《材料力学》第8章 组合变形及连接部分的计算 习题解

第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。

已知m l 8.0=，kN F 5.21=，kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。

故MPa Pa mm N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.236363363max=⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。

已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。

试校核梁的强度和刚度。

解：（1）强度校核)/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =⨯== （正y 方向↓）)/(15.0230sin 0m kN q q z =⨯== （负z 方向←）)(464.34732.1818122m kN l q M y zmaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面)(241818122m kN l q M z ymaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面)(5120001601206161322mm bh W z =⨯⨯==)(3840001201606161322mm hb W y =⨯⨯==最大拉应力出现在左下角点上：yy z z W M W M maxmax max +=σ MPa mmmm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33636max=⋅⨯+⋅⨯=σ因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ<所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。

（2）刚度校核=m w m 0267.0150/4][0202.0==<=。

即符合刚度条件，亦即刚度安全。

[习题8-3] 悬臂梁受集中力F 作用如图所示。

已知横截面的直径mm D 120=，mm d 30=，材料的许用应力MPa 160][=σ。

试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。

解：F F F y 866.030cos 0== （正y 方向↓）F q F z 5.030sin 0== （负z 方向←）)(732.12866.0m N F F l F M y zmaz ⋅=⨯== 出现在固定端截面，上侧受拉 )(25.0m N F F l F M z ymaz ⋅=⨯== 出现在固定端截面，外侧受拉)34(64]41641[2641442244d D d d d D I z -=⋅+⋅-=ππππ 4448822419)3034120(6414.3mm =⨯-= )2(6464126414444d D d D I y -=⨯-=πππ 44410094119)302120(6414.3mm =⨯-=9816577.1882241910094119732.1tan max max =⋅=⋅=F F I I M M z y y z θ'001363223.639816577.1arctan ===θ，即：中性轴是过大圆的圆心，与y 轴的正向成'1363的一条直线（分布在二、四象限）。

F F F M M M y z 23222max 2max max =+=+= （沿F 作用线方向）)(1470406088224192/3mm D I W z z ===MPa mm mm N F W M z 16014704010233max max ≤⋅⨯==σkN N F 763.1111763=≤kN F 763.11][=[习题8-4] 图示一楼梯木料梁的长度m l 4=，截面为m m 1.02.0⨯的矩形，受均布荷载作用，m kN q /2=。

试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。

解：以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴的正向。

过Ａ点，倾斜向下方向为y 轴的正向。

)/(121230sin 0m kN q q x =⨯== （负x 方向：↙） )/(323230cos 0m kN q q y =⨯== （正y 方向：↘） A 、B 支座的反力为：kN X A 4=，kN R Y B A 32== ＡＢ杆的轴力：4)4()(-=--=x x q x N x ＡＢ杆的弯矩：2223322132)(x x x q x x M y -=-=AB 杆的轴力图与弯矩图如图所示。

23222.01.0)4(2.01.061)866.0464.3()()()(m kNx m m kN x x A x N W x M x z t ⨯--⨯⨯⋅-=-=σ )4(50)866.0464.3(15002x x x ---= x x x 50200129951962+--= 200524612992-+-=x x （)kPa令052462598)(=+-=x dxx d t σ，得：当m x 019.2=时，拉应力取最大值： MPa kPa t 097.5)(5.5096200019.25246019.212992max ≈=-⨯+⨯-=σ23222.01.0)4(2.01.061)866.0464.3()()()(m kNx m m kN x x A x N W x M x z c ⨯--⨯⨯⋅--=--=σ )4(50)866.0464.3(15002x x x ----=x x x 50200129951962+-+-=200514612992--=x x 令051462598)(=-=x dxx d t σ，得：当m x 981.1=时，压应力取最大值： MPa kPa c 297.5)(5.5296200981.15146981.112992max -≈-=-⨯-⨯=σ[习题8-5] 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18号工字钢，其长度为m 。

