2017-2018年高考数学总复习：极坐标

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高考数学：极坐标与参数方程知识点总结

高考数学：极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：3．直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：第二讲一曲线的参数方程1．参数方程的概念2．圆的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程一参数方程的基本概念定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由于方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。

2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.1 4.1.2 极坐标系

4．1.2极坐标系[对应学生用书P5]1．极坐标系的概念(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．(3)在极坐标系中，如果极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意角，那么M(ρ，θ)的极坐标也可以表示为(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)．2．极坐标与直角坐标互化[对应学生用书P5][例1] 写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)．[思路点拨] 分析每一点对应的ρ与θ，写出极坐标．[精解详析] 由点A 在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A (4,0)，同理，得B ⎝⎛⎭⎫2， π4，C ⎝⎛⎭⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎫1，5π6，E (4，π)，F ⎝⎛⎭⎫6，4π3，G ⎝⎛⎭⎫5，5π3，而极点O 的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)．1．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． 2．点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ≥0，θ∈[0,2π)，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．1．试画出满足下列条件的点，并说明它们有何特殊的位置关系： A ⎝⎛⎭⎫5，3π4；B ⎝⎛⎭⎫－5，3π4；C ⎝⎛⎭⎫5，－3π4；D ⎝⎛⎭⎫－5，－3π4. 解：所求各点如图所示．由图可以看出，点B 与点A ，点C 与点D 都关于极点对称；点C 与点A ，点B 与点D 都关于极轴对称；点D 与点A ，点B 与点C 都关于直线θ＝π2(ρ∈R )对称．2．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标．解：设C 点的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)，如图．则ρ＝23，θ＝π4＋π2＝3π4，或θ＝5π4＋π2＝7π4.∴C 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，7π4或⎝⎛⎭⎫23，3π4.[例2] 在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎭⎫3，π6，求 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))[思路点拨] 结合极坐标系及对称知识，确定对称点的极坐标． [精解详析] (1)设点A 关于极轴的对称点为A 1(ρ1，θ1)，则ρ1＝OA 1＝OA ＝3，θ1＝2π－π6＝11π6.∴点A 关于极轴的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，11π6. (2)设点A 关于极点的对称点为A 2(ρ2，θ2)，则ρ2＝OA 2＝OA ＝3， θ2＝π＋π6＝7π6.∴点A 关于极点的对称点的极坐标为(3，7π6)．(3)设点A 关于直线θ＝π2的对称点为A 3(ρ3，θ3)，则ρ3＝OA 3＝OA ＝3， θ3＝π－π6＝5π6.∴点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，5π61．解决极坐标下的对称问题要注意以下三点：(1)利用数形结合思想；(2)在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化；(3)极径ρ≥0，极角θ是以x 轴正方向为始边，按照逆时针方向旋转得到的．2．记住以下结论：点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．3．在极坐标系中，求点A (2，－π3)关于极轴所在的直线的对称的点的极坐标．解：结合极坐标系知A 关于极轴所在的直线对称点为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3或⎝⎛⎭⎫－2，(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )．4．求点A ⎝⎛⎭⎫5，3π4关于下列直线对称的点的一个坐标： (1)θ＝π2；(2)θ＝π6.解：(1)点A 关于θ＝π2的对称点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，π4. (2)点A 关于θ＝π6对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，－5π12.[例3] (1)把下列各点的极坐标化为直角坐标：A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2； (2)把下列各点的直角坐标化为极坐标：A ()3，－3，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，其中极径ρ≥0，极角θ∈[0,2π)．[思路点拨] 直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可． [精解详析] (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得各点的直角坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)． (2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x得各点的极坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．5．把下列极坐标化为直角坐标： (1)A ⎝⎛⎭⎫3，2π3；(2)B ⎝⎛⎭⎫4，－3π4； (3)C ⎝⎛⎭⎫－6，17π3；(4)D ⎝⎛⎭⎫5，π2. 解：(1)x ＝3cos 2π3＝－32，y ＝3sin 2π3＝332，故点A 的直角坐标为A ⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，故点B 的直角坐标为B (－22，－22)．(3)x ＝－6cos 17π3＝－3，y ＝－6sin 17π3＝33，故点C 的直角坐标为C (－3,33)．(4)x ＝5cos π2＝0，y ＝5sin π2＝5，故点D 的直角坐标为D (0,5)．6．写出下列直角坐标系中的点的一个极坐标：(1)P (3，3)；(2)Q (0，－5)；(3)R (26，－22)；(4)O (0,0)．解：(1)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，且点P 在第一象限，故点P 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6.(2)ρ＝5，θ＝3π2，故点Q 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫5，3π2. (3)ρ＝(26)2＋(－22)2＝42，tan θ＝－33，且点R 在第四象限，故点R 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫42，11π6. (4)ρ＝0，θ可为任意值，故点O 的极坐标为O (0，θ)．1．写出下图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的一个极坐标．解：A ⎝⎛⎭⎫6，53π，B ⎝⎛⎭⎫8，π6，C ⎝⎛⎭⎫5，π2，D ⎝⎛⎭⎫5，7π6，E ⎝⎛⎭⎫8，4π3，F (8,0)，G ⎝⎛⎭⎫4，11π6. 2．已知点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫122，5π4，B ⎝⎛⎭⎫42，3π4，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫52，π2. 求证：直线AB ⊥CD .证明：各点的直角坐标为A (－12，－12)，B (－4,4)，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，52. 由于k AB ＝4＋12－4＋12＝2，k CD ＝52－00－5＝－12，k AB ·k CD ＝－1，故AB ⊥CD .3．求在极坐标系中点M ⎝⎛⎭⎫14，－π6关于θ＝π4的对称点N 的一个极坐标．解：如图设N (ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)．则ρ＝OM ，θ－π4＝π4＋π6，即ρ＝14，θ＝2π3.∴N 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫14，2π3.4．已知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，5π6，⎝⎛⎭⎫2，π3，求线段AB 的中点的一个极坐标．解：A ，B 两点的直角坐标分别为(－3，3)，(1，3)．线段AB 的中点的直角坐标为(－1，3)．[对应学生用书P7]则ρ＝2，tan θ＝－3，0≤θ<π.所以线段AB 的中点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. 5．在极坐标系中，根据下列条件，求△ABC 的面积． (1)A ⎝⎛⎭⎫6，π6，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6； (2)A ⎝⎛⎭⎫6，13π12，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6. 解：(1)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OAC －S △OBC ＝12×6×4sin π6＋12×6×2sin π3－12×4×2sin π2＝2＋3 3.(2)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ＝12×6×4sin 3π4＋12×4×2sin π2＋12×6×2sin 3π4＝4＋9 2.6．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎫3，π2，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，求线段AB 的长度及直线AB 的倾斜角．解：根据极坐标的定义可得AO ＝BO ＝3，∠AOB ＝π3，即△AOB 为等边三角形，所以AB ＝AO ＝BO ＝3，∠ACO ＝π6(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)，则直线AB 的倾斜角为5π6.7．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的直角坐标．解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)．因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4，则A 的直角坐标为(4,4)，所以(4－r )2＋16＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．8．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点的坐标是A ⎝⎛⎭⎫4，π4，B ⎝⎛⎭⎫4，5π4，求顶点C 的坐标．解：如图，由A ，B 两点坐标得A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．因为AB ＝8，△ABC 为正三角形，所以OC ＝43，∠AOC ＝π2，C对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝2π－π4＝7π4，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，3π4或⎝⎛⎭⎫43，7π4.。

