1.1基本计数原理
1.1基本计数原理(刘大川修改)
基本计数原理昌邑三中付世安修改：刘大川课标点击：（一）学习目标:掌握加法原理和乘法原理，能根据具体问题的特征，选择加法原理和乘法原理解决一些简单问题。
（二）教学重点：从实例入手理解加法原理和乘法原理。
难点：在练习中熟练应用加法原理和乘法原理。
教学过程：【课前准备】（一）知识链接：张、王、李、赵四人在寒假中要互寄一张贺年卡，他们一共寄了几张张贺年卡？（二）问题导引：从甲地到乙地，可以坐火车，也可以坐汽车，还可以乘轮船。
已知火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么从甲地到乙地有多少种不同的走法？（三）学习探究自学导引：阅读自学课本掌握下列内容自主阅读课本第3—4页，回答1、探究（1）：请举出用分类形式完成工作的一个实例。
探究（2）：请举出用分布形式完成工作的一个实例。
2、知识梳理：（1）分类加法原理：_____________________________________________________________ 公式N=_____________________（2）分步乘法原理：_____________________________________公式N=_________________________2、思考与讨论：（1）两个计数原理的作用是什么？（2）两个计数原理的区别和联系是什么？（四）典例示范例１：一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中 层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书。
（1） 从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2） 从书架上任取3本书，其中数学书语文书英语各一本，有多少种不同的取法？ 解：（1）N=10（种）（2）N=523⨯⨯=30（种）例２：用0、.1、2、3、4 这五个数可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？解：（1）N=5⨯4⨯3⨯2=120（个）（2）N=4⨯4⨯3⨯2=96(个)（3）N=3⨯3⨯2+3⨯3⨯2=36(个)。
1.1两个基本计数原理
解：因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法， 所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地， 共有 3×2＝6 种不同的走法。
完成一件事，需要分 成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2 种不同的方法，…，做第n步时有mn 种不同的方法。那么完成这件事共有
分步计数原理
N m1 m2 mn
两个基本计数原理
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车 有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法， 在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在 第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成 这件事共有：
例2、在下面两个图中，使电路接通的 不同方法各有多少种？ A
B
A
B （ 2）
（ 1）
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册 时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1 个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数 字中的一个。这样的密码共有多少个？
种不同的方法。
分步计数原理又称为乘法原理。
1、分类计数原理(加法原理)中，“完成 一件事，有n类方式”，即每种方式都可以独 立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式 彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的 哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足 这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。 2、分步计数原理(乘法原理)中，“完成一 件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不 足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几 个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所 有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立， 即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不 同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直 接用 事情是“分类”还是“分步”。 例1、某班共有男生28名、女生20名， 从该班选出学生代表参加校学代会。 （1)若学校分配给该班1名代表，有多少种 不同的选法？
课件1 ：1.1基本计数原理(一)
例3、肥城市的部分电话号码是0538323××××,后面每个数字来自0～9
这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?
分析:
0538323
10 ×10 × 10 × 10 =104
10 × 9 × 8 × 7 =5040
分析:
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?
的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
解：第 1 步, 从3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上, 有 3 种方法;
第 2 步, 从剩下的 2 幅画中选 1 幅画挂在右边墙上, 有 2 种方法.
根据分步乘法计数原理, 不同挂法种数是 = 3 × 2 = 6.
课堂练习
1、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？
事．
同的方法
说明
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只
需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，
然后对每类方法计数.
问题3.用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，
B2，···的方式给教室里的座位编号，总共编出多少个不同的号码？
的不同方法的种数的问题.
完成一件事情共有n类办法，
关键词是“分类”
完成一件事情,共分n个步骤，关键词是
“分步”
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情
每一步得到的只是中间结果，任
何一步都不能能独立完成这件事
情，缺少任何一步也不能完成这
件事情，只有每个步骤完成了，
才能完成这件事情.
