中考数学-二次函数动点面积专题(共32张)

专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
解：分以下三种情况进行讨论：①QP＝QC 时， ∴－14m2＋32m＝ 25m， 解得：m1＝6－2 5，m2＝0(舍)，
②CP＝CQ 时，过点 C 作 CH⊥PQ 于 H， ∴HQ＝12PQ，cos∠CQP＝HCQQ＝12（－142m52m＋23m）＝ 15，∴m＝2.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
(2)方法一：设 M 的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，
连接 OM，如图①.
∵ S △ ABM ＝ S
四边形
OAMB
－
S
△
AOB
＝
S
△
OBM
＋
S
△
OAM
－
S
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
解：(1)直线 l：y＝－3x＋3 与 x 轴、y 轴 分别相交于 A、B 两点，当 y＝0 时，x＝1；当 x＝0 时，y＝3.
∴点 A，B 的坐标分别为(1，0)、(0，3)． ∵点 B(0，3)在抛物线 y＝ax2－2ax＋a＋ 4(a＜0)上，∴3＝a＋4，∴a＝－1. ∴该抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3.
于 A、B 两点，抛物线 y＝ax2－2ax＋a＋4(a<0)经过点 B. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，
连接 AM、BM.设点 M 的横坐标为 m，△ABM 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值．
图 Z6－4
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
(2)过点 P 作 PM⊥BC 于 M，求 PM 的最大值．
图 Z6－2
解析：(2)方法一：垂线段可以转化为三角形的高，因此用面积
法；方法二：PM 是一条垂线，随着 P 点的移动，PM 的方向不变， 过点 P 作一条 y 轴的平行线 PQ，PM 与这条线段的夹角与∠CBO 相 等，PM 可用 PQ 与∠MPQ 的余弦值表示．
∴当
m＝3
时，PM
9 的最大值是
10
5 .
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
经验小结：求面积时也用到了铅垂高，这 两种方法在本质上是一样的．所以，对于一些 倾斜的线段，我们要考虑把它转换为铅垂高， 方便计算，转换的方法多用到相似或者三角函 数．继续关注第(3)问．
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
专题六 与抛物线有关的动点面积问题
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
类型 动点面积问题 知识储备
题型
作平行线
连接原点
利用相似比
例图
解题策略
数形结合、分类讨论、转化等数学思想
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
例 如图 Z6－1，抛物线 y＝－14x2＋x＋3 与 x 轴交于 A、
B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC.点 P 为第一象限的抛物线 上的一个动点，设 P 点的横坐标为 m.
(1)请问当 m 为何值时，△PCB 的面积最大，求出最大面 积．
图 Z6－1
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
解：(1)方法一：由抛物线 y＝－14x2＋x＋3，得 A(－2， 0)，B(6，0)，C(0，3)，∴直线 BC 的解析式为 y＝－12x＋3.
过点 P 作 PQ∥y 轴，交 BC 于点 Q， S△PCB＝12PQ(xB－xC)＝12×6(－14m2＋32m) ＝－34(m－3)2＋247， 当 m＝3 时，最大面积为247.
方法三：要使△PCB 的面积最大，可以把 BC 当作底边，由于底边 BC 固定， 当 BC 边对应的高最大时，△PCB 的面积最大． 把 BC 平移到与抛物线仅有一个交点的位置，此时抛物线上动点 P 到 BC 距 离最远，即 BC 边对应的高最大． 设直线 BC 平移后的解析式为 y＝－12x＋b， 因为 BC 平移后的直线与抛物线仅有一个交点， 所以由方程组yy＝ ＝－ －1142xx2＋＋bx，＋3，得到的方程－14x2＋x＋3＝－12x＋b 只有
其实，三角形的面积就等于铅垂高乘以水平宽再除以 2.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
方法二：连接 OP，
S S S S ＝ ＋ － △PCB
△PCO
△PBO
百度文库
△BCO
＝12CO·xP＋12BO·yP－12OB·OC
＝－34(m－3)2＋247.
当 m＝3 时，最大面积为247.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
一个实数根．
由判别式等于 0，可求出 b＝241，此时 P(3，145)，可求得△PCB 面积的最
大值为247.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
经验小结：方法二中转换面积的方法很好，好处在于
△PCO，△PBO，△BCO 都有一边在 x 轴或者 y 轴上，
把它们作为底，那么高就可以用点的横纵坐标表示 了，其实，这三个三角形的面积也是由铅垂高乘以水 平宽除以 2 得到的． 铅垂高不仅在求面积时用处很大，在求一些倾斜线段 的长时也能提供很大的帮助．请看第(2)问．
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
方法一：面积法：
∵S△PCB＝12BC·PM，∴PM＝2SB△CPCB
＝－ 105(m－3)2＋9 10 5.
∴当
m＝3
时，PM
9 的最大值是
10
5 .
方法二：转换到铅锤高：
∵cos∠MPQ＝PPMQ＝2 5 5，
∴PM＝2 5 5PQ＝－ 105(m－3)2＋9 10 5.
(3)过点 P 作 PQ∥y 轴，交 BC 于点 Q，若△CPQ 为等 腰三角形，求 m 的值．
图 Z6－3 (3)[解析] PQ＝－14m2＋32m，CQ 用距离公式表示为 CQ＝ 25m，这个三角形在移动过程中∠CQP 不变，并且
能求出它的所有三角函数，我们在解决这个问题时就要
充分利用这个∠CQP.等腰三角形分三类：Q 为顶点：QP ＝QC；C 为顶点：CP＝CQ；P 为顶点：PC＝PQ.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
③PC＝PQ 时，过点 P 作 PG⊥CQ，∴GQ＝12CQ， cos∠CQP＝GPQQ＝1－2（14m225＋m23）m＝ 15，∴m＝1. 综上所述，当△CPQ 为等腰三角形时，m＝6－2
＝1.
5或 m＝2 或 m
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
|针对训练| 1．如图 Z6－4，直线 l：y＝－3x＋3 与 x 轴、y 轴分别相交