第4章 位错的弹性性质
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ch位错位错的动力学性质详解实用
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• The two segments shortly before they touch. Since the two line vectors at the point of contact have opposite signs (or, if you only look at the two parts almost touching: the Burgers vectors have different signs for the same line vectors), the segments in contact will annihilate each other.
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• The configuration shown is what you have immediately after contact; it is totally unstable (think of the rubber band model!). It will immediately form a straight segment and a "nice" dislocation loop which will expand under the influence of the resolved shear stress.
• 如图高度为nb的坑对应于n个伯格斯矢量为b的棱柱圈，此过 程的能量关系为作用于压头的力P所作的功＝生产棱柱圈的 能量＋增加的表面能，即
其中D为压头直径，若D很小，则局部正应力可很大，因而 在一般的P值，即可达到萌生位错圈所需要的应力。
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• The two segments shortly before they touch. Since the two line vectors at the point of contact have opposite signs (or, if you only look at the two parts almost touching: the Burgers vectors have different signs for the same line vectors), the segments in contact will annihilate each other.
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• The configuration shown is what you have immediately after contact; it is totally unstable (think of the rubber band model!). It will immediately form a straight segment and a "nice" dislocation loop which will expand under the influence of the resolved shear stress.
• 如图高度为nb的坑对应于n个伯格斯矢量为b的棱柱圈，此过 程的能量关系为作用于压头的力P所作的功＝生产棱柱圈的 能量＋增加的表面能，即
其中D为压头直径，若D很小，则局部正应力可很大，因而 在一般的P值，即可达到萌生位错圈所需要的应力。
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位错弹性性质
b ds 2 T sin d 2
ds rd
sin d 22
T Gb 2 ( 弯曲位错 2Βιβλιοθήκη Gb 2r0 .5)
位错弹性性质
5.位错的应力场及与其他缺陷的交互作用
位错的应力场 刃位错上面的原子处于压应力状态，为压应力场; 刃位
错下面的原子处于张应力状态，为张应力场;垂直于位错 线的任一截面上应力分量均相同。
的现象，柯氏气团的形成对位错有钉扎作用，是固溶强化 的原因之一。
位错与空位的交互作用 导致位错攀。高温下十分重要 位错弹性性质
位错与位错的交互作用
f=τb ，f=σb （刃位错）。
同号相互排斥，异号相互吸引。(达到能量最低状态。)
位错弹性性质
§3.2 .4 位错的生成与增殖
一、位错的生成
晶体中的位错来源主要可有以下几种。 （一）晶体生长过程中产生位错。其主要来源有：
位错弹性性质
弗兰克不全位错
弗兰克不全位错的形成：在完整晶
与抽出型层错联系的不全位错通常称负弗兰克不全位错；
体中局部抽出或插入一层原子所形 成。（只能攀移，不能滑移。）
而与插入型层错相联系的不全位错称为正弗兰克不全位错； 弗兰克位错属纯刃型位错。
位错弹性性质
图 正弗兰克不全位错的形成
位错弹性性质
图 负弗兰克不全位错的形成
位错弹性性质
（2）刃位错的应力场
图 刃位错周围的应力场
位错弹性性质
刃位错的应力场的特点： 同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的大 小与G和b成正比，与r成反比。 各应力分量都是ｘ，ｙ的函数，而与ｚ无关。这表明在平 行与位错的直线上，任一点的应力均相同。 在滑移面上，没有正应力，只有切应力，而且切应力τxy 达 到极大值。 正刃型位错的位错滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉 应力。 x＝±y时，σyy，τxy均为零，说明在直角坐标的两条对角线 处，只有σxx。
位错的弹性性质
(2) 位错的应变能
位错附近的原子离开了正常的平衡位置，使点 阵发生了畸变，导致晶体的能量增加，增加的能量 称为畸变能或应变能。其包括位错中心区域的应变 能和位错应力场引起的弹性应变能。
其中位错中心区域点阵畸变很大，不能用线弹 性理论计算其弹性应变能。据估计，这部分能量大 约占总应变能的10%左右，故通常予以忽略。
0 L r0 4 r
(1) 单位长度螺型位错的弹性应变能Ws为：
Ws
W L
s
Gb2
4
ln
R r0
(2) 刃位错的弹性应变能计算较复杂，其单位长 度刃位错的弹性应变能WE为：
WE
W L
E
Gb2
4 1
ln
R r0
(3) 混合位错的弹性应变能等于螺位错的弹性能和 刃位错的弹性能之和。
r0为位错中心区域的半径，可取 r0 b 2.5108cm R为位错应力场的最大作用半径，在实际晶体中 受亚晶的限制，可取 R 104cm ，则单位长度位 错的应变能为：
3.2.3 位错的弹性性质
晶体中有位错存在时，位错线及其周围的晶格 产生严重畸变，畸变处的晶体原子偏离平衡位置， 能量增高。位错线及其周围区域产生弹性应变和应 力场。
采用弹性力学方法来分析位错线周围的应力分 布，所得结果不适于位错中心区（中心区的原子排 列特别紊乱，既不能看成连续介质，也不是小位移， 超出了弹性变形的范围，因此，虎克定律不再适 用），它只适于位错中心区以外的区域（直到无穷 远处）。
形成刃位错时没有轴向位移，只有径向位移， 因而位移是二维的（平面应变）。但刃位错应力场 比螺位错复杂，此处不加讨论。其最后结果如下：
xx
D
y 3x2 x2
y2 y2 2
晶体缺陷5-位错的弹性性质
1）单位长度位错线的应变能U为：
U＝αGb2
取值中限0.75
＝0.75×4×1010×（2.5×10-10）2
＝18.75×10－10J/m
2）严重变形金属，单位体积（cm3）内位错应变能为： U＝18.75×10－10×1011 ＝187.5J/cm3
换算成单位质量（g）铜晶体内位错的应变能为： U＝（187.5/8.9）J/g
4
ln r0
3、混合位错的弹性能
U刃
1
1
U螺
3 2 U螺
U混
Gb2
4k
ln
R r0
Gb2
其中：k=1-v/(1-vcos2θ)，0.5≤α≤1
结论
UT U el Gb 2
（1）总应变能 UT=U0+Uel
Uel∝lnR/r0
长程,
U0
1 10
UT
可忽略。
（2）UT∝b2，晶体中稳定的位错具有最小的柏氏矢
似：对圆柱体上各点产生两种切应力，即 tz t z
t z t θz
t z t θz
从这个圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开，
便能看出在离开中心r处的切应变为
t z
t z
G
Gb
2r
b 2 r
yL
r0
z
r P tz θ t z b
t z
L
x
过P点取平面展开
t z
b
2 r
P
z
t z t z
t z
课前复习
1.什么是应力，其表达式是什么？
应力是作用在单位面积上的力 σ＝F/A
2.螺位错应力场的应力分量的极坐标表示。
0 0
《材料成型金属学》教学资料：1-4 位错的应力场和应变能
(3)刃型位错的应力场对称于多余半原子面（y-z面），即 对称于y轴。
(4)当y＝0时，σxx＝σyy＝σzz＝0，说明在滑移面上，没有正应力，
只有切应力，而且切应力τxy 达到极大值 。
(5)y>0时，σxx<0；而y<0时，σxx>0。这说明正刃型位错的位错 滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉应力。
位错的能量通常分为位错中心区的能量与中心以外 区域的能量两部分。
中心以外区域的能量为弹性能，占能量的绝大部分 通常以位错的弹性能代表位错的能量。
假设其为一个单位长度位错线，为造成这个位错克服切应力 τθr所做的功为单位长度刃型位错的应变能：
进一步简化得单位长度位错的总应变能：
1.位错的能量包括两部分：Ec和Ee。 2.位错的应变能与G和b2成正比。
3.