1.1基本计数原理
例题1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈 会,有多少种不同的选法？
分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖，需分2类：
第一类，选一名男三好学生，有 5 种方法； 第二类，选一名女三好学生，有 4 种方法； 所以，根据分类计数原理，共有N =5 + 4 = 9种； (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈 会, 需分2步完成, 第一步，选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 根据分步计数原理, 得到不同选法种数共 有 N = 5 × 4 = 20 种。
练习
1题 书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放
有3本不同的数学书，第3层放有2本不同的英语 书；
（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？
４＋３＋２＝９
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不 同的取法? ４×３×２＝２４ (3)从书架上取两本不同学科的书,有多少种不同的取 法 4×3+4×2+3×2=26
Байду номын сангаас
(3）解法一：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成： 第一步 从2，3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从2，3，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位奇数共有 N1=3×3×2=18（个） 第二类办法 四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成： 第一步 从1，2，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从1，2，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法； 由分步乘法计数原理，第二类的四位奇数共有 N2=3×3×2=18（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=N1+N2=18+18=36（个）
1.1基本计数原理
1.1基本计数原理一、教材分析计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想 . 本节课内容是学生在已有的利用列举法进行计数的基础上，进一步研究计数的规律，归纳出两种基本计数原理．从思想方法的角度看 , 一个是将问题进行分类思考 , 一个是将问题进行分步思考 , 从而达到分解问题﹑解决问题的目的．本节课由浅入深、螺旋上升，由特殊到一般，培养学生的抽象概括能力．所以，无论在知识的结构上，还是对学生的能力培养上，本节课都有十分重要的作用．二、教学目标知识与技能1. 准确理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,弄清它们的区别；2. 会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题．过程与方法1. 培养学生的归纳概括能力,提高他们分析问题和解决问题的能力；2. 培养学生比较,类比,归纳等数学思想方法和灵活运用的能力．情感态度价值观1. 认识数学知识与现实生活的内在联系，激发学生的兴趣；2. 引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式．三、教学重点1. 用什么方法引导学生归纳出两个计数原理对分类计数原理和分步计数原理的理解，学生往往有困难，或是停留在一种朴素的阶段．使学生切实理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念是上好本节课的关键，可多设置问题情境 , 用一些具体的﹑生活中的实例来帮助学生理解．2. 如何让学生正确区分〝分类〞和〝分步〞的含义让学生自主去探索，获取结论．通过比较分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理的差异．分类加法计数原理中每类方法都能独立完成某件事；分步乘法计数原理中必须每步都做了，才能完成某件事．四、教学过程1. 问题情境情境：春天来了,要从海口到广州旅游,可以乘火车,也可以乘汽车.我们怎么选择自己的出行呢？把它抽象成一个简单的数学问题.问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.若一天中火车有3列,汽车有2辆.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?2. 学生活动学生根据生活经验,解答问题1.1，并试图寻找规律.设问：从甲地到乙地的交通工具可分为_____类方式？第一类方式，乘火车，有_____种方法；第二类方式，乘汽车，有_____种方法；所以从甲地到乙地有_________种方法.问题2：若除了火车和汽车外,还可以乘飞机.一天中飞机有４架.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?问题3：上述每类方式的每种方法能否单独实现从甲地到乙地的目的?问题4：从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？学生根据生活经验,解答问题2，并试图寻找规律.设问：从甲地到丙地须经_____再由_____到丙地，有_____个步骤？第一步，由甲地到乙地，有_____种方法；第二步，由乙地到丙地，有_____种方法；所以从甲地到丙地有_________种方法.问题5: 若从丙地到丁地的道路有４条．那么先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，最后从丙地到丁地共有多少种不同的走法？问题6: 上述每步的每种方法能否单独实现从甲地到丁地的目的?3. 结论(1)分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =++⋅⋅⋅+ 种不同的方法．(2)分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法．4. 数学运用例1 某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．(1)若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选法?(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,有多少种不同的选法?例2 (1)在图(1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有多少种不同的方法?(2)在图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路,有多少种不同的方法?分析 (1)在图(1)中按要求接通电路,只要在A 中的两个开关或Ｂ中的三个开关中合上一只即可,故有2+3=5种不同的方法.(2)在图(2)中,按要求接通电路,必须分两步进行;第一步,合上A中的一只开关;第二步,合上B中的一只开关.故有2×3 = 6种不同的方法.例3苏州的部分电话号码是051265××××××,后面六个数字均来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?引申若要求最后6个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?例4 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?分析按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种.引申若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？课堂小测试(6题中选2题完成)．（1）为了对某农作物新品选择最佳生产条件,在分别有3种不同土质,2种不同施肥量,4种不同种植密度,3种不同时间的因素下进行种植试验,则不同的实验方案共有_______种?（2）一个商店销售某种型号的电视机，其中国产品牌有4种，合资品牌有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？（3）设有5副不同的油画，2副不同的国画，7副不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中各选一副布置房间，有几种不同的选法？（4）由数字1、2、3、4、5可以组成多少个不同的三位数？（5）我们班级里有4名同学参加学校里的京剧社、国画社、航模小组，每人限报其中的1个社团，不同的报名方法有多少种？（6）如图,从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路,从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少种不同的走法？5. 回顾小结分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终．要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系．五、教学反思1. 本节课的设计意图（ 1 ）通过问题形式，引导学生在解决问题的过程中获取新知；（ 2 ）由浅入深，螺旋上升，由特殊到一般，充分体现新课程的理念；（ 3 ）引导学生自主学习的过程中，渗透了思想方法教育.2. 课堂亮点本节课的高潮在于课堂练习的形式，从中央台“幸运52”中得到启发，让两个同学进行PK的游戏, 给出6道题,两位选手各自为对方选不同的一道题来回答，答对得1分，比比哪个同学的得分高。
课件10：1.1 基本计数原理
名师指导 1.应用分类加法计数原理解题的策略 (1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类 方法. (2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复， 又不能遗漏. (3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事.
