浙江省金丽衢十二校2019-2020学年高三第一次联考数学试题
浙江省金丽衢十二校高三数学第一次联考试题 理
数学理试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．已知集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是 A ．1≤a B ．1<a C ．2≥a D ．2>a 2．已知,R a b ∈，下列命题正确的是 A ．若a b >， 则ba 11>B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22a b >3. 已知{}n a 为等比数列，则“321a a a >>”是“{}n a 为递减数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设n m ,为空间两条不同的直线，βα,为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若βα//,//m m ，则βα//； ②若βα//,m m ⊥，则βα⊥； ③若n m m //,//α则α//n ； ④若βαα//,⊥m ，则β⊥m ． 其中的正确命题序号是A ．③④B ．②④C ．①②D ． ①③5． 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，32=a ，n n a a 32=+，则2014S =A ．1007232⨯- B ．100723⨯ C ．2014312-D ．2014312+6．函数()sin(2))f x x x θθ=++（2πθ<）的图像关于点(,0)6π对称，则()f x 的增区间A ．5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦7. 已知()m x x x f x x ----+-=234234有两个不同的零点,则m 的取值范围是A.()3,∞-B. [)+∞,3C. ()3,0D.()+∞,3俯视图正视图侧视图5第14题图43A 1B 1C 1D 1ABCDE(第8题图)8. 长方体1111D C B A ABCD -的底面是边长为a 的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ,使得︒=∠901EB C ,则侧棱1AA 的长的最小值为 A. a B. a 2 C. a 3 D. a 49.已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点，如果双曲线右支上存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 A. 3321<<e B. 332>e C. 3>e D. 31<<e 10.设实数c b a ,,满足,0)(252⎪⎩⎪⎨⎧>=+≥a ac b c a b 若b a c b a +++485的最大值和最小值分别为m M ,，则m M +的值为A. 9B.332C. 349D. 19第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.11．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3311y x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最小值为 .12．已知,41)6sin(=+πx 则=-)3(sin 2x π . 13. 设直线062=++y ax 与圆04222=+-+y x y x 相交于点P ,Q 两点，O 为坐标原点，且OQ OP ⊥，则实数a 的值为 .14.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积为 3cm . 15.已知()()(),log ,log ,log 936241x x f x x f x x f === 若()()()n m f m f n f +==321，则=nm. 16.已知ABC ∆是边长为32的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则⋅的最大值为 .17. 点P 为椭圆()0,012222>>=+b a by a x 在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线x aby -=于R Q ,，交y 轴，x 轴于N M ,两点，记OMQ ∆与ONR ∆的面积分别为21,S S ，当2=ab 时，2221S S +的最小值为 .三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c , 已知△ABC 的面积()22c b a S --=.（Ⅰ）求A sin 与A cos 的值； （Ⅱ）设a b λ=,若54cos =C ,求λ的值.19.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，已知,11=a 12432432=++S S S . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）当2≥n 时，1401-≥++λλnn a a 恒成立，求λ的取值范围.20. （本题满分14分） 如图，四边形ABCD 为菱形，ACFE 为平行四边形，且面ACFE ⊥面ABCD ，3,2===AE BD AB ,设BD 与AC 相交于点G ,H 为FG 的中点.（Ⅰ）证明⊥CH 面BFD ;（Ⅱ）若AE 与面ABCD 所成的角为︒60,求二面角D EF B --的平面角余弦值的大小.21.（本题满分15分）已知抛物线)0(2:2>=Γp px y 的焦点到准线的距离为2. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）如图所示，直线1l 与抛物线Γ相交于A ,B 两点，C 为抛物线Γ上异于A ,B 的一点，且⊥AC x 轴，过B 作AC 的垂线，垂足为M ,过C 作直线2l 交直线BM 于点N ,设21,l l 的斜率分别为21,k k ，且121=k k .（ⅰ）线段MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; （ⅱ）求证N C B A ,,,四点共圆.22. （本题满分15分）已知二次函数()b ax x x f ++=22为偶函数,()m x x g +-=)13(，()()()212≠+=c x c x h .关于x 的方程()()x h x f =有且仅有一根21. (Ⅰ)求c b a ,,的值;(Ⅱ)若对任意的[]1,1-∈x ,()()x g x f ≤恒成立, 求实数m 的取值范围;(Ⅲ)令()()()x f x f x -+=1ϕ,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值范围.金丽衢十二校2014-2015学年第一次联合考试数学试卷(理科)参考答案一、选择题(5×10=50分)二、填空题(4×7=28分) 11. 1 12.1615 13. 2- 14. 20 15. 251+ 16. 3 17. 21三.解答题(72分)18解 （Ⅰ）由题意可得bc A bc bc c b a A bc 2cos 22sin 21222+-=+--= 所以4cos 4sin =+A A 又因为1cos sin 22=+A A 解方程组可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1715cos 178sin A A-----------------------------7分 （Ⅱ）易得53sin =C ()8577sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B所以4077sin sin ===A B a b λ.-----------------------------7分19. 解 （Ⅰ）由题意可得12333=S ,∴433=S ,∴2123-=n n S n ∴=n S n n 21232- 231-=-=∴-n S S a n n n ()2≥n 当1=n 时也成立, 23-=∴n a n-----------------------------6分 （Ⅱ）1401-≥++λλnn a a ⇒λλ≥-++231413n n ⇒()()12347--+n n n λ≥-----------------------------10分 解法一： 设=n b ()()12347--+n n n=-+n n b b 1()()-++n n n 1348()()12347--+n n n ()11632---⨯=n n n n 当5≥n 时，n n n n b b b b >⇒>-++110当4≤n 时，n n n n b b b b <⇒<-++110∴n b 的最小值为1695=b ,169≤∴λ.-----------------------------14分 解法二： 设t n =-1 则()()12347--+n n n =169145483≥++tt （当4=t ，即5=n 时取最小值）20.