拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯反变换公式
拉普拉斯反变换公式拉普拉斯反变换公式是拉普拉斯变换中的一个非常重要的定理，它是将拉普拉斯变换转化回时间域的关键。
通过拉普拉斯反变换公式，我们可以通过拉普拉斯变换得到的复数函数，获取到原始信号随时间所呈现的波形。
拉普拉斯反变换公式如下：$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s)e^{st} ds$其中，$f(t)$表示时域中的函数；$F(s)$表示频域中的函数，它是$f(t)$经过拉普拉斯变换后得到的复数函数；$s$是复平面上的变量，其实部为$\sigma$，虚部为$jw$；$j$是虚数单位，满足公式$j^2=-1$。
这个公式的意义是，从复平面上某一个起始点$\sigma-j\infty$开始，到一个结束点$\sigma+j\infty$结束时，对$F(s)$进行积分。
积分过程中，$s$在复平面中的轨迹，被称为积分路径。
在公式中，$e^{st}$表示时域中的复数因子，它在复平面上的轨迹是一个指向右上方的直线。
拉普拉斯反变换公式的使用方法，在于根据所给的$F(s)$，找到一个合适的积分路径，使得积分公示有意义，且可求。
一般而言，我们可以通过套用Look-Up表格来确定积分路径，以此找到正确的反变换。
当然，拉普拉斯反变换不同于傅里叶变换的反演公式，它比傅里叶反变换更加困难，也更加复杂。
因为在傅里叶变换中，频域和时域之间存在良好的对称关系，而且较为简单；而在拉普拉斯变换中，频域和时域之间的对称关系较为复杂，需要借助查表法或者解析法才能求解反变换。
不过，需要注意的是，虽然拉普拉斯反变换的计算较为困难，但是在实际应用中，它仍然是一种非常有用的数学工具。
它可以应用于多种领域，比如信号处理、微积分、电路理论等等。
同时，在应用中，我们可以根据情况采用不同的方法，如解析解法、分步积分法等等，以此来有效地求解反变换。
因此，拉普拉斯反变换公式是一种非常重要的数学工具。
laplace逆变换公式
拉普拉斯逆变换是将拉普拉斯变换的频域表达式转换回时间域的过程。
逆变换的具体形式取决于拉普拉斯变换的函数形式。
下面是一些常见的拉普拉斯逆变换公式：
常数项：L^-1 {1} = δ(t)
单位阶跃函数：L^-1 {1/s} = u(t)
指数函数：L^-1 {1/(s-a)} = e^(at) u(t)
正弦函数：L^-1 {s/(s^2 + a^2)} = (1/a)sin(at) u(t)
余弦函数：L^-1 {s/(s^2 + a^2)} = (1/a)cos(at) u(t)
指数衰减函数：L^-1 {1/(s+a)} = e^(-at) u(t)
指数增长函数：L^-1 {1/(s-a)} = e^(at) u(t)
这些是一些常见的拉普拉斯逆变换公式，用于将频域中的拉普拉斯变换表达式转换回时间域。
请注意，具体的逆变换形式还可能涉及到系数调整和时间偏移，具体取决于函数的形式和约定的定义。
在实际应用中，可以根据所给出的拉普拉斯变换函数表达式，通过查阅相关的数学表格或使用计算工具（如符号计算软件）来求取逆变换。
这样可以更准确地得到所需的逆变换结果。
信号的拉普拉斯变换公式
信号的拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，用于研究连续时间域中的信号和系统。
它在控制论、电路分析和信号处理等领域中得到了广泛应用。
拉普拉斯变换的公式可以将一个复杂的时间域函数转换为一个简单的复频域函数，从而能够更加便利地进行信号处理和系统分析。
在本文中，我们将介绍拉普拉斯变换的定义和基本性质，然后详细讨论拉普拉斯变换的公式及其推导。
首先，我们来定义拉普拉斯变换。
对于一个时间域函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) f(t) e^(-st) dt其中，s是一个复变量，可以写为s=σ+jω，σ表示实部，ω表示虚部。
变换后的函数F(s)是一个复频域函数，表示了信号f(t)在不同频率上的分量强度。
接下来，我们来讨论拉普拉斯变换的基本性质。
1.线性性质：对于任意常数α和β以及函数f(t)和g(t)，有L{αf(t)+βg(t)}=αF(s)+βG(s)，其中F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 平移性质：对于任意常数a，有L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)。
