多维随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义:随机试验的样本空间为S={w},若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上,则称(X1(w),X2(w),…,X n(w))为n维随机变量(向量)。
简记为(X1,X2,…,X n)。
二维随机向量(X,Y),它可看作平面上的随机点。
对(X,Y)研究的问题:1.(X,Y)视为平面上的随机点。
研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度;Joint2.分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘(际)分布律、边缘分布函数、边缘概率密度;marginal3.X与Y的相互关系;4.(X,Y)函数的分布。
§二维随机变量的分布一.离散型随机变量1.联合分布律定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。
设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i,j=1,2…,取这些值的概率为p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,…——称式为(X,Y)的联合分布律。
(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下:性质:(1) p ij 3 0,i, j=1,2,… (2) ji ij p ,=12.边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1= p{Y=y i }j=1,2, (30)S =1我们称p i.和分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律,简称为(X,Y)的边缘分布律。
二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系: p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j∑(Y=y j )}=j∑P{X=x i ,Y=y j }=j∑p ij 同理可得=i∑p ij例1:一整数X 随机地在1,2,3三个整数中任取一值,另一个整数Y 随机地在1到X中取一值。
《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节-精品文档
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时, F ( y ) P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数,得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下, X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解:Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程,一天可生产纯糖1吨,但由 于机器损坏和减速,一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1,Y也是随机变量,求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
2019/3/16
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布, (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值,所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时, F ( y ) P ( Y y ) 0 ; (0,+∞)上取值。 Y 当 y 0 时, F ( y ) P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时,有
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ,而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中,我们与一维情形相对照,介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维(X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
第三章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布在许多随机试验中,需要考虑的指标不⽌⼀个。
例如,考查某地区学龄前⼉童发育情况,对这⼀地区的⼉童进⾏抽样检查,需要同时观察他们的⾝⾼和体重,这样,⼉童的发育就要⽤定义在同⼀个样本空间上的两个随机变量来加以描述。
⼜如,考察礼花升空后的爆炸点,此时要⽤三个定义在同⼀个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。
在这⼀章中,我们将引⼊多维随机变量的概念,并讨论多维随机变量的统计规律性。
1.⼆维随机变量及其分布在这⼀节中.我们主要讨论⼆维随机变量及其概率分布,并把它们推⼴到n维随机变量。
1.⼆维随机变量及其分布函数1.⼆维随机变量定义3.1 设Ω ={ω }为样本空间,X=X(ω )和Y=Y(ω )是定义在Ω上的随机变量,则由它们构成的⼀个⼆维向量(X,Y)称为⼆维随机变量或⼆维随机向量.⼆维向量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,⽽且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
因此,逐个讨论X和Y的性质是不够的,需把(X,Y)作为⼀个整体来讨论。
随机变量X常称为⼀维随机变量。
2. ⼆维随机变量的联合分布函数与⼀维的随机变量类似,我们也⽤分布函数来讨论⼆维随机变量的概率分布。
定义3.2 设(X,Y)是⼆维随机变量,x,y为任意实数,事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的概率称为⼆维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数,记作F(x,y),即若把⼆维随机变量(X,Y)看成平⾯上随机点的坐标,则分布函数F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落⼊以(x,y)为定点且位于该点左下⽅的⽆穷矩形区域内的概率(见图3-1)。
⽽随机点(X,Y) 落在矩形区域内的概率可⽤分布函数表⽰(见图3-2)分布函数F (x,y)具有以下的基本性质。
(1) 0≤F (x,y)≤1.对于任意固定的x和y,有(2) F (x,y)是变量x或y的单调不减函数,即对任意固定的y,当x2 ≥x1时,;对任意固定的x,当y2 ≥y1时,。
三章节多维随机变量及其分布.ppt
0.0375 0.035 0.6444 0.1125
15
(三)条件分布
对 于 两 个 事 件 A , B , 若 P ( A ) 0 , 可 以 考 虑 条 件 概 率 P ( B |A ) ,
对 于 二 维 离 散 型 随 机 变 量 (X ,Y ), 设 其 分 布 律 为 P (Xxi, Yyj)p ij i,j 1 ,2 ,
P (X x i) P (X x i, Y ) p ij= =p i•i 1 ,2 , j 1
11
注意:记号pi•表示是由pij关于j求和 后得到的;同样p•j是由pij关于 i求和后得到的.