（Ⅰ）证明：Θ四边形ABCD 为菱形 AC BD ⊥∴又Θ面ACFE ⊥面ABCD ACFE BD 面⊥∴CH BD ⊥∴ 即BD CH ⊥又ΘH 为FG 的中点,3==CF CGFG CH ⊥∴又ΘG BD FG =⋂ ∴⊥CH 面BFD ——————————5分（Ⅱ）过G 作EF 的垂线，垂足为M ，连接MD MG MB ,, 易证得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角，EAC ∠=︒60 DMB ∠为二面角D EF B --的平面角213,1,2,23=====DM BM BG BD MG 所以由余弦定理可得：135cos =∠DMB .A BCDEG H第20题图 FM21.解 （Ⅰ）2=p ——————————4分（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A ,则()()2111,,,y x M y x C -,直线1l 的方程为：b x k y +=1由⎩⎨⎧=+=xy b x k y 421消元整理可得：(221221+bk x k 所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+212212112124k b x x k bk x x 可求得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+211y y y y ——————6分直线2l 的方程为：)(121x x k y y -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++21221,y x k y y N 所以MN =221k y y +=214k k =4.——————9分 AB 的中点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12112,2k k bk E则AB 的中垂线方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-21111212k bk x k k y 与BC 的中垂线x 轴交点为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'0,2221121k bk k o 所以ABC ∆的外接圆的方程为： 2222211212221121)22(22y x k bk k y k bk k x +-+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--——————12分 由上可知()21,4y x N +022********112121************=⨯+--++=+--++--+k bk k x x k bk k x k bk k x Θ2212122221121122(224bk k y k bk k x +-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+∴所以N C B A ,,,四点共圆.解法二：易知ABC ∆的外接圆圆心o '在x 作B 关于o '的对称点B ',则B B '为直径，易知B '横坐标为221121222x k bk k -+-⨯ 022242112121=⨯+--++k bk k x x Θ 所以42221221121+=-+-⨯x x k bk k所以︒='∠90NB B 所以N C B A ,,,四点共圆. 22. 解 (Ⅰ) 由()()x f x f -=⇒0=a由()()x h x f =可得：()0222=-++-b c cx x c 代入21=x 得：2149-=c b ① ()()b c c c --=⇒=∆202 ②联立方程①②解得：32,1==c b ∴0=a ，32,1==c b .—————3分(Ⅱ)m x x +-≤+)13(122当0=x 时，1≥m ————————4分当1=m 时，[]()()=---=+--+x x x x 1321321)13()12(2222()()01132≤--x x∴1)13(122+-≤+x x ∴1≥m ——————————7分(Ⅲ)由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ——————————9分由0=a ，32,1==c b 易证明()()2132+≥x x f 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()136122+≥+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； 由(Ⅱ)知1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立∴()()1)13(136+-≤≤+x x f x 在[]1,0∈x 上恒成立.又因为当[]1,0∈x 时, []1,01∈-x ∴()()1)1)(13(11136+--≤-≤+-x x f x∴()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ 即()136+≤≤x ϕ 621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ, ()()1310max max +==ϕϕ∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥∴2331-+≤m .————————15分 另解：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ， 设)22,1(),22,0(),0,(-B A x P ，显然()PB PA x +=2)(ϕ，由下图易知： (),3min==+AB PB PA()2622max+=+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥∴2331-+≤m .。
浙江金丽衢十二校2019届高三第一次联考数学试题解析卷
cos∠ADE=
3 2
，
∴
∠ADE
=
π 6
故答案为π
6
【点睛】本题考查直线与平面所成角，线面垂直的应用，二面角的定义，考查空间想象能力，熟练作辅助线找角 是关键，是中档题
9.五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过 2 人，则他们每人得 1 分； 若选择同一条路的人数小于 3 人，则他们每人得 0 分，记小强游戏得分为ξ，则 Eξ=（ ）
2π 4
B. BC ≥
2
C. ∠AMO + ∠MAO = 90° D. OM取值范围为0， 2 【答案】D
6
【解析】 【分析】
作出图形，对于
A，ΔAOC
为直角三角形，ON
为斜边
AC
上的中线，ON
=
1 2
AC
为定长，推理
NO
扫过的面积
为圆锥的侧面，即 A 正确；对于 B，由基本不等式求解即可；对于 C．∠AMO + ∠MAO = 90°，正确；对于 D， 由 A 可知，点 O 的轨迹是圆弧，即 D 正确；
对于 C．∵ AO⊥面 BCD,故∠AMO + ∠MAO = 90°，正确；
对于 D，OM < AM = 1， 故 D 错误 故选：D．
【点睛】本题命题真假判断，空间的线面位置关系，考查推理及空间想象能力，属于难题
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
11.已知 n ∈ N∗ ，x2 − 51x3n的展开式中存在常数项，则 n 的最小值为__________，此时常数项为__________．
4 3
【答案】C 【解析】
由题设中三视图提供的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与一个等高三棱锥的组合体，其中三棱柱
【附15套精选模拟试卷】浙江省金丽衢十二校2020届高三下学期第一次联考数学试卷含解析
浙江省金丽衢十二校2020届高三下学期第一次联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．323πB ．4πC ．2πD ．43π2．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．223．已知a ，0b >，则下列命题正确的是（ ） A ．若ln25aa b b=-，则a b > B ．若ln25aa b b=-，则a b < C ．若ln52a b a b =-，则a b > D ．若ln 52a b a b =-，则a b <4．下列说法中正确的是（） A ．若数列为常数列，则既是等差数列也是等比数列； B ．若函数为奇函数，则；C ．在中，是的充要条件；D ．若两个变量的相关系数为，则越大，与之间的相关性越强.5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M ，N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=u u u r u u u r，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '.若MN P '∆的面积为3F 到l 的距离为（ ） A ．12B ．8C ．6D ．46．在等差数列{}n a 中，10110,0a a ，且1110a a >,则使{}n a 的前n 项和Sn 0<成立的中最大的自然数为( ) A ．11B ．10C ．19D ．207．已知变量,x y 满足约束条件6,{32,1,x y x y x +≤-≤-≥若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为 A．2+3B ．5+26C ．8+15D ．238．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．639．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且(1)f x +为偶函数,若(1)2f -=,则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （ ）A ．4B ．2C ．0D ．-210．下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（ ） A ．7(,0)24π B ．(,0)3π C ．1(,)34π- D ．(,0)12π11．已知函数()sin()(0)f x A x ωϕϕπ=+<<的部分图象如图所示，若0()3f x =，05(,)36x ππ∈，则0sin x 的值为（ ）A ．33410B ．33410C ．34310+D ．343-12．当5m =，2n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．20B ．42C ．60D ．180二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届浙江省金丽衢十二校高三第一次联考数学试题Word版含解析