2.利用分类加法计数原理解题的一般思路
跟踪训练
1.(1)某学生去书店，发现 2 本好书，决定至少买其中一本，
预习自测 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以 相同.( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成 这件事.( )
(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其 中飞机每天有 3 班，轮船有 4 班.若李先生从甲地去乙地， 则不同的交通方式共有 7 种.( ) (4)某校高一年级共 8 个班，高二年级共 6 个班，从中选 一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有 14 种.( )
【解析】 (1)× 在分类加法计数原理中，分类标准是统一 的，两类不同方案中的方法是不能相同的. (2)√ 在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方 法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这 些事.
(3)√ 由分类加法计数原理，从甲地去乙地共 3＋4＝7(种) 不同的交通方式. (4)√ 根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可 以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有 8＋6 ＝14(种).
名师指导 1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点： (1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可； (2)完成每一步有若干种方法； (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事 的所有方法数.
2.利用分步乘法计数原理应注意： (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的. (2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的， 但也不能重复、交叉. (3)若完成某件事情需 n 步，则必须依次完成这 n 个步骤后， 这件事情才算完成.
计数方法和应用
计数方法和应用计数是一种非常基础和普遍的数学概念，也称为计数学。
在日常生活和工作中，计数方法和技术被广泛应用。
本文将从计数方法和应用两个方面进行阐述。
一、计数方法1.1 基本计数原理基本计数原理是计数领域最基础的公理之一，也称为加法计数原理，是指如果一个事件发生的次数是 m，而另一个事件发生的次数是 n，则这两个事件连续发生的总次数是 m+n。
举个例子，假设一个学校有三个年级，每个年级有30 个学生，那么这个学校的学生总人数就是 3 × 30 = 90 人。
1.2 排列和组合排列和组合是计数中两个基本的概念。
排列是指 n 个元素中任取 r 个元素进行排列，不考虑元素的顺序。
排列数用 P(n,r) 来表示。
组合是指n 个元素中任取r 个元素进行组合，考虑元素的顺序。
组合数用 C(n,r) 来表示。
举个例子，假设有 ABC 三个字母，我们从中任取两个字母进行排列和组合，其结果如下：- 排列：AB, AC, BA, BC, CA, CB，共 6 种。
- 组合：AB, AC, BC，共 3 种。
1.3 树状图树状图是计数中一种常用的图形表示方法，也被称为树状图法。
它通过树的枝干和节及其上的符号来表示问题的分支和可能的结果。
树状图通常用于组合问题和排列问题。
举个例子，假设一个口袋里有三个苹果和两个梨，从中任取两个水果，可能的取法有：苹果-苹果、苹果-梨、梨-苹果、梨-梨、共 4 种可能。
这个问题的树状图可以如下表示：二、计数应用2.1 组合优化组合优化是计算机科学中的一个重要分支，其应用于各种领域，如图形学、数据库、网络等，旨在寻找最优的组合方案。
举个例子，在网络优化中，如何在一个有向图中找到最短或最快的路径是一个经典问题，可以用 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford算法以及其他更高级的算法来解决。
而求解这些问题的基础，则是组合优化的概念和算法。
2.2 计算概率计数方法还可以用于计算概率，这是概率论的基础之一。
1.1基本计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．创设情境，提出问题人造天体的编号规则：①发射年份+四位编码；②四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为英文字母；③前三位数字不能同时为0；④英文字母不得选用I，O（I易与1混淆，O易与0混淆）．按照这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？2．实例探究，归纳原理（1）师生共同探究，得出分类加法计数原理问题1：如果用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给卫星编号，那么总共能够编出多少种不同的号码？问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一天中，火车有26班，汽车有10班．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?探究：以上两个计数问题有什么共同特点呢？分类加法计数原理：例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ，B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数 学化 学 会计学医 学 信息技术学物理学 法 学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ，B ，C 三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学C 大学生物学 数 学 新闻学化 学 会计学 金融学医 学 信息技术学 人力资源学物理学 法 学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？推广：一般地，如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类中有2m 种不同的方法…，在第n 类中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同方法．（2）类比转化探究，得出分步乘法计数原理问题3：如果用前六个大写英文字母中的一个和1～9九个阿拉伯数字中的一个，组成编码形如A 1，B 2的方式给卫星编号，那么总共能编出多少个不同的号码?问题4：从甲地到丙地，要从甲地先乘火车到乙地，再于次日从乙地乘汽车到丙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？