数值分析试题答案
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数值分析试题答案
1、构造拉格朗日插值多项式(X)p 逼近3
(x)f x =，要求
（1）取节点011,1x x =-=作线性插值 （2）取节点0121,0,1x x x ===作抛物插值 答案：（1）代入方程得
0110
10010
1,1(x)y (x x )x y y y y p x x =-=-=+
-=-
（2）代入方程得
1202011220120102101220210.1(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )
(x)y x
(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )y y p y y ==------=
++=------
2、给出数据点：01234
39
61215
i i x y =⎧⎨
=⎩ 用1234,,,x x x x 构造三次牛顿插
值多项式3
()
N
x ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。
33333133.15()93(1) 4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5) 5.6250,
()36 4.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000, 1.54
(1.5)(1.5)((1.5)(1.5)) 1.17194
N x x x x x x x N N x x x x x x x N R f N N N =+-+------==+--+--=-=-≈
-=四（分）
3、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。 答案：
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
)4
5
)(
3
5
)(1
5(
)4
)(
3
)(1
(
4
)5
4
)(
3
4
)(1
4(
)5
)(
3
)(1
(
5
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
-
+
x
x
x
x
x
x
差商表为
i
x
i
y一阶均差二阶均差三阶均差
1 2
3 6 2
4 5 -1 -1
5 4 -1 0 4
1
)4
)(
3
)(
1
(
4
1
)3
)(
1
(
)1
(2
2
)
(
)
(
3
3
-
-
-
+
-
-
-
-
+
=
=x
x
x
x
x
x
x
N
x
P
5.5
)2(
)2(
3
=
≈P
f
4、求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件：
解：（1）利用插值法加待定系数法：
设满足则（3分）再设
（3分）
1 2 3
2 4 12
3
5、试确定求积公式: )]1(')0('[121
)]1()0([21)(1
f f f f dx x f -++≈
⎰
的代
数精度. 解：记
⎰=1
0)(dx
x f I
)]1(')0('[121
)]1()0([21f f f f I n -++=
1)(=x f 时：1
11
0==⎰dx I
1]00[121
]2[21=-+=
n I
x x f =)(时：21
10==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I
2
)(x x f =时：311
02=
=⎰dx x I 31]20[121]1[21=
-+=n I
3
)(x x f =时：411
03=
=⎰dx x I
41
]30[121]1[21=
-+=n I 4)(x x f =时：511
04=
=⎰dx x I 61]40[121]1[21=
-+=n I
求积公式)]1(')0('[121
)]1()0([21)(1
f f f f dx x f -++≈
⎰
具有3次代数精
度
6、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈1
1)]21
()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数
精度尽量高,并求其代数精度。
答案：2
,,1)(x x x f =是精确成立，即
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+322122
22B A B A 得98,91==B A
求积公式为)]21
()21([98)]1()1([91)(1
1f f f f dx x f +-++-=⎰-
当3
)(x x f =时，公式显然精确成立；当4
)(x x f =时，左=52，右=31
。所