这个性质表示当信号在时间上发生平移时，其在频率域上也发生相应的平移。
3. 尺度性质：对于任意常数a，有L{f(at)} = (1/a)F(s/a)。
这个性质表示当信号在时间上发生尺度缩放时，其在频率域上也发生相应的尺度缩放。
4.微分性质：对于函数f(t)的导数f'(t)，有L{f'(t)}=sF(s)-f(0)。
这个性质表示在频域上对信号进行微分等价于对其拉普拉斯变换表达式中的s进行乘法运算。
5. 积分性质：对于函数f(t)的积分∫[0,t] f(u) du，有L{∫[0,t] f(u) du} = 1/s F(s)。
这个性质表示在频域上对信号进行积分等价于对其拉普拉斯变换表达式中的s进行除法运算并加上初始条件。
6. 初值定理：对于函数f(t)在t=0处的值f(0)，有Lim[s→∞]sF(s) = f(0)。
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！拉普拉斯变换（拉⽒变换）是⼀种解线性微分⽅程的简便运算⽅法，是分析研究线性动态系统的有⼒数学⼯具。
简单点说，我们可以使⽤它去解线性微分⽅程，⽽控制⼯程中的⼤多数动态系统可由线性微分⽅程去描述，因此拉⽒变换是控制⼯程领域必不可少的基础。
什么是拉⽒变换呢？⾸先，我们来看⼀下拉⽒变换的定义——设时间函数为f(t),t>0,则f(t)的拉普拉斯变换定义为:其中，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数。
⼀个函数可以进⾏拉⽒变换的充要条件为：(1)在t<0时，f(t)=0;(2)在t≥0的任⼀有限区间内,f(t)是分段连续的；(3)当t→﹢∞时,f(t)的增长速度不超过某⼀指数函数，即：接下来为⼤家介绍⼏种常见的时间常数拉⽒变换，⼤家在看下⾯⼏种时间常数拉⽒变换的时候可将⼏个时间常数与这三个条件⼀⼀对应，有助于理解记忆。
1、单位脉冲函数单位脉冲函数数学表达式为：其对应的图像为：我们来看⼀个脉冲信号:从图中可看出，脉冲函数就像脉冲信号⼀样，在时间的⼀个微段dt内，信号强度快速增长，可达到⽆穷⼤，⽽单位脉冲函数指的是其微段dt与增长的⾼度的乘积为1，即h(dt)=1。
其拉⽒变换为:该函数有⼀个重要性质：f(t)为任意连续函数，当f(t)=e^(-st)时，该性质即可看为单位脉冲函数的拉⽒变换。
2、单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：3、单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为：函数图像为：其拉⽒变换为：其被积函数为幂函数与指数函数乘积，使⽤分部积分法求解（反对幂三指），这只是推到过程，我们使⽤的时候只需记住t的拉⽒变换为1/s^2即可。
4、单位加速度函数单位加速度函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程与单位斜坡函数的拉⽒变换求解过程相同，这⾥只需记住1/2T^2的拉⽒变换为1/s^3。
5、指数函数指数函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程为凑微分法。
拉普拉斯变换
二.拉普拉斯变换的性质
1、常数的拉普拉斯变换
L[ A] =
A S
2、常数与原函数积的拉普拉斯变换
L[ Af (t )] = AL[ f (t )] = AF ( s )
3、函数和的拉普拉斯变换
L[ f1 (t ) + f 2 (t )] = L[ f1 (t )] + L[ f 2 (t )] = F1 ( s ) + F2 ( s )
X=
k0 (1 − e − kt ) k
− 例1： ：
dX = k0 − kX dt
第一步： 第一步：做变换
k0 SX −0 = −kX S
第二步：解代数方程 第二步：
k0 X= S (S + k )
第三步： 第三步：查表求解
k0 X = ⋅ (1 − e − kt ) k
： 例2： −
dX = kX dt
初始剂量
X0
第一步： 第一步：做变换
S X − X 0 = −k X
第二步：解代数方程 第二步：
X0 X= S +k
第三步： 第三步：查表求解
X = X 0 ⋅ e − kt
4、原函数导数的拉普拉斯变换
