重复博弈简介

无限支付序列 , , 的现值之和为
如果 /(1 )
t 1

t 1
/(1 )。
那么， 是无限支付序列 1, 2 ,的平均支 付，它是各阶段支付现值之和的 (1 ) 倍。
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t 1
即 (1 ) t 1 t， t，


1
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•两零售商的情形
D(I1, I2 ) D a(I1 I 2 )b
•零售商1的利润函数为
1 ( I1 , I 2 , w, s) ( p w)
I1 [ D a( I1 I 2 )b ] (1 s) I1 I1 I 2
(1 ) t i ( pit , p jt ) i
t 0
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含义：在无限期重复博弈中，如果参与人有足够的耐 心（即 足够大），那么，任何满足个人理性的可行 支付向量都可以通过一个特定的子博弈完美均衡得到。
两个暗示：
•它们表明了如果参与人是短视的，则不能维持团体 想要的结果，参与人有长期目标的情况下可以维持； •它们表明重复博弈的均衡结果集合是巨大的， 所以，均衡概念缺乏预测的能力。
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对于有限期重复博弈，有下面的定理
定理2.4.1 令G是阶段博弈，G(T)是G重复T次的重 复博弈（T有限）。那么，如果G有唯一的纳什均衡， 重复博弈G(T)的唯一子博弈完美纳什均衡结果是阶 段博弈G的纳什均衡重复T次，即每个阶段博弈出现 的是一次性博弈的均衡结果。
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双头重复价格竞争
2.4 重复博弈
•逆向归纳法回顾
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求解步骤：
•在给定参与人I的行动的情况下，求参与人II的最优行动
•在预测到参与人II的策略的情况下，求参与人I的最优行动
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重复博弈
•序贯博弈（sequential game): 同样结构的子 博弈只出现一次的动态博弈 •重复博弈（repeated game）：具有同样结构的 博弈重复多次的博弈，其中的每次博弈称为 “阶段博弈”（stage game）。 •有限期界 •无限期界
T+1期价格博弈的结果仅是伯川德均衡重复T+1次
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无限期重复博弈的解
•可以验证伯川德均衡无限期的重复仍 然是这一博弈的均衡。
考虑下述的博弈：每家企业在每个时期t选择等 于边际成本的价格，而不管直到t以前的博弈历 史。给定对手企业在此方式下索取等于c的价格， 则每家企业所能做的不会比本身收取c更好些。
t 1
无名氏定理
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•对于目前考察的重复价格博弈来说，无名 氏定理说的是，任何一对满足
1 0, 2 0 以及 1 2 m
的利润 ( 1, 2 ) 都是 的阶段均衡支付。

Baidu Nhomakorabea
充分接近于1时
•就是说，存在完美均衡策略 ( p1t , p2t ) 。使 得对所有的企业i来说，企业的阶段支付为
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• 无限期的鲁宾斯坦模型中存 在唯一一个子博弈完美均衡：
1 2 x 1 1 2

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供应链的协调
•经济系统 一个制造商和一个零售商组成的供应链 •需求函数为
制造商
(w, s)
零售商
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•其他均衡
•让p属于区间[c, p ] ，并且让每家企业， 在还没有企业背离那个价格的期间，索取价 格 p。如果其中有一家企业过去曾经背离这 个价格，双方就都永远索取竞争性价格。 在一致遵守价格p的情况下，每家企业得到
1 ( p)(1 2
m
)
2
如果一家企业背离，在背离期间，它最多 得到 ( p ) (因为它的对手可取p）。因此， 它在那一时期最多多赚到 ( p) 2 ，而它 在以后永远失去p时利润的一半，即
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•重复的伯川德均衡不再是唯一的均衡 •假设价格 p m 使( p c) D( p) 最大化。 •触发策略：每家企业在0时期索取 p m。若是在 t以前各时期两家企业都曾索取 p m，它在t时期 m 继续索取 p ；否则，它将永远把价格定在边际 成本c上 . •如果贴现因子足够高，它们就构成一个均衡。
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•多重纳什均衡
例如“参与人1总是要求得到 x 1 ，并拒绝任何其他提 议，参与人2总是提议 x 1 ，并接受任何提议”就是一 个纳什均衡 但它不是一个子博弈完美均衡：如果参与人2拒绝参与 人1的第一次出价，而还价 x 1 ，则参与人1应该接 受，因为即使下一阶段他得到整个蛋糕，其价值也只 有 1 。
I
市 场
D( I ) D aI b
•集中决策者的渠道利润
( I ) ( p c)( D aI ) I
c b
•最优解
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I [ab( p c)]
c
1 (1b )
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分散系统
•契约安排
(w, s)
b
•零售商的利润函数
(I , w, s) ( p w)(D aI ) (1 s)I
•在每个时期，两家企业同时选择他们的价格( p1t , p2t ) 。
•在各个时期之间没有“物质”联系；当一家企业选 定其价格时，其对手以前选定的价格已经过时了。 •完美均衡要求：对于任何给定的t时期的历史， 从t时期开始，企业i的策略，在企业j从那时开始 的策略给定的情况下，将使利润的贴现值最大化。
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•囚徒困境重复博弈
阶段博弈为
•对每个参与人来说，行动D严格优于 行动C，所以导致了结果 （D，D）
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•主要思想：如果每个参与人相信背叛将终止 合作从而导致其后的损失对他来说超过短期所 得，那么，若博弈被重复进行，则共同想要的 结果（C,C）在每个时期发生是稳定的。
1 m (1 2
2 ) m
1 2
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•这个均衡是默契合谋的结果。
如果一家企业削减其垄断价格，它将在整 个背离时期得利，但它破坏了以后时期的 合谋——所有企业回复到“触发策略”上 去（即他们永远执行纯竞争对策，这是一 个均衡）。注意，合谋是通过一个纯粹不 合作的机制实现的。
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1 ( p)( 2
) ( p)
2