2019届浙江省金丽衢十二校高三第一次联考数学试题一、单选题1．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据补集和并集的定义进行求解即可．【详解】，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．2．已知向量，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用夹角公式进行计算．【详解】由条件可知，，，所以，故与的夹角为．故选：．【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．3．等比数列的前项和为，己知，，则（）A．7 B．-9 C．7或-9 D．【答案】C【解析】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,可求得公比，再分情况求首项，进而得到结果.【详解】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,代入数值得到q=-2或2，当公比为2时，解得，S3＝7；当公比为-2时，解得，S3＝-9.故答案为：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得、的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【详解】根据题意，双曲线的标准方程为，其焦点在轴上，且，，则其渐近线方程为；故选：．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位置，是基础题5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．323B ．163C ．83D ．43【答案】C【解析】由题设中三视图提供的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与一个的等腰直角三角形，所以其体积221118223223V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，应选答案C 。
2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考试题 数学
保密★考试结束前金丽衢十二校2020届高三第－次联考数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷－、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的)1.设集合{(3)(2)0},{13}M x x x N x x =+-<=≤≤，则MN =A.[1，2)B.[1，2]C.(2，3]D.[2，3] 2.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的－条渐近线与直线2x －4y ＋2＝0垂直，则该双曲线的离心率为C.23.若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x －y 的最大值等于A.2B.1C.－2D.－44.己知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的休积为A.163π+B.112π+C.1123π+D.143π+ 5.己知a ，b 是实数，则“a>2且b>2”是“a ＋b>4且ab >4”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则E(ξ)＝A.3.55B.3.5C.3.45D.3.47.如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，底面为正方形，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ＝3，AA 1＝4，P 是侧面BCC 1B 1内的动点，且AP ⊥BD 1，记AP 与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则tan θ的最大值为A.43B.53C.2D.2598.己知函数2(1),0()43,03x e x f x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数y ＝f(x)－a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则－x 1x 2＋x 3＋x 4的取值范围为A.[3，3＋e)B.[3，3＋e)C.(3，＋∞)D.(3，3＋e]2.函数2()1ln f x x x=-+的图像大致为10.设等差数列a 1，a 2，…，a n (n≥3，n ∈N *)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=- 21211222n n a a a a a m +-+⋅⋅⋅+-=++++⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是 A.3d ≥ B.n 的值可能为奇数C.存在*i N ∈，满足－2<a i <1D.m 的可能取值为11第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤(16两)还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两 文，他所带钱共可买肉 两。
浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题
(2)证明： e
4
x1x2
1 m
．
试卷第 4 页，共 4 页
黑球，得 2 分；取到 1 次白球，得 1 分．小明按照如上约定和规则进行取球，最终累计
积分为 X ．
(1)求小明取球次数不超过 4 次的概率；
(2)求 X 的分布列和期望．
20．已知数列an满足
a1 2
a2 22
L
an 2n
3
2n 3 2n
n N*
，记数列an 的前 n 项和为 Sn ．
A．0,1, 2
B． 0, 3, 5
C． 3, 5
D．5
2．圆 C : x2 y2 2x 4y 0 的圆心 C 坐标和半径 r 分别为（ ）
A． C 1, 2, r 5
B． C 1, 2, r 5
C． C 1,2, r 5
D．C 1,2, r 5
r r
r
3．已知平面向量 a,b 满足：b
浙江省金丽衢十二校 2023-2024 学年高三上学期第一次联考 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 A 0,1, 2,3,5 ， B x | x2 2x 0 ，则 AI B （ ）
(1)求 Sn ；
(2)已知 kn N* 且 k1 1, k2 2 ，若数列 akn 是等比数列，记kn 的前 n 项和为Tn ，求使
得 Sn Tn 成立的 n 的取值范围．
21．已知椭圆 C :
x2 4
y2 3
1 的左右焦点分别为 F1, F2 ，点 P
x0,y0 为椭圆 C 上异于顶点
浙江省金丽衢十二校2019年高三第一次联考数学试题(解析版)
浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合A=（-∞，5），B=[3，+∞），则（∁R A）∪（∁R B）=（）A. RB. ⌀C. [3,5)D. (−∞,3)∪[5，+∞)2.已知向量a⃗=（4，√3），b⃗ =（1，5√3），则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘3.等比数列{a n}的前n项和为S n，己知S2=3，S4=15，则S3=（）A. 7B. −9C. 7或−9D. 6384.双曲线9y2-4x2=1的渐近线方程为（）A. y=±49x B. y=±94x C. y=±23x D. y=±32x5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 323B. 163C. 83D. 436.己知复数z满足zi5=（π+3i）2，则z−在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.设函数f（x）的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f（x）=-f（y）成立，则称函数f（x）为“H函数”，下列为“H函数”的是（）A. y=sinxcosx+cos2xB. y=lnx+e xC. y=2xD. y=x2−2x8.如图，二面角α-BC-β的大小为π6，AB⊂α，CD⊂β，且AB=√2，BC=CD=2，∠ABC=π4，∠BCD=π3，则AD与β所成角的大小为（）A. π4B. π3C. π6 D. π129. 五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分；若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，记小强游戏得分为ξ，则E ξ=（ ）A. 516B. 1116C. 58D. 1210. 在等腰直角△ABC 中，AB ⊥AC ，BC =2，M 为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC 边上一个动点，△ABD 沿AD 向纸面上方或者下方翻折使BD ⊥DC ，点A 在面BCD 上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是（ ）A. 线段NO 划过的曲面面积为√2π4B. |BC|≥√2C. ∠AMO +∠MAO =90∘D. |OM|取值范围为[0,√2)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知n ∈N *，（x 2-1√5x 3）n 的展开式中存在常数项，则n 的最小值为______，此时常数项为______．12. 偶函数f （x ）满足f （x -1）=f （x +1），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ，则f （43）=______，则若在区间[-1，3]内，函数g （x ）=f （x ）-kx -k 有4个零点，则实数k 的取值范围是______．13. 若实数x 、y 满足x ＞y ＞0，且log 2x +log 2y =1，则2x +1y 的最小值是______，x−y x 2+y 2的最大值为______．14. 在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有______个；构成等比数列的有______个． 15. 若等边△ABC 的边长为2√3，平面内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 己知函数y =sin x +√3cos x 是由y =sin x -√3cos x 向左平移φ（φ∈（0，2π）个单位得到的，则φ=______． 17. 已知P 是椭圈x 2a2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上的动点，过P 作椭圆的切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当△AOB （O 为坐标原点）的面积最小时，cos ∠F 1PF 2=34（F 1、F 2是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD =3DB ，cos A =45，cos ∠ACB =513，BC =13．（1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =π2，PA =AD =2，AB =BC =1，点M ，E 分别是BA ，PD 的中点． （1）求证：CE ∥平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．20. 已知数列{a n }，a 1=2，a 2=6，且满足a n+1+a n−1a n +1=2（n ≥2且n ∈N +）．（1）求证：{a n +1-a n }为等差数列； （2）令b n =10(n+1)a n-12，•设数列{b n }的前n 项和为S n ，求{S 2n -S n }的最大值．21.已知椭圆C：x2+y2=1左顶点为A，O为原点，M，N是直线x=t上的两个动点，且2MO⊥ON，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（1）若t=-1，求△MON的面积的最小值；（2）若E，O，D三点共线，求实数t的值．22.已知函数f（x）=-x3+9x2-26x+27．（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）为定值，并求出该定值；（2）已知对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：（∁R A）∪（∁R B）=[5，+∞）∪（-∞，3），故选：D．根据补集和并集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】解：由条件可知，=，所以=，故与的夹角为60°．故选：C．利用夹角公式进行计算．本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由S2=3，S4=15，可得，则1+q2=5，即q2=4，即q=±2，则=-1，∴S3=（1-q3）=-[1-（±2）3]，即S3为7或-9，故选：C．根据等比数列的求和公式即可求出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线9y2-4x2=1的标准方程为-=1，其焦点在y轴上，且a=，b=，则其渐近线方程为y=±x；故选：C．根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析焦点位置以及a、b的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意分析双曲线的焦点位置．5.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为V几何体=V三棱柱+V三棱锥=××2+×××2=．故选：C．根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．6.【答案】A【解析】解：由zi5=（π+3i）2，得，∴，则在复平面内对应的点的坐标位于第一象限．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由y=sinxcosx+cos2x=sin2x+=+sin（2x+），由f（x）+f（y）=1+sin（2x+）+sin（2y+）=0，取x=，可得sin（2y+）=-1-＜-1，y不存在，故A不为“H函数”；由y=lnx+e x，且f（x）+f（y）=lnx+e x+lny+e y=0，由于y=lnx+e x递增，且x→0，y→-∞；x→+∞，y→+∞，即有任一个x（x＞0），可得唯一的y，使得f（x）=-f（y），故B为“H函数”；由y=2x可得2x＞0，2x+2y=0不成立，故C不为“H函数”；由y=x2-2x，若f（x）+f（y）=x2-2x+y2-2y=（x-1）2+（y-1）2-2=0，可取x=3，可得y无解，故D不为“H函数”．故选：B．运用二倍角公式和辅助角公式化简函数y，取x=，可判断A；由函数的单调性和值域，可判断B；由指数函数的值域即可判断C；运用配方法，可取x=3可判断D．本题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为f（x）+f（y）=0是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：过A作AM⊥BC，M为垂足，∵AB=，∠ABC=，∴AM=BM=1，∴M为BC的中点，连结BD，∵BC=CD=2，∠BCD=，∴△BCD是边长为2的等边三角形，∴DM⊥BC，DM=，∴∠AMD为二面角α-BC-β的平面角，即∠AMD=，∴∠ADM为AD与β所成的角，在△AMD中，由余弦定理可得AD==1，∴AD=AM，故∠ADM=∠AMD=．故选：C．过A作AM⊥BC，M为垂足，可证M为BC的中点，则∠AMD为二面角的平面角，在△AMD中求出∠ADM即可．本题考查空间中线面位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．9.【答案】B【解析】解：五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分；若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，∴P（ξ=1）=++=，P（ξ=0）=1-=，∴Eξ=1×=．故选：B．推导出P（ξ=1）=++=，P（ξ=0）=1-=，由此能求出Eξ．本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】D【解析】解：如图所示，对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON=AC为定长，线段NO划过的曲面为圆锥侧面的一部分，面积为即A正确；对于B，D在M时，BC取得最小值，因此|BC|≥，正确．