图练习题五章 梁的弯曲问题1剪力图与弯矩图
工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图
05 剪力图与弯矩图的计算与分析
CHAPTER
剪力与弯矩的计算方法
要点一
剪力计算
根据受力分析，通过力的平衡原理计算剪力。在梁的截面 上，剪力方向与梁的轴线垂直，大小等于通过截面形心的 剪切面上的剪力。
要点二
弯矩计算
弯矩是描述梁弯曲变形的量，其计算方法包括截面法、力 矩分配法等。弯矩的计算需要考虑梁的长度、截面尺寸、 材料属性以及外力分布等因素。
在工程实践中，许多结构和设备都需 要承受弯曲负荷，如桥梁、建筑、车 辆等，因此弯曲强度的研究具有重要 意义。
弯曲强度的基本原理
弯曲强度的基本原理包括剪力和弯矩 的分析。剪力是指在弯曲过程中垂直 于轴线的力，而弯矩则是指弯曲过程 中产生的力矩。
剪力和弯矩的分析是确定结构在弯曲 负荷下的应力和变形的重要手段，也 是进行结构设计和优化的基础。
谢谢
THANKS
剪力图与弯矩图的受力分析
剪力图
通过绘制剪力随梁长度变化的曲线图，可以直观地表示 出梁在不同位置受到的剪力大小和方向。根据剪力图， 可以分析梁在受力过程中的稳定性以及剪切破坏的可能 性。
弯矩图
弯矩图表示弯矩随梁长度变化的曲线图，可以用来分析 梁在不同位置的弯曲变形程度以及弯曲应力分布情况。 通过弯矩图，可以判断梁在受力过程中是否会发生弯曲 失稳或弯曲破坏。
CHAPTER
剪力图与弯矩图在结构设计中的应用
结构设计是工程中非常重要的环节，剪力图 与弯矩图是进行结构设计的关键工具。通过 分析剪力和弯矩的分布和大小，可以确定结 构的受力情况和变形趋势，从而优化结构设 计，提高结构的稳定性和安全性。
在进行结构设计时，需要综合考虑多种因素 ，如载荷、材料属性、连接方式等。剪力图 与弯矩图可以帮助工程师更好地理解和分析
梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图
5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：首先求出支座反力。
考虑梁的整体平衡由 0,0=+⋅=∑e RA B M l F M得 lM F eRA -= 由 0,0=-⋅=∑e RB A M lF M 得 lM F eRB =则距左端为x 的任一横截面上的剪力和剪力图 弯矩表达式为：()l M F x F eRA S -== ()x lM x F x M eRA ⋅-=⋅= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。
(如图)解：首先求出支座反力。
考虑梁的平衡 由 0452,0=⋅⋅-⋅=∑l l q l F M RB c得 ql F RB 85= 由 021,02=+⋅=∑ql l F M RC B得 ql F RC 21-=则相应的剪力方程和弯矩方程为：AB 段：（201lx ≤≤）BC 段：（2322lx l ≤≤）x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图为斜段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次函数，所以剪力图解：由梁的平衡求出支座反力：AB段作用有均布荷载，所以AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段没有荷载作用，所以BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。
在B支座处，剪力图有突变，突变值）的大大小等于集中力（支座反力FRB小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。
（如图）（5）解：由梁的平衡求出支座反力：则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。
由于截面B有集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于这个问题，待后面作进一步说明。
2、作剪力图和弯矩图剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。
取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。
因各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。
弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直线。
材料力学梁弯曲时内力和应力第3节 剪力图和弯矩图
1 FA FB ql 2
2）求剪力方程和 弯矩方程
x
1 FS ( x) ql qx (0 x l ) 2 1 1 2 M ( x) qlx qx (0 x l ) 2 2
3）作剪力图和弯矩图
1 FS ( x) ql qx 2
剪力图：是一斜直线
(0 x l )
M FS ( x) FA l (0 x a )
x
M M ( x) FA x x (0 x a ) l M FS ( x) FB CB段 (a x l ) l M M ( x) FB (l x) (l x) (a x l ) l
解： 1）求支座反力
M B (Fi ) 0
i 1
n
FA l F (l a) 0 FA 0.6F FB l F a 0
M A (Fi ) 0
i 1
n
FB 0.4 F
2）求剪力方程和弯矩方程 C截面作用有集中力，AC 梁段和BC梁段的剪 力方程表达式不一样，需分段建立方程。
• 当分布载荷向下 （即 q < 0） 时， d 2 M (x)/ d 2 x q 0 ， 弯矩图为凸曲线。此时，因为 dM ( x) / dx FS， ∴ 当 FS 时，弯矩图存在极大值。 0
表 5-1 各种形式载荷作用下的剪力图和弯矩图
FS 0 FS 0
q0
FS 0
dM ( x) 1 ql qx 0 dx 2 1 得 x l 2 1 2 M max ql 8
弯矩图如图所示。
二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系