最新-高考数学总复习：极坐标

2017-2018年高考数学总复习:极坐标x cos sin y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222x y ρ+= 考点一。

直角坐标化极坐标(1)点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为______. 解：点M 极坐标为：2(2,2),()3k k Z ππ+∈. （2）求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。

解：极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。

(3)在极坐标系中，圆心在π）且过极点的圆的极坐标方程为______.解：圆心:)02(，-,22(2x y +=。

圆的极坐标方程为ρθ。

考点二。

极坐标化直角坐标（1）求普通方程)3R ∈=ρπθ（。

解：y=kx,且k=33tan=π,则x 3y =的直线。

（2）将曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化成直角坐标方程。

解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.(3)求过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线极坐标方程．解：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0)直线方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。

(4)将极坐标方程4sin 2θ=3化为普通方程。

解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3. （5）化极坐标方程24sin52θρ⋅=为普通方程。

解：21c o s4s i n 422c o s 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，即25x =，化简22554y x =+.表示抛物线. (6)求点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。

解：)3,2(π化为)3,1(，圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距离为3。

（7）求点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离．（8）已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0θρ<≤≥），求曲线1C 与2C 交点极坐标.解:21,C C 分别为4)2(,322=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点为（3，3）. 所以，交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,32π。

2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)

2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）一、填空题1．(2017·北京理，11)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________． 1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外．又∵点A 在圆C 上， ∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.2．(2017·天津理，11)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________． 2．【答案】2【解析】由4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0，得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0，由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，半径为1， ∵圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|(23)2＋22＝34＜1， ∴直线与圆相交，有两个公共点．二、解答题1．(2017·全国Ⅰ文，22)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 1．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧x 29＋y 2＝1，x ＋4y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d＝|3cos θ＋4sin θ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋9 17.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.2．(2017·全国Ⅱ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．2．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.3．(2017·全国Ⅲ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．3．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5. 4．(2017·江苏，21)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 4．解直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.5．(2017·全国Ⅰ理，22)[选修4-4，坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 5．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.6．(2017·全国Ⅱ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．6．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知，|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α ＝|sin 2α－3cos 2α－3|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.7．(2017·全国Ⅲ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．7．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．。

2018高考复习数学第一轮第62讲极坐标(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