X Y y1
x1
p 11
x2
p 21 …
…
xi
p i1
…
…
P Y yj p·1
y2 … yj … PX xi
第三章 多维随机变量及其分布 关键词:二维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布
1
二维随机变量
问题的提出
例1:研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研 究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够 的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值, 研究身高和体重之间的关系,这就要引入定义 在同一样本空间的两个随机变量。
e S
x
§1 二维离散型随机变量
(一)联合概率分布
定义:若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的 不同值是有限对或可列无限对,则称(X,Y)是 离散型随机变量。
离散型随机变量的联合概率分布律:
为二维离散型随机变量(X,Y) X Y y1
的联合概率分布律。可以用
x 1 p11
x 2 p21
多维随机变量分布公式了解多维随机变量分布的数学公式
多维随机变量分布公式了解多维随机变量分布的数学公式多维随机变量分布公式在概率论和数理统计中,多维随机变量是指由两个或更多随机变量组成的向量。
多维随机变量的分布可以用数学公式来描述,这些公式包括联合概率密度函数、边际概率密度函数和条件概率密度函数。
通过了解和掌握这些公式,我们可以更好地理解和分析多维随机变量的行为和性质。
1. 联合概率密度函数(Joint Probability Density Function)联合概率密度函数是用来描述多维随机变量的联合概率分布的函数。
对于二维随机变量(X,Y),其联合概率密度函数可以表示为f(x,y),其中x和y分别为X和Y的取值。
联合概率密度函数满足以下性质:- 非负性:对于所有的x和y,有f(x,y) ≥ 0。
- 归一性:联合概率密度函数在整个样本空间上的积分等于1,即∬f(x,y)dxdy = 1。
- 边缘分布:通过联合概率密度函数可以计算出各个分量的边缘概率密度函数。
对于X和Y来说,其边缘概率密度函数分别为f_X(x)和f_Y(y),可以通过联合概率密度函数进行积分计算得到。
2. 边际概率密度函数(Marginal Probability Density Function)边际概率密度函数是指从联合概率密度函数中得到单个随机变量的概率密度函数。
对于二维随机变量(X,Y),其边际概率密度函数可以表示为f_X(x)和f_Y(y),分别表示X和Y的概率密度函数。
边际概率密度函数的计算可以通过对联合概率密度函数进行积分得到。
3. 条件概率密度函数(Conditional Probability Density Function)条件概率密度函数是在给定某个条件下,另一个随机变量的概率密度函数。
对于二维随机变量(X,Y),其条件概率密度函数可以表示为f_Y|X(y|x),表示在已知X=x的条件下,Y=y的概率密度函数。
条件概率密度函数可以通过联合概率密度函数和边际概率密度函数的比值来计算得到。
多维随机变量函数分布设计
(2,2)
-2
-1
0
1
1
2
3
4
1
0
-1
-2
-2
0
2
4
及一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把 值相同项对应的概率值合并可得:
的概率分布为
-2 -1 0 1 2 3 4
0.2 0.15 0.1 0.4 0 0.1 0.05
的概率分布为
Z
-2
-1
0
1
2
4
0.4
0.1
0.15
0.2
0.1
0.05
5和的分布
6商的分布
7 积的分布
8最大、最小分
教学进程
教学意图
教学内容
教学环节
1.引言(5分钟)
累计5分钟
在实际应用中,有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如,考虑全国年龄在40岁以上的人群,用 和 分别表示一个人的年龄和体重, 表示这个人的血压,并且已知 及 , 的函数关系式
,
现希望通过 的分布来确定 的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.
