计算方法总结

第一节牛顿柯特斯公式
一．数值算法
1.数值积分算法
对于复杂函数f(x)，考虑用其近似函数P(x)去逼近，用P(x)的积分值近似代替f(x)积分值。
2.插值型数值积分方法
对于拉格朗日插值多项式，
广义积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上部变号，则
，使
3.牛顿柯特斯公式
梯形公式：
，小条件数。
解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。
5.算法的稳定性
若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。
第二章：解线性代数方程组的直接法
1.高斯消去法
步骤：消元过程与回代过程。
顺利进行的条件：系数矩阵A不为零；A是对称正定矩阵，A是严格对角占优矩阵。
对称正定矩阵的乔列斯基分解， ，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解 的平方根法。
改进平方根法：利用矩阵的 分解。
4.舍入误差对解的影响
向量范数定义：
常用的向量范数：
矩阵的范数：
常用的矩阵范数：
矩阵范数与向量范数的相容性：
影响： ，其中 ，k值大，病态问题。
第三章：插值法
1.定义
给定n+1个互不相同的点，xi及在xi处的函数值yi(i=0～n)，构造一个次数不超过n次的多项式： ，使满足 。取 。称 为插值多项式， 为插值节点， 为被插函数。
定理：设 是方程 的根，
如果迭代函数 满足
产生的迭代序列 是P阶收敛。
二．牛顿迭代法
收敛性分析：牛顿迭代法具有局部收敛性，初值 ，产生迭代序列收敛。
收敛定理：设f(x)在[a,b]上二阶导数存在，若
， 在[a,b]上单调， 在[a,b]上凹向不变（即 在区间上不变号），初值 满足 ，则任意初值 ，有牛顿迭代法产生的 收敛于方程的唯一根。
正交多项式的性质：
1)正交多项式 线性无关，推论： 与 正交。
2)在区间[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多项式gn(x)有n个不同的零点。
3)设 是最高次项系数为1的正交多项式，则：
4.最优一致逼近法
(1)切比雪夫多项式的性质
性质1： 是[-1,1]上关于 的正交多项式， ；
(2)一阶导数，n=2，三个节点
(3)二阶导数，n=2，三个节点
实用误差估计
例：
第六章非线性方程的迭代解法
第一节方程求根法
根的定义：对于非线性方程组f(x)=0，若存在数 使f( )=0，称 是非线性方程组f(x)=0的根。
零点存在定理：若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，若f(a)f(b)<0，则必然存在 ，使f( )=0。
2.函数的内积，范数定义及其性质
内积的定义：
性质：
范数的定义：
范数的性质：
正规方程组或法方程组：
3.正交多项式
正交函数系的定义：
代入正规方程组的系数矩阵，则：
几个正交多项式举例：
1)勒让德多项式
2)拉盖尔多项式
3)埃尔米特多项式
4)切比雪夫多项式
四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；P多项式用于最优平方逼近，T多项式用于最优一致逼近。
2.变步长复化梯形公式
3.变步长复化辛普森公式
四．龙贝格积分法
第二节待定系数法
1.代数精度定义
对于近似公式 ，如果f(x)是任意不超过m次的多项式， 成立，而对于某个m+1多项式， ，称代数精度为m次。
2.判定方法
近似式的代数精度为m次
对 ，近似式精确成立， ， 时不成立， 。
梯形公式m=1，辛普森公式m=3。
性质2： ；
性质3： 是最高次项为 的k次多项式， 只含x的偶次项， 只含x的奇次项；
性质4： 有k个不同的零点， ；
性质5：在[-1,1]上， ，且在k+1个极值点 处 依次取得最大值1和-1；
性质6：设Pn(x)是任意一个最高次项系数为1的n次多项式，则：
(2)最优一致逼近法的定义
设函数f(x)在区间[a,b]连续，若n次多项式 使 达到最小，则称 为 在[a,b]上的最优一致逼近函数。
插值问题具有唯一性。
grange插值多项式
表达式：
误差估计式：
3.Newton插值多项式
差商：
表达式：
误差表达式：
差商的性质：
1)差商与节点的次序无关；
2)K阶差商对应K阶导数；
3)
4)
5)
4.埃尔米特（带导数）插值多项式
1)Newton法，给定f及f(k)为数字；
2)Lagrange法，给定f及f(k)为表达式。
3.Peano定理
第三节高斯型积分公式
一．定义
节点个数一定，具有最高阶代数精度公式的插值型积分公式称为Guass型求积公式。