2(1 )
因此，如果 (1 ) ，即 1 2 ，背离价格p 并非最佳做法。
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•平均支付（average payoff）:为得到相等的现 值之和在每一阶段都应得到的等额支付值 令贴现因子为 ，那么，无限支付序列 1 , 2 , 的现值之和V 为 V t 1 t
•将表2.4.1表示的博弈重复（固定）有限期， 我们采用逆向归纳法，发现纳什均衡（D, D） 是唯一的子博弈完美均衡。 Step 1 求解第T期，两个参与人必定都在第T期选 择D，即背叛，因为选择背叛将提高他们在第T期的 收益而且也没有未来受到惩罚的可能
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Step 2 在第T-1期对任何以正的概率出现的历史， 两参与人都必定背叛.已经证明沿着均衡路径的两 个参与人将在最后一期都选择背叛，所以，特别的， 如果参与人i在时期T-1遵循均衡策略，那么，他的 对手必然在最后一期背叛。因此，参与人i没有激励 不在时期T-1背叛。 •团体规范的重要性：维持共同想要的结果所需的团体 规范涉及到每个参与人“惩罚”背叛者；在团体规范 要求惩罚者去实行威胁的情形中，团体规范也必须确 保惩罚者有动机这样去做。
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• T-1时期的均衡价格是什么？
由于在 T时期的价格选择不依赖于 T-1 时期发生什么事， 一切事情都会像T-1就是最后一个时期一样。因此，各 企业也在T-1时期选择竞争性的价格，而不管直到这个 时期之前的历史如何。对于任何T-1时期的历史，有
p1,T 1 p2,T 1 c
•零售商的最优投资为
I [ab( p w)(1 s) ]

1 1 (1b )
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协调机制
•协调机制 (w , s ) 满足
s 1 ( p w )( p c)1
证明：
•制造商利润
M (I , w, s) (w c)(D aI b ) sI
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•有限期重复博弈和无限期重复博弈的区分
•如果参与人明显地察觉到有一个确定的 最后时期，则称为有限期重复博弈更为恰 当； •如果人们进行博弈非常频繁推移非常缓慢，那 么，将该博弈描述为无限期重复博弈更为合理。 •关键准则:最后的时期是否明确地进入了参与 人的策略考虑。如果进入了参与人的考虑范围， 那么，就是有限期重复博弈，否则是无限期重 复博弈。
•分散决策时渠道利润为 (I , w, s) M (I , w, s) (I , w, s) ( p c)(D aI b ) I c ( I )
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•协调的条件
即最优补贴 为
I Ic
s 1 ( p w )( p c)
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有限期重复博弈的解
•先给定博弈在时期T的历史，每家企业在最 后时期如何选择价格？ 因为过去的价格不影响T时期的利润，各企业在其对手价 格给定的情况下，应当使它的“静态利润” i ( piT , p jT ) 最大化。因此，对任何历史情况来说，均衡是伯川德均 衡，即
p1T p2T c
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惩罚机制
•触发策略（trigger strategies）：（1）开始选择合 作；（2）选择合作直到有一方选择了背叛，然后 永远选择背叛。
•针锋相对策略（tit-for-tat）或称投桃报李，意思 是说，比如在囚徒困境博弈中，开始选择合作， 在t阶段选择对手在t-1阶段的选择。
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2.5.4 鲁宾斯坦讨价还价模型
•两个参与人需要就如何分割一块蛋糕达成协议， 在第 0, 2, 4, 阶段 (偶数阶段)参与人1提出 ( x,1 x) ，参与人2可以接受 一种分配方案（出价） 也可以拒绝，如果接受，那么博弈结束，如果拒 绝，他就在其后的奇数阶段中提出自己的分配方 案建议。 • 每个参与人的支付函数为：如果在t阶段达成协 t 议，那么，贴现支付为 (1t x, 2 (1 x)) ，x为参与人 1获得的蛋糕份额，1-x 为参与人2获得的蛋糕份 额， 1与 2 分别为两个参与人的贴现因子。
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• 有限博弈的唯一子博弈均衡：在最后一个阶段， 不失一般性，设出价者为参与人1，他要得到整 个蛋糕，而另一方接受；在这之前的一个阶段中， 参与人1拒绝所有使他的份额小于 的提议。然 1 后，按照这种方式逆推。
• 有限期模型的缺点
•解依赖于期限的长短与最后是哪一方出价；
•如果最后一阶段没有达成协议，有限期模型不 允许参与人进一步努力以达成一个合理的协议。
•两企业以同样的边际成本c生产可以完全相互 替代的产品 •低价企业得到了整个市场，而各家企业在收 取同样价格的情况下，则分享这个市场。 •基本的伯川德博弈重复了T+1次，T 可能 是有限数，也可能是无限数。 •企业i的贴现利润为

t t 0
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T
i
( pit , p jt )
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