对于C．∠AMO+∠MAO=90°，正确；对于D，D在M时，M与O点重合，可得AM⊥底面BCM，此时OM=0．D不在M时，可得OM＜OC+CM=1+，CO=1，∴|CO|∈[1，），即正确；由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；故选：D．作出图形，判定A，B，D正确，即可得出结论．如图所示，对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON=AC为定长，即A正确；对于B，D在M时，AO=1，CO=1，∴|CO|∈[1，]，即正确；对于D，由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】5 2【解析】解：∵（x2-）n的展开式的通项公式为T r+1=••x2n-5r，令2n-5r=0，可得2n=5r，故n的最小值为5，r=2，此时常数项为•=2，故答案为：5；2．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系，可得n 的最小值以及此时常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.【答案】23（0，14]【解析】解：∵偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），∴f（x）=f（x+2），即函数f（x）是周期为2的周期函数，则f（）=f（-2）=f（-）=f（）=，若-1≤x≤0，则0≤-x≤1，则f（-x）=-x=f（x），即f（x）=x，-1≤x≤0，由g（x）=f（x）-kx-k=0得f（x）=k（x+1），要使函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点等价为函数f（x）与g（x）=k（x+1）有四个不同的交点，作出两个函数的图象如图：g（x）过定点A（-1，0），f（3）=1，则k满足0＜g（3）≤1，即0＜4k≤1，得0＜k≤，即实数k的取值范围是（0，]，故答案为：，（0，]根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．13.【答案】2 14【解析】解：实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y=1，则xy=2，则+≥2=2，当且仅当=，即x=2，y=1时取等号，故+的最小值是2，===≤=，当且仅当x-y=，即x-y=2时取等号故的最大值为，故答案为：2，．先根据对数的运算性质可得xy=2，再根据基本不等式即可求本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题．14.【答案】45 17【解析】解：①百位、十位、个位数字依次构成等差数列：公差d=0时，共有9个：111， (999)公差d=1时，共有7个：123， (789)公差d=2时，共有5个：135， (579)公差d=3时，共有3个：147，258，369．公差d=4时，共有1个：159．同理可得：公差d=-1时，共有8个，987，……，321，210．公差d=-2时，共有6个．公差d=-3时，共有4个．公差d=-4时，共有2个．综上共有45个．②百位、十位、个位数字依次构成等比数列：公比q=1时，共有9个：111， (999)公比q=2时，共有2个：124，248．公比q=时，共有2个：421，842．公比q=3时，共有1个：139．公比q=时，共有1个：931．公比q=时，共有1个：469．公比q=时，共有1个：964．综上共有：17个．故答案为：45，17．利用等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】-2【解析】解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，∴，，∵=+=，∴M，∴，，=（，）•（，）=-2．故答案为：-2．先合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设，这样利用向量关系式，求得M，然后求得，，运用数量积公式解得为-2本试题考查了向量的坐标运算．也体现了向量的代数化手段的重要性．考查了基本知识的综合运用能力．16.【答案】2π3【解析】解：函数y=sinx+cosx=2sin（x+）是由y=sinx-cosx=2sin（x-）向左平移个单位得到的，∵函数y=sinx+cosx=2sin（x+）是由y=sinx-cosx=2sin（x-）向左平移φ（φ∈（0，2π）个单位得到的，∴φ=，故答案为：．利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的值．本题主要考查辅助角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．17.【答案】√23【解析】解：如图所示，设切点P（x0，y0），（x0，y0＞0）直线AB的方程为：y-y0=k（x-x0）．（k＞0）联立，化为：（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2-a2b2=0．由直线AB与椭圆相切，可得：△=4a4k2-4（b2+a2k2）•[a2-a2b2]=0．化为：=b2+a2k2．∴2x0=，化为：=．由+=1，可得：==，解得x0=，y0=．由直线AB的方程为：y-y0=k（x-x0）．（k＞0）．可得A，B（0，y0-kx0）．S△OAB====≥a2b2．当且仅当b=-ak时取等号．设|PF1|=m，|PF2|=n，m+n=2a．cos∠F1PF2====，化为：7mn=8b2．mn=•=，代入化为：=，∴e===．故答案为：．如图所示，设切点P（x0，y0），（x0，y0＞0）直线AB的方程为：y-y0=k（x-x0）．（k ＞0）．与椭圆方程联立化为：（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2-a2b2=0．由直线AB与椭圆相切，可得：△=0．化为：=b2+a2k2．利用根与系数的关系可得：=．由+=1，可得：==，解得x0，y0．由直线AB的方程为：y-y0=k（x-x0）．（k＞0）．可得A，B（0，y0-kx0）．S△OAB====≥a2b2．当且仅当b=-ak时取等号．设|PF1|=m，|PF2|=n，m+n=2a．利用余弦定理进而得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆的相切、三角形面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.【答案】解：（1）在△ABC中，cos A=4，A∈（0，π），5．所以sin A=√1−cos2A=35．同理可得，sin∠ACB=1213所以cos B=cos[π-（A+∠ACB）]=-cos（A+∠ACB）=sin A sin ∠ACB -cos A cos ∠ACB =35×1213−45×513=1665；（2）在△ABC 中，由正弦定理得，AB =BCsinA sin ∠ACB =1335×1213=20．又AD =3DB ，所以DB =14AB =5．在△BCD 中，由余弦定理得，CD =√BD 2+BC 2−2BD ⋅BCcosB =√52+132−2×5×13×1665=9√2．【解析】（1）在△ABC 中，求出sinA==．，sin ∠ACB=．可得cosB=-cos （A+∠ACB ）=sinAsin ∠ACB-cosAcosB ； （2）在△ABC 中，由正弦定理得，AB=sin ∠ACB ．在△BCD 中，由余弦定理得，CD=．本题考查了正余弦定理、三角恒等变形，属于中档题．19.【答案】（1）证明：连接ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以ME =12AD ，ME ∥AD ，所以BC ∥ME ，BC =ME ，所以四边形BCEM 为平行四边形， 所以CE ∥BM ．又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊄平面BMD ， 所以CE ∥平面BMD ．……………………（6分）（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O -xyz ，则又CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-12，-1，1），CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0，1），设平面CEQ 的法向量为n ⃗ =（x ，y ，z ），列方程组{n ⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：{−12x −y +z =0−x +z =0其中一个法向量为n⃗ =（2，1，2），设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是sinθ=√4+1+4⋅√0+0+1=23， 进而求得cosθ=√53…………………………（15分）【解析】（1）连接ME ，证明ME ∥AD ，BC ∥ME ，推出CE ∥BM ．