分步乘法计数原理：例2某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，共有多少种不同的选法？变式：某班有男生30名，女生24名，任课老师10名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，还要从中选派1名老师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？推广：一般地，如果完成一件事要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有 不同方法．3．演练反馈，巩固提升练1： 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架的第1，2，3层各取一本书，有多少种不同取法？（2）从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？变式：从书架中取2本不同种类的书，有多少种不同的取法？练2 【引例回放】“神十”的国际编号为2013-029A．人造天体的编号规则：①发射年份+四位编码；②四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为英文字母；③前三位数字不能同时为0；④英文字母不得选用I，O（I易与1混淆，O易与0混淆）．这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？4．归纳小结，认知升华这节课我们收获了什么？5．课后检测，拓展铺垫（1）阅读作业：阅读教材第6页至第10页；（2）书面作业：教材第6页练习1，2，教材第12页1，2，3，4（3）（思考题）2018高考改革方案——改革考试科目设置：“考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试中的3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物等6个科目中自主选择．”如果按照这样的报考要求，某位考生可以有多少种不同的选择？。
人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案
XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。
XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。
高中数学第1章计数原理1.1基本计数原理一新人教B版选修2
第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法. 故任选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不 同的方法.
规律方法 应用分类加法计数原理应注意如下问题： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件 事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事. (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而 不需要再用到其他的方法.即各类方法之间是互斥的，并列 的，独立的.
(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？ 解 确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成： 第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法； 第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法. 由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数 为3×2＝6.
规律方法 应用分步乘法计数原理应注意如下问题： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题 目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过 几步才能完成这件事. (2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了， 才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成.即各 步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行 .
结果.
解 树形图如图1，试验一共有以下9种
等可能的结果：
红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、
图1
蓝红、蓝黄和蓝蓝.
(2)从中先摸出一个球，看一个颜色，不将它放回布袋，再摸出一个
球，看一下颜色.请画出树形图，并写出所有可能的结果.
解 如果第一次摸到红球，由于不再把它放回，因
此第二次摸时只有从黄、蓝两个球中摸一个.
同样，如果第一次摸到其他球，第二次摸都
只有两种可能.
所以，树形图如图2，试验一共有以下6种等可能的结
[预习导引] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.1基本计数原理
1.1 基本计数原理
教学目标
知识目标
（1）理解分类加法计数原理与分步 乘法计数原理；
（2） 会利用两个原理分析和解决一 些简单的应用问题.
能力目标
培养学生的归纳概括能力.
情感目标
（1）了解学习本章的意义，激发学生 的兴趣； （2）引导学生形成 “自主学习”与 “合作学习”等良好的学习方式.
教学重难点
3. (2007年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B A.48个 B.36个 C.24个 D.18个
分析：
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随意，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随意，共有3×3×2×1=18种 所以共有36种.
5+4=9（种）
探究
N=m1+m2+m3
如果完成一件事有三种不同方案，在第1 类方案中有m1种方法，在第2类方案中有m2 种方法，在第3类方案中有m3种方法那么完 成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2.分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
例题3
一名同学有7枚明朝不同古币和10枚 清朝不同古币 (1）从中任取一枚，有多少种不同取 法？ (2）从中任取明清古币各一枚，有多 少种不同取法？
分析
由于这名同学有明朝清朝两种不同的古币， （1）中要从中任取一枚，符合分类计数原理， （2）中要从明清中各取一枚，符合分步计数 原理.
