机械零件有限元分析概述基本原理与基本原则

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e
s
6
6 -11-
Displacements
变形前 (x, y, z) u(x, y, z)
变形后
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Stresses (1/4)


应力用来描述力的密度(intensity)及方向 (direction) 应力的单位是N/m2 (Pa) 应力需要以两个方向来描述
xy xz yz
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yx
zx zy
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B、控制方程（Governing Equations ）
控制方程是描述这15个未知量之间的关系、包括3个力平衡方 程式, 6个应变与位移关系, 及6应力与应变关系(虎克定律)
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力平衡方程式
由力的平衡条件 ΣFx=0 ΣFy=0 ΣFz=0
单位 W/m2 W K W/m3
主要ANSYS命令 SF F D BF
热流
作用在物体界面
温度
作用在物体内部 热源
固定温度 Heat generation（发热 率）
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Responses
结构反应 位移 (displacements)
符号 u
分量数目 3
应变 (strains)
应力 (stresses)
单位
Pa N m m N/m3
主要ANSYS命令
SF F D D ACEL, OMEGA
其他体积分布力(静电力或磁力等)
温度变化
N/m3
K
(none)
BF
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Loads in Thermal Analysis
热分析负载分类 Heat flux（热通量） Heat flow（热量）
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Strains (1/3)


应变是描述某一质点被拉伸或压缩，及 扭曲的程度。 应变的单位是m/m, 相当于无单位 应变也是需要两个方向来描述
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Strains (2/3)
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Strains (3/3)
γ =γ γ =γ γ =γ
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结构分析问题
P2 at S2
Q1 at S1
D3 = 0 at S3
y Body
x z
D4 at S4
结构分析是一个固态的实体（body）承受负载（loads） 后，求解结构反映（responses）的过程
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Example (1/2)
P Q
Body Loads Responses

理论上15个方程式可以解15个未知量 实际上只有很简单的问题才有解析解 大部份的问题必须以数值方式解答 最普遍的数值方法是有限元素法
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有限元素法: 基本思想
将body切割成元素, 元 素之间假设仅以节点连 接； 先建立每个元素的方程 式； 再组成整体body的方 程式； 最后解出未知量。
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梁 集中力、分布力及约束 变形、应力、应变
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2.1.2 Example (2/2)
D
Body Loads Responses
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梁 右端位移D, 左端位移0 变形、应力、应变
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loads
结构分析负载分类
力 作用在物体界面上 位移 表面分布力 点集中力 零位移(固定) 非零位移 力 作用在物体內部 热 惯性力(重力或离心力)
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三、关于常用单元的补充说明
点 (质量)
.
. . . .
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面 (薄壳, 二维实体, 轴对称实体)
未知函数 f(x) x
｛U｝=[N] ｛d｝ 对于上例四面体的节点位 移有12个分量，所以形函 数矩阵为3×12矩阵：
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Order of Element
一个元素的order是指形函数的阶次 Order越高, 解答的精度越高(p-method) 提高精度的另一方法是将元素切割得更小(h-method)
可以导出，在body内部：
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应变与位移关系
根据纯几何关系并考 虑小位移的情况下得 到左边六个等式
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应力与应变关系
其中：
即：只要知道了 杨氏模量E和泊 松比ν，即可知 道剪切弹性模量 G -23-
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二、有限元素法
Finite Element Method
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自由度 Degrees of Freedom
自由度是控制方程 式的未知量 对于结构分析问 题是指节点上的位 移量。 热分析问题是指 节点上的温度。
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形函数 Shape Functions
y 近似函数
形函数是用来连 接位移场u和节点位移 d间的关系
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Stiffness Matrices
单元的力平衡方程式：
整体结构的力平衡方程式：
解之得：{D}，由{D}求应变，由应变求应力！
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输入 分析模型
建立 元素方程式
FEM Summary
建立 结构方程式
解 结构方程式
计算 应力及应变
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一、背景知识 ——结构力学相关内容 复习 有限元法最初是由研究结构力学 中线弹性问题的变形、应力、应变 情况提出来的，因此结构力学中的 基本概念对于理解有限元法的基本 原理具有重要作用。
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A、结构分析问题的定义

什么是结构分析问题 位移 应力 应变
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Stresses (2/4)
A
y x z
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Βιβλιοθήκη Baidu
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Stresses (3/4)
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Stresses (4/4)
τxy=τyx τxz=τzx τyz=τzy
∑MX=0 ； ∑M ； ∑M 0, Μ 0=0 , Μz 0 Y=0 Z Μ x y
机械零件有限元分析
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第一讲
有限元分析的基本原理与基本原则
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对复杂的机械结构分析建模，有限元法是 一种应用最广的理论建模方法，是采用高速 计算机求解数学物理问题的近似数值解法。 它的优点是精度高、适应性强、计算格式规 范统一。因此，应用极广，是现代机械产品 设计的一种重要工具。市场上的有限元程序 很 多 ， 像 ANSYS、NASTRAN、COSMOS、 IDEAS等，为机械设计创造了良好的条件。