极坐标（2018年5月）一、知识要点1、极坐标系：平面内由极点O ，极轴Ox ，选定长度单位和角的正方向（取逆时针方向），就构成了极坐标系． 2、极坐标：对于极坐标系平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标．3、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ，θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0ρ>，02θπ≤<或ρ0<，πθπ-<≤等．4、极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并且在两坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，平面上任一点M 的直角坐标(),x y 和极坐标(),ρθ有如下关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩和222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩()0x ≠ 根据上述关系，可将点的直角坐标和极坐标互化，也可将曲线的直角坐标方程和极坐标方程互化．5、曲线的极坐标方程以极坐标方程的解为坐标的点都在曲线上，曲线上点的极坐标并不都满足极坐标方程（点的极坐标不唯一），但其中至少有一个点的坐标满足方程，则该方程称为该曲线的极坐标方程．6、常见曲线的极坐标方程（1）过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα=．（2）过点(),0a ，垂直于极轴的直线的极坐标方程：cos a ρθ=．（3）过点,2a π⎛⎫⎪⎝⎭，平行于极轴的直线的极坐标方程：sin a ρθ=．（4）过点(),M a α，垂直于OM 的直线的极坐标方程：()cos a ρθα-=．（5）以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程：r ρ=．（6）以点(),0a 为圆心，()0a a >为半径的圆的极坐标方程：2cos a ρθ=．（7）以点(),a π为圆心，()0a a >为半径的圆的极坐标方程：2cos a ρθ=-．（8）以点,2a π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，()0a a >为半径的圆的极坐标方程：2sin a ρθ=．（9）以点3,2a π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，()0a a >为半径的圆的极坐标方程：2sin a ρθ=-．（10）以点(),a α为圆心，()0a a >为半径的圆的极坐标方程：()2cos a ρθα=-．二、例题精讲例1、试写出由极坐标方程24sin52θρ=所确定的抛物线的顶点坐标．答案：5,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭．例2、求直线41,5315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t为参数）被曲线4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长．答案：75．例3、已知锐角2AOB α∠=内有一个动点P ，,PM OA PN OB ⊥⊥，且四边形PMON 的面积等于常数2c ，以O 为极点，AOB ∠的平分线Ox 为极轴，试求动点P 的极坐标轨迹方程．答案：222cos 2sin 244c ππρθθα⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．例4、极坐标平面内，过原点O 的动直线交圆()2cos 0a a ρθ=>于点P ，以线段OP 为斜边作等腰直角三角形OPM （O 、P 、M 按逆时针顺序排列），求点M 的轨迹方程．答案：cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．例5、已知椭圆2212416x y +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足：2OQ OR OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．答案：()()222131155x y --+=()220x y +≠是以()1,1为中心，长、短半轴长分别为x 轴的椭圆，但不包括原点．例6、在极坐标系中，P 是曲线12sin ρθ=上的动点，Q 是曲线12cos 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上的动点，试求||PQ 的最大值．答案：18例7、F 是定点，l 是定直线，点F 到l 的距离为p()0p >，点M 在直线l 上滑动，动点N 在MF 的延长线上，且满足条件1FN MNMF=．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）求MN 的最小值．答案：（1）()10cos 11cos p pρθθ=<<-；（2）若02p <≤，最小值为4；若2p >，则最小值为21p p -．三、课堂练习1、化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为．答案：2201x y x +==或2、点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为．答案：2(2,)3π 3、极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为．答案：两条相交直线4、直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________答案：2πθα=+5、已知曲线C 1与C 2的极坐标方向分别为 cos 3ρθ=，4cos ρθ=（ρ≥0，0≤θ<2π），则曲线C 1与C 2交点的极坐标为．答案：)6π.四、课后作业一、填空题1、极坐标方程2cos 20ρθρ-=化为直角坐标方程是．答案：2x =和()0,02、极坐标系中，圆cos ρθθ=的圆心坐标是，半径等于．答案：1,3π⎛⎫⎪⎝⎭，1 3、若A 、B 两点的极坐标分别为78,,5,124ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，O 为极点，则AB = ，AOB ∆的面积S = ．答案：7，4、圆心为5,12π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为4的圆的极坐标方程为．答案：210cos 9012πρρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭5、在极坐标系中，(),06m m π⎛⎫> ⎪⎝⎭到直线cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离为2，则m = ．答案：1或56、在极坐标系()(),02ρθθπ≤<中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为．答案：34π⎫⎪⎭二、选择题7、圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（）A 4(5,)3π--B (5,)3π- C (5,)3πD 5(5,)3π- 答案：A8、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A 一条射线和一个圆B 两条直线C 一条直线和一个圆D 一个圆答案：C9、在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（） A c o s 2ρθ= B s i n 2ρθ= C 4s i n()3πρθ=+D 4s i n()3πρθ=- 答案：A三、解答题10、已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，以极点为原点，极轴为Ox 轴建立执教坐标系（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M (x ，y )是曲线C 上的动点，求z x y =+最大值和最小值答案：（1）1)1(22=+-y x（2）11最大值11、从极点O 作直线与另一直线4cos :=θρl 相交于点M ，在OM 上取一点P ，使||||12OM OP ⋅=（1）求点P 的轨迹方程（2）设R 为l 上任意一点，试求PR 的最小值答案：（1）3cos ρθ=；（2）PR 的最小值为1．12、以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的方程是.0332222=+--+y x y x 直线l 的方程是2)4cos(=-πθρ（1）求圆C 的极坐标方程（2）求经过圆C 的圆心且和直线l 垂直的直线'l 的极坐标方程答案：（1）22cos sin 30ρρθθ--+= （2）()4ρθ=-。