然后证明CE ∥平面BMD ． （2）以A 为坐标原点建立空间坐标系O-xyz ，求出平面CEQ 的法向量，利用空间向量的数量积，求解直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦函数值即可． 本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（1）证明：由题意得a n +1+a n -1=2a n +2，则（a n +1-a n ）-（a n -a n -1）=2，所以{a n +1-a n }是首项为4，公差为2的等差数列； （2）n ≥2，a n =（a n -a n -1）+…+（a 2-a 1）+a 1 =4（n -1）+(n−1)(n−2)2×2+2=n （n +1）．当n =1，a 1=2满足上式．则a n =n （n +1）． b n =10(n+1)n(n+1)-12=10n -12 ∴S n =10（1+12+…+1n ）-n2，∴S 2n =10（1+12+…+1n +1n+1+1n+2+…+12n ）-2n2， 设M n =S 2n -S n =10（1n+1+1n+2+…+12n ）-n2， ∴M n +1=10（1n+2+1n+3+…+12n +12n+1+12n+2）-n+12，∴M n +1-M n =10（12n+1+12n+2-1n+1）-12 =10（12n+1-12n+2）-12=10(2n+1)(2n+2)-12，∴当n =1时，M n +1-M n =103×4-12＞0，即M 1＜M 2，当n ≥2时，M n +1-M n ＜0， 即M 2＞M 3＞M 4＞…，∴（M n ）max =M 2=10×（13+14）-1=296， 则{S 2n -S n }的最大值为S 4-S 2=296． 【解析】（1）由已知等式结合等差数列的定义可证；（2）由累加法求出a n ，从而求出b n ，进一步求出S n ，换元作差求出结果． 本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用累加法和作差法是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）由勾股定理、三角形面积可得：|MN |2=|OM |2+|ON |2≥2|OM |•|ON |，|MN |=|OM |•|ON |， ∴|MN |≥2．S △OMN =12|MN |•1≥12×2=1， 即△MON 的面积的最小值为1． （2）设E （√2cosθ，sinθ）， 则AE 方程为：y =sinθ√2cosθ+√2（x +√2），则M 为(t ，(t+√2)sinθ√2(cosθ+1))，同理N 为(t ，−(t+√2)sinθ√2(1−cosθ))，∵OM ⊥ON ，∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 2-(t+√2)22=0，得t =√2±2． 【解析】（1）由勾股定理、三角形面积可得：|MN|2=|OM|2+|ON|2≥2|OM|•|ON|，|MN|=|OM|•|ON|，|MN|≥2．再利用S △OMN =|MN|•1，即可得出． （2）设E （cosθ，sinθ），可得AE 方程为：y=（x+），可得M 为，同理N 为，根据OM ⊥ON ，利用数量积运算性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的参数方程、向量垂直与数量积的关系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】（1）证明：∵f （x ）=-x 3+9x 2-26x +27，∴f ′（x ）=-3x 2+18x -26，由题意得，x 1+x 2=6，则f （x 1）+f （x 2）=−x 13+9x 12−26x 1+27−x 23+9x 22−26x 2+27=−(x 13+x 23)+9(x 12+x 22)−26(x 1+x 2)+54=−(x 1+x 2)(x 12−x 1x 2+x 22)+9(x 12+x 22)−26×6+54=−6[(x 1+x 2)2−3x 1x 2]+9[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]-102 =-6（36-3x 1x 2）+9（36-2x 1x 2）-102 =-216+18x 1x 2+324-18x 1x 2-102 =6；（2）解：∵f″（x）=-6x+18=-6（x-3），∴函数f（x）在（0，3）的图象为下凸，在（3，+∞）的图象为上凸，记P（3，f（3）），求得P处f（x）的切线为y=x，再记Q（0，a），由f′（x）=0，求得的极大值点为M（3+√33，3+2√39），①当a≥3+2√39时，直线y=kx+a与曲线y=f（x）显然只有唯一公共点；②当3≤a＜3+2√39时，直线QM斜率为正，且与曲线y=f（x）有三个公共点，舍去；③当0＜a＜3时，直线QP斜率为正，且与曲线y=f（x）有三个公共点，舍去；④当a≤0时，若k∈（0，k PQ），P在直线上方，直线y=kx+a与曲线y=f（x）的上凸部分有唯一公共点，与下凸部分不相交；若k=k PQ，直线y=kx+a与曲线y=f（x）交于P点，与上凸部分和下凸部分均不相交；若k∈（k PQ，+∞），P在直线下方，直线y=kx+a与曲线y=f（x）的下凸部分有唯一公共点，与上凸部分不相交，此种情况成立．综上，a的取值范围为（-∞，0]∪[3+2√39，+∞）．【解析】（1）求出原函数的导函数，结合在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等及根与系数的关系可得x1+x2=6，从而求得f（x1）+f（x2）为定值6；（2）由f″（x）=-6（x-3），可知函数f（x）在（0，3）的图象为下凸，在（3，+∞）的图象为上凸，求得函数的极大值点为M（），再由直线y=kx+a过点（0，a），然后对a分类讨论求使直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点的实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查转化与化归思想方法，考查推理论证能力，是中档题．。
浙江省金丽衢十二校2020届高三数学第一次联考试题(含解析)(1)
浙江省金丽衢十二校2020届高三第一次联考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集和并集的定义进行求解即可．【详解】，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．2.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用夹角公式进行计算．【详解】由条件可知，，，所以，故与的夹角为．故选：．【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．3.等比数列的前项和为，己知，，则（）A. 7B. -9C. 7或-9D.【答案】C【解析】【分析】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,可求得公比，再分情况求首项，进而得到结果.【详解】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,代入数值得到q=-2或2，当公比为2时，解得，S3＝7；当公比为-2时，解得，S3＝-9.故答案为：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得、的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【详解】根据题意，双曲线标准方程为，其焦点在轴上，且，，则其渐近线方程为；故选：．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位置，是基础题5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设中三视图提供的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与一个等高三棱锥的组合体，其中三棱柱与三棱锥的底面都是直角边长为的等腰直角三角形，所以其体积，应选答案C。
浙江金丽衢十二校2019高三第一次联考-数学文
——————6 分
g (x) = x2 x 2 ，由 g (x) >0 得 x 1, 由 g (x) <0 得 0 x 1 . x2
所以 g(x) 旳单调递增区间是1,,单调递减区间0,1
x 1时 g(x) 取得极小值 g(1) .——————10 分
（Ⅱ）当 EG 面 PFC 时, EG PF 又 G 为 FB 旳中点，
EF EP 2 ，t 2 —————7 分 过点G 在平面 PEF 中作 EP 旳垂线，垂足为 N，连接 DN . DE 面 PEF 面 PED 面 PEF GN 面 PED
GDN 即为 DG 与平面 PED 所成角.——————11 分
20．（本小题满分 14 分）如图在梯形 ABCD 中， AB // DC ， E 、 F 是线段 AB 上旳两点，
且 DE AB , CF AB ， CF 3, EF FB 2 , G 为 FB 旳中点,设 AE t ，
现将ADE, BCF 分别沿 DE, CF 折起，使 A 、 B 两点重合于点 P ，得到多面体
PEFCD . （Ⅰ）求证： PD // 平面 EGC ； （Ⅱ）当 EG 面 PFC 时,求 DG 与平面
PED 所成角旳正切值.
