神经网络及其在TSP问题中的应用 6.17
Hopfield神经网络在TSP问题中的应用的开题报告
Hopfield神经网络在TSP问题中的应用的开题报告1.研究背景旅行商问题(TSP)是运筹学中的经典问题，它是要找到一条经过所有城市(节点)的路径，使得路径经过的距离最短。
由于该问题是NP难问题，因此解决TSP问题一直是一个热门研究领域。
Hopfield神经网络作为一种反向传播神经网络模型，已经在很多问题中得到了应用，包括TSP问题。
Hopfield神经网络可以使用能量函数描述问题，利用机器学习技术学习问题的解，自适应地调整神经元之间的连接权值，从而达到解决TSP问题的目的。
2.研究意义研究Hopfield神经网络在TSP问题中的应用，可以为人们提供一种新的解决TSP 问题的方法。
Hopfield神经网络的优点是可以处理非线性问题，因此在解决TSP问题这种复杂的非线性问题时非常有效。
通过研究Hopfield神经网络在TSP问题中的应用，可以提高解决TSP问题的效率和精度，为一些实际问题提供有效的解决方案。
同时，这种研究也会推动神经网络领域的发展。
3.研究目标本研究的目标是探讨Hopfield神经网络在TSP问题中的应用，并提出一种有效的Hopfield神经网络解决TSP问题的方法。
具体目标如下：(1)研究Hopfield神经网络原理，并深入了解其在TSP问题中的特点和应用。
(2)分析TSP问题的性质和解决方法，并与Hopfield神经网络相结合，提出一种有效的解决方案。
(3)设计和实现算法，并对算法进行测试和优化。
(4)使用实验数据对算法进行验证和评估，分析算法的优缺点和适用范围。
4.研究方法本研究将采用以下几种方法：(1)文献调研法：通过查阅相关文献，研究Hopfield神经网络在TSP问题中的应用，并了解近年来该领域的研究进展。
(2)模型建立法：根据TSP问题的相关性质，结合Hopfield神经网络的原理，提出一种新的解决方案。
(3)实验方法：通过编写代码实现算法，并使用TSP问题数据进行测试和验证，对算法效率和精度进行评估，并进行优化。
TSP问题的解决与实现讲解
TSP问题的解决与实现讲解1. 问题描述所谓TSP问题是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并且要求所走的路程最短。
该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。
2. 基本要求(1) 上网查找TSP问题的应用实例；(2) 分析求TSP问题的全局最优解的时间复杂度；(3) 设计一个求近似解的算法；(4) 分析算法的时间复杂度。
3. 提交报告课程设计报告提交内容包括：(1) 问题描述；(2) 需求分析；(3) 概要设计；(4) 详细设计；(5) 调试分析；(6) 使用说明；(7) 测试结果；(8) 附录（带注释的源程序）。
参见“数据结构课程设计概述.pdf”和“数据结构课程设计示例.pdf”。
指导教师（签字）：系主任（签字）：批准日期：2014年月日1．问题描述（1）题目要求旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次，最终要回到出发的城市，求出最短路径。
用图论的术语来说，假如有一个图G=(V,E),其中V是顶点集，E是边集，设D=(d)是由ij顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵。
TSP问题就是求出一条通过每个顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。
（2）基本要求a. 上网查找TSP 问题的应用实例；b. 分析求TSP 问题的全局最优解的时间复杂度；c. 设计一个求近似解的算法；d. 分析算法的时间复杂度。
（3）测试数据5个城市的TSP 问题：注：由于矩阵所表示的是两个城市之间的距离，所以该矩阵为对称矩阵路程矩阵如图所示：最短路径为v 0v 1v 4v 2v 32.需求分析（1）本程序用于求解n 个结点的最短哈密尔顿回路问题。
（2）程序运行后显示提示信息—“Please insert the number of cities:”，例如用户输入5，则表示结点n 的值为5；接下来程序输出提示信息—“Please insert the distance between one city and another:”，例如用户输入测试数据中给出的路程矩阵，表示任意两个城市之间的距离，比如第一个城市到第0个城市之间的距离为25。
Hopfield神经网络在TSP问题中的应用.
中北大学硕士学位论文Hopfield神经网络在TSP问题中的应用姓名：兰兆青申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：白艳萍20080101Ｈｏｐｆｉｅｌｄ神经网络在ＴＳＰ问题中的应用摘要旅行商问题是组合优化领域中的一个典型问题，该问题的核心就是要求出一个包含所有ｎ个城市的具有最短路程的环路。
虽然它陈述起来很简单，但求解却很困难，并且已经被证明是ＮＰ完全问题。
但它确实广泛存在，且是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。
因此提出一种有效地解决ＴＳＰ问题的算法有着较高的理论意义和实际应用价值。
．．本文首先从现有求解ＴＳＰ的算法入手，通过研究大量的参考文献，了解了各种算法的主要思想，并对各种算法进行了整理和分类。
研究发现遗传算法、模拟退火算法和蚁群算法这三种算法在解决ＴＳＰ问题中表现出了一定的优势，并且在实际的问题的求解中得到了广泛的应用。
接下来本文就对这三种算法进行了深入的研究，并进行了编程实现。
文中分别用这三种算法解决了４８个城市的Ｔ，ｑＰ问题．从结果中作者发现模拟遢火算法的优化过程较长；蚁群算法同样是搜索时间比较长，也容易陷于局部最优解，使搜索停滞。
遗传算法实际应用时易出现早熟收敛和收敛性差等缺点。
如何快速准确的解决ＴＳＰ问题成为了现在ＴＳＰ算法研究中的一个难点。
作者提出了一种基于Ｈｏｐｆｉｅｌｄ神经网络的算法，由于神经网络是并行计算的，其计算量不随维数的增加而发生指数性“爆炸”，因而对于优化问题的高速计算特别有效。
在实际的实验过程中作者发现该算法从在一个致命的缺点就是网络极不稳定，经常得不到结果。