,常用金属材料的约为1/3，故螺型位错
的弹性应变能约为刃型位错的2/3。
4.位错的存在均会使体系的内能升高，使晶体处于 高能的不稳定状态，位错是热力学上不稳定的晶 体缺陷。
3.位错的线张力 line tension
位错应变能与位错线长度成正比。为降低能量， 位错线具有尽量缩短其长度的倾向，从而使位错产
2. Tension be1)同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的 大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的增大， 应力的绝对值减小。
(2)各应力分量都是ｘ，ｙ的函数，而与ｚ无关。这表明在 平行于位错的直线上，任一点的应力均相同。
(6)在应力场的任意位置处, 。
(7)x＝±y时，σyy，τxy均为零，说明在直角坐标的两条对角线处， 只有σxx，而且在每条对角线的两侧，τxy(τyx)及σyy的符号相反。
2.位错的应变能
(4)当y＝0时，σxx＝σyy＝σzz＝0，说明在滑移面上，没有正应力，
只有切应力，而且切应力τxy 达到极大值 。
(5)y>0时，σxx<0；而y<0时，σxx>0。这说明正刃型位错的位错 滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉应力。
位错的能量通常分为位错中心区的能量与中心以外 区域的能量两部分。
中心以外区域的能量为弹性能，占能量的绝大部分 通常以位错的弹性能代表位错的能量。
假设其为一个单位长度位错线，为造成这个位错克服切应力 τθr所做的功为单位长度刃型位错的应变能：
进一步简化得单位长度位错的总应变能：
1.位错的能量包括两部分：Ec和Ee。 2.位错的应变能与G和b2成正比。
3.
,常用金属材料的约为1/3，故螺型位错
的弹性应变能约为刃型位错的2/3。
4.位错的存在均会使体系的内能升高，使晶体处于 高能的不稳定状态，位错是热力学上不稳定的晶 体缺陷。
3.位错的线张力 line tension
位错应变能与位错线长度成正比。为降低能量， 位错线具有尽量缩短其长度的倾向，从而使位错产
2. Tension be1)同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的 大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的增大， 应力的绝对值减小。
(2)各应力分量都是ｘ，ｙ的函数，而与ｚ无关。这表明在 平行于位错的直线上，任一点的应力均相同。
(6)在应力场的任意位置处, 。
(7)x＝±y时，σyy，τxy均为零，说明在直角坐标的两条对角线处， 只有σxx，而且在每条对角线的两侧，τxy(τyx)及σyy的符号相反。
2.位错的应变能
位错理论3-位错的弹性性质资料
x2
x
y2
s xx s yy s zz s xy s yx 0
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Stress field of screw dislocation ➢螺位错应力场特点：
只有切应力（ sqz、szq分量），无正
应力分量 应力场对称于螺位错的位错线——轴
对称：切应力分量大小只与距位错线 中心的距离r有关，与q无关。
➢ 因为只有sqz和eqz：
➢ 所以：
W V
1 2
s
qz
e qz
1 Gb
2 2r
b
2r
Gb 2
8 2r 2
➢ 考虑位错微元：半径为r，厚度dr，长度L的管
状体元
dW
1 2
s
eqz qz
dV
1 2
Gb
2r
b
2r
d (2r dr L)
Gb 2L
4r
dr
➢ 设位错中心半径为r0,应力场范围半径为R，所
s ii s ij
Eeii Geij
G
E
2(1
)
6
目录
➢弹性理论基础 ➢位错的应力场 ➢位错的应变能 ➢位错所受的力 ➢位错的线张力 ➢位错间的相互作用力
7
Stress field of dislocation
➢ 位错晶格畸变应力场 ➢ 以位错中心的某点为定点，应力场描述为：
or
4
Basis of elasticity theory
➢应变分量（应变张量strain tensor）：
➢只err,有eq6q个, e独zz, 立erq分, e量rz,：eqez；xx, eyy, ezz, exy, exz, eyz；
位错的弹性性质(考试重要)
2.4位错的弹性性质位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。
它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。
处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。
从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。
我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。
一、位错的连续介质模型早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。
位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。
1.位错的连续介质模型基本思想将位错分为位错心和位错心以外两部分。
在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。
问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。
在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。
用线性弹性理论处理。
即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。
对此，我们仅作一般性的了解。
2.应力与应变的表示方法(1)应力分量如图1所示。
物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描述。
它们是：图1物体中一受力单元的应力分析σxx σxy σxz σyx σyy σyz σzx σzy σzz其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。
如σxy 表示作用在与yoz 坐标面平行的小平面上，而指向y 方向的力，显而易见，它表示的是切应力分量。
同样的分析可以知道:σxx ，σyy ，σzz 3个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部是切应力分量。
平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：σxx ，σyy ，σzz ，σxy ，σxz 和σyz ，而σxy =σyx ，σxz =σzx ，σyz =σzy 。
同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：σrr ，σθθ，σzz ，σrθ，σrz ，σθz 。
位错的弹性性质
一般情况下，任意一点存在36个常数cij值。晶体的对称 性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中， 只有2个独立的cij值，工程上分别用E、G标记:
E为正应变弹性模量，也叫杨氏模量： iiEii
G为切应变弹性模量，也叫切变模量： iiGii
E和G之间存在如下关系：E=G/2(1-ν)，其中ν是表示
优点 缺点
模型简单
中心区不适用，忽略晶体结构的影响
.
