一次函数与二元一次方程(组)的教学案例和反思

一次函数与二元一次方程（组）的教学案例和反思上周我完成了一次函数与二元一次方程（组）的教学，在教学中，我不断思索，不断创新。

多注重对学生的合作意识和自我探究能力的培养，在课堂中取得了很好的效果。

一、设计意图
我校现采用的数学教材是新人教版，早在本教材的第八章，学生就已经学习了有关二元一次方程及方程组的知识，在本学期进入第十四章《一次函数》的学习之后，学生目前已经了解了有关函数的基本概念和表示方法，能根据已知条件确定一次函数的解析表达式及能画出一次函数的图像，了解如何用函数的观点去认识一元一次方程和一元一次不等式，知道一次函数与它们有着密切的关系。

在教学过程中，我发现我班的学生整体有着较好的数学基础且思维活跃，学生对于数学学习的积极性较高且兴趣浓厚，适合开展探究式学习.因此本节内容我决定以引导学生自主学习，通过活动进行分组合作探究学习的形式作为教学方式，来达到教学目的。

二、过程展示
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-3
5x+
8
5，并且直线y=-
3
5x+
8
5上每个
点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解．
由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线．
那么解二元一次方程组
358 21 x y
x y
+=⎧
⎨
-=⎩
可否看作求两个一次函数y=-3
5x+
8
5与y=2x-1图象的交点坐标呢？如果可以，
•我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？
我们这节课就来解决这些问题．
Ⅱ．导入新课
[活动一]
活动内容设计：
一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分钟0．1•元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？
活动设计意图：
通过这个活动，熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法，进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力．
教师活动：
引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题，并应用所学方法求解．
学生活动：
在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解．各小组合作探究。

小组展示探究结果
方法 一：
设上网时间为x 分钟，若按方式Ａ收费，y=0．1x 元；•若按Ｂ方式收费，•y=•0．05x+20元．
在同一直角坐标系中分别画出这两个函数图象．
解方程组：
0.1,0.0520.y x y x =⎧⎨=+⎩ 得400,40.x y =⎧⎨=⎩
所以两图象交于点（400，40），从图象上可以看出：
当0<x<400时，0．1x<0．05x+20，
当x=400时，0．1x=0．05x+20，
当x>400时，0．1x>0．05x+20．
因此，当一个月内上网时间少于400分钟时，选择方式Ａ省钱；•当上网时间等于400分钟时，选择方式Ａ、Ｂ没有区别；当上网时间多于400分钟时，选择方式Ｂ省钱．
方法二：
设上网时间为x 分钟，方式Ｂ与方式Ａ两种计费的差额为y 元，则y 随x 变化的函数关系式为：
y=（0．05x+20）-0．1x
化简：y=-0．05x+20．
在直角坐标系中画出函数的图象．
计算出直线y=-0．05x+20与x 轴交点为（400，0）．
由图象可知：
当0<x<400时，y>0，即选方式Ａ省钱．
当x=400时，y=0，即选方式Ａ、Ｂ没有区别．
当x>400时，y<0，即选方式Ｂ省钱．
由此可得如方法一同样的结论．
学生进一步总结出利用一次函数解二元一次方程组的方法。

[师]通过以上活动，使我们清楚看到函数在解决变量关系问题时的优越性，但在确定分界点位置时，又要借助方程来准确求值．
联系以前所学方程（组），不等式与函数都是基本的数学模型，它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决实际问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用．
[活动二]
活动内容设计：
全球通神州
行
月租费50元/月0
本地通
话费
0.40元/
分
0.60
元/分
活动设计意图：
经过这一活动，巩固所学知识，熟悉具体问题如何灵活地、有机地把数学模型结合起来使用．
教师活动：
引导学生灵活、有机地运用各种数学模型顺利解决实际问题．
学生活动：
在教师引导下，掌握解决具体问题的方法，灵活、有机地运用各种数学模型，提高分析、解决问题能力．
活动过程及结论：由学生展示
方法一：
设每月通话时间累计x分钟，则全球通月消费y=0．40x+50元；•神州行月消费：y=0．60x元．
在同一坐标系中画出两个一次函数的图象．
解方程组：
0.4050,
0.60.
y x
y x
=+
⎧
⎨
=
⎩
得
250,
150. x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
所以两图象交于点（250，150）．
由图象可以看出：
当0<x<250时 0．40x+50>0．60x，
当x=250时 0．40x+50=0．60x，
当x>250时 0．40x+50<0．60x．
因此，当一个月通话时间少于250分时，选择神州行省钱；•当一个月通话时间等于250分钟时，选择全球通与神州行没有区别；当一个月通话时间多于250分钟时，选择全球通省钱．
方法二：
设一个通话时间累计为x分，全球通与神州行两种计费差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：
y=（0．40x+50）-0．60x
化简为：y=-0．20x+50
在直角坐标系中画出这个函数图象．
计算出直线y=-0．20x+50与x轴的交点为（250，0）．
由图象可以看出：
当0<x<250时，y>0，即选神州行省钱．
当x=250时，y=0，即选神州行与全球通没有区别．
当x>250时，y<0，即选全球通省钱．
由此可以得到与方法一相同的结论．
Ⅲ．课时小结
由小组学生代表对本节内容作出小结，老师加以点评。

……
三、案例反思
这节课，我采用了以引导学生自主学习，通过活动进行分组合作探究学习的形式进行教学，在教学中放手让学生在探究活动中去经历、体验、观察、类比、讨论、合作、归纳。

通过充分的过程探究，最后总结归纳出：一次函数与二元一次方程组之间的联系。

由此我发现只有放手探究，适当放开学生的手、口、脑，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。

教师在学生探究学习过程中是一个引导者、合作者、组织者。

要善于点燃学生探究的欲望，成为学生的合作伙伴，组织好教学流程，数学教学的过程是师生共同活
动、共同成长与发展的过程。

新课程理念指出：教师是课程的研究者和开发者。

这就要求我们：在新课程标准的指导下，认真研究教材，体会教材的编写意图。

在此基础上，设计出既体现课程精神，又适合本班学生实际的教学案例。

本教案对原教材的内容进行了一些调整，增添许多内容，更能体现探究的特色，其教学效果较好。