L[ df (t ) ] = sL[ f (t )] − f (0) dt
三、拉普拉斯变换与常微分方程的解
常数线性微分方程的解分三步： 常数线性微分方程的解分三步：
dX = k0 − kX dt
dX L[ ] = L[k0 ] − L[kX ] dt
SL[ X ] − X
一.，则拉普拉斯变 ∞ 换式定义为 − st
F (s) = ∫ f (t )e dt
0
式中s=σ+jω为复变量，称为复频率。 F(s)称 为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数；拉普拉斯 变换简称为拉式变换。通常用符号表示为
常用的拉普拉斯变换公式表
常用的拉普拉斯变换公式表常用的拉普拉斯变换公式表在数学和理论物理领域中，拉普拉斯变换是一种重要的数学工具。
它将一个函数从时间或空间域转换到复频域，这对于解决许多实际问题是很有用的。
在使用拉普拉斯变换时，人们通常需要使用一些常用的公式来简化计算。
在这篇文章中，我将列出一些常用的拉普拉斯变换公式，方便读者在实际应用中使用。
一、定义和性质拉普拉斯变换是一种线性变换，它将一个函数f(t) 映射到复平面上的函数 F(s) 。
具体而言，拉普拉斯变换可以表示为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,+∞) e^(-st) f(t) dt其中s是复变量，常常被看作是频域变量。
对于给定的函数f(t)，我们可以求出它在复平面上的拉普拉斯变换F(s)。
与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列的性质和定理。
下面是一些重要的性质和定理：1. 线性性质：对于任意常数a、b和函数f(t)、g(t)，有L[af(t) + bg(t)] = aL[f(t)] + bL[g(t)]2. 移位定理：对于f(t)的拉普拉斯变换F(s)，有L[e^(-at) f(t)] = F(s+a)3. 初值定理：如果f(t)在t=0处有一个有限的极限，那么L[f(t)] =lim_(s->∞) sF(s)4. 终值定理：如果f(t)是一个有限长度的函数，那么L[f(t)] = lim_(s->0) sF(s)二、常用的拉普拉斯变换公式在实际应用中，常常需要用到一些标准的拉普拉斯变换公式。
下面是一些常用公式：1. 常数函数：L[1] = 1/s2. 单位阶跃函数：L[u(t)] = 1/s3. 二次函数：L[t] = 1/s^24. 指数函数：L[e^(at)] = 1/(s-a)5. 余弦函数：L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)6. 正弦函数：L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)7. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) sin(bt)] = b/(s+a)^2+b^28. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) cos(bt)] = (s+a)/(s+a)^2+b^2以上是一些常用的拉普拉斯变换公式，它们的应用非常广泛，可以用于研究电路、控制系统和信号处理等领域。
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
第六章-拉普拉斯变换
(2) 求 L[t ]
1 ∞ 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt 1 ∞ − pt 1 − pt L[t] = ∫ t ⋅ e dt = − ∫ t ⋅ d(e ) = − [t ⋅ e ] 0 + ∫ e dt = ∫ e dt = 2 . 0 p0 p p 0 p0 p
− pt ∞
L[e st ] (3) 求
L[e ] = ∫ e ⋅ e
st st 0 ∞ − pt
dt = ∫ e
0
∞
−( p − s ) t
1 −( p − s )t dt = − e p−s
∞ 0
1 = . p−s
Re P > Re s
(4) 求 L[te st ]
L[te ] = ∫ te ⋅ e
st st 0 ∞ − pt
dt = ∫ te
θ = arccos
R R +ω L
2 2 2
.