可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求 的分布.
a) 求分布函数
其中,
b) 求其概率密度函数 , 对几乎所有的z, 有
定理1 设 是具有密度函数 的连续型随机向量.
(1) 设 是 到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换:
(2) 假设变换和它的逆都是连续的;
(3) 假设偏导数 存在且连续;
6商的分布
7 积的分布
8最大、最小分布
过程及方法
在实际应用中,有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如,考虑全国年龄在40岁以上的人群,用 和 分别表示一个人的年龄和体重, 表示这个人的血压,并且已知 及 , 的函数关系式
考研概率统计--多维随机变量及其分布笔记
若G为矩形,服从均匀;推:X服从均匀,Y服从均匀,X,Y独立立
2)二二维正态分布(the special one)
1.定义;
Note:1.淡化公式,强调性质
2.规律律:e的-x2,e的-y2,e的-xy
2.性质:
(1)联合可以推边缘;边缘不不能推联合
(2)(aX+bY,cX+dY)服从二二维正态分布(利利用用卷积公式证明)(只要求 5个参数即可)(联合的线性仍然正态)
(3)aX+bY服从正态(只要求2个参数)(二二维推一一维线性依然是正态的)
(4)X和Y相互独立立互推p=0(独立立性仅有数字特征决定)
四 二二维随机变量量函数的分布
1.二二维离散型:已知联合概率分布律律,求Z=g(X,Y)
第三章 多维随机变量量及其分布
知识点:一一 二二维随机变量量及其分布函数 二二 二二维离散型随机变量量 三 二二维连续型随机变量量 四 二二维随 机变量量函数的分布
一一 ห้องสมุดไป่ตู้二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个(X,Y)向量量
2.二二维随机变量量的联合分布函数
1)X,Y取积;
2)在离散型上的体现(1.出现0,一一定不不独立立;2.行行行或列列成比比例例)
三 二二维连续型随机变量量(积分积出来的就是连续的)
1.定义:概率密度积分(二二重积分)
2.联合概率密度
1)性质:1.非非负性;2.规范性
2)应用用:求P,就是求二二重积分
在f(x,y)的连续点上,分布求二二阶倒数就是概率密度
方方法:枚举,合并(相同量量合并)
Note:当然还有二二维
第三章 多维随机变量的函数的分布
C C C i
ki
n1
n2
k n2 n2
i0
k
所以
C p q C p q C p q i i n1i n1
k i k i n2 k i n2
k
k n1 n2 k
n1 n2
i0
可见,Z~b(n1+n2,p).
这个结果很容易推广至多个的情形:若
Xi~b(ni,p),i=1,2,…,m,且X1,…,Xm独立,则X1+X2+…+Xm~ b(n1+n2+…+nm,p)。
V=3 V=4 V=5
34
5
0.05 0.07 0.09
0.05 0.06 0.08
0.05 0.05 0.06
0.06 0.06 0.05
(2) U=Min(X,Y)的可能取值为:0,1,2,3 P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P{X>i,Y=i},i=0,1,2,3. U的分布律为
V0
1
2
12
0.01 0.03
W=3 W=4 W=5
34
5
0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 W=6
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 W=7
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 W=8
例2: 设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p), 和 b(n2,p)(注意两个二项分布中p是一样的),求Z=X+Y的 分布律.
设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为
FZ (z) P{Z z} P{X Y z} f ( x, y)dxdy x yz
§3.3 多维随机变量的函数的分布
推广:若X1 , X2 ,L, Xn相互独立,且Xi ~ P(λi )i = 1,2,L, n. 则X1 + X2 +L+ Xn ~ P(λ1 + λ2 +L+ λn ).用卷积写为 P(λ1 ) ∗ P(λ2 ) ∗L∗ P(λn ) = P(λ1 + λ2 +L+ λn ).