课件9：1.1 基本计数原理
讲练互动 探究点1 利用分类加法计数原理计数 例 1 高二(1)班有学生 50 人，其中男生 30 人，女生 20 人； 高二(2)班有学生 60 人，其中男生 30 人，女生 30 人；高 二(3)班有学生 55 人，其中男生 35 人，女生 20 人． (1)从高二(1)班或(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会主 席，有多少种不同的选法？
(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名 学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？
解：(1)从高二(1)班中选一名学生任校学生会主席，有 50 种选法；从高二(2)班中选一名学生任校学生会主 席，有 60 种选法；从高二(3)班中选一名学生任校学 生会主席，有 55 种选法，由分类加法计数原理得， 从高二(1)班或(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会 主席，有 50＋60＋55＝165 种选法．
某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地
的方法有( )
A．2 种
B．3 种
C．5 种
D．6 种
【答案】C
3．某乒乓球队里有男队员 6 人，女队员 5 人，从中选 取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队方
法有( ) A．11 种 C．56 种
B．30 种 D．65 种
【答案】B
4．某学生去书店，发现 2 本好书，决定至少买其中一 本，则购买方式共有________种． 【答案】3
当堂检测
1．已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，
则这 13 个点可以确定不同的平面的个数是( )
A．40
B．13
C．10
D．16
【解析】直线 a 与 b 上的 8 个点可分别确定 8 个不同的 平面；直线 b 与 a 上的 5 个点可分别确定 5 个不同的平 面．故可确定 5＋8＝13 个不同的平面． 【答案】B
原创1 ：1.1基本计数原理（二）
G，U表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现,所以在任
意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由
100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
典例分析
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、
U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
变式2：由数字0,1，2,3，4，可组成多少个无重复数字的三位数？
变式3：由数字0,1，2,3，4可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
变式4：在不大于200的正整数中，各个数位都不含有数字8的自然数
有多少个？
典例分析
例3.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，
后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种
不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有 = 1 × 2 × ⋯ × 种不同的方法.
两计数原理的区别与联系
分类计数原理
区别1
完成一件事，共有n类办法，
关键词“分类”
区别2
（3）每位学生只能参加一项竞赛，每项竞赛只许有1位学生参加，有多
少种不同的报名方案？
解：（1）3 × 3 × 3 × 3 = 34
（2）4 × 4 × 4 = 43
（3）4 × 3 × 2=24
典例分析
例2、由数字1,2，3,4可以组成多少个三位数？
解：4 × 4 × 4 = 64
变式1：若各位数字不允许重复，则有多少个三位数？
的个数有多少个？
课件6：1.1基本计数原理
【规律方法】 1．本题是拨号问题，适合“分步”的特点．因为只在其中 一个拨号盘上拨出 1 个号，这项“任务”没有完成． 2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路： (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步； (2)计数：求出每一步中的方法数； (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
【探究】 本题中，若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可
【自主解答】 把从甲地到乙地的走法分四类计数； 第一类：乘坐火车，有 10 种不同的走法； 第二类：乘坐汽车，有 15 种不同的走法； 第三类：乘坐飞机，有 3 种不同的走法； 第四类：乘坐轮船，有 2 种不同的走法． 根据分类加法计数原理，共有 N＝10＋15＋3＋2＝30 种不同 的走法．
【规律方法】 1．看准是分类还是分步是解答本题的关键． 2．每个题中，标准不同，分类也不同．分类的基本要求是： 每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同 的方法，各类之间的交集为空集，各类的并集为全集，分类应该 做到不重不漏．
的走法有( )
A．10种
B．25种
C．52种
D．24种
【解析】 根据分步乘法计数原理，不同的走法分四步： 共有N＝2×2×2×2＝24种
【答案】 D
3．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{1,2,7,8}，则集合C＝{x|x∈A 或x∈B}，则单元素集C的可能情况有________种．
【解析】 单元素集C可能为{0}，{3}，{4}，{1}，{2}， {7}，{8}共7种．
【自主解答】 选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只 会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选 参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或 在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同 的选法．
1.1 两个基本计数原理-王后雄学案