Re P > 0
高阶导数的
L[ f ( n ) (t )] = p n L[ f (t )] − p n −1 f (0) − p n − 2 f ' (0) − K − pf ( n − 2 ) (0) − f ( n −1) (0)
(3) 积分定理
1 L[ ∫ ψ (τ ) dτ ] = L[ψ (t )]. 0 p
例 (1) 解如下交流 RL 电路的方程。
d L j + Rj = E0 sin ωt , dt j (0) = 0.
有源的非齐次方程
A. Lpj + Rj = E0 p 2 + ω 2 ,
ω
E0 E0 1 ω ω B. j = = , 2 2 2 2 Lp + R p + ω L p + R / L p +ω
拉普拉斯反变换公式表
拉普拉斯反变换公式表在数学中，拉普拉斯变换和反变换是常常被用到的数学工具。
它们是将时间域中的函数转变为复平面上的函数，并在解决微分方程、信号分析等领域中发挥着至关重要的作用。
其中，拉普拉斯反变换作为将复平面上的函数转变成时间域中的函数的数学工具，更是无法被替代的。
下面是拉普拉斯反变换公式表：1. $L^{-1}\{\frac{1}{s-a}\}=e^{at}$这是最基本的拉普拉斯反变换公式，其中$a$为一个实数。
2. $L^{-1}\{\frac{1}{(s-a)^n}\}=\frac{t^{n-1}e^{at}}{(n-1)!}$这也是一个经典的公式，其中$n$为一个正整数，$a$为一个实数。
3. $L^{-1}\{\frac{1}{s^2+a^2}\}=\frac{1}{a}sin(at)$这是一个很有用的公式，它与振动系统有关。
其中$a$为一个正实数。
4. $L^{-1}\{\frac{s}{s^2+a^2}\}=cos(at)$这是由公式3导出的，是一个很有用的公式。
5. $L^{-1}\{\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\}=sin(\omega t)$这是一个与谐振子有关的公式，其中$\omega$为一个正实数。
6. $L^{-1}\{\frac{1}{s(s^2+\omega^2)}\}=\frac{1}{\omega}cos(\omega t)-\frac{1}{\omega^2}sin(\omega t)$这是一个由公式4和公式5导出的公式，也与谐振子有关。
7. $L^{-1}\{\frac{1}{s^2-b^2}\}=\frac{1}{2b}e^{bt}sinh(bt)$这是一个与阻尼振动系统有关的公式，其中$b$为一个正实数。
8. $L^{-1}\{\frac{1}{s(s^2-b^2)}\}=\frac{1}{2b}e^{bt}\left(cos(b t)-sinh(b t)\right)$这是一个由公式4和公式7导出的公式，也与阻尼振动系统相关。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。
它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。
今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。
一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。
简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。
公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。
1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。
这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。
例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。
二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。
它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。
2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。
它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。
2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。
它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在工程技术和科学研究中，拉普拉斯变换是一种非常有用的数学工具。