特别,λ1 = λ2 = L = λn = λ时,上式为 P (λ ) ∗ P (λ ) ∗ L ∗ P (λ ) = P ( nλ ).
−1
0
−1
3 − 2 5 2
−2
1 − 2 3 2
−1
1
3
3 0
5
−2
故 Z1 = X + Y的分布列为:
X +Y − 3
P
1 12
−2
1 12
−1
3 12
3 − 2
2 12
1 − 2
1 12
1
2 12
3
2 12
Z 2 = X − Y 的分布列为:
X −Y
P
0
1 12
1
4 12
5 2
2 12
3 2
ai X i ~ N ( ∑ ai µi , ∑ ai2σ i2 ). ∑
i =1 i =1 i =1 n n n
例6(伽玛分布的可加性) X ~ Ga(α1 , λ ),Y ~ Ga(α2 , λ ), ( 设
且X与Y相互独立,证明Z = X + Y ~ Ga(α1 + α2 , λ ).
证 Q Z = X + Y 在(0, +∞ )内 取 值 , ∴ 当 z ≤ 0时 , pZ ( z ) = 0.
多维随机变量及分布[概率与统计
独立性检验在多元统计分析中具有广泛的应用,例如在因子分析、主成分分析和聚类分析等领域。通过 独立性检验,我们可以更好地理解数据之间的关系和结构,从而更好地进行数据分析和建模。
06 多维随机变量的应用
在统计学中的应用
01
多元统计分析
多维随机变量在多元统计分析中有着广泛的应用,如多元回归分析、主
标准化变换
标准化变换
标准化变换是一种常用的数据预处理技术,它通过对数据进行缩放和平移,使得数据满足一定的特性或满足某种 规范。在多维随机变量的背景下,标准化变换通常是指对每个维度进行缩放和平移,使得所有维度都具有零均值 和单位方差。
标准化变换的作用
标准化变换的作用在于使得不同维度的数据具有可比性,并且使得数据的分布更加接近正态分布。此外,标准化 变换还可以消除量纲和单位对数据分析的影响,使得分析结果更加可靠和稳定。
多维指数分布
定义
多维指数分布是所有维度都服从指数分布的多维随机变量的概率 分布。
特征
具有指数概率密度函数,各维度之间相互独立。
应用
在排队论、可靠性工程等领域有应用。
04 多维随机变量的期望与方 差
期望的定义与性质
定义
01
多维随机变量的期望值是所有可能结果的加权平均,其中权重
为每个结果的概率。
性质
独立性检验
独立性检验
独立性检验是统计学中用于检验两个或多个随机变量是否相互独立的一种方法。在多维随机变量的背景下,独立性检 验通常用于判断各个维度之间是否存在相关性或依赖关系。
独立性检验的方法
独立性检验的方法有很多种,其中常用的有卡方检验、斯皮尔曼秩相关系数和皮尔逊相关系数等。这些方法可以帮助 我们判断两个或多个随机变量是否相互独立,或者是否存在某种依赖关系。
多维随机变量函数的分布
注意: (1) X Y 不服从 2 分布.
(2) 若 Xi N(0, 1),且独立,则
Z=
2( n ).
注意点
(1) 独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布. (2) 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布.
例3.3.3 设 X 与 Y 独立,X~U(0, 1), Y~Exp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.
离散场合的卷积公式
设离散随机变量 X 与 Y 独立, 则 Z=X+ Y 的分布列为
卷积公式的应用
例3.3.2 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量,求 Z = X+ Y 的分布.
解:
所以 Z = X+ Y N(0, 2). 进一步的结论见后
分布的可加性
若同一类分布的独立随机变量和的分布仍 是此类分布,则称此类分布具有可加性.
3.3.1 多维离散随机变量函数的分布
(1) 设(X1, X2, ……, Xn) 是n维离散随机变量,
则 Z = g(X1, ……, Xn) 是一维离散随机变量.