为此，作者在对现有算法进行了改进。
经过研究发现最终结果的准确性很大程度上取决于初始参数的设置。
在认识到这一点后，对每个参数对结果的影响进行了分析，最后给出了参数的合理设置方法。
本文还对能量函数进行了改进，使得问题的求解更加快速准确。
对‘出现重复解的问题’进行了解决采用了一种从固定起点出发的办法。
利用Hopfield神经网络解决TSP问题
神经元个数 ｈ 输入向量维数 ， 出向量维数 ， 输
ｍ。 三＝ ｈ ｍ ， 三＝ ， 三 ， ＞ ７ 三ｌ ｚ ｌ 。
神经元 ： 入 、 出、 输 输 隐藏 状 态变 化 ： 同步 、 非 同步
＊
收稿 日期 ：０ ９ ｌ 月 ３ 修 回日期 ：０ ９ １ 月 ２ ２０ 年 １ １１ ５， ２０ 年 ２ ８日
神 经 网络 ；Ｈｏ ｆ ｌ ； Ｓ ｐｉｄ网 Ｔ Ｐ问 题 ｅ
Ｔ １３ Ｐ ８
说明了算法 的有效性 。
关键词
中图 分 类 号
Ｕｓｎｇ Ｈｏ ｆｅｄ Ｎｅ ｗｏ ｋ ｔ ｏ ｖ Ｐ ｏ ｌ ｍ ｉ ｐ ｉ ｌ ｔ ｒ ｏ Ｓ ｌ ｅ ＴＳ Ｐｒ ｂ ｅ
Ｓ ｎ ｚ ｅ ， ｏ ｇＹｕ ｈ ｎ Ｌｉ ａ ｕ Ｌｉｎ Ｑｕ Ｆ ｙ ｎ ｕ ｏ ｇ’
ｅ ａ ｐ ｅｓ ｏ ｔ ｅ ａ ａｌｂ ｌ ｙ ｏ ｈ ｓ ａｇ ｒｔ ｍ． ｘ ｍ ｌ ｈ ｗ ｈ ｖ ｉ ｉ ｔ ｆｔ ｉ ｌ ｏ ｉ ａ ｉ ｈ Ｋ ｙ Ｗ ｏ ｄ ｎ ｕ ａ ｅｗｏ ｋ，Ｈｏ ｆ ｌ ｅ ｗｏ ｋ，ＴＳ ｒ ｂ ｅ ｅ ｒｓ ｅ ｒｌ ｔ ｒ ｎ ｐｉｄｎｔ ｒ ｅ Ｐ ｐ ｏ ｌｍ
总第 １ ０ ９ 期 ２ １ 年第 ４ ００ 期
舰 船 电 子 工 程
Ｓ ｉ ｅ ｔｏ ｉ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｈ ｐ Ｅｌｃ ｒ ｎ ｃ Ｅ ｇ ｎ ｅ
利 用 Ｈｏ ｆ ｌ 经 网 络 解 决 Ｔ Ｐ 问题 ｐ ｉ ｄ神 ｅ Ｓ
宋玉珍 刘 ’’ ＇
加 而发 生指数 性“ 炸” 因而对 于 优化 问题 的高速 爆 ， 计算 特别 有效 。
联接 ： 经元之 间都 是互 联 的 ＂ 每个 神 经元 神 都 没有 到 自身 的联接 ＇ｉ 。 ￣ｉ Ｊ—Ｏ
hopfield网络求解TSP问题
Hopfield神经网络求解TSP问题1.什么是TSP问题旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem），也是最优化问题。
一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
用数学语言描述TSP如下 :设有限个城市集合 : C = { C1 , C 2 , … , Cn }，每两个城市间的距离为 d（Ci，Cj）∈Z, 其中 Ci，Cj∈C（ 1<=i , j <=n), 即求 minL=∑d（Ci，Cj）的值的问题。
有效路径的方案数目为Rn=（（n-1）！/2）,例如:R4=3,R5=12,R6=120,R10=181440可见路径总数，随n增大而急剧增长,当城市数目增加到一定的程度,计算量增加到无法进行的地步，所以要选择一种合理快速的算法，而不能对所有情况使用人工列举的方法。
2.Hopfield神经网络介绍人工神经网络（Artificial Neural Networks，简写为ANNs）也简称为神经网络（NNs）或称作连接模型（Connection Model），它是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。
这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的.最基础的为BP、Hopfield网络等。
Hopfield网络是一种互连型网络的一种，它引入类似于Lyapunov 函数的能量函数概念，把神经网络的拓扑结构(用连接权矩阵表示)与所求问题(用目标函数描述)相对应，并将其转换为神经网动力学系统的演化问题。
3.神经元的数学模型人的大脑是由大量神经细胞或神经元组成的。
每个神经元可以看作为一个小的处理单元，这些神经元按照某种方式相互连接起来，构成大脑内部的生理神经元网络系统，他们中各个神经元之间连接的强弱不是固定不变的，而是按照外部的信号激励程度做自适应的变化，而每个神经元又随着接收到的多个激励信号的综合大小呈现兴奋或抑制状态。
机器人TSP问题优化算法研究
机器人TSP问题优化算法研究近年来，随着人工智能技术的不断进步，机器人技术也日渐成熟。
机器人可以在工业生产中扮演关键的角色，有效提高生产效率。
而在机器人运动控制中，TSP问题一直是一个重要的研究课题。
TSP（旅行商问题）是一种非常经典的组合优化问题，它的主要目标是寻找一条最优路径，从而使得相邻城市路径最短、实现所有城市的遍历。
而在机器人控制中，TSP问题成为了一个十分关键的问题。
比如，在清扫机器人中，机器人需要确定其清扫的路径以及排序，这也是一个TSP问题。
此外，在无人车路线规划中，TSP问题也非常重要。
因此，针对机器人运动控制中的TSP问题进行研究具有十分重要的理论和实际意义。
在针对机器人控制中TSP问题进行研究的过程中，优化算法是非常重要的方法之一。
在优化算法中，近年来对神经网络算法在TSP问题中的应用也受到了极大的关注，因为神经网络是一种强大的解决复杂问题的算法，可以学习和提炼问题的本质规律，从而寻求最优解。
针对机器人控制中TSP问题的优化算法，神经网络算法具有如下的优势：1. 非线性：神经网络是一种非线性系统，可以学习不同的状态并根据不同状态做出不同的响应。
由此，可以解决TSP问题中存在的非线性问题。
2. 知识学习：神经网络可以通过知识学习、经验总结等方式来自动化地进行TSP问题的解决，并能够不断优化解决效果。
3. 匹配优化：神经网络能够通过匹配优化来找出最佳路径。
现在，让我们来简单介绍一下神经网络在TSP问题中的应用过程：首先，需要确定神经网络模型的结构。
神经网络由输入层、中间层、输出层组成，每个层次又包含许多神经元。
TSP问题就是将一系列城市节点连接起来，构成一条旅游路线，并使路径长度最小。
由此，将城市节点设置为神经网络模型的输入数据，然后神经网络通过多层中间层的计算，并输出可能的最佳路径。
最后，将输出结果进行排序，排列出TSP问题上的最优解。
总之，在机器人控制中TSP问题的研究中，优化算法的研究是非常重要的。