它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使许多问题的求解变得更加简便。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义为：对于一个定义在区间 0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉普拉斯变换 F(s) 定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量，σ 称为实部，ω 称为虚部。
一些常见的函数的拉普拉斯变换如下：单位阶跃函数 u(t) 的拉普拉斯变换为 1/s 。
单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1 。
指数函数 e^（at) 的拉普拉斯变换为 1/（s ＋ a) ，其中 a 为常数。
正弦函数sin(ωt) 的拉普拉斯变换为ω/（s^2 ＋ω^2) 。
余弦函数cos(ωt) 的拉普拉斯变换为 s/（s^2 ＋ω^2) 。
以上只是一些简单而常见的函数的拉普拉斯变换，实际应用中会遇到更复杂的函数。
拉普拉斯反变换则是将复频域中的函数 F(s) 转换回时域中的函数f(t) 。
拉普拉斯反变换的公式为：＼f(t) ＝＼frac{1}｛2\pi j} ＼int_{＼sigma j\infty}＾｛＼sigma ＋j\infty} F(s) e^｛st} ds\但在实际计算中，通常使用部分分式展开法、留数法等方法来求解拉普拉斯反变换。
部分分式展开法适用于 F(s) 是两个多项式之比的情况。
首先将 F(s) 分解为若干个简单分式之和，然后分别求出每个简单分式的拉普拉斯反变换，最后将它们相加得到 f(t) 。
留数法是通过计算 F(s) e^｛st} 在 s 平面上奇点处的留数来求得拉普拉斯反变换。
拉普拉斯变换具有许多重要的性质，比如线性性质、微分性质、积分性质等。
线性性质指的是对于任意常数 a 和 b ，以及函数 f1(t) 和 f2(t) ，有：＼La f1(t) ＋ b f2(t) ＝ a Lf1(t) ＋ b Lf2(t)＼微分性质表明，如果 F(s) 是 f(t) 的拉普拉斯变换，那么 f'（t) 的拉普拉斯变换为 sF(s) f(0) 。
信号三大变换公式
信号三大变换公式信号处理领域中，常用的三大变换公式分别为傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。
这些变换公式在信号处理中起到了重要的作用，能够帮助我们分析和处理各种类型的信号。
下面将详细介绍这三大变换公式。
一、傅里叶变换：傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换到频域的方法。
它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) ⨉ e^(-jωt)] dt其中，F(ω)是信号在频域的表示，f(t)是信号在时域的表示，ω是角频率，e^(-jωt)是复指数函数。
傅里叶变换可以用于信号的频谱分析，可以将信号分解成频率分量，从而帮助我们了解信号的频率分布情况。
此外，傅里叶变换还可以用于滤波、编码和解码等方面的应用。
二、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种将一个信号从时域转换到复平面的变换方法。
它将时域中的信号转换为复平面上的点，可以将信号的幅度和相位信息进行分析。
拉普拉斯变换的数学表达式为：F(s) = ∫[f(t) ⨉ e^(-st)] dt其中，F(s)是信号在复平面上的表示，f(t)是信号在时域的表示，s 是复平面上的变量，e^(-st)是复指数函数。
拉普拉斯变换可以用来解决时域中的微分方程和差分方程问题，以及处理电路和控制系统等方面的信号分析和系统设计问题。
三、Z变换：Z变换是一种将离散信号从时域转换到复平面的方法。
它是离散时间傅里叶变换的离散形式，可以将离散信号的频谱和相位信息进行分析。
Z 变换的数学表达式为：F(z)=Σ[f[n]⨉z^(-n)]其中，F(z)是信号在复平面上的表示，f[n]是信号在时域的表示，z 是复平面上的变量，z^(-n)是复数的幂。
Z变换可以用来分析和设计数字滤波器、解离散时间系统的差分方程和处理离散序列的频谱分析等问题。
总结：傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号处理中常用的三大变换公式。
它们分别将信号从时域、时频域和到频域进行转换，可以帮助我们理解和分析各种类型的信号，并在信号处理、滤波和系统设计等方面提供重要的工具。
拉普拉斯反变换常用公式
拉普拉斯反变换常用公式拉普拉斯反变换是控制工程、信号处理等领域中一个非常重要的概念。
咱们先来说说拉普拉斯反变换到底是啥。
简单来讲，拉普拉斯变换就像是给一个信号或者函数穿上了一件特别的“衣服”，让它在一个新的“世界”里更好地被理解和处理。
而拉普拉斯反变换呢，就是把穿上这件“衣服”的信号或者函数再变回原来的样子。
那常用的拉普拉斯反变换公式都有哪些呢？比如说，如果 F(s) = 1 / (s + a) ，那么它的拉普拉斯反变换就是 e^(-at) 。
