求和符号西格马
(完整版)求和符号西格马
求和符号西格马数学中常遇到众多项的和的问题，为了表述的方便，引入了用求和符号简单表述的方法。
并且，在数学的很多地方，都起到了重要的作用。
1 求和符号的一般规律 下面的和式n a a a a ++++Λ321可以简单的表示为∑=ni ia1。
这里的整数i 是变量，而i a 是i 的函数。
1=i 指出了i 所取的最小值，n 指出了i 所取的最大值。
当然，i 不是必须从1开始，它可以从小于等于n 的任何一个整数m 开始，如∑=+++++=nmi n m m m ia a a a aΛ21特殊地，有∑==nni n ia a。
了解了求和符号的一般规律，可以使复杂的问题简单化。
下面我们着手进行这些规律的研究。
定理1：∑∑∑+===+=nm i imi in i i a aa 111，其中m 是介于1和n 间的整数。
证明：很明显，这是加法结合律的必然结果。
相当于把n 个数分成了两部分，分别求和后再求和。
定理2：∑∑∑===+=+ni i n i i ni i ib a b a111证明：由加法的交换律和结合律可知()()()()()()∑∑∑===+=+++++=+++++++=+ni ini i n n n n ni i ib a b b b a a a b a b a b a b a b a1121213322111ΛΛΛ很明显，上面的两项和的问题可以扩展到多项，更一般地，有 定理3：∑∑∑∑∑=====++++=++++ni ki n i i n i i n i i ni ki i i ia a a a a a a a11312111321ΛΛ这个结果可以由定理2简单地推出。
对于i ki i i i a a a a a ====Λ321，有∑∑===ni i ni ia k ka11其中k 为常数，且为整数。
这个结果告诉我们求和符号里面的整数常数可以提到求和符号的外边来。
不但如此，我们还可以将这个整数常数推广成任意的常数。
sigma数学符号
sigma数学符号
sigma数学符号，简称“求和符号”，是数学中常用的一种符号。
它表示将一系列数相加的意思。
在数学中，我们经常需要计算一系列连续的数的和，而使用sigma符号可以方便地表示这种计算方法。
sigma符号的形式为希腊字母“Σ”，下方跟随着一个下标和一个上标，下标表示起始数值，上标表示结束数值。
例如，∑i=1n i表示将从1到n的所有整数相加。
sigma符号还可以加上一个表达式，表示对每个数进行的操作。
这种操作可以是一个常数、一个变量、一个函数等。
因此，sigma符号在数学上具有广泛应用，特别是在计算机科学和统计学中。
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3西格玛与6西格玛的数学定义
3西格玛与6西格玛的数学定义摘要：1.3 西格玛的定义与性质2.6 西格玛的定义与性质3.3 西格玛与6 西格玛的关系正文：3 西格玛与6 西格玛是数学领域中常见的两个符号，它们各自具有独特的定义和性质。
首先，我们来了解3 西格玛的定义与性质。
3 西格玛，即Σ（希腊字母），代表求和符号，用于表示一系列数的总和。
在数学公式中，我们可以通过3 西格玛来简洁地表示一系列数的加和。
例如，如果有一个数列：1, 2, 3, 4, 5，我们可以用3 西格玛来表示为：Σ(i=1 to 5) i。
3 西格玛不仅适用于整数，还可以表示实数、复数甚至矩阵的求和。
接下来，我们看6 西格玛的定义与性质。
6 西格玛，即∑（拉丁字母），同样表示求和符号，但它主要用于表示有限求和。
当求和的上下限都是整数时，我们通常使用6 西格玛来表示。
例如，对于数列：1, 2, 3, 4, 5，我们可以用6 西格玛表示为：∑(i=1 to 5) i。
需要注意的是，6 西格玛只能表示有限求和，而不能表示无限求和。
那么，3 西格玛与6 西格玛之间有什么关系呢？实际上，它们是相互补充的。
3 西格玛可以表示无限求和，而6 西格玛只能表示有限求和。
在实际应用中，我们可以根据需要选择使用3 西格玛还是6 西格玛。
例如，在表示一个等差数列的前n 项和时，我们可以使用6 西格玛：∑(i=1 to n) i，表示前n 项和；而在表示一个等比数列的前n 项和时，我们可以使用3 西格玛：Σ(i=1 to ∞) i，表示无穷级数求和。
