平面图形面积公式推导过程.pptx
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定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
右脑思维的核心是形象思维， 在大脑中多出现形象的东西，在 各项思维活动中，多借助形象， 就训练了右脑。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
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2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
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第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
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第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
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二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
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2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
平面图形的面积公式推导课件解析
（1）花坛的半径：
20÷2＝10（m）
（2）花坛的面积：
3.14×102 ＝3.14×100 ＝314 (m2)
综合列式： 3.14×(20÷2)2 ＝3.14×102
＝3.14×100
答：它的面积是314平方米图形，和同桌说一说：
长方形的长是圆的（
）
长方形的宽是圆的（
）
长 = 圆周长的一半
宽 =半径
长方形面积 = 长 × 宽
圆面积 = 周长一半 × 半径
S
=
C 2
×
r
=
12πr 2
×r
1
=πr×r
=πr2
S = πr2
r
r
C 2
1 圆形花坛的直径是20m，它的面积是多少平方米？
原
来
平 行 四
（ 长 方 形
边的
形宽
的）
高
原来平行四边形的底
（长方形的长）
长方形的面积 = 长 × 宽
× 平行四边形的面积 = 底
高
× 平行四边形的面积 =底 高
S=a×h
S = a ·h
S =ah
平行四边形花坛的底是6米 ， 高是4米，它的面积是多少？ 4米
S=ah=6×4=24（米2）
6米
平面图形的面积公式
授课年级：六年级 学科 ：数学
青龙小学微课程工作室
青龙小学微课程工作室 2014年6月3日
复习： （ 长 方 形 的 宽 ）
（长方形的长）
长方形的面积 = 长 × 宽
平行四边形的面积公式是如何推导的？
S=？
原
来（
平长
行方
四 边 形
形 的 宽 ）
平面图形面积课件
面积相关概念：表面积和体积
1
定义1
表面积是指一个形体表面的总面积。
例题1
2
例如，一个立方体的表面积为6面的面积
之和，而一个圆柱体的表面积则为侧面
积和两个圆的面积之和。
3
定义2
体积是指一个物体所占据的空间总量。
例题2
4
例如，一个长方体的体积就是长、宽和 高的乘积，而一个球体的体积则为 “(4/3)πr³”。
长方形面积计算公式
定理
长方形的面积就是长乘以宽。
例题
例如，长为8厘米，宽为6厘 米的长方形的面积为48平方 厘米。
公式
面积 = 长 x 宽
正方形面积计算公式
1
定理
正方形的面积就是一个边的平方。
2
例题
例如，边长为5厘米的正方形的面积为25平方厘米。
3
公式
面积 = 边长²
三角形面积计算公式
定理1
三角形的面积等于底边乘以高再 除以2。
定理2
等边三角形的面积可使用公式 “面积 = (边长²√3)/4”进行计算。
定理3
等腰三角形的面积可使用公式 “面积 = 底边乘以高再除以2”进行 计算。
梯形面积计算公式
定理
梯形的面积可使用公式“面积 = (上底 + 下底) x 高 / 2”进行计算，其中高是指顶点到底边的距 离。
例题
例如，上底长为5厘米，下底长为9厘米，高为4厘米的梯形的面积为32平方厘米。
公式
面积 = (上底 + 下底) x 高 / 2
圆面积计算公式
1
定理1
圆的面积计算公式为πr²，其中r为半径。
例题1
2
例如，半径为3厘米的圆的面积为28.27平
六年级平面图形的面积课件
3×2=6（平方分米） 4×5÷2 =10（平方厘米）
高3厘米 （4+2）×3÷2=9（平方厘米）
圆
第二关：明辨是非
1．半圆形的周长等于圆周长的一半。
()
2．边长4 cm的正方形的周长和面积相等。
× ()
3．把一个长方形框架拉成平行四边形，周长和面×积
都不会改变。 ( × )
4．
如左图，A部分的周长和面积分别大于B部分
30米
①算梯形面积 (60+100) ×30÷2
100米
长10米 宽6米
C = 32米 S=60平方米
C = 32米 S=64平方米
C = 32米 S≈78.5平方米
这节课你有哪 些收获？
作业
请完成教材第104页应用与 反思，第5、8、9、10、12、 13、17题。
一、导入激趣
拍卖土地公告
经珠海市人民政府批 准……拍卖出让国有土 地使用权
长方形面积的推导（插入动画演示）
1平方厘米
5 厘米
小正方形的个数 = 每排个数 × 排数
长方形的面积 = 长 × 宽
S
=
a ×b
二、
我们学过的平面图形的面积计算公式是怎样推导出来的？ 它们之间有怎样的联系？
回顾整理要求： 1.小组合作，回忆平面图形面积公式的推导过程； 2.根据知识间的关系合理地整理； 3.把整理的结果用表格、流程图、树状图等自己喜欢的
的周长和面积。 ( × )
1、求下图半圆的面积，列式正确的是（ B）。
A 4×3.14÷2 B （4÷2）×（4÷2）×3.14÷2 C 4×4×3.14÷2
2、一个平行四边形和一个三角形等底等高，已知平行四边形 的面积是25平方厘米，三角形的面积是（ A ）平方厘米。
平面图形的面积 ppt课件
s o a y=g(x) b x
图1
y=g(x)
图3
图2
想一想： 上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？
b
b
b
s af(x )d x ag (x )d x a[f(x ) g (x )]d x
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11
例3.求如图所示阴影部分图形的面积。
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12
(三）课堂小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;
o
b
当f(x)0时，即 f(x)dxS y
a
o
AS
a
a
bx b x
当 f(x)有 正 有 负 时 ，
S
y=f (x)
S1
S2
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S3
b
af(x)dxS1S2S3 2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
6
2.微积分基本定理 (F'(x)f(x))
abf(x)dxF(x)b aF(b)F(a)
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(二）例题
例1.求如图所示阴影部分图形的面积。
分析：图形中阴影部分（记为S ）的面积由两个部分组成；
y
y sin x
1
s1
s2
o
x
-1
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图1
y=g(x)
图3
图2
想一想： 上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？
b
b
b
s af(x )d x ag (x )d x a[f(x ) g (x )]d x
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例3.求如图所示阴影部分图形的面积。
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(三）课堂小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;
o
b
当f(x)0时，即 f(x)dxS y
a
o
AS
a
a
bx b x
当 f(x)有 正 有 负 时 ，
S
y=f (x)
S1
S2
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S3
b
af(x)dxS1S2S3 2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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2.微积分基本定理 (F'(x)f(x))
abf(x)dxF(x)b aF(b)F(a)
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(二）例题
例1.求如图所示阴影部分图形的面积。
分析：图形中阴影部分（记为S ）的面积由两个部分组成；
y
y sin x
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s1
s2
o
x
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