再比如，F(s) = s / (s^2 + ω^2) ，它的拉普拉斯反变换就是cos(ωt) 。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这一堆公式感觉好复杂啊，怎么能记住呢？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后我就给他举了个例子，假设我们有一个电路，里面的电流变化可以用一个函数来表示，经过拉普拉斯变换后，我们可以更方便地分析这个电路的特性。
但是最终我们还是要把变换后的结果变回原来的电流函数，这时候拉普拉斯反变换就派上用场啦。
接着咱们再来说说部分分式展开法。
这在求解拉普拉斯反变换的时候经常用到。
比如说，给你一个 F(s) = (s + 2) / [(s + 1)(s + 3)] ，这时候咱们就得把它展开成几个简单分式的和，然后再利用已知的公式去求反变换。
还有像卷积定理，在求拉普拉斯反变换的时候也能帮上大忙。
它就像是一把神奇的钥匙，能打开一些复杂问题的大门。
总之啊，拉普拉斯反变换常用公式虽然看起来有点让人头疼，但只要咱们多做几道题，多结合实际例子去理解，就会发现其实也没那么难。
就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但练得多了，自然就能轻松驾驭啦！希望大家都能把这些公式掌握好，在相关的学习和应用中更加得心应手。
拉普拉斯变换的公式
拉普拉斯变换的公式拉普拉斯变换是数学中一个非常重要的工具，在工程、物理等领域有着广泛的应用。
它的公式看起来可能有点复杂，但别担心，咱们一步步来拆解。
咱先说说拉普拉斯变换的定义式：对于一个时间函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换 F(s) 定义为：F(s) = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt这里的 s 是一个复变量，一般写成s = σ + jω 。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，那场面可有意思啦。
有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这一堆符号看着就头疼，到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“就好比你们要去一个很远的地方，拉普拉斯变换就是给你们的交通工具，能让你们更轻松地到达目的地。
”咱们来仔细瞧瞧这个公式里的每个部分。
e^(-st) 这一项，就像是一个筛选器，它能把不同频率的信号区分开来。
而积分呢，则是把所有时刻的信号都综合起来考虑。
再来说说一些常见函数的拉普拉斯变换公式。
比如单位阶跃函数u(t) ，它的拉普拉斯变换是 1/s 。
单位脉冲函数δ(t) ，其拉普拉斯变换是 1 。
有一次在课堂上做练习题，有个同学把单位脉冲函数的拉普拉斯变换给记错了，结果整个计算都错得离谱。
我就指着他的作业本说：“你这可记错啦，单位脉冲函数就像一颗瞬间爆发的小炸弹，它的能量在瞬间释放，所以拉普拉斯变换才是 1 哟。
”同学们听了都哈哈大笑，那个同学也不好意思地挠挠头，记住了这个知识点。
拉普拉斯变换还有很多性质，比如线性性质、微分性质、积分性质等等。
这些性质能让我们在求解复杂问题时更加得心应手。
就拿线性性质来说吧，假设 f1(t) 和 f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和 F2(s) ，那么对于任意常数 a 和 b ，a*f1(t) + b*f2(t) 的拉普拉斯变换就是 a*F1(s) + b*F2(s) 。
在实际应用中，拉普拉斯变换可以帮助我们求解微分方程。
比如说电路分析中，通过对电路中的元件建立数学模型，然后进行拉普拉斯变换，就能把微分方程转化为代数方程，大大简化了计算。
拉普拉斯变换法
3.导函数
df (t ) F (t ) dt
df (t ) df (t ) L dt e df (t ) e dt dt
st
st
0
0
df (t ) L f (0) s e f (t )dt dt
st
0
二、 简单函数L氏变换
1. 常数
f（t）=A
A L( A) e Adt S
st
0
2. 指数函数 f（t）= e-at
L(e ) e (e )dt e
at
st
at
( s a ) t
0
0
1 dt sa
A L( Ae ) sa
at
若
则 LF ' (t ) sf ( S ) F (0) sLF (t ) F (0)
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t Ae-at L氏变换，f（s） A/s 1/s2 A/(s+a) A/s(s+a)
A at bt (e e ) ba
Ate-at
方程终解 X k (1 e ) K
0 k t
2.