(2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的: i) 对(X1, X2, ……, Xn)的各种可能取值对, 写出 Z 相应的取值. ii) 对Z的 相同的取值,合并其对应的概率.
3.3.2 最大值与最小值分布
例3.3.1 设X与Y 独立,且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.
解: X 0 1
Y0 1
P 1/2 1/2
P 1/2 1/2
Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1
P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4
3.3多维随机变量函数的分布
p( x, y)d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边际概率密度.
同理, 随机变量(X,Y)关于Y 的边际分布函数
y
FY ( y) F (, y)
p( x, y)d x d y,
pY ( y)
p( x, y)d x.
关于Y 的边际概率密度.
例3.2.3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
上式右边分别乘以和除以 (1 p1 )ni ,两边对j从0到n i求 (n i)!
和,并记
p2
p2 1 p1
,则可得:
n-i
P(X
j=0
i,Y
j)
n! i !(n i)!
p1i (1
p1 )ni
n-i (n i)!
p2j (1 p1 p2 )ni j
j=0 j !(n i j)! (1 p1 ) j (1 p1 )ni j
P{Y y j } pij , j 1, 2, . i 1
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边际分布函
数分别为
FX ( x) F ( x, )
pij ,
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例3.2.2 已知下列分布律求其边缘分布律.
n! i !(n
i)!
p1i (1
p1 )ni [
p2
(1
p2 )]ni
n! i !(n i)!
p1i (1
p1 )ni
Cni
p1i (1
p1 )ni .
即P( X
i)
C
i n
p1i (1
p1 )ni ,
概率论与数理统计教程(茆诗松)第三章多维随机变量及其分布
P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826
23 August 2021
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
列表为:
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
第13页
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第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第14页
设随机变量 X 在 1,2,3 , 4 四个整数中等可 能地取值,另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求(X, Y)的联合分布列.
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望
23 August 2021
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第三章 多维随机变量及其分布
23 August 2021
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第三章 多维随机变量及其分布
3.2.1 边际分布函数
第29页
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y),
则 X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
23 August 2021
多维随机变量及其分布
多维随机变量的期望和方差
总结词
期望和方差是多维随机变量的重要统计量,用于描述随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是随机变量所有可能取值的加权平均,反映了随机变量的中心趋势。方差则是描 述随机变量取值分散程度的量,即离散程度。在多维随机变量中,期望值是一个向量,
方差是一个矩阵。
多维随机变量的协方差和相关系数
定义
连续型随机变量是在一定范围内 可以取任何值的随机变量,通常 用X表示。
例子
人的身高、体重、时间等。
概率分布
连续型随机变量的概率分布可以 用概率密度函数(PDF)表示, 即f(x)表示随机变量取某个值的概 率密度。
随机变量的期望和方差
期望
期望是随机变量取值的平均值,用E(X)表示。对于离散型随机变量,E(X)=∑xp(x); 对于连续型随机变量,E(X)=∫xf(x)dx。
复杂度并提高模型的泛化能力。
Part
07
总结与展望
总结多维随机变量及其分布的主要内容
定义与性质
多维随机变量是多个随机变量的组合,具有多维度的特性 。其定义基于概率空间,每个维度都有独立的概率分布。
联合概率分布
多维随机变量的联合概率分布描述了所有维度同时发生的 概率。通过联合概率分布,可以计算各种联合事件的概率 。
总结词
独立性是多维随机变量的一个重要性质,表示多个随机变量之间没有相互依赖关系。
详细描述
在多维随机变量中,如果多个随机变量之间相互独立,那么一个随机变量的取值不会影响到另一个随 机变量的取值。独立性的判断对于概率论和统计学中的许多问题至关重要,如联合概率分布、条件概 率和贝叶斯推断等。
Part
06
边缘概率分布
3-5多维随机变量的函数分布
3 53
2
12 2 12 12 12
结论
若二维离散型随机变量的联合分布律为
P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2, ,
则随机变量函数 Z g( X ,Y ) 的分布律为
P{Z zk } P{g( X ,Y ) zk }
pij ,
zk g( xi y j )
1. Z=X+Y 的分布
设( X ,Y )的概率密度为f ( x, y),则Z X Y
的分布函数为
FZ (z) P{Z z} f ( x, y)d x d y
x yz
z y
f (x, y)d x d y
x u y z
f (u y, y)du d y
y x yz
O
此时
z
f (x) f (z x)d x,
0 z 10,
0
10
f R ( z )
z10
f (x) f (z
x)d x,
0,
10 z 20, 其他.