总之，3 西格玛与6 西格玛作为数学中的求和符号，它们各自具有独特的定义和性质，并在实际应用中相互补充。
西格玛计算公式详细讲解
西格玛计算公式详细讲解Title: Detailed Explanation of the Sigma Notation Formula西格玛（Sigma）计算公式是用于表示求和操作的数学符号，常用于求解一系列数值的总和。
它具体表达为∑（下标i=起始值到终止值）的表达式，下方的i表示变量，而其上方的起始值和终止值表示变量i的取值范围。
西格玛符号前方的起始值告诉我们变量i的初始取值，而符号后方的终止值则表示变量i的最终取值。
我们需要计算的数值将由一个函数f(i)来表示，这个函数将i作为输入。
使用西格玛符号时，我们需要先确定起始值和终止值，然后将这些值代入到函数f(i)中进行计算，并将每次计算的结果累加起来，即可得到求和的结果。
下面是一个示例来说明如何使用西格玛计算公式：假设我们要计算从1到5的整数的和，可以使用西格玛计算公式来表示为∑（下标i=1 到5）i。
首先，我们需要计算起始值和终止值。
在这个例子中，起始值为1，终止值为5。
然后，我们需要确定要使用的函数f(i)。
在这个例子中，f(i)为变量i本身，因此f(i) = i。
接下来，我们将起始值1代入到函数f(i)中，计算得到 f(1) = 1。
然后将计算结果累加。
接着，我们使用i=2，计算 f(2) = 2，并将计算结果再次累加。
依此类推，我们重复这个过程，直到将终止值5代入到函数f(i)中。
最终，我们将每次计算结果得到的值相加，即 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。
因此，从1到5的整数的和为15。
通过西格玛计算公式，我们可以方便地表示和计算一系列数值的总和。
无论是在数学还是计算机科学中，该公式都被广泛使用。
它的简洁性和灵活性使得它成为求和操作的有力工具，在实际问题中具有广泛的应用。
求和公式∑ 运算法则
求和公式∑运算法则
求和法则：∑j=1+2+3+…+n。
大写Σ用于数学上的总和符号，比如：∑Pi，其中i=1，2，3，...。
T，即为求P1+P2+P3...+PT的和。
∑公式计算：表示起和止的数。
比如说下面n=2，上面数字10，表示从2起到10止。
公式：∑ai（i=1……），∑表示连加,右边写通式,上下标写范围，∑称为连加号,意思为：a1+a2+……+an=n。
∑(求和符号）
英语名称：Sigma。
汉语名称：西格玛。
（大写Σ，小写σ）
第十八个希腊字母。
在粜希腊洎头筿语中，如果一个单字的最末一个字母是小写sigma,要把该字母写成ς，此字母又称final sigma（Unicode: U+03C2）。
在现代的希腊数字代表6。
大写Σ用于数学上的总和符号，比如：∑Pi，其中i=1,2,...,T，即为求P1 + P2 + ... + PT的和。
小写σ用于统计学上的标准差。
西里尔字母的С及拉丁字母的S都是由Sigma演变而成。
也指求和，这种写法表示的就是∑j=1+2+3+…+n。
∑的用法：
其中i表示下界，n表示上界，k从i开始取数，一直取到n,全部加起来。
∑i 这样表达也可以，表示对i求和，i是变数。
∑∑,sigma,希腊字母（念：西格玛）表示数学中的“求和”，比如：
∑pi，i为1,2,...,t。
即为求p1 + p2 + ... + pt的和。
一西格玛的计算公式
一西格玛的计算公式一西格玛，即Σ，是数学中常见的符号，用于表示求和的操作。
在统计学和概率论中，一西格玛经常被用来计算一组数据的总和、平均值、方差等统计量。
本文将介绍一西格玛的计算公式及其在实际问题中的应用。
一、一西格玛的计算公式。
一西格玛的计算公式如下：ΣXi = X1 + X2 + X3 + ... + Xn。
其中，Σ表示求和，Xi表示要求和的数据，X1、X2、X3等分别表示数据的具体数值，n表示数据的个数。
例如，有一组数据{3, 5, 7, 9}，要计算这组数据的总和，可以使用一西格玛的计算公式：ΣXi = 3 + 5 + 7 + 9 = 24。
因此，这组数据的总和为24。
二、一西格玛的应用。
1. 计算平均值。
在统计学中，一西格玛经常被用来计算一组数据的平均值。
平均值可以用来衡量数据的集中趋势，是统计分析中最基本的指标之一。