2017-2018学年高中数学第一章坐标系2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化2.5

=0,2. 4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统的极坐标方程［自主学习］曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1) 互化的前提条件： ① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合.②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的 x 轴的正半轴重合.③ 两种坐标系中取相同的长度单位.X = p cos 0 ,⑵互化公式：1|y = p sin 0 ,(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：epp1 — e cos 0 .［合作探究］p = 1和p =—1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？提示：唯一的一个， x 2+ y 2= 1.将直角坐标方程化成极坐标方程把下列直角坐标方程化为极坐标方程.⑴ x + y = 0;2 2(2) x + y + 2ax = 0( a * 0);2 2(3) ( x — 5) + y = 25.［思路点拨］本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此2 2 2题，需要将x = p cos 0 , y = p sin 0 ,及x + y = p 代入直角坐标方程，再化简即可. ［精解详析］ ⑴将 x = p cos 0 , y = p sin 0 代入 x + y = 0 得 p cos 0 + p sinr 22 |2p = x + y , ytan 0 = x xH(][例1] ［对应学生用书 P12］［对应学生用书P13］••• p (cos 0 + sin 0 ) = 0. =0,••• cos 0 + sin 0 = 0. /• sin 0= —cos 0 .ta n 0 = — 1.3 n 十7 n•- 0 = ~^( P》0) 和0 = _^( P》0) •综上所述，直线x+ y= 0的极坐标方程为3 n 7 n0 =〒(P》0)和0=才(P》0)•2 2(2) 将x= p cos 0 , y = p sin 0 代入x + y + 2ax= 0 得2 2 2・2八P cos 0 + p sin 0 + 2a P cos 0 = 0, 即p ( p + 2a cos 0 ) = 0.•• P = —2a cos 0 .2 2•••圆x + y + 2ax= 0(a z 0)的极坐标方程为p = —2a cos 0 .2 2 2 2(3) ( x—5) + y = 25,即：x + y —10x = 0.把x2+『=p 2, x= p cos 0 代入上式得：2P —10 p cos 0 = 0.即p = 0 或p = 10cos 0 .•.•极点p = 0在圆p = 10cos 0上，•••所求圆的极坐标方程为p = 10cos 0 .［片法■规律■小结］、将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x= p cos 0 , y = p sin 0 , x2+ y2= p 2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性.1. 把圆的直角坐标方程(x —a)2+ (y—b) 2= r2化为极坐标方程.2 2 2 2 解：把x = p cos 0 , y= p sin 0 代入方程(x—a) + (y —b) = r，得(p cos 0 —a)+ ( P sin 0 —b) 2= r2.如果设圆心(a, b)的极坐标为(P 0, 0 o)，贝Ua= p 0cos 0 0, b= p 0sin 0 0，再代入上方程可得：(p cos 0 — p 0COS 0 0)2+ ( p sin 0 — p °sin 0 0)2= r2.2 2 2 2 2 2--P (cos 0 + sin 0 ) — 2 p 0 p (cos 0 cos 0 0+ sin 0 sin 0 0) + p 0(cos 0 0 + sin 0 0)2=r .•- p — 2 p 0 p cos( 0 — 0 0) + p 0—r = 0.这就是所求的圆的极坐标方程将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线. ⑴ p sin 0 = 1;(2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0; (3) p=— 2cos 0 ; (4) p = cos 0 — 2sin 0 .［思路点拨］本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用，解答此题需要利用 p cos 0 = x, p sin 0 = y 求解.有时需要在等式两边同乘 p ，构造出p cos 0和p sin 0 .［精解详析］(1) p sin 0 = 1 ? y = 1，表示的是一条直线. (2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0? p cos 0 + p sin 0 — 4= 0,x + y — 4= 0，表示的是一条直线.(3) p =— 2cos 0 两边同乘以 p 得 p =— 2 p cos 0 , ••• x 2 + y 2 + 2x = 0，即(x + 1)2 + y 2= 1. 表示的是以(一1,0)为圆心，以1为半径的圆. (4) p = cos 0 — 2sin 0两边同乘以 p 得2 p = p cos 0 — 2 p sin 0 , • x + y = x — 2y ，即 x + y — x + 2y = 0, 即 x ―12+ (y + 1)2= -2 2.