21.（本题满分 15 分）已知函数 f x 2 a ln x 2 .若曲线 y f (x) 在点 P(1, f (1)) 处
x 旳切线与直线 y x 2 垂直. （Ⅰ）求实数a 旳值； （Ⅱ）记 g(x) f (x) x b(b R) ，函数 g(x) 在区间[e1, e] 上有两个不同旳零点
x 3.设 x, y R ,那么“ x y 0 ”是“ y 1”旳
浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题
浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A={0,1,2,3,5}，B={x|x2−2x>0}，则A∩B=（）A．{0,1,2}B．{0,3,5}C．{3,5}D．{5}2．圆C:x2+y2−2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为（）3．已知平面向量a⃗,b⃗⃗满足：|b⃗⃗|=2|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，若(λa⃗+b⃗⃗)⊥(a⃗−b⃗⃗)(λ∈R)，则λ=（）4．已知直线a,b和平面α,a⊄α,b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(1+x−y)5展开式中含x2y项的系数为（）A．30B．−30C．10D．−106．已知函数y=2sin(ωx+φ)，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点(1,0)是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是（）7．一个正方形网格ABCD由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点O处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：O→P1→P2→P3→P4→P5→⋯.．，点O到P1的长度为1，点P1到P2的长度为2，点P2到P3的长度为3，点P3到P4的长度为4，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格ABCD为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是（）A．4752B．4753C．4850D．4851二、多选题10．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y（单位：min）的5组数据为：(10,52),(20,67),(30,70),(40,75),(50,86)，根据以上数据可得经验回归方程为：ŷ=0.76x+â，则（）A．â=47.3B．回归直线ŷ=0.76x+â必过点(30,70)C．加工60个零件的时间大约为92.8minD．若去掉(30,70)，剩下4组数据的经验回归方程会有变化11．设P是抛物线弧C:y2=8x(y>0)上的一动点，点F是C的焦点，A(4,4)，则（）A．F(2,0)B．若|PF|=4，则点P的坐标为(2,4)C．|AP|+|AF|的最小值为2+2√5D．满足△PFA面积为9的点P有2个212．对于集合A中的任意两个元素x,y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”；②d(x,y)=d(y,x)；③∀z∈A，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)．则称d(x,y)为集合A上的距离，记为d A．则下列说法正确的是（）A．d(x,y)=|x−y|为d RB．d(x,y)=|sinx−siny|为d RC．若A=(0,+∞)，则d(x,y)=|lnx−lny|为d AD．若d为d R，则e d−1也为d R（e为自然对数的底数）三、填空题四、解答题17．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c2b2+c2−a2=sinCsinB．(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=√7，且△ABC的面积为3√34，求AD的长．18．在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，△ABC是等边三角形，点M是线段AB的中点，∠ABB1=60°．(1)证明：B1C⊥平面ABC1；(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC，求直线B1C与平面A1MC1所成角的正弦值．19．袋中有2个黑球和1个白球，现随机从中有放回地取球，每次取1个，约定：连续参考答案：1．C【分析】由不等式x2−2x>0，解得x>2或x<0，再运用集合的交集即可.【详解】由不等式x2−2x>0，解得x>2或x<0，则集合{x|x>2或x<0}，又A={0,1,2,3,5}，∴A∩B={3,5}.故选：C.2．A【分析】将一般方程化为标准方程即可求解.【详解】圆C:x2+y2−2x+4y=0，即C:(x−1)2+(y+2)2=5，它的圆心C坐标和半径r分别为C(1,−2),r=√5.故选：A.3．D【分析】先计算平面向量a⃗,b⃗⃗的数量积，再利用(λa⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=0，列式解得即可.【详解】由题意，得a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗|⋅|b⃗⃗|cos120°=1×2×(−1)=−1，2由(λa⃗+b⃗⃗)⊥(a⃗−b⃗⃗)，得(λa⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=0，即λa⃗2+(1−λ)a⃗⋅b⃗⃗−b⃗⃗2=0，.∴λ−(1−λ)−4=0，解得λ=52故选：D4．A【分析】由线面平行的判定、面面平行的性质以及充分不必要条件的定义即可求解.【详解】因为b∥α，则存在c⊂α使得b∥c且b⊄α，若a∥b且a⊄α，则a//c，又a⊄α且c⊂α，所以a∥α，充分性成立；设β//α，b⊂β,a⊂β,a∩b=P，则有a∥α，但a,b不平行，即必要性不成立.故选：A.5．B【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可.【详解】由题意得，(1+x−y)5展开式中含x2y的项为(C52⋅x2)⋅[C31⋅(−y)]⋅(C22×12)=−30x2y，故选：A【点睛】结论点睛：若A、B分别为双曲线的左、直线PB的斜率之积为定值.9．ACD【详解】）m,0)，在△F1PF2中，PM是x0，）知|PF1|=2+12PF2|=√(x0−1)2+y02=且x。
2019届浙江省金丽衢十二校高三第一次联考数学试题(解析版)
2019届浙江省金丽衢十二校高三第一次联考数学试题一、单选题1．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据补集和并集的定义进行求解即可．【详解】，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．2．已知向量，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用夹角公式进行计算．【详解】由条件可知，，，所以，故与的夹角为．故选：．【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．3．等比数列的前项和为，己知，，则（）A．7 B．-9 C．7或-9 D．【答案】C【解析】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,可求得公比，再分情况求首项，进而得到结果.【详解】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,代入数值得到q=-2或2，当公比为2时，解得，S3＝7；当公比为-2时，解得，S3＝-9.故答案为：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得、的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【详解】根据题意，双曲线的标准方程为，其焦点在轴上，且，，则其渐近线方程为；故选：．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位置，是基础题5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．323B ．163C ．83D ．43【答案】C【解析】由题设中三视图提供的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与一个的等腰直角三角形，所以其体积221118223223V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，应选答案C 。