神经网络算法资料
j
（式 1.4）
其中 f j 是由 (1.1定) 义，为方便，一般 j 值取 0。从某个时刻 t 之后网络状态
不再变迁，既有 v(t 1) v(t) ，那么，输出有
y v(t ) 网络神经元状态的演变有两种形式： （1）串行方式
个单元组成， N1 ， N2 ，...， Nn 表示 n 个神经元，这些神经元既是输入单元，也 是输出单元， 其转移特性函数为 f1 ， f 2 ，...， fn ，门限值 (阈值 )为 1 ， 2 ，...， n 。
2
图 1 Hopfield网络结构图
对于离散型 Hopfield网络，各节点一般选取同样的转移函数， 且为符号函数，
1
“能量函数 ”的能量在网络运行过程中不断地减少，最后趋于稳定的平衡状态。
因为人工神经网络的变换函数是一个有界函数， 故系统的状态不会发生发散 现象。目前， 人工神经网络经常利用渐进稳定点来解决某些问题。 如果把系统的 稳定点视为一个记忆的话， 那么从初态朝这个稳定点的演变过程就是一个寻找记 忆的过程。 如果把系统的稳定点视为一个能量函数的极小点， 而把能量函数视为 一个优化问题的目标函数， 那么从初态朝这个稳定点的演变过程就是一个求解该 优化问题的过程。因此， Hopfield神经网络的演变过程是一个计算联想记忆或求
旅行商问题可分为如下两类： （1）对称旅行商问题（ dij=dji，Π i，j=1，2，3， ?， n）； （2）非对称旅行商问题（ dij≠dji，?i，j=1，2，3，?， n）。 非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。 若对于城市 V={v1，v2，v3，?，vn} 的一个访问顺序为 T={t1，t2，t3，?，ti，?， tn}，其中 ti∈V（i=1， 2， 3，?，n），且记 tn+1=1t，则旅行商问题的数学模型为： minL=。 。 TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个 NP 完全难题，是诸多领域内 出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式， 并且已成为各种启发式的搜索、 优 化算法的间接比较标准。因此，快速、有效地解决 TSP有着重要的理论价值和极 高的实际应用价值。 2、Hopfield 网络 Hopfield网络是一种互连型网络的一种， 它引入类似于 Lyapuno函v 数的能量函 数概念，把神经网络的拓扑结构 (用连接权矩阵表示 )与所求问题 (用目标函数描述 ) 相对应，并将其转换为神经网动力学系统的演化问题。 其演变过程是一个非线性 动力学系统，可以用一组非线性差分议程描述 (离散型 )或微分方程 (连续型 )来描 述。系统的稳定性可用所谓的 “能量函数 ”进行分析。在满足条件的情况下，某种
人工神经网络实验与tsp问题
人工神经网络实验二用CHNN 算法求解TSP 问题一． 问题描述利用连续型Hopfield 反馈网络求解10城市的旅行商（TSP ）问题。
其中10个城市的坐标给定如下：1(0.4000,0.4439),2(0.2439,0.1463),3(0.1707,0.2293),4(0.2293,0.7610),5(0.5171,0.9414),6(0.8732,0.6536),7(0.6878,0.5219),8(0.8488,0.3609),9(0.6683,0.2536),city city city city city city city city city ci =========10(0.6195,0.2634)ty =基本网络参数为：0500,200,0.02A B D C μ=====二． 算法实现1．CHNN 算法应用CHNN 网络解决优化问题一般需要以下步骤：(1.)对于特定的问题，要选择一种合适的表示方法，使得神经网络的输出与问题的解相对应。
(2.)构造网络的能量函数，使其最小值对应于问题的最佳解。
(3.)将能量函数与CHNN 算法标准形式相比较，推出神经网络权值与偏流表达式。
(4.)推出网络状态更新公式，并利用更新公式迭代求问题的最优解。
2．TSP 问题为使用CHNN 网络进行TSP 问题的求解，根据上述步骤，可将问题转化为：(1.)对N 个城市的TSP 问题，用一个N N ⨯的换位阵描述旅行路线，换位阵中每行每列有且只有一个元素为1，其余全为0。
为1的元素其横坐标x 表示城市名，纵坐标i 表示该城市在访问路线中的位臵。
(2.)网络的能量函数由四部分组成，分别用来保证换位阵的合法性以及最终路线长度的最短。
2,1,1()()2222xi xj xi yi xixy xi y i y i x i j i i x y x x i x i y xA B C D E v v v v v n d v v v +-≠≠≠=++-++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑(3.)将能量函数与标准形式相比较，得到网络权值与偏流表达式为：,,1,1(1)(1)()xi yj xy ij ij xy xy j i j i xiW A B C Dd I C n δδδδδδ+-=------+⎧⎪⎨=⋅⎪⎩ (4.)从而，网络更新公式为：,1,10()()1()[1tanh(/)]2xixi xj yi xi xy y i y i j i y x x i y xxi xi xi du u A v B v C v n D d v v dt v g u u u τ+-≠≠≠⎧=------+⎪⎪⎨⎪==⋅+⎪⎩∑∑∑∑∑3． 程序设计根据上述推导在MATLAB 中设计CHNN 网络求解TSP 问题的程序（程序代码见附页）。
Hopfield神经网络在TSP问题中的应用
i wij si i
jห้องสมุดไป่ตู้
(式1.1) (式1.2) (式1.3) (式1.4)
ui g ( i )
yi h (ui ) f ( i ) f wij x j si i j
其中，
f h g
当神经元没有内部状态时，可令 yi = ui ， f () g () 。通常的情况是有 si 的。 此时， 每一个神经元的输入接受前一级神经元的输出， 因此， 神经元i的总作用 i 为所有输入的加权和减去闭值(若无阈值则不减)，此作用引起神经元i的状态变 化，而神经元i的输出 yi 为其当前状态 i 的函数。如果考虑到反映时间，那么必 须用微分方程来表示神经元的状变化，在最简单的情况下(无阈值的情况下)，以 下的式子成立：