要计算一组数据的平均值，可以使用以下公式：平均值 = ΣXi / n。
其中，ΣXi表示数据的总和，n表示数据的个数。
通过一西格玛的计算公式，可以很容易地求得数据的总和，然后再除以数据的个数，即可得到平均值。
例如，有一组数据{3, 5, 7, 9}，要计算这组数据的平均值，可以先使用一西格玛的计算公式求得数据的总和，然后再除以数据的个数：ΣXi = 3 + 5 + 7 + 9 = 24。
平均值 = 24 / 4 = 6。
因此，这组数据的平均值为6。
2. 计算方差。
在概率论和统计学中，方差是衡量随机变量离散程度的指标，用来描述数据的分散程度。
一西格玛可以用来计算一组数据的方差。
要计算一组数据的方差，可以使用以下公式：方差 = Σ(Xi 平均值)² / n。
其中，Σ表示求和，Xi表示数据的具体数值，平均值表示数据的平均值，n表示数据的个数。
通过一西格玛的计算公式，可以先计算每个数据与平均值的差的平方，然后再求和，最后除以数据的个数，即可得到方差。
例如，有一组数据{3, 5, 7, 9}，已知这组数据的平均值为6，要计算这组数据的方差，可以使用一西格玛的计算公式：方差 = (3-6)² + (5-6)² + (7-6)² + (9-6)² / 4。
包含西格玛的式子的运算.化简和因式分解-概述说明以及解释
包含西格玛的式子的运算.化简和因式分解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述【概述】西格玛符号（Σ）是数学中常见的表示求和运算的符号，它可以将一系列数值按照特定的规则相加。
包含西格玛的式子在数学领域中被广泛运用，在各种数学问题的求解中起到至关重要的作用。
本文旨在介绍包含西格玛的式子的运算，特别是针对化简和因式分解的方法进行深入探讨。
我们将首先对西格玛的概念进行阐述，解释其在数学中的意义和作用。
随后，我们将详细讨论包含西格玛的式子的运算规则，包括加法规则、乘法规则以及其他常用的运算规则，帮助读者更好地理解和应用这些规则。
在接下来的部分中，我们将重点介绍如何化简包含西格玛的式子，提供一系列实用的方法和技巧。
这些方法涉及变量替换、求和求差、配对求和等，能够帮助读者在求解问题时简化复杂的式子，并得到更加简洁的结果。
最后，我们将对本文的重点内容进行总结，总结西格玛的运算规则以及化简和因式分解的方法。
进一步，我们将讨论包含西格玛的式子在实际问题中的应用和意义，探究其在数学研究和工程领域中的重要性。
通过对包含西格玛的式子的运算进行深入研究和探讨，本文将为读者提供一种有效的数学求解方法，使其能够更好地应对包含西格玛的复杂数学问题，进一步提升数学解题的能力和水平。
1.2 文章结构本文主要讨论包含西格玛的式子的运算、化简和因式分解。
文章结构如下：2. 正文2.1 西格玛的概念2.2 包含西格玛的式子运算规则2.3 化简包含西格玛的式子在正文部分，我们首先介绍西格玛的概念，阐述了西格玛符号的含义和用法。
接着，我们探讨了包含西格玛的式子的运算规则，包括求和、积分、列求和等常见的运算法则。
然后，我们讨论了如何化简包含西格玛的式子，介绍了常见的化简方法和技巧。
通过这些方法，我们可以将复杂的式子简化为简洁的形式，便于进一步研究和分析。
3. 结论3.1 总结西格玛的运算规则3.2 总结化简和因式分解的方法3.3 对包含西格玛的式子的应用和意义进行讨论最后，我们对西格玛的运算规则进行总结，强调了其在数学和科学领域中的重要性。
sigma计算公式
sigma计算公式Sigma（希腊字母Σ）代表在数学中的求和操作。
它通常用来表示一系列数值的总和。
Sigma计算公式用于定义数学中的求和操作，并且可以依据具体情况进行适当的变化。
首先，我们来介绍一下Sigma符号的表示方法。
Sigma符号由一个大写的希腊字母Σ加上一个下标和上标组成。
下标表示求和的起始点，上标表示求和的终止点。
下面是一个典型的Sigma符号的表示方法：```∑i=1```这个Sigma符号表示对变量i从1到n的数值进行求和。
下面我们来详细介绍一些常用的Sigma计算公式。
1.求和公式：```∑(i=1 to n) x[i]```这个公式表示对一系列数x[i]求和，其中i从1到n。
例如：```∑(i=1 to 3) x[i] = x[1] + x[2] + x[3]```这个公式表示对x[1]、x[2]和x[3]三个数进行求和。