极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以 p ，尽可能使得p cos 0换成x , p sin 0换成y , p 2换成x 2 + y 2.但注意p = 0是原方程的解时，所得到的直角坐标方程与原极坐标方程等价. 若p =0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x , y 不同时为0的限制.b^1[例2]把极坐标方程化为直角坐标方程［方法-规律•小结］2. 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.2⑴ p cos 2 0 = 8; ⑵ p = 2cos 0 --4 .解：⑴因为p 2cos 2 0 = 8,2 2 2.2所以 p cos 0-p sin 0 = 8.所以化为直角坐标方程为 x 2— y 2= 8.n(2)因为 p = 2cos 0 cos —+ 2sin=2cos 0 + 2sin 0 ,所以 p 2 = ,2p cos 0+•. 2 p sin 0 .所以化为直角坐标方程为 x 2+ y 2— 2x — 2y = 0.［例3］求两个圆= 4cos , = 4sin 的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系.［思路点拨］本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题，解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解.［精解详析］法一：p = 4cos 0的圆心为(2,0)，半径为2, p = 4sin 0的圆心为(2 , ^)，半径为2.两圆圆心的距离为d = 22 + 22 — 2 X 2 X 2cos : = 2 2.而两圆半径之和为 4,两圆半径之差为 0. •••两圆相交.法二：p = 4cos 0两边同乘以 p 得p 2= 4 p cos 0 ,22• p = 4cos 0 可化为 x + y — 4x = 0,22即(x — 2) + y = 4,•表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆.p = 4sin 0两边同乘以p 得p = 4 p sin 0 ,n 0 sin42 2•p = 4sin 0 可化为x + y —4y= 0, 即x2+ (y—2) 2= 4,•••表示的是以（0,2）为圆心，半径为2的圆. 两圆的圆心距为d =- U 2+ 〔〕一？ 2= 2”；；2,两圆半径之和为4,之差为0, •两圆相交.［片法•规律•小结］、对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究.解：把点A 2, 7^化为直角坐标为（，2,-把直线p sin j 0 + — = -^化为直角坐标方程为 p sin n . n \f 20 • cos 4 + p cos 0 • sin 4 - ？,•••点A 2, - 2）到直线x + y - 1 = 0的距离为」2- .. 2- 1| .2 d = =—dJ + 12，故点A 2,晋到直线p sin i B +亍=¥的距离为J| ［本节热点命题关汪］「本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化.［考题印证］（辽宁高考改编）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C ,直线C 2的极坐标方程分别为 p = 4sin 0 , p cos （ 0 -"^-） = 2边.求C 与C 2的交点的极坐标.3.已知直线的极坐标方程为|J 这条直线的距离.p sin，求点•- x + y = 1.［命题立意］本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化.［自主尝试］由p = “/x2+ y2, p cos 0 = x, p sin 0 = y 得，圆C i的直角坐标方程为x2+ (y—2)2= 4,直线C2的直角坐标方程为x+ y — 4 = 0,2得p = —2( p cos 0 —p sin 0 )，即所以圆C ,直线C 的交点直角坐标为(0,4) , (2,2),再由p =x 2+ y 2, p cos 0 = x , p sin 0 = y ,将交点的直角坐标化为极坐标、选择题i .将方程0 =-4( p > 0)化为直角坐标方程为()B . y = x ( x >0)D y=#x (x >0)n yy解析：选 B ' ■/ tan= (x 丰 0) ,「. - = 1( x 丰 0). 4 x xy = x .而 0 = —( p >0)表示射线,•••所求的直角坐标方程为 y = x (x >0).2.圆心在点(一1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( )A. p = 2(sin 0 — cos 0 )B . p = 2(cos 0 — sin 0 )C. p = 2sin 0D. 解析：选A 如图所示，圆的半径为 •圆的直角坐标方程为 (x + 1)2+ (y — 1)2= 2,2 2即x + y = — 2( x — y )，化为极坐标方程,X 2 + y — 2 2=4, 由 X + y — 4= 0.Xi= 0,解得；iy i = 4,X 2= 2, y 2= 2.[对应学生用书P14]A. y = xC. y = x (x w 0) 所以C 与G 的交点的极坐标VING/QNCip = 2cos2一2 —1 + 1p =2(sinA. I 1 // I 2 C. I 1和l 2重合B . I l 丄 l 2D. I 1和I 2斜交解析：选B 对于I l 可化为x sinsin aa+ycos a=a ，ki =—矿a、填空题5. _______________________________________________________ 直线2 p cos 0 = 1与圆p = 2cos 0相交的弦长为 __________________________________________ .