wij w ji ， i, j (1, 2,3, …,n)
(式 2.3)
整个网络所有 n 个节点之间的连接强度用矩阵 W 表示，显然 W 为 n×n 方 阵。 由图 2.1 可见 Hopfield 网络为一层结构的反馈网络，能处理双极型离散数据 （即输入 x∈{-l，+1})，及二进制数据(x∈{0，1})。当网络经过训练后，可以认 为网络处于等待工作状态， 而对网络给定初始输入 x 时，网络就处于特定的初始 状态，由此初始状态开始运行，可以得到网络输出即网络的下一状态。然后，这 个输出状态通过反馈回送到网络的输入端，作为网络下一阶段运行的输入信号， 而这个信号可能与初始信号 x 不同，由这个新的输入又可得到下一步的输出，这 个输出也可能与上一步输出不同。如此下去，网络的整个运行过程就是上述反馈 过程的重复。如果网络是稳定的，那么，随着许多次反馈运行，网络状态的变化 减少，直到后来不再变化，达到稳定状态，此时，在网络的输出端可得到稳定的 输出，可用以下公式表示为：
TSP问题及其应用综述
TSP问题及其应用综述作者：林沐霖何茂森朱俊明来源：《科教导刊·电子版》2019年第06期摘要 TSP是数学领域内一道著名的难题之一，如何求解一直是学术界研究的热点问题。
本文首先阐述了TSP问题的基本概念，介绍了TSP问题的一般描述及数学模型，然后归纳了现有对TSP问题求解的较为有效的方法—蚁群算法和遗传算法，最后阐述了TSP的应用领域。
关键词 TSP 遗传算法蚁群算法中图分类号：TP301.6 文献标识码：A1 TSP问题的基本概念TSP（Traveling Salesman Problem）问题，可译为旅行商问题，是数学领域中著名的组合优化类难题之一。
1.1 TSP问题的描述现有对TSP问题的标准描述为：已知有城市数量为，一位旅行商人从其中的某一个城市出发，途中需要经过所有的城市，但经过的次数有且仅有一次，最后再回到出发的城市，怎样规划路线才能使旅行商所走的路线最短。
1.2 TSP问题的数学模型设城市集合为V={v1，v2，…，vA}，对城市的访问顺序为T={t1，t2，…，tA}，其中ti=V（i=1，…A），而且ti+1=t1，则问题的目标函数如下：意为目标函数的最优值为所有途径城市之间的路径和最短。
1.3 TSP问题的分类从上述描述中可以看出TSP问题即是在若干城市或地点之间寻找一条回路，根据vi→vi+1与vi+1→vi的距离是否相当，可以将TSP问题分为对称TSP问题和非对称TSP问题。
2 TSP问题的求解方法TSP问题已经被证明是一个NP-hard问题，即在P≠NP的假设下，找不到一个多项式时间算法来求解其最优解。
TSP问题很容易被描述清楚，但是却较难找到合适的求解算法，自1932年TSP问题出现以来，已经有诸多学者在研究相关领域的问题，但至今仍为找到有效的方法。
曾经传统的经典优化算法经常被用来求解TSP问题的解，但是当城市数量较大时，就难以快速找到最优解。
随着人工智能的发展，出现了许多独立于问题的独立算法，如蚁群算法、粒子群算法、遗传算法、鱼群算法、狼群算法等等。
HopField神经网络解决旅行商问题
HopField 神经网络解决旅行商问题实验名称：用Hopfield 神经网络解决旅行商(TSP)问题实验内容：旅行商问题（TravellingSalesman Problem, 简记TSP ，亦称货郎担问题)：设有n 个城市和距离矩阵D=[dij]，其中dij 表示城市i 到城市j 的距离，i ，j=1，2 …n ，则问题是要找出遍访每个城市恰好一次的一条回路并使其路径长度为最短。
TSP 的一个解可表述为一个循环排列，假如有５个城市ABCD Ｅ顺序为如有５个城市顺序为Ｃ→A →Ｅ→Ｂ→Ｄ→Ｃ。
那么路线总长度为：D C BD EB AE CA d d d d d d ++++=TSP 问题综合了一大类组合优化问题的典型特征，属于NP 完全问题，不能在多项式时间内进行检验。
若使用动态规划的方法时间复杂性和空间复杂性都保持为n 的指数函数。
HNN 方法是解TSP 问题的另一种有效的方法，在城市数目比较小的情况下可以在较短的时间得到满意的结果。
算法分析：所用到的基本理论与方法，具体算法。
1.根据文献（1），HNN 解TSP 问题的具体步骤为：0、置t=0,A=1.5,D=1;1、读入N 城市之间的距离),,2,1,(n y x d xy =文件；2、计算神经元之间的权重和输入偏置 权重：n j i y x Dd A A T i j xy ij xy YjXi ,2,1,,,,1,,=---=-其中δδδ输入偏置： I=2A;3、)(t U xi 的初值在0附近随机产生（x,i=1,2,……，N ）;4、计算))/)(tanh(1(21)(0U t U t V xi xi +=， 这里2.00=U 5、利用神经元动态方程，计算∑∑==+=∆n y nj yj yjxi xi I V Tt u 11,)(6利用一阶尤拉法计算 ,5.0)()1()1(=∆∆⨯∆++=+t t t u t U t U xi xi xi ，这里7、如果系统达到平衡状态，那么终止程序，否则返回第4步。
现代计算方法—TSP问题的神经网络解法
TSP的神经网络解法130337杨康一、问题概述1、TSP问题旅行商问题，即TSP问题（Travelling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。
假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
2、神经网络介绍人工神经网络（Artificial Neural Networks，简写为ANNs）也简称为神经网络（NNs）或称作连接模型（Connection Model），它是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。
这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。
神经网络起源于上世纪四、五十年代，经历60多年的发展取得了巨大成果。
目前神经网络算法比较多，最基础的为BP、RBF、Hopfield等，基于这些算法的研究成果很多。