2.幂求和公式：```∑(i=1 to n) x[i]^k```这个公式表示对一系列数x[i]的k次幂进行求和，其中i从1到n。
例如：```∑(i=1 to 3) x[i]^2 = x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2```这个公式表示对x[1]、x[2]和x[3]的平方进行求和。
3.累积求和公式：```∑(i=1 to n) ∑(j=1 to m) x[i,j]```这个公式表示对二维数组x[i,j]的所有元素进行求和，其中i从1到n，j从1到m。
例如：```∑(i=1 to 2) ∑(j=1 to 3) x[i,j] = x[1,1] + x[1,2] + x[1,3] + x[2,1] + x[2,2] + x[2,3]```这个公式表示对2x3的二维数组x的所有元素进行求和。
4.条件求和公式：```∑(i=1 to n) [x[i] if condition[i]]```这个公式表示对一系列数x[i]进行求和，其中只有满足条件condition[i]的数值会被纳入求和中。
sigma在统计学中表示的含义
sigma在统计学中表示的含义
摘要：
1.引言
2.西格玛（σ）在统计学中的含义
3.西格玛（σ）在其他学科中的含义
4.总结
正文：
1.引言
在数学和统计学领域，西格玛（σ）是一个常见的符号，它代表了求和。
然而，在统计学中，它还有其他特定的含义。
本文将探讨西格玛（σ）在统计学中的含义以及在其他学科中的意义。
2.西格玛（σ）在统计学中的含义
在统计学中，西格玛（σ）主要表示标准差（Standard Deviation）。
标准差是一种衡量数据分散程度的指标，它反映了数据值偏离平均值的程度。
当数据集的分布较为集中时，标准差较小；而当数据集的分布较为分散时，标准差较大。
3.西格玛（σ）在其他学科中的含义
除了在统计学中表示标准差之外，西格玛（σ）在其他学科中也有不同的含义：
- 在物理学中，σ表示截面面积
- 在化学中，σ表示化学键的类型
- 在工程学中，σ表示应力
- 在计算机科学中，σ表示循环
4.总结
总的来说，西格玛（σ）在统计学中主要表示标准差，用来衡量数据的分散程度。
而在其他学科中，σ代表的含义各不相同，包括截面面积、化学键类型、应力和循环等。
西格玛数学符号
西格玛数学符号
西格玛数学符号是一种常用的数学符号，通常用于表示一系列相同的数学运算。
它的形式为一个希腊字母大写的“Σ”字，下方紧跟一个表示起始值的小写字母，上方则是表示结束值的小写字母，中间则是被求和的算式。
例如，Σ(i=1 to n) i 表示将从1到n的所有整数相加的结果，即1+2+3+...+n。
西格玛符号在数学中有着广泛的应用，尤其是在代数学、微积分、概率论等领域，被广泛地用于求和、积分、平均数、方差等计算。
因此，熟练掌握和运用西格玛数学符号对于数学学习和研究都至关重要。
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西格玛数学符号
西格玛数学符号
西格玛数学符号是代数学中常用的符号之一，它表示的是序列或者级数的求和。
西格玛符号的外观类似于大写的希腊字母Σ，它的下标表示的是求和的起点，上标表示的是求和的终点。
例如，下标为1，上标为n 的西格玛数学符号表示的就是从1到n的所有数的和。
西格玛数学符号在计算机科学中也有广泛的应用，例如在算法分析中，我们可以使用西格玛符号来表示时间复杂度，从而更方便地比较算法的效率。
学好西格玛数学符号对于代数学的学习至关重要，因为它是代数学中非常基础且常用的概念。
要使用西格玛符号，我们需要掌握求和的技巧，并且要能够将问题转化为适合使用西格玛符号求解的形式。
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像左耳一样的数学符号
像左耳一样的数学符号
中文名：西格玛，外文名：Sigma，希腊字母：∑
释义：数学中用于求多项数的和的符号
归属学科：数学
基本介绍：
“西格玛”是希腊字母，也有念作“西玛”“希玛”等各种读法，符号是∑,英文译音是Sigma, 表示数学中的求和号，是数学中常用的符号，主要用于求多项数的和，用∑表示：∑下面的小字,如i=1表示从i=1开始求和，上面的小字，如n表示求和到n为止，比如下面写i=1，上面写n，后面写xi(i是下角标)