11
1）刃位错的应力场
① 应力场模型
1. 在圆柱体中心挖出一 个半径为rO的小洞
2. 沿xoz平面从外部切 通至中心
3. 在切开的两面上加外 力，使其沿x轴作相 对位移b;再把切开的 面胶合起来
4. 撤去外力
这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。
W螺
4
ln r0
.
18
3）混合位错的应变能
单位长度的混合位错能量：
W混
Gb2
4k
lnR r
0
k 1v1cvo2s
R—位错应力场最大作用范围的半径
r0 —位错中心区域的半径 θ—混合位错的柏氏矢量与位错线的夹角
α—由位错的类型、密度(R值)决定，其值0.5~1.0
上述公式可简化为： WGb2
.
19
W1 W2
F l D l D b
F b
.
29
特点
➢ 作用在单位位错线上的力F与外加切应力τ 及柏氏矢量b成正比，由于同一位错线各 点柏氏矢量b相同，所以当外加切应力均 匀作用在晶体上时，位错线各点所受力的 大小是相同的。
➢ 作用于位错线上的力F与外加切应力τ的方
向不一定是一致的(纯刃型位错与τ同向，
讨论
位错的弹性性质
z
而相应的切应力便为
b 2r
z z G z
Gb 2r
G称为剪切模量，其余应力分量均为0。
rr zz r r rz zr 0
若用直角坐标表示
螺型位错的应力场具有以下特点：
（1）只有切应力分量，正应力分量全为零，这表明螺位错 不引起晶体的膨胀和收缩。
第二个下标代表应力方向。
例如
xy
表示作用在x面上沿y轴方向的应力（所谓x 面就是外法线沿x轴方向的平面。
x x , y y 和 z z 三个正应力通常简写为 x , y 和 z
从以上讨论可知，要确定一点的应力状态，需要给出通 过该点的3个正交平面上的9个应力分量。
x , x y , x z , பைடு நூலகம் y , y x , y z , z , z x , z y
体表面的外法线方向相反，则此力为压力，它所产生的应力就 是压应力。拉应力和压应力都和作用面垂直，统称为正应力。 如果作用力平行于作用面，则此力称为剪力（切力），单 位面积上的剪力就称为剪应力，它力图改变物体的形状，而不
改变体积。
在一般情形下，作用力和作用面即不垂直，也不平行，此 时它所引起的应力就可以分为正应力和剪应力 。
物体中任意一点的应力状态均可用九个应力分量描述，图分
别用直角坐标和圆柱坐标说明这九个应力分量的表达方式。
(a)直角坐标； (b)圆柱坐标的正应力及切应力表示办法 物体中一点(图中放大为六面体)的应力分量
下面我们讨论应力的标注方 法及其意义。
表示正应力， 表示剪应力。
不同面和方向的应力下标区别， 第一个下标代表应力的作用面，
的大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的
材料微观结构第四章晶体中的位错与层错1详解
2 螺位错
形成及定义：
晶体在外加切应力作用下，沿ABCD面滑移， 图中EF线为已滑移区与未滑移区的分界处。由于位 错线周围的一组原子面形成了一个连续的螺旋形坡面， 故称为螺位错。 几何特征：位错线与原子滑移方向相平行；位错线周 围原子的配置是螺旋状的。 分类：有左、右旋之分，分别以符号“”和“” 表示。其中小圆点代表与该点垂直的位错，旋转箭头 表示螺旋的旋转方向。它们之间符合左手、右手螺旋 定则。
第四章 晶体中的 位错与层错
4.1引言
完整晶体的理论切变强度＝G/2π（切变模量 G=104~105N/mm2）»实际临界切应力 1934年，Taylor提出“位错”(line defects ，
dislocation )概念－原子可能偏离其正常平衡位
置。
在此后20多年的时间里，人们一直持怀疑态度 1956年，博尔曼、赫尔什、门特实验观察到缺陷， 证实Taylor的说法。
晶体中的混合型位错
补充
无论任何位错都具有连续性。 存在状态：形成闭合位错环、终止于晶界 或其他界面、在晶体表面露头，而不会终
止于晶体内部。
4.2.2 柏氏矢量的基本性质
为了便于描述晶体中的位错，以及更为确切地表征不同类 型位错的特征，1939年柏格斯（J. M. Burgers）提出了
采用柏氏回路来定义位错，借助一个规定的矢量即柏氏矢
刃型位错结构的特点：
1).刃型位错有一个额外的半原子面。一般把多出的半原子面在滑 移面上边的称为正刃型位错，记为“┻”；而把多出在下边的称为负 刃型位错，记为“┳”。其实这种正、负之分只具相对意义而无本质 的区别。 2).刃型位错线可理解为晶体中已滑移区与未滑移区的边界线。它 不一定是直线，也可以是折线或曲线，但它必与滑移方向相垂直， 也垂直于滑移矢量. 如纯刃型位错环。 3).滑移面必定是同时包含有位错线和滑移矢量的平面，在其他面 上不能滑移。由于在刃型位错中，位错线与滑移矢量互相垂直，因 此，由它们所构成的平面只有一个。 4).晶体中存在刃型位错之后，位错周围的点阵发生弹性畸变，既 有切应变，又有正应变。就正刃型位置而言，滑移面上方点阵受到 压应力，下方点阵受到拉应力：负刃型位错与此相反。 5).在位错线周围的过渡区（畸变区）每个原子具有较大的平均能 量。但该处只有几个原子间距宽，畸变区是狭长的管道，所以刃型 位错是线缺陷。
东北大学材料科学基础_第三章__晶体的缺陷(五)位错的弹性性质
复习 应力
一、应力：
受力物体截面上内力的集度，即单位面积上的内力。
P1 P2 2 mΔ A
K
ΔF
P P3 3
P P4 4
K
Fk
s
m
F Fk A0 A lim
控制 Fk 复杂，按理论力学上分成两个分量
Fk
剪应力 MPa＝N/mm2 ＝ 10 6 Pa kg/cm2 ＝ 0.1 MPa
（a） 直角坐标系（xyz）
3个正应力分量(σxx， σyy σzz) 和 6个切应力分量 (τxy=τyx, τyz=τzy , τxz=τzx ) ； 下标中第1个字母表示应力 作用面的外法线方向 ，第 2字母表示应力的指向。
（b） 圆柱坐标系(
r z )
3 个正应力分量 (σθθ、
σzz、σrr) 和六个切应力分量
c. 单位长度混合位错的应变能：3.15式（P99）
简化上述各式得3.16式
结论：(P100)
(1) －(5)
（1） 刃型位错We 假设 x→x+dx ，那么 b'→ b'+db'.