针对实际问题和存在缺陷，国内外很多学者提出了相关的改进方法。
本文采用Hopfield神经网络解决TSP问题。
Hopfield网络最重要的贡献就是引入了Lyapunov稳定性定理，证明了网络在任意初始状态下都能渐近稳定，从而Hopfield网络可用于优化计算。
二、解决方案根据TSP问题的基本要求，优化目标为：上式中的每一项表示城市y在城市x之前或之后被访问时，dxy就应被计入总路程，因此上式是任意一个循环旅行的总路程。
其中下标i对N 取模运算，即当i =N +1时令i=1，从而保证旅行路线上的第N个城市与第一个城市相邻。
如果把约束条件公式化，则分别为：上式可满足下列三个条件：（1）是置换矩阵在每行中只有至多一个元素的值为1，表示每城市不能最多只能访问一次；（2）置换矩阵每列至多只能有一个元素为1，即每次只能访问一个城市；（3）保证置换矩阵的每行每列均有且仅有一个元素的1。
自组织神经网络求解TSP问题
自组织特征映射网络（SOFM）求解TSP问题组长：袁滨组员：杨涛，徐丽丽，张冰，殳晶莹，许才华，郑彩萍一、旅行商问题旅行商问题(Traveling Salesman Problem，简称TSP). 商品的推销员打算从驻地出发遍访他要去的每个城市，并且每个城市只能访问一次，最后必须返回出发城市。
问如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短？旅行商问题TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全问题，其可能Hamilton圈的数目是顶点的数目n的指数函数，所以一般很难精确地求出其最优解。
所谓组合优化问题，是指在离散的，有限的数学结构上，寻找一个满足给定条件，并使其目标函数值达到最小或最大的解。
一般来说，组合优化问题通常带有大量的局部极值点，通常是非线性的NP完全问题。
其最先起源于一个旅行商要访问他所有的客户，要发现一条最短的路线。
用用图论的术语来说，旅行商问题就是在赋权完全图上找一个权最小的Hamilton圈。
但是，首先从应用上来说，很多实际应用问题，如印制电路板的、连锁店的货物配送路线等，经简化的处理后，均可转化为旅行商问题TSP。
由于旅行商问题的重要应用价值，因而对旅行商问题的算法研究自然是一个无法回避的问题;其次，从理论上来说，它的计算复杂性研究在形成NP完全理论中起到奠基作用。
今天，由于电子计算机科学技术的进展，这个古老问题的算法研究又重新注入了新的活力，旅行商问题研究的新思路、新方法、新成果必将丰富NP完全理论的内涵，促进NP完全理论的发展。
二、神经网络算法与优化计算神经网络的应用已经渗透到多个领域，如智能控制、模式识别、信号处理、计算机视觉、优化计算、知识处理、生物医学工程等。
利用神经网络进行优化计算，采用的模型一般包括Hopfield神经网络、混沌神经网络和波尔兹曼机（类似模拟退火）等。
TSP是典型的NP-难解问题，它对应的判定问题属于NPC类。
由于这个问题具有许多实际应用背景，所以寻求解决它的高效近似算法就成为学术界的研究热点。
求解TSP问题算法综述
求解TSP问题算法综述一、本文概述本文旨在全面综述求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的各种算法。
TSP问题是一个经典的组合优化问题，自提出以来就引起了广泛的关注和研究。
该问题可以描述为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解一条最短的可能路线，使得一个旅行商从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后返回出发城市。
本文将首先介绍TSP问题的基本定义、性质及其在实际应用中的重要性。
接着，我们将综述传统的精确算法，如动态规划、分支定界法等，以及它们在求解TSP问题中的优缺点。
然后，我们将重点介绍启发式算法和元启发式算法，包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法等，这些算法在求解大规模TSP问题时表现出良好的性能和效率。
本文还将探讨近年来新兴的机器学习算法在TSP问题求解中的应用，如深度学习、强化学习等。
我们将对各类算法进行总结和评价，分析它们在不同场景下的适用性和性能表现。
我们也将展望TSP问题求解算法的未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和指导。
二、经典算法求解旅行商问题（TSP）的经典算法多种多样，每种算法都有其独特的优缺点和适用场景。
本节将对一些代表性的经典算法进行综述。
暴力穷举法（Brute-Force）：暴力穷举法是最简单直观的TSP求解算法。
其基本思想是生成所有可能的旅行路径，计算每条路径的总距离，然后选择最短的那条。
虽然这种方法在理论上可以找到最优解，但由于其时间复杂度为O(n!)，对于大规模问题来说计算量极大，因此并不实用。
动态规划（Dynamic Programming, DP）：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来求解的优化方法。
对于TSP问题，DP算法可以将一个大循环中的多个子问题合并成一个子问题，从而减少重复计算。
然而，TSP的DP算法仍面临“维度灾难”的问题，即当城市数量增多时，所需存储空间和计算时间呈指数级增长。
TSP、MTSP问题遗传算法详细解读及python实现
TSP、MTSP问题遗传算法详细解读及python实现写在前⾯遗传算法是⼀种求解NPC问题的启发式算法，属于仿⽣进化算法族的⼀员。
仿⽣进化算法是受⽣物⾏为启发⽽发明的智能优化算法，往往是⼈们发现某种⽣物的个体虽然⾏为较为简单，但⽣物集群通过某种原理却能表现出智能⾏为。
于是不同的⼈研究不同的⽣物⾏为原理，受到启发⽽发明出新的仿⽣进化算法。
⽐如免疫优化算法，蚁群算法，模拟退⽕算法等，这些算法以后也会简单介绍。
本⽂的主题是遗传算法，该算法也是受到⽣物⾏为启发。
物竞天择，适者⽣存，优胜劣汰，是该优化算法的核⼼思想。
笔者在业务中需要⽤到遗传算法求解TSP问题，但是⽹上能查找到的资料对遗传算法的讲解不够通俗易懂，往往上来就是遗传变异交叉，对于我这样的初学者来说有点不知所云，于是不得不直接看源码，⼀⾏⼀⾏地理解代码的意思，才弄懂了原理。