表示从x1+x2+ (x)
例如1+2+3+4+......+100=5050可以写成
比如下面写i=5，上面写n，后面写xi
表示从x5+x6+ (x)
Sigma（大写Σ，小写σ），是第十八个希腊字母。
在希腊语中，如果一个单字的最末一个字母是小写sigma，要把该字母写成Sigma 的小写另一种。
在现代的希腊数字代表6。
大写Σ用于：数学上的总和符号，小写σ用于：化学上的一种共价键，σ键。
总和的数学符号
总和的数学符号
总和的数学符号
总和是指将多个值的和计算出来的结果。
数学中表示总和的符号是sigma，也可以写成Σ。
它是几何学中的希腊字母，表示“总和”的意思，它是以下语句的符号表示：
sigma（n）= x1 + x2 + x3 + ··· + xn
其中，n是表示求和个数的变量，xi是表示求和项的变量。
通常用于表示求和的上标和下标，表示从第i项到第n项的求和，如：
sigma (i=1 to n）= x1 + x2 + x3 + ··· + xn
同时，sigma还可以用来表示乘法或幂运算的求和，例如：
sigma (i=1 to n）= x1 · y1 + x2 · y2 + x3 · y3 + ··· + xn · yn
sigma (i=1 to n）= x1P0 + x2P1 + x3P2 + ··· + xnPn-1 在数学中，sigma是一种常用的符号，它可以帮助我们更好地总结、表示多个数值组成的数列。
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数理统计表示总和的字母
数理统计表示总和的字母
∑,Sigma,希腊字母（念：西格玛）表示数学中的“求和”，比如：
∑Pi，i为1,2,...,T，
即为求P1 + P2 + ... + PT的和。
表示连续求和符号.是一个常用的符号，示对一个连续式的求和通常情况下西格玛符号后的都是一个通式带有一个自变量随着自变量的变化会有一连串的式子比如如果西格玛符号的后面是N （N 隶属于自然数）那么意思就是对1+2+3+4+5+6+7+8+……………………一直加下去当然结果你也知道的啊等于 N*（N+1）/2 其它以此类推。
∑上面给的是求值的上限，下面一般给出i=1的形式，表示i从一开始求和，只要从下限到上限，求∑后面的表达式的值之和就可以了！
“西格玛”是希腊字母，也有念作“西玛”“希玛”等各种读法，符号是∑,英文译音是Sigma, 表示数学中的求和号，是数学中常用的符号，主要用于求多项数的和，用∑表示。
①
②
∑下面的小字，如
表示从
开始求和
上面的小字，如n表示求和到n为止比如下面写
，上面写n，后面写
(i是下角标)
表示从
例如
可以写成
比如下面写
，上面写n，后面写
表示从
Sigma（大写Σ，小写σ），是第十八个希腊字母。
在希腊语中，如果一个单字的最末一个字母是小写sigma，要把该字母写成Sigma 的小写另一种。
在现代的希腊数字代表6。
大写Σ用于：
数学上的总和符号
小写σ用于：
化学上的一种共价键，σ键。
力学上的应力
统计学上的标准差
西里尔字母的С及拉丁字母的S都是由Sigma演变而成。
西格玛怎么写
1.西格玛大写Σ,小写σ在数学上表示一个意思吗当然不一样数学符号概述大写Σ用于数学上的总和符号，比如：∑Pi，其中i=1,2,。
,T，即为求P1 + P2 + 。
+ PT的和。
小写σ用于统计学上的标准差。
西里尔字母的С及拉丁字母的S都是由Sigma演变而成。
也指求和，这种写法表示的就是∑j=1+2+3+…+n。
详解1、∑符号表示求和，∑读音为sigma，英文意思为Sum,Summation，就是和。
用∑表示求和的方法叫做Singa Notation，或∑ Notation。
它的小写是σ，在物理上经常用来表示面密度。
（相应地，ρ表示体密度，η表示线密度）2、∑的用法： n ∑ k i表示下界，n表示上界， k从i开始取数，一直取到n，全部加起来。
i ∑ i 这样表达也可以，表示对i求和，i是变数例如：100 ∑ i = 1+2+3+4+5+。
+100 i=1 200 ∑ i = 5+6+7+8+9+。
+200 i=5 500 ∑ i;=10+11+12+13+14+。