试求当荷载作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。

设工字钢的自重可略去不计。

解：18号工字钢，，AB 杆系弯压组合变形。

AF W M BC c 0max30cos --=中σ0=∑A M ：0230sin 0=⋅-⋅lF l F BC ，kN F BC 25= )(25.1626.25.025230sin 0m kN l F M BC ⋅=⨯⨯=⋅=中 MPa Pa mNm m N c 9.9410)07.783.87(106.302310251085.11025.166243343max -=⨯+-=⨯⨯⨯-⨯⋅⨯-=-σ [习题8-6] 砖砌烟囱高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=，自重kN P 20001=，受m kN q /1=的风力作用。

试求：（1）烟囱底截面上的最大压应力；（2）若烟囱的基础埋深m h 40=，基础及填土自重按kN P 10001=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。

解：烟囱底截面上的最大压应力：==土壤上的最大压应力：即即解得：m[习题8-7] 螺旋夹紧器立臂的横截面为b a ⨯和矩形，如图所示。

已知该夹紧器工作时承受的夹紧力kN F 16=，材料的许用应力MPa 160][=σ，立臂厚mm a 20=，偏心距mm e 140=。

试求立臂宽度b 。

解：立柱是拉弯构件。

最大拉应力为： )61(6122max be b a F ab Fe ab F t +=+=σ )14061(20160002b b ⨯+=)8401(8002b b +=正应力强度条件：][max σσ≤t 160)8401(8002≤+bb0420052=--b b解得：mm b 356.67=[习题8-8] 试求图示杆内的最大正应力。

力F 与杆的轴线平行。

解：（1）求T 形截面的形心位置形心在y 轴上，0484282222=+⋅+⋅-=a a a a a a y C （2）把力F 先向y 轴平移，产生一个Fa a F M y 22-=⋅-=；然后，再把F 向z 轴平移，又产生一个Fa a F M z 22-=⋅-=。

故，T 形截面的杆件是拉伸与双向弯曲的组合变形构件。

（3）判断最大拉应力与最大压应力出现的位置由y M 、z M 的方向（正负号）可知，A 点处拉应力最大，B 点处压应力最大。

（4）计算最大拉应力 422322332]4)2()4(121[]8)2(4121[a a a a a a a a a I z =⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=zAz y A y A t I y M I z M A F ++==σσmax 22442572.02641513222112212aFa F a a aF a a aF a F ≈=⋅+⋅+=（5）计算最大压应力zA z yB y B c I y M I z M A F --==σσmax22442258.0661********.0212aFa F a a aF a a aF a F -≈-=⋅-⋅-=故杆内的最大正应力是：2max 572.0aFA t ==σσ。

[习题8-9] 有一高为m 2.1、厚为m 3.0的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。

试求：（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（高混凝土的密度为33/1045.2m kg ⨯）；（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h 为多大？解：（1）求墙底处的最大拉应力和最大压应力沿墙长方向取m 1作为计算单元，则墙的重力为：)(6436.88.945.2)2.113.0(kN G =⨯⨯⨯⨯= （↓）作用在墙底处的水压力为：)/(76.1112.18.91m kN h q =⨯⨯=⨯⋅=γ墙底处的弯矩：)(8224.22.131)2.176.1121(m kN M ⋅=⨯⨯⨯⨯=混凝土墙为压弯构件，墙底的应力为：MPa kPa m mkN mkN W M A G z c 217.0972.2163.01618224.213.06436.8322max -=-=⨯⨯⋅-⨯-=--=σ（右） MPa kPa m m kN m kN W M A G z t 159.0348.1593.01618224.213.06436.8322max ==⨯⨯⋅+⨯-=+-=σ（左）（2）求混凝土中没有拉应力时的水深h作用在墙底处的水压力为：)/(8.918.91m kN h h h q =⨯⨯=⨯⋅=γ墙底处的弯矩：)(39.431)8.921(3m kN h h h h M ⋅=⨯⨯⨯⨯=09.108812.283.016139.413.06436.833232max =+-=⨯⨯⋅+⨯-=+-=h m mkN h mkN W M A G z t σ 09.108812.283=+-h )(642.0m h =故当m h 642.0=时，混凝土中不出现拉应力。