张喜林制1.1 两个基本计数原理教材知识检索考点知识清单1. 分类加法计数原理完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有]m 种方法，在第二类办法中有2m 种方法……在第n类办法中有n m 种方法，那么，完成这件事共有N = 种方法．2. 分步乘法计数原理完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有]m 种方法，做第二步有2m 种方法……做第n步有n m 种方法．那么，完成这件事共有N= 种方法．3. 加法原理与乘法原理的区别在加法原理中，每一类办法中的每一种方法____，即这n 类办法彼此之间是 ；在乘法原理中，任何一步 ，即各步互依，缺一不可．要点核心解读1.分类加法计数原理(1)“做一件事，完成它可以有n 类办法”，这是对完成这件的所有办法的一个分类．分类时，要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不两类的两种方法是不同的方法．(2)加法原理的特点是：①完成一件事有若干不同方法，这法可以分成n 类；②用每一类中的每一种方法都可以完成事；③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．分步乘法计数原理(1)“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．(2)乘法原理的特点是：①完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干种方法；③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数，3.分类计数原理和分步计数原理的区别两个原理的区别在于“分类”与“分步”，完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n 类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；若完成某件事需分n 个步骤，这n 个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n 个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算.处理具体问题时，若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数；最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数；若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．若从集合的角度去看，两个基本原理的意义及其区别就显得更加清楚，下面就n=2的情况加以说明（n=3，4，…依此类推）．完成一件事有A 、B 两类办法，即U B A B A =∅=,（即不重复、不遗漏）．在A 类办法中有]m 种方法，在B 类办法中有2m 种方法，即,)(,)(21m B card m A card ==那么完成这件事的不同方法的种数是 ⋅+=+=21)()()(m m B card A card B A card这就是当n=2时的分类加法计数原理．完成一件事情要分成A 、B 两个步骤，在实行A 步骤时有1m 种方法，在实行B 步骤时有2m 种方法，即,)(1m A card =,)(2m B card =那么完成这件事的不同方法的种数是card A card B A card ⋅=)().(⋅⋅=21)(m m B这就是当n=2时的分步乘法计数原理．典例分类剖析考点1 分类加法计数原理命题规律单独命题有关分类加法计数原理的试题极少，一般考查两个原理的综合运用．[例1] 2010届一名高中毕业生在填写高考志愿表中的第一批中的第一志愿（学校）和第一专业时了解到A 、B 两所大学各有一些自己感兴趣的专业，具体情况如下：那么，这名同学不同的填法共有多少种？[解析] 由于这名同学在A 、B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，因此符合分类加法计数原理、的条件．[解]这名同学可以选择A 、B 两所大学中的一所．在A 大学中有5种专业选择方法，在B 大学中有4种专业选择方法．因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4 =9（种）。
三段式学案1 ：1.1基本计数原理（二）
基本计数原理（二）【学习目标】1. 掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2. 用两个原理分析和解决一些简单应用问题3. 通过比较这两个原理的异同，培养学生比较、类比、归纳等数学思想和灵活应用的能力. 【自主学习】1.在使用两个计数原理解决计数问题前，最重要的工作是区分分类还是分步。
2.在应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类办法是彼此独立的、并列的；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的。
3.分类要做到不重复不遗漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法计数原理求和，得到总数；分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数。
你能准确地驾驭这两个原理计数吗？【自主检测】1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x· y可表示不同的值的个数是()A．2B．3C．6D．92．已知集合A={1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有()A．2个B．3个C．4个D．5个3．火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，则乘客下车的所有可能情况共有()A．510种B．105种C．50种D．以上都不对4．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．5种C．6种D．12种5．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法()种A．756B．56C．28D．255【典型例题】例1、随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容，交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？变式1：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G 或U～Z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？例2.（1）8张卡片上写着0,1,2,…,7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？变式2：用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个：(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？【目标检测】1.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个2．如图1－1－4所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．图1－1－43. 用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图10－1－5①②)，要求在A、B、C、D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．图10－1－5(1)若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？(2)若为②着色时共有120种不同的方法，求n.4. “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”．【总结提升】1.弄清两个计数原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件,2.这两个原理都是指完成一件事而言的,其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，（2）分步计数原理是“分步”；每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事! 