三年级奥数教程第12讲三阶幻方

三年级奥数教程第12讲三阶幻方

三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．

例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．

图12-1

分析与解 1+2+…+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．

从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是

9+5+1，9+4+2，

8+6+1，8+5+2，

8+4+3，7+6+2，

7+5+3．6+5+4

这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图

所示．

816

357

492

图12-2

说明除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．

随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．

例2、将1，3，5，7，…17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．分析与解将图12—2中的1，2，3，…，9分别用1，3，5，…，17代替，得到图12—3．

它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．

15111

5913

7173

图12-3

随堂练习2 将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．

例3、如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?

分析与解总和是

1+4+7+…+25＝(1+25)×9÷2＝117．

由于三行的和相等，所以每一行的和是

117÷3＝39．。

每一列、每一条对角线的和也是39．

两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍．所以中央的那个数是

(39×3—39 × 2)÷3＝13．

随堂练习3 如果2、6、10、1 l、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?

例4、图12—4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数．

6

2815

图12-4

分析与解首先注意在例3中实际上已经得出每一行(每一列、每条对角线)的和是中

央那个数的3倍．因此，现在每一行的和是

15×3＝45．

这样，就可以得出第三行第一个数是

45—6—28＝11．

第三行第三个数是

45—6—15＝24．

第三行第二个数是

45—11—24＝10．

同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图12—5．

62019

28152

111024

图12-5

随堂练习4图1 2—6是一个三阶幻方，请填出其他的数．

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23

图12-6

例5、已知图12—7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．

112

6

3

图12-7

分析及解每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12。

第一行的第一个数是

3×6×12÷12÷1＝18，

第一列的第二个数是

3×6×12÷18÷3＝4，

第二列的第三个数是

3×6×12÷l÷6＝36，

第三列的第二个数是

3×6×12÷4÷6＝9，

第三列的第三个数是

3×6×12÷18÷6＝2．

于是，得出图12—8．

18112

469

3362

图12-8

随堂练习5 已知图12—9中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．

41025

2

图12-9

例6、已知图12—1。是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2 037．求画有“?”的格子填的数是多少．

447？

894

图12-10

分析及解根据例3、例4，中央的那个数是

2 037÷3＝679．

第一行第二个数是

2 037—679—894＝464．

第一行第三个数是

?＝2 037—447—464

＝1 126．

所以要填的数是1 126．

随堂练习6 写出图12 10中其他格子中的数．

读一读………………………………………

幻方起源于中国．传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称为洛书．宋代学者朱熹在所著的《周易本义》卷首画出如下的洛书图，它与图12—2实际上是一样的．

想一想…………………

数独

有一种很流行的填数游戏，称为数独．

数独要求在一个9×9的正方形中填出一些数字，使得每一行、每一列都恰好有1～9这9个数字，并且9×9的正方形分成9个3×3的正方形，每一个3×3的正方形中也恰好有1～9这9个数字．下图已经给出一些数字，请将其他格中的数字填出．

练习题

1、用3、6、9、1

2、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方．

2、用0、2、4、6、8、l0、12、14、16这9个数作一个三阶幻方．