解析：直线的方程为 2x = 1，圆的方程为x 2+y 2— 2x = 0，圆心为（1,0），半径r = 1,圆心到直线的距离为 d =答案：•. 3n一6.在极坐标系中，定点 A （1 ,―），点B 在直线I : p cos 0 + p sin 0= 0上运动,当线段AB 最短时，点B 的极坐标是 _________ .解析：将 p cos 0 + p sin 0 = 0化为直角坐标方程为 x + y = 0,点A 1,寺化为直角坐标得 A （0,1）,如图，过A 作AE 丄直线I 于B ,因为△ AOB3n为等腰直角三角形，又因为 |OA = 1,则|OB 七,0 =〒，故B 点的极坐标是B 今,3n .答案：子，34n7. _____________________________________________________________________ 过极点O 作圆C: p = 8cos 0的弦ON 则ON 的中点M 的轨迹方程是 _________________________3.直线 11 ： p sin( 0 + a ) = a 和丨2： 7te^2a 的位置关系是（k 1 • k 2 =—1.- •• I 1丄 1 ,故选B.4.极坐标方程 p = sin 0 + 2cos 0表示的曲线为（）A .直线B .圆C . 椭圆D.双曲线解析：选B 由p = sin 0 + 2cos 0 ,得 p = p sin 0 + 2 p cos 0对于12可化为x cos a — y sin二 x 2 + y 2 = y + 2x ，即 x 2+ y 2— 2x — y = 0，表示圆.cos aa = 0, k 2=——sin a 42+ 0 = 2,设所求的弦长为丨，则= 2 + 2 2, 解得I = 3.解析：法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC = 4，连接CM 「••• M为弦ON的中点，•••CMLON故M在以0C为直径的圆上. “•••点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .法二：设M点的坐标是(p , 0 ) , p i, 0 i).T N点在圆p = 8cos 0 上，•• p i = 8cos 0 i,①p 1= 2 p ,••• M是ON的中点，•弋0 i= 0 .将它代入①式得 2 p = 8cos 0，故点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .答案：p = 4cos 08. (天津高考)已知圆的极坐标方程为p = 4cos 0 ,圆心为C,点P的极坐标为4, n^ ］则CP= ________ .解析：如图，由圆的极坐标方程为p = 4cos 0知0C= 2，又因为点P的极坐标为4, n3，所以0P= 4，/ P0=专，在△ POC中，由余弦定理得CP= OP1+ OC- 2OP- OC cos 3= 16+ 4-2X 4X 2X = 12,所以CP= 2 3.答案：2 3三、解答题9.0 O和0 O 的极坐标方程分别为p = 2cos 0 , p 2- 2 p (cos 0 + sin 0 ) = 0.(1) 把O O和O Q的极坐标方程化为直角坐标方程;(2) 求经过O 0,0 Q交点的直线的直角坐标方程.解：(1) T x= p cos 0 , y = p sin 0 ,由p = 2cos 0 得p = 2 p cos 0 , 所以x2+ y2= 2x.即x2+ y2- 2x= 0为O O的直角坐标方程.. . 2 2同理x + y - 2X- 2y= 0为O Q的直角坐标方程.2+ y2- 2x —2y = 0,2 2⑵法一：由+ y - 2x = 0,即O 0,0 O 2交于点(0,0)和(2,0).过交点的直线的直角坐标方程为 y = 0.法二：①—②得y = 0,即y = 0为过O 0,0 Q 交点的直线的直角坐标方程.10 .在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为p cos i 守=1, M N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点.(1) 写出C 的直角坐标方程，并求 M N 的极坐标； (2) 设MN 的中点为P,求直线OP 的极坐标方程. 解：(1)由 p cos 0 —-3 = 1 得，p i 1cos 0 + ^sin 0 = 1.2 2从而C 的直角坐标方程为1x +~2^y = 1，即 x + 3y = 2.当 0 = 0 时，p = 2,所以 M 2,0)；当0 =寺时，P =攀，所以N 号,-2 .⑵M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为［,233 ［所以P 点的直角坐标为］，¥ .3p = 1 — 2cos 0，过极点作直线与它交于 A, B 两点,且|AB = 6,求直线 AB 的极坐标方程.解：设直线 AB 的极坐标方程为 0 = 0 1, A p 1,0 1) , B ( p 2, 0 1 + n )，贝U p 1 =X 2= 2, y 2= 0.解得则P 点的极坐标为所以直线OP的极坐标方程为np € ( —m,+m ).0 =百,11.已知双曲线的极坐标方程为31 — 2cos 0 i________ 3 _______ 3 P 2— 1 — ?1阴 0 i + n — 1 + 2cos 0 i33|AB = 1 p1+p 2|= 1 — 2cos 0 i + 1 + 2cos 0 i61— 4cos 0 i故直线AB 的极坐标方程为 n n 3 n0 =㊁或0 =~4或0 =〒•11 — 4cos2 0 -=± 1. cos 10 i = 0 或 cos 0 i =±_2亍。