这种⽅法对于初学者和编程基础薄弱者颇为困难，⽽且费时费⼒，苦不堪⾔。
同时，由于读者可能熟练掌握的是不同的语⾔，因此若代码是某⼀种语⾔编写的，那么掌握其他语⾔的读者很可能难以吸收，浪费了资源。
此外，⽹上关于TSP问题的资料很多，但是关于MTSP问题的资料却凤⽑麟⾓。
因此有了创作本⽂的意图，旨在⽤最通俗详尽的语⾔深⼊浅出地解释遗传算法解TSP、MTSP问题的原理及应⽤遗传算法解TSP问题原理⼀、TSP问题旅⾏商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）⼜译为旅⾏推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之⼀。
假设有⼀个旅⾏商⼈要拜访n个城市，他必须选择所要⾛的路径，路径的限制是每个城市只能拜访⼀次，⽽且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择⽬标是要求得的路径路程为所有路径之中的最⼩值。
想要求解出TSP问题的最优解，⽬前唯⼀的⽅法是穷举出所有的路径。
然⽽，路径的数量级是n!，也就是⽬标点数量的阶乘。
当n为14时，n!已经⼤于800亿。
当n更⼤，为30，40 时，更是天⽂数字，即使计算机⼀秒钟计算⼀亿次，其求解时间也远⼤于我们的寿命。
tsp问题总结归纳
tsp问题总结归纳TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是一类经典的组合优化问题，在数学和计算机科学领域具有重要的研究价值和实际应用。
本文将从定义、解决方法和应用三个方面，对TSP问题进行总结归纳。
一、定义TSP问题是指给定一系列城市和城市之间的距离，求解经过每个城市一次且路径最短的旅行路线。
该问题可以用图论中的欧拉图和哈密顿图来描述。
在欧拉图中，一笔画问题要求从图的一个顶点开始，经过每个边一次并回到起点；而哈密顿图中，要求从图的一个顶点开始，经过每个顶点一次而路径最短。
二、解决方法1. 穷举法：穷举法是最简单直接的解决TSP问题的方法，即尝试遍历所有可能的路径，并计算每条路径的总距离，从中选出最短的一条。
然而，由于TSP问题的复杂性，穷举法在实际应用中很少使用，因为其时间复杂度随着城市数量的增加而急剧增加。
2. 动态规划：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解构建整体最优解。
动态规划方法可以有效地解决TSP问题，但其时间复杂度仍然较高，在大规模问题中难以实施。
3. 遗传算法：遗传算法是一种基于生物进化原理的搜索算法，通过模拟遗传、突变和选择等操作，逐步优化解的质量。
遗传算法在解决TSP问题中具有良好的性能和适应性，能够处理较大规模的问题，但其结果并不一定是全局最优解。
三、应用TSP问题在实际生活和工程领域中有广泛的应用，如物流配送、路径规划、电路布线等。
通过求解TSP问题，可以帮助优化物流运输路线、节约时间和资源成本，提高效率。
结论TSP问题是一个具有理论研究价值和实际应用的经典问题，其求解方法多种多样。
穷举法虽然简单直接，但在实际问题中难以应用；动态规划方法虽然高效，但对于大规模问题仍有限制；遗传算法具有较好的适应性和性能，可以处理较大规模的问题。
TSP问题在实际应用中可以有效地优化物流和路径规划等方面，提高效率和节约成本。
通过对TSP问题的总结归纳，我们可以更好地理解和应用有关组合优化问题的解决方法，推动其在实践中的发展和应用。
SOFM神经网络最近插入法混合算法在TSP问题中应用研究
图 2 = 0. 02 SO FM 算法计算 50个城市结果图示
图 2( c)中红色五角星所示, 很明显, 存在两个 节点 [ 5, 6] 、[ 25 32] 不在路径中, 这是因为随着 学习的进行, 学习速度过小以后不能将一些复制的 节点分离, 从而最终导致一些城市没有被选中。
在此基础上采用最近插入法能够很好的解决 该问题, 将剩下的两点插入最近的两个节点之间, 所得运算结果如图 3所示:
图7
= 0. 02 SOFM 神经网络 - 最 近插入 算法计算 1000个城市图示
The Applied R esearch of SOFM Neural N etworks The N earest Insertion H ybrid A lgorithm in the TSP Problem
ZHU L i juan, XU X iao m ing, X IA B i sheng
( C ollege of Scien ce, H ohai U n ivers ity, N an Jing 210098, Ch ina)
A bstract: SOFM neural netw ork has been successfu lly app lied to the TSP prob lem, but the algo rithm has som e shortcom ings. as the learning rate gradually reduce, w ill result in som e cities no t pass through. In response to these shortcom ings, the N earest Insert ion in the SOFM neura l netwo rk w as introduced to form a hybrid algorithm. T hrough the experim en,t and w ith the SOFM neural netwo rk the algor ithm comparison, the results show that the a lgorithm is w e ll positioned to im prove the problem. K ey words: Self O rgan izing fea ture m aps; the nearest insertion, trave lling salesm an problem
遗传算法及其在TSP问题中的应用
遗传算法及其在TSP问题中的应用摘要：本文首先介绍了遗传算法的基本理论与方法，从应用的角度对遗传算法做了认真的分析和研究，总结了用遗传算法提出求解组合优化问题中的典型问题——TSP问题的最优近似解的算法。
