】，得证D【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，AD BE AD CD ⊥=,2于点F E ,为DC 的中点，连接BF EF ,，下列结论 ①ABF ABC ∠=∠2 ②BF EF =③EFB DEBC S S ∆=2四边形 ④DEF CFE ∠=∠3 其中正确结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：双平模型+平行线夹中点模型，得证D【例3】如图，在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，60=∠ABC ，点F 在AB 的延长线上，点P 是DF 的中点，连接PC PG ,，求证：PC PG 3=解答：①方法一：延长CP 交AB 于点E ，连接EG CG ,②方法二：延长GP 交AD 于点E ，连接CG CE , 可证模型三：三线合一模型【例1】如图，在等腰三角形ABC 中，BC AC =，D 是BC 的中点，过C 作CE DE ⊥，CF DF ⊥，且CE CF =，求证：EDA FDB ∠=∠解答：可证【例2】如图，在ABC ∆中，5,6AB AC BC ===，M 为BC 中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 的长度（ ） A.165 B.125 C.95 D.65解答：得证B【例3】如图，在ABC ∆中，,,,AB AC BAD CAD BD BE AM BM >∠=∠==，E 为AD 延长线上一点，N 在DE 上，//MN AC ，求证：ND NE =解答：双平模型+三线合一，可证【例4】如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：ADB CDF ∠=∠解答：①方法一：三线合一模型 ②方法二：十字型三垂直模型 可证模型四：斜边中线模型【例1】如图，在ABC ∆中，BD 和CE 是高，M 为BC 的中点，P 为DE 的中点，求证：PM DE ⊥解答：可证【例2】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，M 是BC 中点，10AB =，求DM 的长度解答：可证【例3】已知，ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=，如图甲，连接DE ，设M 为DE 的中点 （1）说明：MB MC =（2）设BAD CAE ∠=∠，固定ABD ∆，让Rt ACE ∆绕顶点A 在平面内旋转到图乙位置，试问：MB MC =是否还能成立？并证明其结论解答：（1）①方法一：斜边中线模型【方程思想用字母表示角】 ②方法二：平行夹中点模型③方法三：相似【作MF BC ⊥交BC 于点M 1DM BFEM CF==得证】 （2）成立，同理可证【例4】已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交,AC CB （或它们的延长线）与,E F（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=（2）当EDF ∠绕D 点旋转到和DE AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立,,DEF CEF ABC S S S ∆∆∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明解答：（1）可证（2）图2成立，同理可证；图3不成立12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=模型五：中位线模型【例1】已知四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，如图，,E F 是,BD AC 中点，试写出EF 与,AD BC 之间的关系解答：①方法一：中位线+三点共线，得证1()2EF BC AD =- ②方法二：平行线夹中点模型，构造8字型全等，得证1()2EF BC AD =- 【例2】如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，分别与CD BA ,的延长线交于点N M ,，证明：CNE BME ∠=∠解答：【等对边四边形（方法连接对角线）】可证【例3】在ABC ∆中，AB AC >，D 点在AC 上，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60=∠EFC ，连结GD ，判断AGD ∆的形状并证明解答：【类等对边四边形（方法连接对角线）】可证【例4】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，BD AC =，F E ,分别是CD AB ,的中点，连结EF ，分别交BD AC ,于点N M ,，判断OMN ∆的形状解答：【中点四边形（方法连接对角线）】可证。
中考数学几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△；反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点（如图1）或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上（如图2），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”）①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +.四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方.五、燕尾定理模型S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0。
初中数学中点模型归纳总结