2018年高考理科数学分类汇编---参数方程极坐标

2018年全国高考理科数学分类汇编——参数方程极坐标1.（江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．2.（全国1卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．3. （全国2卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．4.（全国3卷）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．5.（天津）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．。

2018年高考文科数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程

《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇: 极坐标与参数方程解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系中, 曲线的方程为.以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点, 求的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系/中, 曲线/的参数方程为/（/为参数）, 直线/的参数方程为/（/为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线/截直线/所得线段的中点坐标为/, 求/的斜率.3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系/中, /的参数方程为/（/为参数）, 过点/且倾斜角为/的直线/与/交于/两点.（1）求的取值范围；（2）求/中点/的轨迹的参数方程.4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中, 直线l 的方程为, 曲线C 的方程为, 求直线l 被曲线C 截得的弦长.参考答案解答题1.解: （1）由, 得的直角坐标方程为.（2）由（1）知是圆心为, 半径为的圆.由题设知, 是过点且关于轴对称的两条射线. 记轴右边的射线为, 轴左边的射线为. 由于在圆的外面, 故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点, 或与只有一个公共点且与有两个公共点.C l当与只有一个公共点时, 到所在直线的距离为, 所以, 故或.经检验, 当时, 与没有公共点；当时, 与只有一个公共点, 与有两个公共点. 当与只有一个公共点时, 到所在直线的距离为, 所以, 故或.经检验, 当时, 与没有公共点；当时, 与没有公共点.综上, 所求的方程为．2.解: （1）曲线的直角坐标方程为.当/时, /的直角坐标方程为/,当/时, /的直角坐标方程为/.（2）将/的参数方程代入/的直角坐标方程, 整理得关于/的方程．①因为曲线/截直线/所得线段的中点/在/内, 所以①有两个解, 设为/, /, 则/. 又由①得, 故/,于是直线/的斜率/.3.解: （1）/的直角坐标方程为/.当/时, /与/交于两点.当/时, 记/, 则/的方程为/. /与/交于两点当且仅当/, 解得/或/, 即/或/.综上, /的取值范围是/.（2）/的参数方程为/为参数, //.设/, /, /对应的参数分别为/, /, /, 则/, 且/, /满足/.于是/, /. 又点/的坐标/满足/所以点/的轨迹的参数方程是//为参数, //.4.解: 因为曲线C 的极坐标方程为,所以曲线C 的圆心为（2, 0）, 直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为,则直线l 过A （4, 0）, 倾斜角为,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B, 则∠OAB=.连结OB, 因为OA 为直径, 从而∠OBA=,22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=所以π4cos 6AB == 因此, 直线l 被曲线C 截得的弦长为.。

2018年高考数学分类汇编：极坐标与参数方程(K12教育文档)

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《2018年高考数学分类汇编》：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,则a=__________．2。

【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,32⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A,B 两点，则ABC △的面积为。

二、解答题1。

【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+。

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=。

(1）求2C 的直角坐标方程；(2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程。

2。

【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）,直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3。