Gb x( x 2 y 2 ) xy 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
zx zy 0
xy
Gb x( x 2 y 2 ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 )2
zx zy 0
y2 ) )2
zx zy 0
刃位错应力场特点： ① 正应力分量和切应力分量同时存在。 ② 各应力分量都是x、 y的函数，而与z无关。 ③ 应力场以多余半原子面对称。 ④ y=0时, σ=0只有切应力而无正应力,切应力最大值Gb/[2(1υ)x] ⑤ y>0 时, σxx<0；y<0时, σxx>0 。说时正刃位错滑移面上部 受压,下部分受拉。 ⑥ 应力场中任意一点位置, |σxx| > |σyy| ⑦ x = ±y时及y轴上 σyy = τxy = 0，说明在直角坐标系中的对 角线处只有σxx ,而且在每条对角线的两侧, τxy及σyy 的符号相 反。 ⑧ 上述公式不能适用于刃位错的中心区。
位错理论3-位错的弹性性质
47同号位错稳定状态亚稳定状态48interactionedgedislocationxx使位错ii攀移的作用力分量xx为正应力分量对攀移起作用当y0在滑移面上fxx当y0在滑移面上fxx49interactionedgedislocation同号位错50imageforce当位错处于晶体表面附近时便有自动移向表面以降低应变能的趋势表面对位错具有吸引力假想力镜像力映象力晶体中位错移至表面消失两异号位错相互吸引相遇而抵消
31
Line tension of dislocation
位错的线张力：
因为位错的总应变能与位错线的长度成 正比； 所以为了降低系统的能量，必须有位错 线由曲变直，由长变短的自发倾向。
该倾向视为：一个张力沿位错线作用 位错线张力T定义：使位错线增长一 定长度dl所做的功W，即：
3 s E Ee 2
e e
所以，刃位错的弹性应变能比螺位错大50%
24
Strain energy of mixed dislocation
混合位错：
因为： b b b b cosq b sin q m e s
所以
2 2 2 2 Gb sin q R Gb cos q R m s e Ee Ee Ee ln ln 4 (1 ) r0 4 r0
20
Strain energy of screw dislocation 单位长度的螺位错的应变能Eess：
Gb R E ln 4 r0
S e
2
21
Strain energy of edge dislocation 刃位错Eee：
位错在滑移面上 （x方向）只有切 应力分量sqr 且q＝0
对于位错，除了位错中心严重畸变区外， 均适用于上述模型。
31
Line tension of dislocation
位错的线张力：
因为位错的总应变能与位错线的长度成 正比； 所以为了降低系统的能量，必须有位错 线由曲变直，由长变短的自发倾向。
该倾向视为：一个张力沿位错线作用 位错线张力T定义：使位错线增长一 定长度dl所做的功W，即：
3 s E Ee 2
e e
所以，刃位错的弹性应变能比螺位错大50%
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Strain energy of mixed dislocation
混合位错：
因为： b b b b cosq b sin q m e s
所以
2 2 2 2 Gb sin q R Gb cos q R m s e Ee Ee Ee ln ln 4 (1 ) r0 4 r0
20
Strain energy of screw dislocation 单位长度的螺位错的应变能Eess：
Gb R E ln 4 r0
S e
2
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Strain energy of edge dislocation 刃位错Eee：
位错在滑移面上 （x方向）只有切 应力分量sqr 且q＝0
对于位错，除了位错中心严重畸变区外， 均适用于上述模型。
位错基础
量等于从体心立方晶体的原点到体心的矢量来 表示，则b=a/2+b/2+c/2，可写成b=a/2[111]。
一般立方晶系中柏氏矢量可表示为 b=a/n<uvw>，其中n为正整数。
通常柏氏矢量的大小（即位错强度）还用下式
来表示。
| b |
a
u2 v2 w2
n
3. 柏氏矢量的守恒性(Conservation)
位错理论的发展历史较短，还存在一些不 完善之处。弗兰克和斯蒂兹(J.W.Steeds)在1975 年的一篇“晶体位错”的评论中指出：位错有 些理论是确切的，因为它们是纯几何的或纯形 貌的。有些部分显然是近似的，然而是可靠的。 但现在有意义的问题是不能确信那些已做的近 似的可靠性，因此必须依靠全部的理论方法以 及观察和推测来谋求进一步发展。除了这些 “近似”之外，在位错领域中迄今还没有完全 解决的主要问题是如何填补单个位错的性质和 位错集团的行为之间的鸿沟。因此，位错理论 尚有待今后进一步发展和完善。
混合型位错线是一条曲线，在A处位错线与滑移矢量 平行，因此是螺型位错；而在C处位错线与滑移矢量垂直， 因此是刃型位错。A与C之间，位错线既不垂直也不平行 于滑移矢量，每一小段位错线都可分解为刃型和螺型两个 部分，因此是混合型位错。
由于位错线是已滑移区与未滑移区的边界 线，因此一根位错线不能终止于晶体内部，而 只能露头于晶体表面或晶界。
1939年柏格斯（J.M.Burgers）提出了螺型位错的概
念和柏氏矢量，使位错的概念普遍化，并发展了位错应 力场的一般理论，接着位错理论得到多方面的发展。 1940年派尔斯（Peierls）提出半点阵模型，到1947年在 纳波罗（Nabarro）的帮助下，计算出使位错滑移所需 的临界切应力（P-N力）。 1949年柯垂尔(A.H.Cottrell) 提出位错与溶质原子的作用问题，用碳原子钉扎位错来 解释钢中屈服点的现象获得成功（Cottrell气团），弗兰 克尔的螺型位错促进晶体生长的理论预告获得了令人信 服的证实。而后许多人几乎同时独立地在显微镜下观察 到了位错的存在及其形状。
一般立方晶系中柏氏矢量可表示为 b=a/n<uvw>，其中n为正整数。