初中数学中点模型归纳总结中点模型是初中数学中一个重要的概念，常用于几何图形的证明和计算中。
通过对中点模型的归纳总结，可以更好地理解和运用这一概念。
本文将分别从数轴中点、线段中点和三角形中点三个方面进行归纳总结。
一、数轴中点数轴中点是指数轴上离两个点距离相等的点。
在数轴上，如果A、B两个点的坐标分别为a和b，那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = (a + b) / 2通过这个公式，我们可以很方便地求解两个点的中点坐标。
同时，我们还可以推广到三个点的情况：三点中点坐标 = (a + b + c) / 3这个公式也可以以类似的方式计算。
二、线段中点线段中点是指线段上距离两个端点相等的点。
在线段AB上，如果A、B两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)通过这个公式，我们可以计算出线段AB的中点坐标。
同样地，我们还可以推广到三维空间中的情况：三维空间中点坐标 = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3, (z1 + z2 +z3) / 3)这个公式在三维几何场景中也能帮助我们求解线段的中点坐标。
三、三角形中点三角形中点是指连接三角形三个顶点与对边中点的线段所构成的三个线段的交点。
三角形的三个中点分别是三边中点、三角形重心和三角形外心。
下面我们分别来介绍它们的特点和计算方法。
1. 三边中点：连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，分别记为M1、M2、M3。
这三个点构成的线段M1M2、M2M3和M3M1分别平分三角形的三条边，且交于三角形的重心G。
2. 三角形重心：三角形重心是连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，记为G。
三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
3. 三角形外心：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，记为O。
【数学中考一轮复习】中点问题常考模型(含答案)
专项训练中点问题常考模型模型一垂线过中点→线段的垂直平分线→等腰三角形方法点拨:当三角形一边的垂线恰好过这边的中点时，可得这条垂线即为这边的垂直平分线，故可连接构造等腰三角形，解决相应线段和角的计算和证明。
1.如图所示，在△ABC中，点E是AC边的中点，DE⊥AC于点E，交BC于点D，若∠B＝70°，且AB＋BD＝BC，则∠BAC的度数是（）A.40°B.65°C.70°D.75°2.已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，D是BC的中点，且DE⊥BC交AB于点E，则BE的长是（）A.4 cmB. 8 cmC. 16 cmD.32 cm3.如图所示，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在DE 上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为（）A.3B.4C.5D.6模型二等腰三角形＋底边中点→三线合一如图所示，在△ABC中，若AB＝AC.通常取底边BC的中点D，则AD⊥BC，且AD平分∠BAC.方法点拨:当等腰三角形有底边上的中点时，常作出底边上的中线，利用等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线“三线合一”的性质，证明线段相等、角的相等及线段的垂直、平分关系.4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠B＝35°，则∠BAD＝（）A.110°B.70°C.55°D.35°5.如图所示，在△ABC中，AE⊥BC于点E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4CF＝2，则CE＝_________.模型三见三角形的中线或过中点的线段→加倍延长构造全等在△ABC中，M为BC边的中点.在△ABC中，点M为BC边上中点.（1）如图1，连接中线AM 并延长到点E ，使得ME ＝AM 连接CE ，则△ABM ≌△ECM.（2）如图2，连接过中点的线段DM 并延长到点E ，使得ME ＝DM.连接CE ，则△BDM ≌△CEM.方法点拨:遇到线段中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法.6.如图所示，已知AB ＝12，AB ⊥BC 于B ，AB ⊥AD 于A ，AD ＝5，BC ＝10.点E 是CD 的中点，则AE 的长为（ ）A.6B.213C.5D.4123 7.已知三角形两边分别为6和9，求第三边上中线的取值范围是___________.8.（1）如图1所示，若△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接CE ，可以得到△ABD ≌△ECD ，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证:△ACE 是直角三角形.（2）如图2所示，△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且DE ⊥DF.试说明BE 2＋CF 2＝EF 2；（3）如图3所示，在（2）的条件下，若AB ＝AC ，BE ＝12，CF ＝5，求△DEF 的面积.模型四 直角三角形＋斜边中点→直角三角形斜边中线如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，取AB 的中点D ，连接CD ，则有BD ＝AD ＝CD. 反过来，在△ABC 中，点D 在AB 边上，若BD ＝AD ＝CD ，则有∠ABC ＝90°.