插值型积分公式定义：
定理：数值积分公式 至少有n次代数精度 近似式是插值型积分公式。
对于牛顿科特斯公式，若采用等距Байду номын сангаас点，n分别为奇数和偶数时，代数精度分别为n和n+1。
二．最高代数精度
简化牛顿法：
三．弦割法或割线法
用差商代替导数
第二节线性代数方程组迭代解法
Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法
SOR迭代法（ ）
迭代法的收敛性：
将迭代法用矩阵表示： ，
Jacobi迭代法：
G-S迭代法：
SOR迭代法：
定理： ，对 产生的迭代序列 收敛的充要条件是：
或 。
推论1：若 ，则收敛；
第三节非线性方程组的迭代解法
第七章矩阵特征值和特征向量
矩阵A主特征值——模最大的特征值取为主特征值。
对n个互不相同的特征值 ，对应特征向量 … ；
任意向量
， 是对应A的 的特征向量，
规范乘幂法
， 按模取最大分量 ， 。
， 是 的规范化向量； 。
加速法（原点位移法）
第八章常微分方程数值解法的导出
一．数值微分法
2.列主元高斯消去法
失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。
解决：在消去过程的第K步，交换主元。
还有行主元法，全主元法。
3.三角分解法
杜立特尔分解即LU分解。
用于解方程 ；
用于求 。
克罗特分解： ，下三角阵和单位上三角阵的乘积。
将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。
切比雪夫定理：n次多项式P(x)成为函数y=f(x)在区间[a,b]上最优一致逼近多项式的充要条件是误差 在区间[a,b]上以正负或负正交替的符号依次取得 的点（偏差点）的个数不少于n+2。
采用如下方程组进行求解：
(3)近似最优一致逼近多项式
思路：
使用T多项式性质6
若区间是[-1,1]，取xi(i=0～n)为Tn+1的零点，则 ～ ，以此构造插值多项式Pn(x)；
推论2：SOR方法收敛的必要条件是 ；
推论3：设A是严格对角占优矩阵，则Jacobi，G-S， 的SOR方法收敛；
推论4：1)设A是对称正定矩阵，则G-S方法收敛；2)设A是对称正定矩阵，若2D-A也对称正定，则Jacobi方法收敛；若2D-A不对称正定，则Jacobi方法不收敛；3)设A是对称正定矩阵， ，则SOR方法收敛。
1.Gauss-Legendre求积公式 ， 是 的n+1个零点。
n=0
n=1
2.Gauss-Laguerre求积公式
3.Gauss-Hermite求积公式
4.Gauss-Chebyshev求积公式
第四节数值微分
，h大，不精确，h小，由于小除数引入大误差。
近似函数法
取等节距节点，
(1)一阶导数，n=1，两个节点
5.三次样条插值函数
分段三次插值多项式的定义：S(x)在子区间[xi-1,xi]上是三次多项式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上连续。
三次样条插值函数的导出：
第四章：函数最优逼近法
1.最优平方逼近
对于广义多项式： ，其中 线性无关。
要求：
若f(x)是表格函数，确定P(x)称为最小二乘拟合函数，当 ，P(x)为最小二乘多项式；若f(x)是连续函数，称P(x)为最优平方逼近函数。
第一章：基本概念
1.
若 ，称 准确到n位小数， 及其以前的非零数字称为准确数字。
各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。
2.
进制： ，字长： ，阶码： ，可表示的总数：
3.计算机数字表达式误差来源
实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。
4.数据误差影响的估计：
欧拉公式：
后退欧拉公式：
终点法：
局部截断误差：
二．数值积分法
预估 ，校正
三．泰勒展示法
四．线性多步法
辛普森公式：
二．复化求积公式
1. ，把[a,b]分成若干等长的小区间，在每个小区间用简单低次数值积分公式，在将其得到的结果相加。
2.复化梯形公式
3.复化辛普森公式
三．变步长的积分公式
1.先取一步长h进行计算，再取较小步长h*计算，若两次结果相差很大，则在取更小步长进行计算，依次进行，直到相邻两次计算结果相差很大，则取较小步长的结果为积分近似值。
定理：
So，给定n+1个节点，具有2n+1次代数精度的插值型数值积分公式称为Gauss型求积公式。
三．Gauss型积分公式的构造方法
方法1：
代数精度为2n+1，则 时成立，可解出 和 。
方法2：
定理：代数精度 是[a,b]上关于 的正交多项式 的零点(高斯点)，其中 。