其次，本文在深入分析和研究了遗传算法基本理论与方法的基础上，针对旅行商问题的具体问题，设计了基于TSP的遗传算法的选择、交叉和变异算子等遗传算子，提出了求解旅行商问题的一种遗传算法，并用Matlab语言编程实现其算法，最后绘出算法的仿真结果，并对不同结果作出相应的分析。
然后，本文还针对遗传算法求解TSP时存在的一些问题对该算法进行了适当的改进。
如针对初始群体、遗传算子作出适当改进，或者将遗传算法与其他方法相结合，以及在编程过程中对算法流程的改进。
本人在用计算机模拟遗传算法求解TSP问题时，首先分析了用Matlab语言设计遗传算法程序的优越性，接着以遗传算法求解TSP问题为例，深入讨论了各个遗传算子的程序实现，并通过分析实验数据，得到各个遗传算子在搜索寻优过程中所起的作用，最后指出了用Matlab语言编程同用其它高级程序语言编程的差异所在，以及运用Matlab编写遗传算法程序的一些注意事项。
最后，本文提出将遗传算法与其它算法相结合来求解一般问题的想法；并将遗传算法的应用范围扩展，提出可以运用遗传算法求解由TSP衍生出的各类TSP扩展问题，如求解配送/收集旅行商问题的遗传算法（TSPD）、遗传算法在货物配送问题中的应用（ST－TSP）、多旅行商问题（MTSP）等。
引言：优化问题可以自然地分为两类：一类是连续变量的优化问题；另一类是离散变量的优化问题，即所谓组合优化问题。
对于连续变量的优化问题，一般是求一组实数或一个函数；而在组合优化问题中，一般是从一个无限集或有限的几个无限集中寻找一个对象——它可以是一个整数，一个集合，一个排列或者一个图，也即是从可行解中求出最优解的问题。
TSP问题就是其中的典型例子，就本质上而言它可抽象为数学上的组合优化，它描述的是旅行商经N个城市的最短路径问题，因而对TSP问题的求解是数学上，同时也是优化问题中普遍关注的。
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神经网络及其在TSP问题中的应用摘要：TSP问题一直是组合优化中极富活力的研究课题之一。
神经网络的发展为这一问题的解决提供了一种新的思路。
1985年Hopfield和Tank两人用CHNN网络为解决TSP难题开辟了一条崭新的途径并获得了巨大成功。
本文介绍了神经网络的基本知识，给出了TSP 问题的描述及数学模型，介绍了神经网络应用于TSP问题的相关理论知识及Hopfield算法在求解TSP问题中的应用分析.关键词：TSP问题；人工神经元网络；最优路径；Hopfield神经网络；The Application Of Neural Network In The Travelling SalesmanProblemWang XinCollege of Aeronautical Engineering，Civil Aviation University of China 1401001Abstract:The travelling salesman Problem (TSP) is always one of the most vigorous research topics in combined optimization . The development of neural network provided a newway to solve the problem. In 1985 Hopfield and Tank open up a new way for solving the TSPproblem by using CHNN and gained great success. This paper will introduce the basic knowledge of neural networks, describe the travelling salesman Problem and its mathematical model. In this paper, the neural network application knowledge in TSP and the related theoretical knowledge is given . Moreover, the paper will talk about the application of Hopfield algorithm analysis insolving TSP problem.Keywords:TSP , artificial neural network ,optimal path ,Hopfield neural network;自20世纪40年代出现以来，人工神经网络的发展虽不是一帆风顺但始终被人们寄予厚望。
因为在智能的，模糊的，随机的信息处理方面，人工神经网络具有巨大优势。
神经网络的应用已经渗透到模式识别、图像处理、非线性优化、专家系统等各个领域，并取得了令人瞩目的成果。
旅行商的路径优化问题规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。
随着旅行商所经地点数目的增多，如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那么总路径数量之大，几乎难以计算出来。
多年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高效算法。
本文介绍了利用人工神经网络来解决这一传统难题的另一个方法。
1.生物神经网络基础1.1生物神经元的结构大脑中的神经元形态不尽相同，功能也有差异，但从组成结构来看个神经元细胞是有共性的。
神经元在结构上由细胞体、树突、轴突和突触四部分组成。
如图1图1 神经细胞的结构1.2生物神经元的信息处理机理神经细胞利用电-化学过程交换信号。
输入信号来自另一些神经细胞。
这些神经细胞的轴突末梢（也就是终端）和本神经细胞的树突相遇形成突触，信号就从树突上的突触进入本细胞。
信号在大脑中实际怎样传输是一个相当复杂的过程，但就我们而言，重要的是把它看成和现代的计算机一样，利用一系列的0和1来进行操作。
就是说，大脑的神经细胞也只有两种状态：兴奋（fire）和不兴奋（即抑制）。
发射信号的强度不变，变化的仅仅是频率。