方法点拨:在直角三角形中，当有斜边中点时，常连斜边的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，来证明线段的数量关系，同时得两个等腰三角形，为角的计算提供了条件，该模型经常和三角形的中位线连用，更具综合性.9.如图所示，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，CA ，BC 的中点，若CF ＝3，CE ＝4，EF ＝5，则CD 的长为（ ）A.5B.6C.8D.1010.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝21BC ，若AB ＝10，则 EF 的长是（ ）A.5B.4C.3D.211.如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFC 为直角，若DF ＝2cm.BC ＝16cm ，则AC 的长为__________.→连接或作平行构造中位线方法点拨:在三角形中，如果有两个中点，往往直接连接两中点构造三角形的中位线；如果只有一个中点，可以取另一边的中点相连接，也可以过已知中点作另一边的平行线，都能构造三角形的中位线，然后利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，得到两线段的平行和倍分关系，从而进行相应的计算和证明.12.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm.则EF的长是（）A.2.2 cmB.2.3 cmC.2.4 cmD. 2.5 cm13.如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，BD＝12，则EF的长为（）A.6B.5C.4D.314.如图所示，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A.50°B.40°C.30°D.20°模型六圆＋弦（或弧）的中点→垂径定理或圆周角定理方法点拨:（1）圆心O是直径的中点，常和弦的两个端点相连接，构造等腰三角形或直角三角形解决问题。
中考几何满突破 第二讲 中点模型 解析版
第二讲：中点模型一、知识精讲1.在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD 是BC边上的中线.2.在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.3.将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC 是平行四边形.4.将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.5.有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6.有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN. 7.有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.8.有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，.9.当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.中点模型巩固练习（基础）1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A. B. C. D.【解答】C【解析】如图，连接AM.∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∵AC＝5，CM＝＝3，∴AM＝4，∴在Rt△AMC中，AM CM＝AC MN，即4×3＝5MN，解得MN＝.2.如图，O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（）A. B. 5C. D.【解答】D【解析】如图，连接OA、OC，OC交AB于点D.∵点C是的中点，∴OC⊥AB且平分AB，即AD＝AB，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，在Rt△AOD中，，∴AD＝AO·＝，∴AB＝2AD.3.如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是AB的中点，E是BC上一点，若DE平分△ABC 的周长，则DE的长为.【解】【解析】如图，过点A作AM∥DE交BC的延长线于点M，过点C作CN⊥AM，垂足为N.∵D是AB的中点，∴E为BM的中点，即BE＝EM，又∵DE平分△ABC的周长，∴AC+CE＝BE，∴MC+CE＝AC+CE，∴MC＝AC，∵CN⊥AM，∠ACB＝60°，∴∠CAN＝60°，在Rt△CAN中，AN＝AC·sin60º＝，∴AM＝2AN＝，∴DE AM＝.4.如图，过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD.求证：∠FDC＝∠FCD.【解答】见解析【解析】证明：如图，连接BF.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，又∵F是AE的中点，∴FB＝FA，∴∠FBA＝∠FAB，∵在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠FAD＝∠FBC，又∵AD＝BC，∴△ADF≌△BCF（SAS），∴DF＝CF，∴∠FDC＝∠FCD.5. 已知：在△ABC中，AD为中线，且∠BAD＝90°，∠DAC＝45°，求证：AB＝2AD.【解答】见解析【解析】证明：如图，延长AD至点E，使得ED＝DA，连接BE、CE.。
五大模型的证明（初中数学》