通常柏氏矢量的大小（即位错强度）还用下式
来表示。
| b |
a
u2 v2 w2
n
3. 柏氏矢量的守恒性(Conservation)
位错理论的发展历史较短，还存在一些不 完善之处。弗兰克和斯蒂兹(J.W.Steeds)在1975 年的一篇“晶体位错”的评论中指出：位错有 些理论是确切的，因为它们是纯几何的或纯形 貌的。有些部分显然是近似的，然而是可靠的。 但现在有意义的问题是不能确信那些已做的近 似的可靠性，因此必须依靠全部的理论方法以 及观察和推测来谋求进一步发展。除了这些 “近似”之外，在位错领域中迄今还没有完全 解决的主要问题是如何填补单个位错的性质和 位错集团的行为之间的鸿沟。因此，位错理论 尚有待今后进一步发展和完善。
混合型位错线是一条曲线，在A处位错线与滑移矢量 平行，因此是螺型位错；而在C处位错线与滑移矢量垂直， 因此是刃型位错。A与C之间，位错线既不垂直也不平行 于滑移矢量，每一小段位错线都可分解为刃型和螺型两个 部分，因此是混合型位错。
由于位错线是已滑移区与未滑移区的边界 线，因此一根位错线不能终止于晶体内部，而 只能露头于晶体表面或晶界。
1939年柏格斯（J.M.Burgers）提出了螺型位错的概
念和柏氏矢量，使位错的概念普遍化，并发展了位错应 力场的一般理论，接着位错理论得到多方面的发展。 1940年派尔斯（Peierls）提出半点阵模型，到1947年在 纳波罗（Nabarro）的帮助下，计算出使位错滑移所需 的临界切应力（P-N力）。 1949年柯垂尔(A.H.Cottrell) 提出位错与溶质原子的作用问题，用碳原子钉扎位错来 解释钢中屈服点的现象获得成功（Cottrell气团），弗兰 克尔的螺型位错促进晶体生长的理论预告获得了令人信 服的证实。而后许多人几乎同时独立地在显微镜下观察 到了位错的存在及其形状。
位错理论总结
(a)
(b) 刃型位错的滑移
(c)
τ
滑移面
τ
滑移台阶
位错滑移的比喻
螺型位错： 沿滑移面运动时，在切应力作用下，螺型位错使晶 体右半部沿滑移面上下相对低移动了一个沿原子间距。 这种位移随着螺型位错向左移动而逐渐扩展到晶体左半 部分的原子列。 螺型位错的移动方向与b垂直。此外因螺型位错b 与 t平行，故通过位错线并包含b的随所有晶面都可能成为 它的滑移面。当螺型位错在原滑移面运动受阻时，可转 移到与之相交的另一个滑移面上去，这样的过程叫交叉 滑移，简称交滑移。
5.位错密度
位错密度是指单位体积内位错线的总长度。 其表达式为 LV L / V
式中：LV是体位错密度； L是位错线的总长度； V是晶体的体积。
经常用穿过单位面积的位错数目来表示位错密度。
A n / A
式中：是穿过截面的位错数；是截面面积。 位错密度的单位是cm-2。
5.3.2 位错的运动
O
N
O
N
Q
Q
M
P
PMΒιβλιοθήκη 刃型位错柏氏矢量的确定 (a) 有位错的晶体 (b) 完整晶体
柏氏矢量
柏氏矢量
螺型位错柏氏矢量的确定 (a) 有位错的晶体 (b) 完整晶体
（2）柏氏矢量的物理意义及特征
柏氏矢量是描述位错实质的重要物理量。反映出柏 氏回路包含的位错所引起点阵畸变的总累计。通常将柏 氏矢量称为位错强度，它也表示出晶体滑移时原子移动 的大小和方向。 柏氏矢量具有守恒性。 推论：一根不可分叉的任何形状的位错只有一个柏 氏矢量。 利用柏氏矢量b与位错线t的关系，可判定位错类型。 若 b∥t 则为螺型位错。 若 b⊥t 为刃型位错。
5.3.4 位错的来源和位错的增殖 1. 位错的来源 （1）过饱和的空位凝聚，崩塌产生位错环。 （2）晶体结晶过程中形成。 （3）当晶体受到力的作用，局部地区会产生应力集中形 成位错。
材料微观结构第四章晶体中的位错与层错4
第四章 晶体中的位错与层错
3. 细晶强化 细化晶粒可以提高金属的强度，其原因在于晶界对位 错滑移的阻滞效应．当位错在多晶体中运动时，由于晶界 两侧晶粒的取向不同，加之这里杂质原子较多，增大了晶 界附近的滑移阻力，因而一侧晶粒中的滑移带不能直接进 入第二个晶粒．此外要满足晶界上形变的协调性，需要多 个滑移系统同时动作，这同样导致位错不易穿过晶界，而 是塞积在晶界处，引起强度的增高． 晶粒越细小，晶界越多，位错被阻滞的地方就越多，
解理断裂的两种机制
Stroh的位错塞积导致应力集中的理论
3 n b
3E 1v c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
如图所示，Ｌ为滑移面上位错 塞积群所占的长度；c为障碍处 与滑移面成θ角的裂纹长度．
可以估计有效滑移面上Ｌ长度 内塞积位错的数目n．对金属 ，以抗张强度32kg/mm2， 切应力约为１６kg/mm2，柏 氏矢量长度b=2*10-8cm， γ=10-7J/cm2代入，则在有 效滑移面上的位错数目为 n≈100．
晶）相结合来探讨金属断裂的位错理论．
第四章 晶体中的位错与层错
材料的强化和韧化
• 对于结构材料，最重要的性能指标是强度和韧性。 • 强度是指材料抵抗变形和断裂的能力， • 韧性是材料变形和断裂过程中吸收能量的能力。 • 提高材料的强度和韧性可以节约材料，降低成本，增加材料 在使用过程中的可靠性和延长服役寿命。人们在利用材料的 力学性质时，总是希望所使用的材料既有足够的强度，又有 较好的韧性，但通常的材料往往二者不可兼得。 • 理解材料强韧化机理，掌握材料强韧化现象的物理本质，是
第四章 晶体中的位错与层错
控制晶粒大小有两种常见方法
位错的弹性性质
9
公式应用： 当r 趋近于0时，应力发散，因而上述结果不适合位错 中心区域，即严重畸变区，线弹性理论不适用，这也 是弹性模型采用空心（半径为r0）圆柱的原因，空心 区域为核心区域。 当r和b接近时，应力达到理论切变强度，并且应变超 过10%，因而r0取值范围在b到4b之间，即绝大多数 r0≤1nm。
3
三.基础弹性力学知 识
物体中任意点的应力状态均 可用9个应力分量描述： 直角坐标系 正应力分量：
xx
、 yy 、 zz
yx xz
、 、 、 、 、
xy zx zy
切应力分量：
yz
下角标含义： 第一个符号表示应力作用面 法线方向，第二个符号表示 应力方向
4
圆柱坐标系
b 2r
Z Z G Z
Gb 2r
r rz zr 0
8
若用直角坐标表示：
yz
zy
zx
xz