+500 i=10 444 ∑ Xi = X₁+ X₂+ X₃+ X₄+。
+ X₄₄₄ i=1 50 ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 +。
+ 50 = 1275 i=1 70 ∑ X = X + X + X + X +。
+ X = 70X i=1 【没有上下标时，就表示该数或该符号，重复出现】 50 50 50 ∑（n+1） = ∑n + ∑1 = 20+21+。
+50 +31*1=1116 n=20 n=20 n=202.符号σ（西格玛）什么意思“西格玛”是希腊字母，也有念作“西玛”“希玛”等各种读法，符号是∑，英文译音是Sigma，表示数学中的求和号，是数学中常用的符号，主要用于求多项数的和，用∑表示。
∑下面的小字，如i=1表示从i=1开始求和上面的小字，如n表示求和到n为止比如下面写i=1，上面写n，后面写xi(i是下角标) 表示从x1+x2+…+xn 比如下面写i=5，上面写n，后面写xi(i是下角标) 表示从x5+x6+…+xn Sigma（大写Σ，小写σ），是第十八个希腊字母。
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求和符号西格马
数学中常遇到众多项的和的问题，为了表述的方便，引入了用求和符号简单表述的方法。
并且，在数学的很多地方，都起到了重要的作用。
1 求和符号的一般规律 下面的和式
n a a a a ++++ 321
可以简单的表示为
∑=n
i i
a
1。
这里的整数i 是变量，而i a 是i 的函数。
1=i 指出了i 所取的最小值，n 指出了i 所取的最大值。
当然，i 不是必须从1开始，它可以从小于等于n 的任何一个整数m 开始，如
∑=+++++=n
m
i n m m m i
a a a a a
21
特殊地，有
∑==n
n
i n i
a a。
了解了求和符号的一般规律，可以使复杂的问题简单化。
下面我们着手进行这些规律的研究。
定理1：
∑∑∑+===+
=n
m i i
m
i i
n i i a a
a 1
1
1
，其中m 是介于1和n 间的整数。
证明：很明显，这是加法结合律的必然结果。
相当于把n 个数分成了两部分，分别求和后再求和。
定理2：
∑∑∑===+=+n
i i n i i n
i i i
b a b a
1
1
1
证明：由加法的交换律和结合律可知
()()()()
()()∑∑∑===+=+++++=+++++++=+n
i i
n
i i n n n n n
i i i
b a b b b a a a b a b a b a b a b a
11
21213322111
很明显，上面的两项和的问题可以扩展到多项，更一般地，有 定理3：
∑∑∑∑∑=====++++=++++n
i ki n i i n i i n i i n
i ki i i i
a a a a a a a a
1
1
31
21
11
321
这个结果可以由定理2简单地推出。
对于i ki i i i a a a a a ==== 321，有
∑∑===n
i i n
i i
a k ka
1
1
其中k 为常数，且为整数。
这个结果告诉我们求和符号里面的整数常数可以提到求和符号的外边来。
不但如此，我们还可以将这个整数常数推广成任意的常数。
定理4：
∑∑===n
i i n
i i
a r ra
1
1
，其中的r 为任意常数。
证明：
()∑∑===+++=+++=n
i i n n n
i i
a r a a a r ra ra ra ra
1
21211
可见，定理4是乘法分配律的结果。
例1：已知()211+=∑=n n i n
i ，试求()∑=-n
i i 1
12。
解：
()()()21
1
1
1
1
2
12121212n n n n i i i n
i n
i n
i n
i n
i =-+⋅=-=-+=-∑
∑∑∑∑=====。
例1实际上是证明了从1开始的连续n 项奇数的和等于2
n 。
例2：已知()211+=∑=n n i n
i ，试求∑=n i i 1
2。
解：由二项式定理可知：()13312
33
+++=+i i i i ，这说明
()∑∑∑∑∑=====+++=+n
i n i n i n
i n i i i i
i 1
1
1
21