(1)
将 f ( x) 1050 x , 0 x 10,
0,
其他.
f
(z
x)
10
(z 50
x),
0 z x 10,
0,
1
2
1
0 等价于
2
12 12
3
2
0
2
12
12
概率 1
12
1 3 2 12 2 12 12 12 12 12 12
( X ,Y )
(1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
1 2
,1
(3,2)
(3,0)
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i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
=pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列: 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习:设随机变量X与Y独立,且均服从0-1 分布,其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W=X+Y的分布律; (2) 求V=max(X, Y)的分布律; (3) 求U=min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W=X+Y
V=max(X, Y) U=min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy = ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立,并且服从[-1,1]上的均匀分 布,求Z=X+Y的密度函数。
解:
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0,β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度.
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .
X Y -1 -1 2
P (X,Y)
Z1=X+Y Z2=X-Y Z3=max {X,Y}
1
2
5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20
5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 (2,2)
4 0 2
(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1)
-2 0 -1 0 -2 1 1 -3 2 1 3 2 3 1 2
三、极大(小)值的分布 极大 小 值的分布
设X1, X2, …, Xn相互独立,其分布函数分别为 F1(x1),F2(x2), …, Fn(xn),记 M=max{X1, X2, …, Xn }, N=min{X1, X2, …, Xn } 则,M和N的分布函数分别为:
FM ( z ) = P(max( X 1 , X 2 L X n ) ≤ z ) = P( X 1 < z , X 2 < z , L X n < z ) = P( X 1 < z ) P( X 2 < z ) L P( X n < z ) = ∏ Fi ( z ).
x = 10
x=z
x = z − 10
O
10
20
z
0 < x < 10, 当 0 < z − x < 10,
+∞ −∞
0 < x < 10, 即 时, z − 10 < x < z ,
fR(z) = ∫ f ( x) f (z − x)d x 中被积函数不为零.
z f ( x) f ( z − x )d x, 0 ≤ z < 10, ∫0 此时 10 f R ( z ) = ∫ f ( x ) f ( z − x ) d x , 10 ≤ z ≤ 20, (1) z −10 0, 其他 . 10− x 10−(z − x) , 0≤ x ≤10 , , 0 ≤ z − x ≤10 , 将 f (x) = 50 f (z − x) = 50 0, . 其他 0, . 其他 代入 (1) 式得
n
n
n-1 -
f (z);
n-1 -
fN(z)=n[1-F(z)]
f (z).
例 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成,联 接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,如图所示设L1,L2 的寿命分别为X与Y,已知它们的概率密度分别为
αe −αx f X ( x) = 0 βe − β y fY ( y ) = 0 x>0 x≤0 y>0 y≤0
( z − x )2 − 2Leabharlann 1 dx = 2π∫∞
−∞
e
x2 +( z − x)2 − 2
dx
∫
∞
−∞
e
z2 − ( x − xz + ) 2
2
1 dx = 2π
∫
∞
−∞
e
z 2 z2 −( x − ) − 2 4
e dx = 2π
z2 − 4
∫
∞
−∞
e
z −( x − ) 2 2
dx
π = e 2π
多维随机变量函数的分布
离散型、连续型 Z=X+Y,Z=XY和Z=X/Y
一、二维离散型随机变量函数的分布律 设二维离散型随机变量(X,Y), (X, Y)~P(X=xi, Y=yj)=pij ,i, j=1, 2, … 则 Z=g(X, Y)~P{Z=zk}= k=1, 2, … (X,Y) 或p
ij
i =1 n
FN ( z ) = P{N ≤ z} = 1 − P { N > z }
= 1 − P{ X 1 > z , X 2 > z K X n > z}
= 1 − P{ X 1 > z} ⋅ P{ X 2 > z}K P ( X n > z ) = 1 −
∏ [1 − F ( z )].