Gb x 2 2 2 x ＋y Gb y 2 2 2 x ＋y
yy
xxBiblioteka zz
xy
yx
0
因此，螺型位错的应力场具有以下特点： （1）只有切应力方向，正应力分量全为零，这表明螺 型位错不会引起晶体的膨胀和收缩。 （ 2 ）螺型位错所产生的切应力分量只与 r 有关（成反 比），而与θ，z无关。只要r一定， τzθ 就是常数。螺 型位错应力场是径向对称的，即同一半径上的切应力 相等，随着与位错距离的增大，应力值减小。
2016/1/7 14
15
2
二.分析方法：
1.位错中心附近：畸变严重，须直接考虑晶体结构 和原子之间的相互作用； 2.远离位错中心区：畸变较小，可简化为连续弹性 介质，用线弹性理论进行处理，位错的畸变就以弹 性应力场和应变能形式表达。 理论基础：弹性连续介质模型 假设：1.晶体是完全弹性体，完全服从虎克定律， 即不 存在塑性变形； 2. 各向同性； 3. 连续介质，不存在结构间隙。
公式应用： 当r 趋近于0时，应力发散，因而上述结果不适合位错 中心区域，即严重畸变区，线弹性理论不适用，这也 是弹性模型采用空心（半径为r0）圆柱的原因，空心 区域为核心区域。 当r和b接近时，应力达到理论切变强度，并且应变超 过10%，因而r0取值范围在b到4b之间，即绝大多数 r0≤1nm。
3
三.基础弹性力学知 识
物体中任意点的应力状态均 可用9个应力分量描述： 直角坐标系 正应力分量：
xx
、 yy 、 zz
yx xz
、 、 、 、 、
xy zx zy
切应力分量：
yz
下角标含义： 第一个符号表示应力作用面 法线方向，第二个符号表示 应力方向
4
圆柱坐标系
b 2r
Z Z G Z
Gb 2r
r rz zr 0
8
若用直角坐标表示：
yz
zy
zx
xz
Gb x 2 2 2 x ＋y Gb y 2 2 2 x ＋y
yy
xxBiblioteka zz
xy
yx
0
因此，螺型位错的应力场具有以下特点： （1）只有切应力方向，正应力分量全为零，这表明螺 型位错不会引起晶体的膨胀和收缩。 （ 2 ）螺型位错所产生的切应力分量只与 r 有关（成反 比），而与θ，z无关。只要r一定， τzθ 就是常数。螺 型位错应力场是径向对称的，即同一半径上的切应力 相等，随着与位错距离的增大，应力值减小。
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2
二.分析方法：
1.位错中心附近：畸变严重，须直接考虑晶体结构 和原子之间的相互作用； 2.远离位错中心区：畸变较小，可简化为连续弹性 介质，用线弹性理论进行处理，位错的畸变就以弹 性应力场和应变能形式表达。 理论基础：弹性连续介质模型 假设：1.晶体是完全弹性体，完全服从虎克定律， 即不 存在塑性变形； 2. 各向同性； 3. 连续介质，不存在结构间隙。
《材料科学基础》课件3.2.4位错的弹性性质
fy
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )32
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )2
2
1
4
3
2
1
4
平行刃位错和螺位错间的交互作用 因为平行的刃位错和螺位错的应力场没有重叠的分量，所
以，它们间的交互作用为零。
ES
Gb 2
4
ln
R r0
(2) 刃型位错应变能
单位长度刃型位错应变能
Ee
Gb2
4 (1
v)
ln
R r0
（3）混合位错的应变能
设混合位错的柏氏矢量b与位错线交角为θ，则：
be b sin, bs b cos
EM Ee ES
Gb2 sin2 lnR Gb2 cos2 lnR
4(1r) r0
a) 位错的应力场 位错线附近的原子偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产 生应力场。 （1）位错中心部，原子排列特别紊乱，超出弹性变形范围 （2）中心区外，应力场用各向同性连续介质弹性理论来处理。 （3）分析位错应力场时，常设想把中心区挖去，而在中心区以 外的区域采用弹性连续介质模型导出应力场公式。 假设：1.完全服从虎克定律，即不存在塑性变形；
定量计算2个位错间交互作用力的简单方法：把其中一个位错 （A）的应力场看作是另一位错（B）的“外加应力场”，这应力 场对B位错的作用力就是A位错对B位错的作用力。
两个平行螺位错间的交互作用
➢ S1和S2是2个平行z轴的螺位错，它们的柏氏矢量分别为b1和b2， S1位错在z轴， S2位错处在(r,θ)处。
如果作用力平行于作用面，则此力为剪力（切力），单位 面积上的切力被称为切应力。它力图改变物体的形状，而不 改变体积。
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正应变
棱边长度的改变量与原棱长之比 。以线段伸 长为正，线段缩短为负。
切应变
原来成直角的两棱之间角度的改变量。以角 度减小为正，以角度增大为负。
8
4）泊松比
六个应力分量与六个应变分量之间，均遵循胡克定 律:σij=cijε。式中cij为弹性模量，是量度材料抵抗 弹性变形能力的物理量。
一般情况下，任意一点存在36个常数cij值。晶体的对称 性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中， 只有2个独立的பைடு நூலகம்ij值，工程上分别用E、G标记:
位错中心部分畸变程度最为严重，超出了弹性应变范 围，不讨论。仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助 弹性连续介质模型。假设：晶体是各向同性的均匀连 续弹性介质，位错处在无限大的连续介质中。
优点
模型简单
缺 点 中心区不适用，忽略晶体结构的影响
11
1）刃位错的应力场
① 应力场模型
1. 在圆柱体中心挖出一 个半径为rO的小洞
用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截
取一个平行六面体单元,如图所示
xy
该分量的指向
x
z zx
zz zy yz
所在面的法向
xz xy yx xx
yy y
yy
两脚标相同——正应力
yz
z
yx
zy
xy
zx
xz
xx
y
两脚标不同——切应力
x zz