3
1
3
1331 （1）
注意到
()()33
33131321+++++=+∑=n n i n
i 33331
3
321n i
n
i ++++=∑=
有
()()
1113
1
3
1
3
-+=-+∑∑==n i i n
i n
i （2）
将这个结果代入（1）式有
()
∑∑∑===++=-+n
i n
i n
i i i n 1
1
1
23
13311
将()211
+=∑=n n i n
i 代入可得：()()n n n i n n
i ++⋅+=-+∑=21331112
3 整理可得：
()()121611
2
++=∑=n n n i n
i 。
例2实际上是求出了从1开始的n 个连续自然数平方的和。
一般来说，类似于定理2的
∑∑∑===⋅=n i i
n i i
n i i
i b a b a 111是不成立的，∑=n
i i
i b a 1
描述的是n 项的和，
而
∑∑==⋅n
i i
n i i
b a 1
1
描述的是2
n
项的和，而且这些项包含
∑=n
i i i b a 1
的所有项。
2 双重求和与平面阵列
数列每一项都由相互独立的两个数i 和j 决定，即数列是i 、j 的二元函数，它的一般项记为
ij a 。
取n i ,,3,2,1 =，m j ,,3,2,1 =，则ij a 表示了下面阵列的所有项
nm
n n n m m
m a a a a a a a a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,,,,,321333323122322211131211
（3） 这m n ⨯项的和，简略地记为
∑∑==m j n
i ij
a
11
，符号
∑∑
==m j n
i 11
是一个整体，称为双重求和符号。
它
与前面讨论的求和符号有什么联系吗？下面我们进行这个讨论。
求阵列（3）所有项的和可以有很多种方法，这里我们着重指出两种。
一种是先求各行的和，再将各行的和累加；另一种是先求各列的和，再将各列的和累加。
先按行求和，有
∑∑∑∑∑∑======⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=++++n
i m j ij m
j nj m
j j m
j j m
j j a a a a a 111131211
先按列求和，有
∑∑∑∑∑∑======⎪⎭
⎫ ⎝⎛=++++m
j n i ij n i im n i i n i i n i i a a a a a 111131211 由于不管是∑∑==m
j n
i ij a 11、∑∑==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n
i m j ij a 11还是∑∑==⎪⎭⎫
⎝⎛m j n i ij a 11，表示的都是阵列（3）所有项的和。
因
此有：
定理5：∑∑∑∑∑∑======⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=m j n i ij n
i m j ij m
j n
i ij a a a 111111
这表明，双重求和可以化成对i 和j 的累次求和来进行，并且与求和的顺序无关。
即，我们即可以先对i 求和也可以先对j 求和。
例3：设j i a ij +=，试求∑∑==m j n
i ij
a
11。
解：
()()()()()[]
()()()()()12
1
21211212132111111
1
11
++=+++=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++++++++=+=∑∑∑∑∑∑∑∑========n m mn m mn n mn j n n n nj n n j n j j j j i a m
j m
j m
j m j m
j n i m j n i ij
例4：求∑∑==m j n
i ij 11。
解：
()()()()()()114
1
212121321
1
11
++=+⋅+=+=++++=∑
∑∑∑====n m mn n n m m i m m mi i i i ij n
i n
i m j n
i 上面的两个例题实际上是解决了n m ⨯阵内所有项和的问题（如图1、图2所示）。