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决生活遇到的计数答案自我检测：1.D2.D3.A4.C5.D例1：【解析】将汽车牌照分为2类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右.字母组合在左时,分6个步骤确定一个牌照的字母和数字:第1步,从26个字母中选1个,放在首位,有26种选法;第2步,从剩下的25个字母中选1个,放在第2位,有25种选法;第3步,从剩下的24个字母中选1个,放在第3位,有24种选法;第4步,从10个数字中选1个,放在第4位,有10种选法;第5步,从剩下的9个数字中选1个,放在第5位,有9种选法;第6步,从剩下的8个数字中选1个,放在第6位,有8种选法.根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11 232 000(个).同理,字母组合在右的牌照也有11 232 000个.所以共能给11 232 000+11 232 000=22 464 000辆汽车上牌照.变式1：第一步，先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有7＋6＝13(种)选法；第二步，中间字符和末位字符各有9种不同的选法．根据分步乘法计数原理，最多可以有13×9×9＝1 053(种)不同的选法，即最多可以给1 053个程序命名．例2.（1）7×7×6=294；（2）【解析】要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步：第一步：首位可放8－1＝7(个)数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168(个)不同的三位数．变式2：【解析】由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位数字有9种选择，十位数字和个位数字都各有10种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．目标检测：1.C 2. 133.【解析】(1)分四步：第1步涂A有6种不同的方法，第2步涂B有5种不同的方法，第3步涂C有4种不同的方法，第4步涂D有4种不同的方法．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种不同的方法．(2)由题意，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，注意到n∈N*，可得n＝5.4.【解析】渐升数由小到大排列，形如12××的渐升数共有：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)．形如134×的渐升数共有5个．形如135×的渐升数共有4个．故此时共有21＋5＋4＝30个渐升数．因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359.。
人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿
人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿各位老师，大家好，我今天说课的课题是《基本计数原理》，我将从教材、学情、教学策略、教学过程、板书设计、教学反思等几个方面对本节课进行说明。
一、教材分析本节课是人教B版的数学教材选修2-3第一章第一节第一课，本节课所讲授的两个基本计数原理，即分类加法原理与分步乘法原理，是本章继续学习排列、组合的基础，学生能否理解并能应用两个基本原理，是学好本章知识的一个关键，本节课建议安排两课时，本节为第一课时，根据其在教材中的地位，结合课标的要求，设置了如下的教学目标：1、知识目标理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用两个基本原理分析、解决一些简单的应用问题。
2、能力目标在概念形成的过程中培养学生的总结与概括能力，在解决实际问题过程中锻炼学生逻辑思维能力。
3、情感目标让学生体验知识从生活中来又应用到生活中去得过程，培养学生用数学的眼光观察世界和用数学的思想思考世界的习惯。
教学重点是两个基本计数原理的内容。
难点是如何正确是用两个基本计数原理来解决实际问题。
二、学情分析高二学段的高中生已经具备较好的计算能力和基本的逻辑思维能力，但是对于实际问题的生活背景了解不多，对问题中创设的实际背景和如何完成一件事的含义的理解将成为学生运用两个基本计数原理解决问题是的瓶颈，所以找到如何完成一项实际任务的方法，是应用过程中难点。
三、教学策略本课由于内容比较简单学生通过预习多都能够看懂，在实际授课时，我将使用更能贴近学生生活的实例，以激发学生的求知欲和学习热情。
采用教师启发、学生小组合作学习方式进行教学，利用多媒体课件展示引例的问题环境，引导学生思维，具体的分析比较进而归纳出两个基本计数原理，遵循从特殊到一般的思维过程，在学生现有的认知基础上，促使其获取知识，让学生始终保持高水平的思维活动水平，增强学习效果。
四、教学过程1、设置情景，引入新课使用多媒体课件展示郑板桥《咏雪》让学生齐读古诗并请学生对古诗进行自由鉴赏。
教学设计3:1.1第1课时 基本计数原理
基本计数原理第一课时三维目标知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：①通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分析能力；②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力；情感态度与价值观：①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣②引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.教学重点理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题.教学难点弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”.教学方法启发式教具准备多媒体教学过程一、引入课题引例：①假设从故宫到长城有两量不同的马自达，三量不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从故宫到长城有多少种乘坐交通工具的方式？②从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法？这就是用我们这节课要研究的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来解决问题.设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。
师生互动：老师提问学生回答。
二、讲授新课：1、分类加法计数原理问题1：十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法?有３＋２＝５种方法探究１：你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。