i =1 i
其他 为0
1 z +1 1 z+2 当z - 1 ≤ −1 < z + 1 ≤ 1时,所以f Z ( z ) = ∫ dy = 2 −1 2 4 1 1 1 2− z 当 − 1 < z - 1 < 1 < z + 1时,所以f Z ( z ) = ∫ dy = 2 z −1 2 4
练习 在一简单电路中, 两电阻 R1 和 R2 串联联接 ,
+∞ −∞
z2 − 2•2
=
1 2
1 2
+∞
−
z2 2( 2 )2
2π
−∞
e
2
∫e
z −( x− )2 2
dx =
∫e
−
[
2 (x−
z 2 )] 2
d[
z 2 ( x − )] = 2
1 2
2π
说明
2 一般 , 设X ,Y相互独立且 X ~ N ( µ1 , σ 1 ),Y ~ 2 N ( µ2 , σ 2 ).则 Z = X + Y 仍然服从正态分布 , 且有
i =1 n
n
X i ~ N (50n,2.52 n) ∑
i =1
n
2000 − 50n ⇔ P{∑ X i > 2000} = 1 − Φ ( ) ≤ 0.05 2.5 n i =1
2000 − 50n Φ( ) ≥ 0.95 表 2.5 n 得
查
2000 − 50n ≥ 1.645 ⇒ n ≥ 39 2.5 n
f X (x) =
+∞
1 e 2π
x2 − 2
; fY ( y ) =
1 e 2π
y2 − 2
+∞
−∞
∫
1 e 2π
−
x2 2
dx = 1
由x、y∈R 则Z∈R
卷积公式得
1 f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z − x)dx = 2π −∞ 1 = 2π
∫
∞
−∞
e
x2 − 2
e
设 R1 , R2 相互独立 , 它们的概率密度均为 10 − x , 0 ≤ x ≤ 10, f ( x ) = 50 0, 其他 . 求电阻 R = R1 + R2 的概率密度.
解
由题意知 R 的概率密度为
fR(z) = ∫ f ( x) f (z − x)d x.
−∞
+∞
x
x2 − 2×5
Z=X-2Y+7~N(-3-2*2+7,1+4*1+0)=N(0,5)
例4 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg) 服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为 2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载 的概率不超过0.05.
解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则 由题意,令 P{∑ X i > 2000} ≤ 0.05
(0,0) q2 0 0 0 0
(0,1) pq 1 1 0 1 0
(1,0) pq 1 1 0 2 0
(1,1) p2 2 1 1
W V 0 1
q2
0
2 pq
p2
Z=X+Y的分布
• 常见的离散型 • (1)泊松分布的可加性 可推广 • X~P(λ1),Y~P(λ2)且X、Y相互独立,则 Z=X+Y~P(λ1+λ2) • (2)二项分布的可加性 可推广 • X~b(n,p),Y~b(m,p)且X、Y相互独立,则 Z=X+Y~b(n+m,p) 卷积公式
解 (i)串联情况
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 , 系统 L 就停止工作 ,
所以这时 L 的寿命为
Z = min( X ,Y ).
αe − αx , x > 0, 1 − e − αx , x > 0, ⇒ FX ( x ) = 由 f X ( x) = x ≤ 0, x ≤ 0, 0, 0,