五大模型的证明一、等积变形平行线间的等积变形：ABC ABD ABE ABFCF ABS S S S △△△△∵∥则理解记忆：用橡皮筋围成一个三角形ABC ，固定边AB 不动，C 点可以在对面的平行线上拖动，得到的新三角形和原三角形面积相等．注意：点只能在和对边平行的线上动！二、常见一半模型的证明梯形中的一半模型梯形ABCD 中，E 是BC 的中点，求证：12ADE ABCDS S △【证明】将三角形ABE 绕点E 旋转180到三角形FCE 处，则ADFABCD S S △梯而AE FE ，DAE DFES S △△12DAE ABCDS S △∴任意四边形中的一半模型1.凸四边形ABCD 的两组对边中点连线，EF GH 、相交于O ，求证12AEOG CFOH ABCDS S S FE D C BA E D CB A A BC D EF【证明】连接,,,OA OB OC OD 则12AEOG AOE AOG AOD AOBS S S S S △△△△12CFOH COF COH BOC CODS S S S S △△△△1122AEOG CFOH AOD AOB BOC COD ABCDS S S S S S S △△△△∴2.顺次连接凸四边形ABCD 四条边的中点E F G H 、、、，求证12EFGH ABCDS S 【证明】连接AC 、FCAFC BFCAF BFS S △△∵∴BGF BGFBG CGS S △△∵∴14BGF ABC S S △△∴，同理14DEH ADCS S △△14BGF DEH ABCD S S S △△∴，同理14AEF CGH ABCDS S S △△∴O H FG E D CB A A BCD E G FH OA B CD E G F H H F G E D CBA则12EFGH ABCDS S 三、鸟头模型的证明胖鸟头三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，求证：ADE ABC S AD AES AB AC△△歪脖鸟头已知三角形ABC ，E 是AC 边上的点，D 在AB 的延长线上，求证：ADE ABC S AD AES AB AC△△【证明】两种鸟头模型的证明过程相同连接BEE D C B A AB C DEE D C B A AB CDE12BGF DEH AEF CGH ABCDS S S S S △△△△△∴ADE ABE S AD S AB △△；ABE ABC S AES AC△△ADE ABE ABE ABC S S AD AES S AB AC△△△△即ADE ABC S AD AES AB AC△△旋转型以上两种情况可以通过旋转分别变形成胖鸟头和歪脖鸟头证明．四、蝴蝶模型的证明任意四边形中的蝴蝶模型（上乘下等于左乘右）【证明】12S CO S AO ；34SCOS AO则3124S S S S 所以1423S S S S 梯形中的蝴蝶模型1.翅膀相等E D C B AEDC B As 4s 3s 2s 1O A BCD在梯形ABCD 中，AB DC ∥，求证：ADO BCOS S △△【证明】AB DC∵∥ABD ABCS S △△∴ABD ABO ABC ABOS S S S △△△△∴即ADO BCOS S △△2.梯形中每部分的面积比梯形ABCD 中，AD BC ∥，四个小三角形的面积分别为2134S S S S 、、、，已知AD a ，BC b ，求证各小三角形的面积比【证明】AD BC ∵∥，AD AO DO aBC CO BO b∴12S DO a S BO b ∴，24S AO aS CO b则1224S S a aS S b b∴即2124S a S b ,所以212S a a S b ab A BCD Os 1s 2s 3s 4A B CDO综上221234::::::S S S S a ab ab b 五、燕尾模型的证明在三角形ABC 中，E 是BC 上的点，连接AE ，D 是AE 上的点，求证：ABD ACD S BES CE△△【证明】ABE ACE S BE S CE △△，DBE DCE S BES CE△ABE DBE ACE DCE S S BES S CE△△△∴即ABD ACD S BES CE△△E DCB A。
专题 五大常考的全等模型
专题四
五大常考的全等模型
(1)证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝45°. ∴∠ABC＝∠BAD， ∴AD＝BD. 在△BDE和△ADC中，
BD=AD
∠EDB＝∠CDA
DE=DC
∴△BDE≌△ADC(SAS)． ∴BE＝AC；
专题四
五大常考的全等模型
AF，EF，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF. 【思维教练】延长CD到点G，使DG＝BE，将BE，DF转化在一条直线上，再 证EF＝GF即可．
例4题图
专题四
五大常考的全等模型
证明：如解图，延长CD到点G，使
DG＝BE， 在正方形ABCD中，AB＝AD，
∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠B. 在△ABE和△ADG中， AB AD B ADG , BE DG ∴△ABE≌△ADG(SAS)． ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE.
五大常考的全等模型
针对训练
7. 在等边△ABC中，∠BDC＝120°，BD＝CD，∠EDF＝60°点D和点E分别 在边AB和AC上，连接EF，试猜想∠EFD和∠DFE应满足的数量关系，并写 出推理过程．
专题四
五大常考的全等模型
综合训练
1. 如图①，△ABD，△ACE都是等边三角形，
(1)求证：△ABE≌△ADC；
例6题解图
专题四
五大常考的全等模型
基本模型
图示
等边三角 形含半角 (∠BDC＝120°)
等腰直角三 角形含半角
专题四
五大常考的全等模型
图示
正方形含半角
模型总结
当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过 旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后 证明与半角形成的三角形全等.