浙江省金丽衢十二校2020届高三数学第一次联考试题(含解析)
浙江省金丽衢十二校2020届高三第一次联考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集和并集的定义进行求解即可．【详解】，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．2.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用夹角公式进行计算．【详解】由条件可知，，，所以，故与的夹角为．故选：．【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．3.等比数列的前项和为，己知，，则（）A. 7B. -9C. 7或-9D.【答案】C【解析】【分析】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,可求得公比，再分情况求首项，进而得到结果.【详解】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,代入数值得到q=-2或2，当公比为2时，解得，S3＝7；当公比为-2时，解得，S3＝-9.故答案为：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得、的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【详解】根据题意，双曲线标准方程为，其焦点在轴上，且，，则其渐近线方程为；故选：．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位置，是基础题5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设中三视图提供的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与一个等高三棱锥的组合体，其中三棱柱与三棱锥的底面都是直角边长为的等腰直角三角形，所以其体积，应选答案C。
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2019学年淅江金丽衢十二第一次联考
1.设集合{}{}|(3)(2)0,,|13,M x x x x R N x x x R =+-<∈=≤≤∈，则M N ⋂=（ ）
A. [)1,2
B. [1,2]
C. (]2,3
D. [2,3]
2.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若实数x ，y 满足约束条件2202
2x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩
，则x y -的最大值等于（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -4
4.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 163
π+ B. 112π+ C. 1123π+ D. 143π+ 5.己知a ，b 是实数，则“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”
（ ） A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则()E ξ=（ ）
A 3.55 B. 3.5 C. 3.45 D. 3.4
7.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 13,4,AB AA P ==是侧面11BCC B 内的动点，且1,AP BD ⊥记.
AP 与平面1BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为
A. 43
B. 53
C. 2
D. 259 8.己知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩
，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（ ）
A. [)3,3e +
B. [)3,3e +
C. ()3,+∞
D. (]3,3e + 9.函数()21ln f x x x
=-+的图像大致为（ ） A. B.
C. D.
10.设等差数列1a ，2a ，…，n a （3n ≥，*N n ∈)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是（ ）
A. 3d ≥
B. n 的值可能为奇数
C. 存在*i N ∈，满足21i a -<<
D. m 的可能取值为11
11.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱数目，买一斤(16两)还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两_____文，他所带钱共可买肉_____两．
12.若()34i 5z +=(i 为虚数单位)，则z =_____，z 的实部_____
13.在291()2x x
-的展开式中，常数项为_____，系数最大的项是_____ ． 14.设平面向量a ，b 满足,,[1,5]a b a b -∈，则a b ⋅的最大值为_____，最小值为_____．
15.已知1F ，2F 是椭圆1C ：2
213
x y +=与双曲线2C 的公共焦点，P 是1C ，2C 的公共点，若1OP OF =，则2C 的渐近线方程为______.
16.如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，4BC =，1CD =，2AB AD =，AC 是BCD ∠的角平分线，则BD =_____．
17.设函数4()()i i i f x x x -=-+(,0,1)x R i ∈=，若方程10()()0a f x f x +=在区间1[,3]2
内有4个不同的实
数解，则实数a 的取值范围为_____．
18.设函数()sin cos f x x x =+，x ∈R
（Ⅰ）求()()f x f x π⋅-的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()33sin cos g x x x =+最大值.
19.在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，*N n ∈.
（Ⅰ）证明：数列{}n a n -是等比数列； 的.
（Ⅱ）记()n n b a n n =-，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20.如图，在四棱锥S ABCD -
中，2AD BC ==3AB =，SA SC =，AD BC ∥，AD ⊥平面SAB ，E 是线段AB 靠近B 的三等分点.
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面SCE ；
（Ⅱ）若直线SB 与平面SCE 所成角的正弦值为
13，求SA 的长. 21.过抛物线()220y px p =>上一点P 作抛物线的切线l 交x 轴于Q ，F 为焦点，以原点O 为圆心的圆与
直线l 相切于点M .
（Ⅰ）当p 变化时，求证：PF QF
为定值. （Ⅱ）当p 变化时，记三角形PFM 的面积为1S ，三角形OFM 的面积为2S ，求
12S S 的最小值. 22.已知函数()x
f x x ae b =-+，其中,a b ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设1a =，k ∈R ，若存在[]0,2b ∈，对任意的实数[]0,1x ∈，恒有()1x x
f x ke xe ≥--成立，求k 的最大值。