2017-2018年高考数学总复习：极坐标

2017-2018年高考数学总复习:极坐标

x cos sin y ρθ

ρθ

=⎧⎨

=⎩ 222x y ρ+= 考点一。直角坐标化极坐标

(1)点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为______. 解：点M 极坐标为：2(2,2),()3

k k Z π

π+

∈. （2）求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。 解：极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。

(3)在极坐标系中，圆心在π）且过极点的圆的极坐标方程为______.

解：圆心:)02(，-,22(2x y +=。圆的极坐标方

程为ρθ。

考点二。极坐标化直角坐标

（1）求普通方程)3

R ∈=ρπ

θ（。

解：y=kx,且k=33

tan

=π

,则x 3y =的直线。

（2）将曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程。

解：将ρ=2

2y x +，sin θ=

2

2y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2

=4.

(3)求过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线极坐标方程．

解：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42

2=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0)

直线方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。 (4)将极坐标方程4sin 2

θ=3化为普通方程。

解：由4sin 2

θ=3,得4·2

22y x y +＝3,即y 2=3 x 2

，y=±x 3.

（5）化极坐标方程2

4sin

52

θ

ρ⋅=为普通方程。

解：2

1c o s

4s i n 4

22c o s 52

2

θ

θρρρρθ-⋅=⋅=-=，

即25x =，化简225

54

y x =+

.表示抛物线. (6)求点 (,)π

23

到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。

解：)3

,

2(π化为)3,1(，圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距

离为3。 （7）求点M （4，

）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离．

（8）已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（2

0,0θρ<≤≥），求曲线1

C 与2C 交点极坐标.

解:21,C C 分别为4)2(,32

2=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点为（3，3）. 所以，交

点的极坐标为⎪⎭

⎫

⎝

⎛6,

32π。 考点三。极坐标应用

命题点1.求面积（12121

A B S =sin -2

ραρβρραβ∆∴（，），（，）

（）） （1）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝

⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，求△AOB 的面积．

解： 由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝1

2

×3×4×sin π6＝3.

（2）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为

），）和（，（6

5-53

4π

π

，求△AOB 的面积．

解： 由题意得5))6

5(3sin(5421S =--⨯⨯⨯=

∆π

π. ）化成为（）

命题点2.求两点距离

(12A B AB ραρβ∴（，），（，）)

(1)在极坐标系中，已知点A （1，

43π）和B )4

,2(π

,求A 、B 两点间的距离． 解:A ），（2222-

,B ），（22，则22

)22

2(2-22-AB -+=）（=5。

命题点3：用极坐标求距离：

（提示：直线l 与两曲线分别交于A ，B 两点，已知：直线极坐标π

θ＝

３

，直线参数方程

θθ⎧

⎨⎩

ｘ＝ｔｃｏｓｙ＝ｔｓｉｎ （t 为参数），则ρρρρ１

２１２ＡＢ＝－；ＯＡ＋ＯＢ＝＋ ） （1）若为参数）：ααα(sin 3y cos 33x C 1⎩

⎨

⎧=+=，为参数）：αα

α

(sin 1y cos x C 2⎩⎨

⎧+==，在极坐标系中，射线1C 20）与（πααθ≤≤=交于O ，M ，与2C 交于O,N ，求ON OM +的最大值。 解：两圆：1)1(,3)3x 2222=-+=+-y x y （，化为极坐标：

θρθρsin 2:,cos 32:21==C C ，

则),sin 2(),,cos 32(ααααN M ，)3

sin(4sin 2cos 32ON OM π

ααα+

=+=+∴，

3733

π

π

απ

≤

+

≤

， 故4ON OM 6

2

3

max =+=

=

+

时，，即当π

απ

π

α。

（2）在极坐标系中，曲线C ：θρcos 2=，O 为极点，A,B 为C 上两点，且3

AOB π

=∠，

求OB OA +最大值。 解

：

3

2)3

s

32s 3c 3)3

c

2c 2OB OA max 11=+=+=-+=+=+π

θθθπ

θθρρ。

(3)若曲线为参数）

：t (tsin y tcos

x C 1⎩⎨

⎧==α

α,

又曲线2223C x 20,:y y C ρθ+-==：，且.AB B C C A C C 3121最大值，求于交，于交