初中数学 中考复习 第07讲—中点五大模型
【例4】如图所示，在 中， ， ， 是 的中点， 于点 ，交 于点 ，连接 ，求证：
解答：
①方法一：三线合一模型
②方法二：十字型三垂直模型
可证
模型四：斜边中线模型
【例1】如图，在 中， 和 是高， 为 的中点， 为 的中点，求证：
解答：可证
【例2】如图，在 中， ， 于点 ， 是 中点， ，求 的长度
解答：可证
【例3】已知， 和 都是直角三角形，且 ，如图甲，连接 ，设 为 的中点
（1）说明：
（2）设 ，固定 ，让 绕顶点 在平面内旋转到图乙位置，试问： 是否还能成立？并证明其结论
解答：
（1）①方法一：斜边中线模型【方程思想用字母表示角】
②方法二：平行夹中点模型
③方法三：相似【作 交 于点 得证】
解答：【等对边四边形（方法连接对角线）】可证
【例3】在 中， ， 点在 上， ， 分别是 的中点，连结 并延长，与 的延长线交于点 ，若 ，连结 ，判断 的形状并证明
解答：【类等对边四边形（方法连接对角线）】可证
【例4】如图，在四边形 中， 与 相交于点 ， ， 分别是 的中点，连结 ，分别交 于点 ，判断 的形状
解答：（1）可证
（2）图2成立，同理可证；图3不成立
模型五：中位线模型
【例1】已知四边形 是梯形， ，如图， 是 中点，试写出 与 之间的关系
解答：
①方法一：中位线+三点共线，得证
②方法二：平行线夹中点模型，构造8字型全等，得证
【例2】如图，在四边形 中， ， 分别是 的中点，连结 并延长，分别与 的延长线交于点 ，证明：
解答：【中点四边形（方法连接对角线）】可证
中考数学必考几何模型：中点四大模型
中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DCBAFF ACABCDCA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FECA1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC与△EDB中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DEADBDEADCCDBD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，∴4＜AD＜16，故AD的取值范围为4＜AD＜16．2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝41(AB2＋AC2)．NMD CA证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD ＝DC ， ∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）．模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．ABCDDCBA模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．NM CB A解答： 连接AM ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝4352222=-=-BM AB ．∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN ． 即：21×3×4＝21×5×MN ．∴MN ＝512跟踪练习1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．F证明：连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABDEFACDDCA解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， ＝S △CFE ＋S △DBC ，＝S △CFE ＋21S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ．∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC ． 21ABCDE模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EDDA模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDCBA解答如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ．∴∠HFE ＝∠HEF ． ∵FH ∥MB ，HE ∥NC ，∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ． ∴∠BME ＝∠CNE ．练习：1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？ （3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.E D CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图31.解答（1）如图①，分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌ △BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK .又∵HK =BK +BC +CH =AB +BC +AC . ∴DE =12（AB +AC +BC ）.（2）猜想结果：图②结论为DE =12（AB +AC -BC ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK . 又∵HK =BK +CH -BC =AB +AC -BC∴DE =12（AB +AC -BC ）GABCDEKHF 图2（3）图③的结论为DE =12（BC +AC -AB ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 或延长线于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12KH . 又∵HK =BH -BK =BC +CH -BK =BC +AC -AB∴DE =12（BC +AC -AB ）.ABCD EKHF图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO F E DC BAE图2G ABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH ，EH ，如图①）（2）△AGD 是直角三角形如图②，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF ，HE . ∵F 是AD 的中点， ∴HF ∥AB ，HF =12AB . ∴∠1=∠3.同理，HE ∥CD ，HE =12CD ， ∴∠2=∠EFC ， ∴AB =CD ， ∴HF =HE . ∴∠1=∠2.∵∠EFC =60°，∴∠3=∠EFC =∠AFG =60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF =FG . ∴GF =FD .∴∠FGD =∠FDG =30°.∴∠AGD =90°，即△AGD 是直角三角形.