【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． (1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案一、填空题1.21+2.21二、解答题1。

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程Newly compiled on November 23, 20201．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ和θ＝π－φ，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r 的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r 的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值． 1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)，其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B－t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎨⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)． (4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎨⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎨⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎨⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)．注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ，y的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为6． 3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y 24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )2．若圆的方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )B ．214 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l上，又圆O ：⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎨⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎨⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.根据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4ρsin θ＋ρcos θ＝1x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的普通方程；(2)P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y 23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0. (2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。

2018年高考文科数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程

《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案解答题xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P1.解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故，于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =l O |1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t αP (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α44απ3π<<)则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．。

（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）

（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。

，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。

（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。

高考文科数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程

《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案解答题1.解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故，于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为。

2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析

2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析1、（2018年高考数学全国卷I理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．2、（2018年高考数学全国卷II理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．3、（2018年高考数学全国卷III理科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=ta nα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．4、（2018年高考数学天津卷理科12）（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．5、（2018年高考数学北京卷理科10）（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=1+．【解答】解：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．6、（2018年高考数学江苏卷理科23）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．6、（2018年高考数学全国卷I文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．7、（2018年高考数学全国卷II文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．8、（2018年高考数学全国卷III文科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）。

高三一轮复习资料极坐标知识点汇总

xy
= =
√ −1 + 2 cos
√ 1 + 2 sin θ
θ, (θ为参数)
被直线
y
=
0
截得的劣弧长为
()
√ 2π
(A) 2
(B) π
√ (C) 2 2π
(D) 4π
3.
已知曲线 C
:
yx
= =
√ 2 2
a+
t
√ 2 2
(
)
t为参数 , A(−1, 0), B(1, 0). 若曲线 C
sin φ
其中 φ ∈ [0, 2π)，注意 φ 不是椭圆上的点和原点连线的夹角，是椭圆对应的圆的离心角.
4. 双曲线的参数方程：
xy
= =
a b
sec tan
θ θ
(θ为参数)
5. 抛物线 y2 = 2px 的参数方程可表示为:
yx
= =
2 pt2 (t为参数)
(2) 若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B，求 |AB| 的最大值.
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2 参数方程
2.1 参数方程的概念
在平面直角坐标系中，若曲线
C
上的点
P(x,
y)
满足
xy
= =
f (t), g(t).
该方程叫曲线
C
的参数方程，变量
t
是
参变数，简称参数.(在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数
上存在点
P
满足
A# P» ·
B# P»
=
0, 则实数
a 的取值范围是
()
(A) −

高考数学极坐标知识点

高考数学极坐标知识点数学一直被认为是高考的重点科目之一，而其中的极坐标系统更是高考数学中的一大难点。

本文将介绍高考数学中与极坐标有关的重要内容，包括极坐标的定义、转换公式、曲线方程、参数方程以及极坐标下的求导与积分等知识点。

一、极坐标的定义极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点的坐标系统。

在极坐标系统中，一个点的坐标用(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与正半轴之间的夹角。

在直角坐标系中，点的坐标为(x, y)，与极坐标可以相互转换。

二、极坐标与直角坐标的转换公式在高考数学中，经常会涉及到极坐标与直角坐标之间的相互转换。

转换公式如下：(1) 由直角坐标(x, y)转换为极坐标(r, θ)：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)(2) 由极坐标(r, θ)转换为直角坐标(x, y)：x = r * cosθy = r * sinθ掌握转换公式可以在解决与极坐标有关的问题时起到很大的帮助。

三、曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程是指用极坐标来表示曲线上的点的方程。

常见的极坐标方程包括：(1) 极线方程：r = a当极径固定时，定义的曲线就是一条直线，称为极线。

(2) 极轨方程：r = f(θ)极坐标方程中的f(θ)表示一个函数关系，画出的曲线就是该函数的图形。

(3) 极坐标方程的性质：偶函数与奇函数若极坐标方程满足f(θ + π) = f(θ)，则称其为偶函数；若极坐标方程满足f(θ + π) = -f(θ)，则称其为奇函数。

四、参数方程与极坐标在高考数学中，参数方程是用参数t来表示点的坐标。

而在极坐标中，同样可以利用参数方程表示曲线方程。

例如：(1) 曲线的极坐标方程r = f(θ) 可以用参数方程表示为：x = f(θ) * cosθy = f(θ) * sinθ(2) 曲线的参数方程 x = g(t)，y = h(t) 可以转换为极坐标方程：r = √(g²(t) + h²(t))θ = arctan(h(t) / g(t))五、极坐标下的求导与积分在解决极坐标相关问题时，求导与积分是经常使用的技巧。

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