5
应力的正负号
Z zz
yy z
2. 沿xoz平面从外部切 通至中心
3. 在切开的两面上加外 力，使其沿x轴作相 对位移b;再把切开的 面胶合起来
4. 撤去外力
这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。 12
② 应力场的特点
正应力： xx
D
y(3x 2 y 2 ) (x2 y2 )2
yy
D
y(x2 y2 ) (x2 y2 )2
zy
zx
xy
yx
yz
xz
O
xy
xx
zy
zx
xx
xz yz yx
dz yy
Y
dx
OX
dy zz
y
x
正面正方向为正，负面负方向为正
正面负方向为负，负面正方向为负
6
圆柱坐标：用z轴、 ρ方向及θ角来描述 为表示任一点应力 状态也是取一个体 积元，其上的应力 分量也有9个，3个 正应力 ,6个切应力
7
3）应变
σθr
② 在XZ剖面上θ=0，cosθ=1
D B
③当剖面从r到(r+dr)处， 产生位移db(r)所做功：
④当剖面从r0处扩展到
R
R处，db从0变到b所功:
单位长度的刃错线总能量（应变能）：
W刃
Gb2
4 (1)
ln
R r0
17
2）螺型位错的应变能
在XZ剖面的应力为:
单位长度的螺错线能量：
σθz
W螺
Gb2
4
ln
R r0
半原子面上或与滑移面成45°的晶面上，无切应力。 13
2）螺型位错的应力场
① 应力场模型与函数
沿xz平面剖开使之沿z轴产生相对位移b，然后再粘合。当然 也要挖去位错线附近的严重畸变区域。
xz
zx
b 2
x2
y
y2
yz
zy
b 2
x2
x
y2
xx yy zz xy yx 0
14
② 应力场的特点
E为正应变弹性模量，也叫杨氏模量： ii Eii
G为切应变弹性模量，也叫切变模量： ii Gii
E和G之间存在如下关系：E=G/2(1-ν)，其中ν是表示
纵横变形茉系的参量，称为泊松比
9
5）应变与位移的关系
z
uz
uz z
dz
F
ux dz z
F’
E
dz A’
uz
A
C
z
dx
x ux
E’
xx
ux x
只有切应力分量（σθz、σz
），而无正应力。
θ
螺型位错的应力场，是对称于位错线的。所产生
的切应力大小只与r的大小有关，即只与离位错
线的距离成反比，而与θ无关。
柱坐标表达 式
z
z
z
b 2r
r r zr rz 0
rr zz 0
15
4.3 位错的应变能
位错在周围晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，这 部分能量称为位错的应变能。
zz ( xx yy )
切应力： xy
yx
D
x(x2 y2 ) (x2 y2 )2
xz zx yz zy 0
其中：D b
2 (1 )
同时存在着正应力与切应力; 刃型位错的应力场，对称于多余半原子面; 滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。
正刃型位错的滑移面上侧，在x方向的正应力为压应力; 滑移面下侧，在x方向上的正应力为拉应力
p lim F
A0 A
m-m截面上P 点的全应力 3
1 单元体的概念
变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元
在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体
z
单元体是变形体
的最基本模型
y
z
x 单元体的三对表面：
y
正面：外法向与坐标轴同向
负面：外法向与坐标轴反向 x
4
2 应力分量
为了表达弹性体内部任意一点M 的应力状态，利
1
4.1 弹性力学基础知识
1）弹性连续介质
所谓弹性连续介质，是对晶体作了简化假设之后提 出的模型：
(1) 晶体是完全弹性体，因此服从胡克定律； (2) 晶体是各向同性的，因此其弹性常数（弹性模 量、泊松比等）不随方向而变化； (3) 晶体内部由连续介质组成，因此晶体中的应力、 应变、位移可用连续函数表示。
2
物体在受力状态下，其内部不同部分之间互相产生作用
2）应力
力，这种作用力称为内力。作用在某点处的内力，在该
点的微面积上的集度p，叫该点处的应力。
F
FS FN A
在 m-m截面上P点处定义：
lim FN
A0 A
m-m截面上P 点的正应力
p
A
lim FS
A0 A
m-m截面上P点的 切应力（剪应力）
与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部 分：一是位错中心畸变能；二是位错中心以外的 能量即弹性应变能 。
根据点阵模型对位错中心能量的估算得：弹性应 变能占总能量的90%，所以位错中心畸变能可忽 略不计，即通常用弹性畸变能表示位错的应变能。
16
1）刃型位错的应变能
C
R
A
① 形成图示的位错的功，可以 理解为XZ剖面ABCD两边晶体在 切应力σθr作用下产生相对 位移u=b所做的功。 刃型位错在XZ剖面的应力:
；
xy
ux y
uy x
C’
uz dx x
yy
u y y
；
yz
u y z
uz y
x
zz
uz z
；
zx
uz x
ux z
ux
ux x
dx
该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的 关系，称为几何方程，也称为柯西（Augustin-Louis Cauchy）几何关系。
10
4.2 位错的应力场
棱边长度的改变量与原棱长之比 。以线段伸 长为正，线段缩短为负。
切应变
原来成直角的两棱之间角度的改变量。以角 度减小为正，以角度增大为负。
8
4）泊松比
六个应力分量与六个应变分量之间，均遵循胡克定 律:σij=cijε。式中cij为弹性模量，是量度材料抵抗 弹性变形能力的物理量。
一般情况下，任意一点存在36个常数cij值。晶体的对称 性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中， 只有2个独立的பைடு நூலகம்ij值，工程上分别用E、G标记:
位错中心部分畸变程度最为严重，超出了弹性应变范 围，不讨论。仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助 弹性连续介质模型。假设：晶体是各向同性的均匀连 续弹性介质，位错处在无限大的连续介质中。
