第五章 解析延拓 多值函数及其黎曼面

二、解析延拓的概念

1. 概念：

若1()f z 和2()f z 分别在12,D D 内解析，且在 与 重叠的区

域中有12()()f z f z =，则称2()f z 为1()f z 在 中的解析延拓，

为2()f z 在 中的解析延拓。

定义：解析元素——区域与解析函数的组合 2D 1D 2D 1D )(1z f {}11,()D f z {}

22,()D f

z

2. 应用：

(1)已知在某区域中有定义的解析函数，用解析延拓的方法扩大其定义域和解析范围。

(2)已知数学问题的解是某区域D内(除个别奇点外)的解析函数，利用解析延拓的方法，可以从这个函数表达式推算出解在D的其他子区域中的表达式。

设级数的收敛区域为

。如果 超出了 的范围。由于在 和 的重叠区域

，所以 就是 在

中的解析延拓。

这样不断作下去，得到一系列的解析

。

一个解析元素

的全部解析延拓的集合，称为所产生的完全解析函数F (z )，F (z )的定义域是全部解析

元素给出的定义域的总和 。{}11,()D f z 1()f z 11

22()()()......f z z D F z f z z D ∈⎧⎪=∈⎨⎪⎩

{},()n n D f z (2,3...)n =3D 3D 2D 2D 3D )()(23z f z f =)(3z f )(2z f 3D

四、 Γ函数的解析延拓 （思考：解析延拓的方法）

1.实变函数中Γ函数的定义

(1)

说明：(i) ()x Γ是含参数（此处为t ）的定积分，是解析函数

的一种重要表达式，这种表达式特别适于求函数的 渐近表示，或作解析延拓；

(ii) (1)式右边的积分收敛条件是0x >，因此(1)式只 定义了0x >的Γ函数。

10

()x t

x t

e dt

∞

−−Γ=∫(0)x >

五、Γ函数常用公式：见P104—105

5.2 多值函数及其黎曼面

前面：单值复变函数

现在：多值复变函数

多值函数w=f(z)：

对于自变量z的每一个值，一般有两个或者两个以上的函数值w与之对应。

多值函数有：根式函数、对数函数、反三角函数…

关心的问题：

自变量z 与函数值w 的对应关系，特别是当z 连续变化时这种对应关系可能的变化。

例：对于多值函数f (z )的积分 ，必须确定z 与f (z )之间的这种对应关系和这种关系的变化。 否则积分无意义，至少不确定。

∫dz z f )(

(1) z 从某一给定的0i z e ϕρ=出发，对应的w 从 出发。令

z 沿逆时针方向环绕原点(z =0)转一圈回到原处时，它的辐 角由 变为012ϕπϕ+=，而w 由 变为 ，即w 从一个单 值分支变到另一个单值分支。继续令z 沿逆时针方向绕z =0

转一圈，z 再次回到原处，它的辐角由012ϕπϕ+=变为

， 而w 由 变为 。这样再转第三圈：辐角为06ϕπ+，而w 由 变为 ，与第一圈上的值完全相同……

0w 0ϕ0w 1w 1w 0w πϕ40+0w 1

w

(2) 依然从 出发，但不绕原点z =0转圈，则z 在环

绕过程中，其辐角开始增加，到达A 点后减少，到达

B 后又增加。z 回到原点时，辐角值又回到初值的 。

w 始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支。0ϕρi e z =0ϕ

⇒

二、对数函数

1. 对数函数的定义及多值性

表达式：w Ln z =

令 0(2)i k i z e e ϕπϕρρ+==，002ϕπ≤<，0,1,2k =±±"0ln (2)w u iv i k ρϕπ⇒=+=++

可见，其多值性来源于辐角的多值性：

对应于每一z 值，有无穷多个w 值，这些不同

的w 值只是虚部不同，相差 的整数倍。

π2

2. 支点

当z 环绕z =0或 转一周时，Argz 改变 ，Ln z 改变 2i π，故z =0， 是对数函数的支点。

3. 割线

从z =0沿正实轴作一割线至z =∞，并规定：

22(1)k Argz k ππ≤<+

则得w =Ln z 的第k 分支。

4. 黎曼面

对数函数的支点在z =0及 。取正实轴为割线，当 时，函数取值在第k 个分支。

对数函数w =Ln z 的黎曼面：由无穷多个z 平面重叠而成。

π2∞∞∞=z πϕπ)1(22+<≤k k k

三、多值函数的积分

设f (z )为多值函数，它的两个支点a , b 均为实数(令a

b 也可为 )。利用留数定理计算积分：

()b

a I f x dx =∫ 需做的事：

1. f (z )是多值，I 是多值的，为了得到确定的单值分支，需要

连接支点a , b 作割线，然后再规定某一点 的辐角，从而

得到f (z )的一个单值分支；

2.为运用留数定理，还必须采用适当的积分回路。

例题：P113 [例5.2.5] 、P115 [例5.2.6]

∞0z