神经细胞利用一种我们还不知道的方法,把所有从树突突触上进来的信号进行相加，如果全部信号的总和超过某个阀值，就会激发神经细胞进入兴奋状态，这时就会有一个电信号通过轴突发送出去给其他神经细胞。
如果信号总和没有达到阀值，神经细胞就不会兴奋起来。
1.3人脑的功能特点由于脑神经细胞间数量巨大的连接，使得大脑具备难以置信的能力。
尽管每一个神经细胞仅仅工作于大约100Hz的频率，但因各个神经细胞都以独立处理单元的形式并行工作着，使人类的大脑具有下面这些非常明显的特点：能实现无监督的学习。
有关我们的大脑的难以置信的事实之一，就是它们能够自己进行学习，而不需要导师的监督教导。
如果一个神经细胞在一段时间内受到高频率的刺激，则它和输入信号的神经细胞之间的连接强度就会按某种过程改变，使得该神经细胞下一次受到激励时更容易兴奋。
与此相反的是，如果一个神经细胞在一段时间内不受到激励，那么它的连接的有效性就会慢慢地衰减。
这一现象就称可塑性1）对损伤有冗余性。
大脑即使有很大一部分受到了损伤，它仍然能够执行复杂的工作。
例如在人类身上能见到这种现象：由于心血管病或其他原因引起大面积脑组织坏死的脑梗死病人经过一段时间的康复训练后也能恢复健康，特别是，记忆力并不受损。
2）处理信息的效率极高。
神经细胞之间电-化学信号的传递，与一台数字计算机中CPU的数据传输相比，速度是非常慢的，但因神经细胞采用了并行的工作方式，使得大脑能够同时处理大量的数据。
例如，大脑视觉皮层在处理通过我们的视网膜输入的一幅图象信号时，大约只要100ms的时间就能完成。
考虑到神经细胞的平均工作频率只有100Hz，100ms的时间就意味只能完成10个计算步骤！想一想通过我们眼睛的数据量有多大，你就可以看到这真是一个难以置信的伟大工程了。
3）善于归纳推广。
大脑和数字计算机不同，它极擅长的事情之一就是模式识别，并能根据已熟悉信息进行归纳推广。
例如，我们能够阅读他人所写的手稿上的文字，即使我们以前从来没见过他所写的东西。
2.人工神经网络鉴于大脑具有以上的优点科学家们创造出了人工神经网络。
人工神经网络是基于生理学上真实的人脑神经网络的结构和原理以及基本特性进行理论抽象、简化和模拟而成的一种信息处理系统。
2.1人工神经元网络的神经元模型与大脑类似，神经元是人工神经网络的基本单元。
目前人们提出的神经元模型有多种，其中影响最大的是1943年心理学家McCulloch和数学家W . Pitts在分析总结神经元基本特性的基础上首先提出的M-P模型。
如图2图2 M-P模型示意图其中x1，x2，…xn。
为输入信息号，为神经元内部状态，θj为阈值，W i j为两个神经元的连接权值，f (.) 为激发函数，y j为输出，上述模型的数学形式为：y j=ƒ(∑ W ij X j - θ i)这样，每一个神经元的输入接受前一级神经元的输出，因此，对神经元j的总作用为所有输入的加权和减去阈值(若无阈值则不减)，此作用引起神经元j的状态变化，而神经元j的输出y，为其当前状态( ∑ W ij X j - θ I )的函数。
2.2人工神经元网络模型大量神经元相互连接组成庞大的神经网络才能实现对复杂信息的处理与存储。
因此必须按一定的规则将神经元连接成神经网络，这里根据神经网络内部信息的传递方向，可分为两类：前馈型网络和反馈型网络。
如图3、4图3：前馈网络图4：反馈网络2.3人工神经网络与冯诺依曼计算机相比的特点1）大规模并行处理人工神经网络的基本结构模仿人脑，具有并行处理的特征，可以大大提高工作速度。
2）分布式存储人工神经网络的信息存储在神经元之间的连接强度分布上，存储区与运算区合为一体。
3）自适应学习过程人工神经网络可以通过学习和训练过程改变突触权重值以适应周围环境要求2.4人工神经网络可以实现的功能1）联想记忆功能人工神经网络可以通过预先存储信息和学习机制进行自适应训练，从不完整的信息和噪声干扰中恢复原始的完整信息，如图像恢复，语音处理。
2）分类与识别功能神经网络对外界输入样本有很强的识别与分类能力，对输入样本的分类实际是在样本空间中找出符合分类要求的分割区域。
3）优化计算功能在约束条件下寻找参数组合，建立目标函数，使函数值达到最小。
人工神经网络的优化计算在TSP及生产调度问题上有重要的应用。
3. Hopfield神经网络的算法分析美国加州理工学院物理学家J.J. Hopfield教授于1983年提出一种单层反馈神经网络，后来人们将这种反馈网络称作Hopfield网络。
Hopfield网络分为离散型和连续型两种网络模型分别记作DHNN 和CHNN。
3.1离散型Hopfield网络3.1.1离散型Hopfield网络的结构图5离散型Hopfield网络为单层结构，网络由n个单元组成，Ni表示第i个神经元，这些神经元既是输入单元，也是输出单元，各个单元一般取同样的功能函数f，为分析方便各单元的阈值全部为0，其中x=（x1，x2，… xn)为网络输入，y=（y1，y2，… yn)为网络输出。
3.1.2Hopfield神经网络运行的几个基本概念1）网络的稳定性与能量函数网络从初态v(0)开始变化，经过有限次递归后其状态不再变化，即v(t+Δt)=v(t)则称网络是稳定的。
此时网络的能量函数为极小值。
网络的能量函数与网络的稳定性密切相关，网络的能量函数在网络状态按一定规则变化时能自动趋向能量的极小点。
2）网络的吸引子在网络经过时间t后，若状态ν(t)是稳定的，则称ν(t)是网络的稳定吸引子。
3）吸引子的吸引域网络按照运行规则会最终稳定在同一吸引子ν(t)上的特定的初始状态ν(0)的集合称为网络的吸引域。
3.2连续型Hopfield神经网络连续型Hopfield神经网络的结构与离散型Hopfield神经网络结构相同，所有神经元都随时间t 并行更新，网络随时间连续变化。
图6给出了基于电子线路的CHNN的拓扑结构。
CHNN模型与该电子线路直接对应，每一个神经元可以可以用一个运算放大器来模拟。
神经元的输入、输出分别对应运放的输入电压ui，和输出电压νi。
用输入端电导表示连接权值Wij，外界偏置电流Ij相当于阈值。
图6：CHNN的电子线路图分析图中第j个神经元电路，根据基尔霍夫定律可写出以下方程：令Rj=1/gj得：（1）令得：（2）定义CHNN的能量函数为（3）如果图6中的运算放大器接近理想运放，上式的积分项可以忽略不计，即能量函数可以写为：（4）可以证明CHNN的能量函数总是单调递减的，即网络最终能够达到稳定状态。