一件事就是从甲地到乙地的一种乘坐交通工具的方式.发现新知：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.（也称加法原理）设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解加法原理的概念，体现了一般存在于特殊之中的辩证法思想，便于让学生理解概念.师生互动：由老师提问学生回答的方式进行.在本知识点中学生可能对“一件事”的概念的理解不是很好，在学生回答完后，老师应该进行点拨.知识应用例1：在200321，，，， 中能被5整除的数有多少个？解:能被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把200321，，，， 中能够被5整除的数分成两类来计算：第一类：末位数字是0的有20个.第二类：末位数字是5的有20个 根据加法原理，在200321，，，， 中，能够被5整除的数共有20+20=40个变式：若把例题中的5换成2其余条件不变答案是什么可以用：10+10+10+10+10=50（分成5类）也可以直接得到50（分成2类——奇数与偶数）设计意图：通过本例及变式练习让学生进一步理解“分类”的含义.并向学生指出分类的关键是弄清“一件事”是什么.师生互动：由老师引导学生回答例题，由学生独立解答变式，并回答“一件事”是什么. 分类加法计数原理特点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事.设计意图：让学生总结加法原理的特点，加深对概念的理解.师生互动：由学生总结，老师给以补充.2 、分步乘法计数原理问题2：从A 村道B 村的道路有3条，从B 村去C 村的路有2条，从C 村去D 的道路有3条，小明要从A 村经过B 村，再经过C 村，最后到D 村，一共有多少条路线可以选择？从A 村经 B 村去C 村有 2 步,第一步, 由A 村去B 村有 3 种方法,第二步, 由B 村去C 村有 2 种方法,第三步，从C 村到Ｄ村有３种方法所以从A 村经 B 村又经过C 村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 种不同的方法 探究2：你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有３种不同的方法，在第2步中有２种不同的方法，第三步有３种不同的方法. 那么完成这件事共有3 ×2 ×３= １８种不同的方法.一件事就是：从Ａ村到Ｄ村的一种走法发现新知分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.（也称乘法原理）设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解乘法原理的概念。
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《计数原理》预习学案
编制：王礼堂2013.1.28
一、课前新知初探
（1）学习目标
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
（2）自主预习
（1）分类加法计数原理：
计算公式：
（2）分步乘法计数原理：
计算公式：：
（3）思考探究
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的有哪些异同点？
共同点：
不同点：
二、课堂互动探究
（1）课堂提问
（1）从潍坊到北京，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机，假定火车每日3.班，汽车每日4班，飞机每日2班，那么一天中从潍坊到北京
可以有多少种走法？
(2)加工一种零件有3道工序，第一道工序有3种方法，第二道工序有2种
方法，第三道工序有3种方法，那么加工这种零件共有多少种方法？（2）课内探究
探究任务一：分类计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：给座位编号的方法可分____类方法?
第一类方法用，有___ 种方法;
第二类方法用，有___ 种方法;
∴能编出不同的号码有__________ 种方法
试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .
反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？
班级 姓名 学号 小组
探究任务二：分步计数原理
问题2：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以,,,,,2121B B A A ⋅⋅⋅…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部分是 ，有____种编法，
第二部分是 ，有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有 个. 试试：从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同的路线有 条.
反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两步以上的问题吗？
（3）典例剖析
例1现有高一学生代表3名，高二学生代表5名，高三学生代表2名：
（1） 从中任选1人担任校学生会主席，共有多少种不同的选法？
（2） 从每个年级的代表中各选1人，由选出的三个人组成校学生会主席团，
共有多少种不同的选法？
（3） 从高一年级和高二年级的学生代表中各选一人，与高三年级2名学生代
表，共4人组成校学生会主席团，共有多少种不同的选法？
小结： （1）要弄清两个原理的条件和结论。
（2）要弄清是“分类”还是“分步”还是既有“分类又有分步”
变式：有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是 .
例2由数字0，1，2，3，这四个数字，可组成多少个：
（1） 无重复数字的三位数？
（2） 可以有重复数字的三位数？
（3） 无重复数字的3位偶数？
例3、一枚骰子有6个面，各面分别标有1，2，3，4，5，6个点，现抛掷一枚骰子3次，3次的点数构成一个序列，如”1，1，2”问一共可以得到多少个 这样的序列？
三．课堂检测：
1．一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的外语书：
（1） 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2） 从书架上任取3本书，其中数学书、语文书、英语书各1本，有多少
种不同的取法？
2．一个城市的某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前四位数字是统一的，后四位数字都是0到9这十个数字中的一个数字，那么不同的电话号码最多有多少个？
3．从一个小组的6名学生中产生1名组长，1名学生代表，在下列条件下各有多少种不同的选法？
（1）不允许兼职 （2）允许兼职
五．课后练习
1.已知集合}{}{1,2,3,2,3,4,5M N ==：
（1）任取一个奇数n ，,n M N ∈⋃共有多少种不同的取法？
（2）设点(,),,Q x y x M y N ∈∈，问可以表示多少个不同的点？
（3）在（2）中，有多少个(,)Q x y 不在直线y x =上？
2.有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项：
（1）学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？
（2）有4名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种?
3.用0，1，…..，9十个数字，可以组成多少个：
（1）三位数？
（2）无重复数字的三位数？
（3）小于500的无重复数字的三位数？
（4）小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位数？
（5）小于100的无重复数字的自然数？
4、（1）将3封信投到个邮箱，不同的投法有种；
（2）同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中取一张别人的贺卡，要求每人必须取到贺卡，则有种不同的取法。