§10-9正弦稳态响应的叠加本节讨论几个不同频率的正弦激励

图(a),(b),(c)所 示三种非正弦 周期信号的傅 里叶级数分别 为：
f
(t)
4A
sin(1t)
1 3
sin(31t)
1 5
sin(51t)
g(t)
A 2
A
sin(1t)
1 2
sin(21t)
1 3
sin(31t)
h(t)
4A
1 2
1 3
cos(1t)
1 15
cos(21t)
1 35
瞬时值表达式为
u5 (t) 0.25 cos(5103t 78.7 )V
(5)其余谐波分量的计算方法相同
最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加，就得 到电阻上稳态电压的瞬时值
u(t) u0 (t) u1(t) u3 (t) u5 (t) [5 4.5cos(103 t 45 ) 0.67cos(3103 t 71.6 ) 0.25cos(5 103t 78.7 ) ]V
U
S1
10 10 j10
20 π2
3.183 45 V
相应的瞬时值表达式为
u1(t) 4.5 cos(103t 45 )V
(3) 三次谐波电压 (-20/3)cos(31t) 作用时， 31=3103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的相
量电压分量
U 3
R
R j3ω1L
U
S3
10 20 0.475 71.6 V 10 j30 3π 2
3.根据叠加定理求稳态电压u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加， 得到非正弦稳态电压u(t)
u(t) u'(t) u"(t) 10 2 cos(100 t 55 )V 4.47 2 cos(200 t 76.6 )V
u(t) u'(t) u"(t) 10 2 cos(100 t 55 )V 4.47 2 cos(200 t 76.6 )V
2.计算 iS (t) 2 cos(200t 50 )A 单独作用时产生的 电压 u" (t) 。
将电压源uS(t)用短路代替，得到图(c)所示相量模型，
由此求得
U“
j10 5
5 j10
IS
j50 5 j10
150
4.4776.6 V
由相量写出相应的瞬时值表达式
u"(t) 4.47 2 cos(200 t 76.6 )V
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
解：1.计算 uS(t) 20 cos(100 t 10 )V 单独作用时产生
的电压 u' (t)
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
U
'
5
j5 j5
U
S
5
jBaidu Nhomakorabea j5
10
210 1055 V
由相量写出相应的瞬时值表达式
u' (t) 10 2 cos(100 t 55 )V
u ' (t) 和 u" (t) 的波形如图(a)所示。 u(t) u ' (t) u" (t) 的 波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
对于周期性非正弦信号在线性时不变电路中引起的稳 态响应，也可应用叠加定理，按不同频率正弦激励下响应 的计算方法求得。为此，先用傅里叶级数把非正弦周期信 号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和。
注意：在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中 引起的非正弦稳态响应时，只能将电压电流的瞬时 值相加，绝不能将不同频率正弦电压的相量相加。
本题用计算机程序ACAP求得输出电压前12项的结果 以及波形如下所示：
u 3(t)= 5.00 Cos( .000 t +.00) + 4.50 Cos( 1000. t -45.00) + .671 Cos( 3.000E+03t+108.43) + .250 Cos( 5.000E+03t -78.69) + .129 Cos( 7.000E+03t +98.13) + 7.811E-02Cos( 9.000E+03t -83.66) + 5.240E-02Cos( 1.100E+04t +95.19) + 3.756E-02Cos( 1.300E+04t -85.60) + 2.823E-02Cos( 1.500E+04t +93.81) + 2.199E-02Cos( 1.700E+04t -86.63) + 1.761E-02Cos( 1.900E+04t +93.01) + 1.442E-02Cos( 2.100E+04t -87.27)
cos(31t)
例10-28 图10-56(a)所示幅度A=10V，周期T=6.28ms周期方波电
压信号uS(t)作用于图(b)所示电路。试求电阻上的稳态电 压u(t)。
图 10－56
uS (t)
A 2
2A
cosω( 1t)
1 3
c os (3ω
1t )
1 5
c os (5ω
1t )
5
20
c osω(
瞬时值表达式为
u3 (t) 0.671 cos(310 3 t 71.6 )V
(4) 五次谐波电压(4/)cos(51t)作用时， 51=5103rad/s，根据相应的相量模型计算出相应的相量电
压分量
U 5
R
R j5ω
1L
U
S5
10 4 0.1766 78.7 V 10 j50 π 2
1t )
20
3
c os (3ω
1t )
4
c os (5ω
1t
)
V
(1) 5V直流电压源作用时，由
于=0，在直流稳态条件下，电感
相当于短路，所以
u0 (t) U 0 5V
(2)基波电压(20/)cos1t作用时，1=2/T=103rad/s，根据相
应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量
U1
R
R jω1L
在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时， 仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到电 压电流的瞬时值uk(t)和ik(t)。
例10-27 图(a)所示电路中，已知
电压源电压 uS(t) 20 cos(100 t 10 )V 电流源电流 iS(t) 2 cos(200t 50)A
§10-9 正弦稳态响应的叠加
本节讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路 中引起的非正弦稳态响应。
几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的 稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个正弦 激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然后相加 求得非正弦稳态电压u(t)和电流i(t)。