静脉注射
dX kX dt
( t=0,
X=X0)
sL[ X (t )] X (0) kL[ X (t )]
s X X (0) k X
Hale Waihona Puke X0 X sk kt X X 0e
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
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说明
通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一部分，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为零。
5.系统的稳定性
若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。
（1）稳定系统的时域判决条件 （充要条件）
若系统是因果的，则 式可改写为
（2）对于因果系统，其稳定性的s域判决条件
若系统函数 的全部极点落于s左半平面，则该系统稳定；
若系统函数 有极点落于s右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定；
知识要点
1.拉普拉斯变换的定义及定义域
（1）定义
单边拉普拉斯变换：
正变换
逆变换
双边拉普拉斯变换：
正变换
逆变换
（2）定义域
若 时， 则 在 的全部范围内收敛，积分 存在，即 的拉普拉斯变换存在。 就是 的单边拉普拉斯变换的收敛域。 与函数 的性质有关。
2.拉普拉斯变换的性质
（1）线性性
若 , , , 为常数时，则
（2）留数法
留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数 在围线中所有极点的留数运算，即
若 为一阶级点，则在极点 处的留数
若 为k阶级点，则
4.系统函数（网络函数）H（s）
（1）定义
系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即
冲激响应 与系统函数 构成变换对，即 系统的频率响应特性 式中， 是幅频响应特性， 是相频响应特性。
利用s域模型图4-5（b）可直写出图4-5（a）电路的系统函数
冲激响应
（2）求系统的起始状态
为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给出带有初值的s域模型。下面我们用s域模型求解。图4-5(a)电路的s域模型如图4-5(b)。
由图4-5(b)可以写出
上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和 相等，从而得
可看作是图4-2(c）所示的矩形脉冲 自身的卷积
于是，根据卷积性质
而
所以
例4-3
应用微分性质求图4-3（a）中 的象函数下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-3（b） 是的导数 的波形。
图4-3（a）
解答
说明
（1）对于单边拉氏变换, 故二者的象函数相同，即
因而
这是应用微分性质应特别注意的问题。
由图4-3（b）知
例4-4
某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。
为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出
阶跃响应
则
例4-5
电路如图4-5（a）所示
（1）求系统的冲激响应。
（2）求系统的起始状态使系统的零输
入响应等于冲激响应。
（3）求系统的起始状态，
解答
（1）求系统的冲激响应。
系统冲激响应 与系统函数 是一对拉氏变换的关系。对 求逆变换可求得 ，这种方法比在时域求解微分方程简便。
（2）原函数微分
若 则
式中 是r阶导数 在 时刻的取值。
（3）原函数积分
若 ，则 式中
（4）延时性
若 ，则
（5）s域平移
若 ，则
（6）尺度变换
若 ，则 （a 0）
（7）初值定理
（8）终值定理
（9）卷积定理
若 ， ，则有
=
3.拉普拉斯逆变换
（1）部分分式展开法
首先应用 海维赛展开定理将 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数 。
（2）零极点分布图
式中， 是系数； ， ， 为 的零点； ， ， ， 为 的极点。在s平面上，用“ ”表示零点，“ ”表示极点。将 的全部零点和极点画在s平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。
（3）全通函数
如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于 轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。全通网络函数的幅频特性是常数。
（4）最小相移函数
如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或 轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。
（5）系统函数 的求解方法
由冲激响应 求得，即 。
对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由 获得。
根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为 。
方法一：按定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求解
方法二：利用线性叠加和时移性质求解
由于
于是
方法三：利用微分性质求解
分析
信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。
将 微分两次，所得波形如图4-2（b）所示。
显然
根据微分性质
由图4-2（b）可以看出
于是
方法四：利用卷积性质求解
若系统函数 没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。
内容摘要
例题
·例题1：求拉氏变换
·例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质
·例题3：拉氏变换的微分性质
·例题4：系统函数，求解系统的响应
·例题5：用拉氏变换法分析电路·
例4-1
求下列函数的拉氏变换
分析
拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以 表示 单边拉氏变换,以 表示 双边拉氏变换。若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研究 的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。
解答
例4-2
求三角脉冲函数 如图4-2（a）所示的象函数
分析
和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。
解答
方法一：按定义式求解
方法二：利用线性叠加和时移性质求解
方法三：利用微分性质求解
方法四：利用卷积性质求解
拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
基本要求
通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。