图2321G A BCDF H模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线DCBA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA证明连接DE ，DF .BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DF =12BC ，DE =12BC .DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形. DM ⊥EF ，点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCDEFM练习：1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.1.解答取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM .即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM . 又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN . ∴DM =5.N MD CBA2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA2.证明延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE ∥BD .∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ， 且∠BMD =∠GME ， ∴△BMD ≌△GME . ∴BM =MG .∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF DCBA图2ABCDE FM图3ABCDF M3.解答∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点， ∴DE =12AB ，DF =12AB .∴DE =DF . ∵DE =KDF ， ∴k =1. （2）∵CB =CA ， ∴∠CBA =∠CAB . ∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM . ∴AM =BM .∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ， ∴∠MEB =∠MF A =90°. 又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ） ∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ， 又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ） ∴DE =DF .（3）DE =DF .图1M F E DCB A如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH. ∵点D是边AB的中点，∴DG∥BM，DG=12 BM.同理可得：DH∥AM，DH=12AM.∵ME⊥BC于E，H是BM的中点.∴在Rt△BEM中，HE=12BM=BH.∴∠HBE=∠HEB.∴∠MHE=2∠HBE.又∵DG=12BM，HE=12BM，∴DG=HE.同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC.∵DG∥BM，DH∥GM，∴四边形DHMG是平行四边形.∴∠DGM=∠DHM.∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，∠MBC=∠MAC，∴∠MGF=∠MHE.∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.∴∠DGF=∠DHE.在△DHE与△FGD中DG HEDGF DHEDH FG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHE≌△FGD（SAS）∴DE=DF.图2AB CDEFM。
2022年中考数学总复习课件：热点专题突破 专题五 中点与角平分线的常见模型
典例精析
【解析】过点 M 作 ME⊥PN,垂足为 E.∵P,M,N 分别是
AD,BD,AC
1
1
的中点,∴PM=2 AB=2,PN= 2 CD=2,
1
∴S= 2PN·ME=ME.∵AB
与 CD 不平行,∴M,N 不能重合,
∴ME>0.∵ME≤MP=2,∴0<S△PMN≤2.
又∵FG,FH 分别是△BDE 和△BCE 的中位线,
1
1
∴FG= BD,FH= CE,
2
2
∴FG=FH,即△FGH 是等腰三角形.
典例精析
8.(2021·山东东营)已知O是线段AB的中点,P是直线l上的任意
一点,分别过点A和点B作直线l的垂线,垂足分别为C和D.我们
定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.
∴FG∥BD,FH∥CE,
∴∠ABE=∠EFG,∠EFH=∠EBC+∠BHF=∠EBC+∠C,
∴∠GFH=∠ABE+∠EBC+∠C=180°－∠A,
∴∠A+∠GFH=180°.
典例精析
(2)由旋转的性质知∠DAE=∠BAC,∴∠DAB=∠EAC.
又∵AD=AE,AB=AC,
∴△DAB≌△EAC(SAS),∴BD=CE.
与 EM 的数量关系是 AN=EM
.
(2)请证明上述关系.
典例精析
解:(2)∵∠DEC=∠BCE=90°,
∴DE∥BC,∴∠EDN=∠MBN.
又∵DN=BN,∠END=∠MNB,
∴△END≌△MNB(ASA),
∴MN=EN,BM=DE.
∵△ABC是等腰直角三角形,
中考数学复习课件1.中点问题五大模型
∠NAD，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，在△ANB和△AND中， ∠NAB ∠NAD ，∴△ANB≌△AND(ASA)，∴AD＝AB＝8，BN AN AN ∠ANB ∠AND 90 ＝ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴MN是 △BDC的中位线，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝
腰直角三角形，∴∠EAF＝45°，∴∠CAF＝∠BAC
＋∠EAF＝90°.∵AB＝BC＝2，∴AC＝ 22 +22 =2 2 .
∵AE＝EF＝AB＋BE＝2＋1＝3，∴AF＝ 32 +32 =3 2 ，
2 2 CF＝ . AC 2 +AF 2 = （2 2） +（3 2） = 26 .∵M为CF的 1 中点，∴AM＝ CF＝ 26 . 2 2
模型4
遇到三角形一边的垂线经过这条边的中点时，
可以考虑用垂直平分线的性质
8. 如图，在周长为20的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，
OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 ( )A
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC、
BD互相平分，∴O是BD的中点．又∵OE⊥BD，
5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥ AE，EF＝AE，分别连接AF、CF，M为CF的中点，连接AM，则AM的长 为 A. 2 2 B. 3 2
11 C. 4
( D ) D.
26 2
第5题图
【解析】如解图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°.∵EF⊥AE，EF＝AE，∴△AEF是等
第四单元