优点
模型简单
缺 点 中心区不适用，忽略晶体结构的影响
11
1）刃位错的应力场
① 应力场模型
1. 在圆柱体中心挖出一 个半径为rO的小洞
用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截
取一个平行六面体单元,如图所示
xy
该分量的指向
x
z zx
zz zy yz
所在面的法向
xz xy yx xx
yy y
yy
两脚标相同——正应力
yz
z
yx
zy
xy
zx
xz
xx
y
两脚标不同——切应力
x zz
5
应力的正负号
Z zz
yy z
2. 沿xoz平面从外部切 通至中心
3. 在切开的两面上加外 力，使其沿x轴作相 对位移b;再把切开的 面胶合起来
4. 撤去外力
这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。 12
② 应力场的特点
正应力： xx
D
y(3x 2 y 2 ) (x2 y2 )2
yy
D
y(x2 y2 ) (x2 y2 )2
zy
zx
xy
yx
yz
xz
O
xy
xx
zy
zx
xx
xz yz yx
dz yy
Y
dx
OX
dy zz
y
x
正面正方向为正，负面负方向为正
正面负方向为负，负面正方向为负
6
圆柱坐标：用z轴、 ρ方向及θ角来描述 为表示任一点应力 状态也是取一个体 积元，其上的应力 分量也有9个，3个 正应力 ,6个切应力
7
3）应变
σθr
② 在XZ剖面上θ=0，cosθ=1
D B
③当剖面从r到(r+dr)处， 产生位移db(r)所做功：
④当剖面从r0处扩展到
R
R处，db从0变到b所功:
单位长度的刃错线总能量（应变能）：
W刃
Gb2
4 (1)
ln
R r0
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2）螺型位错的应变能
在XZ剖面的应力为:
单位长度的螺错线能量：
σθz
W螺
Gb2
4
ln
R r0
半原子面上或与滑移面成45°的晶面上，无切应力。 13
2）螺型位错的应力场
① 应力场模型与函数
沿xz平面剖开使之沿z轴产生相对位移b，然后再粘合。当然 也要挖去位错线附近的严重畸变区域。
xz
zx
b 2
x2
y
y2
yz
zy
b 2
x2
x
y2
xx yy zz xy yx 0
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② 应力场的特点
E为正应变弹性模量，也叫杨氏模量： ii Eii
G为切应变弹性模量，也叫切变模量： ii Gii
E和G之间存在如下关系：E=G/2(1-ν)，其中ν是表示
纵横变形茉系的参量，称为泊松比
9
5）应变与位移的关系
z
uz
uz z
dz
F
ux dz z
F’
E
dz A’
uz
A
C
z
dx
x ux
E’
xx
ux x
只有切应力分量（σθz、σz
），而无正应力。
θ
螺型位错的应力场，是对称于位错线的。所产生
的切应力大小只与r的大小有关，即只与离位错
线的距离成反比，而与θ无关。
柱坐标表达 式
z
z
z
b 2r
r r zr rz 0
rr zz 0
15
4.3 位错的应变能
位错在周围晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，这 部分能量称为位错的应变能。
zz ( xx yy )
切应力： xy
yx
D
x(x2 y2 ) (x2 y2 )2
xz zx yz zy 0
其中：D b
2 (1 )
同时存在着正应力与切应力; 刃型位错的应力场，对称于多余半原子面; 滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。
正刃型位错的滑移面上侧，在x方向的正应力为压应力; 滑移面下侧，在x方向上的正应力为拉应力
p lim F
A0 A
m-m截面上P 点的全应力 3
1 单元体的概念
变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元
在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体
z
单元体是变形体
的最基本模型
y
z
x 单元体的三对表面：
y
正面：外法向与坐标轴同向
负面：外法向与坐标轴反向 x
4
2 应力分量
为了表达弹性体内部任意一点M 的应力状态，利
1
4.1 弹性力学基础知识
1）弹性连续介质
所谓弹性连续介质，是对晶体作了简化假设之后提 出的模型：
(1) 晶体是完全弹性体，因此服从胡克定律； (2) 晶体是各向同性的，因此其弹性常数（弹性模 量、泊松比等）不随方向而变化； (3) 晶体内部由连续介质组成，因此晶体中的应力、 应变、位移可用连续函数表示。
2
物体在受力状态下，其内部不同部分之间互相产生作用
2）应力
力，这种作用力称为内力。作用在某点处的内力，在该
点的微面积上的集度p，叫该点处的应力。
F
FS FN A
在 m-m截面上P点处定义：
lim FN
A0 A
m-m截面上P 点的正应力
p
A
lim FS
A0 A
m-m截面上P点的 切应力（剪应力）
与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部 分：一是位错中心畸变能；二是位错中心以外的 能量即弹性应变能 。
根据点阵模型对位错中心能量的估算得：弹性应 变能占总能量的90%，所以位错中心畸变能可忽 略不计，即通常用弹性畸变能表示位错的应变能。
16
1）刃型位错的应变能
C
R
A
① 形成图示的位错的功，可以 理解为XZ剖面ABCD两边晶体在 切应力σθr作用下产生相对 位移u=b所做的功。 刃型位错在XZ剖面的应力:
；
xy
ux y
uy x
C’
uz dx x
yy
u y y
；
yz
u y z
uz y
x
zz
uz z
；
zx
uz x
ux z
ux
ux x
dx
该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的 关系，称为几何方程，也称为柯西（Augustin-Louis Cauchy）几何关系。
10
4.2 位错的应力场