剪力、弯矩与载荷 集度的微分关系 剪力图和弯矩图 的特点和规律
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
梁的剪力弯矩方程和剪力弯矩图
5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。
若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。
例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。
试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。
图5-10解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。
由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即(1)方向如图。
(2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。
设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。
由平衡方程将(1) 式代入上面两式，解得（ 2 ）（ 3 ）(2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。
(3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。
只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。
由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。
例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当时，；当时，。
由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。
由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。
试作梁的剪力图、弯矩图。
图5-11解：(1) 计算支反力由平衡方程分别算得支反力为反力R A的方向如图，R B为负值，表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。
梁的弯曲、变形复习及习题解答-2013
1
FA
Fs1
m 0;
M1 0
q=2kN/m 1 2 3 4 A 1 2 D3 B 4C 2m 2m 2m
F=12kN
2－2截面
F
y
0; FA Fs 2 0
FA
A 2 2
FB M2 Fs2
Fs 2 5kN
2
m
0; M 2 FA 2 0
m=12kN.m q=6kN/m 1 2 3 4 A 1 2 3 4 B 2m C 4m
FA Fs图
FB
4. 画剪力图
5. 根据剪力与弯矩之间的 微分关系画弯矩图
M图
6. 注意弯矩极值与剪力关系
9
无分布载荷段 外 力
q=0
均布载荷段
Fs 图 特 征
水平直线
Fs Fs Fs
斜直线
Fs x x
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
x
Ⅰ
P
Ⅰ
x
Ⅰ
A
B
A
Fs M
Ⅰ
a
l
FAy
4
判断剪力和弯矩的正负
弯曲内力的正负号规定:
① 剪力Fs :
Fs(+)
Fs(+) ② 弯矩M： M(+) M(+)
Fs(–)
Fs(–)
M(–)
M(–)
使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为 5 负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
用截面法求剪力和弯矩时应注意：
－ ○ － ○
C z 30
M图
－ ○
解：求支座反力；
画内力图；
21
剪力图和弯矩图例题弯矩图例题(共15张PPT)
3.作剪应力图和弯矩图
最大剪力发生在梁端，其值为
F 1ql 2 Qmax
最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax
1 ql 2 8
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAyFl b,FByFl a
2.列剪力方程和弯矩方程 AC段：
FQ(x)
FAy
Fb l
〔0<x<a 〕
• 口诀表述：剪力图 力偶荷载无影响。
•
弯矩图 力偶荷载有突变。
二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系
〔１〕在均布荷载作用段， FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同
(2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。
(3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集
例7 外伸梁如下图，试画出该梁的内力图。
m=3.6kNm
P＝3kN
x
AD
C
RA
a=0.6m a=0.6m
q=10kN/m
B E
2a=1。2m
RB
解：
〔1〕求梁的支座反力
由 mA0
P 5 aR3 am 1q2 a20
B
2
解得
R BP2q a R A5kN
由 Y 0
P R AR B 2 q a 0
解得
M(x)FAyxFl b (0≤x≤a)
CB段：
F Q(x)F Ay FF l bFF l a(a<x<l)
Fa M (x)F Ax yF (xa )l (lx)
(0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
Q图 M图
图三
范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
单独考试建筑类理论复习十：梁的剪力图和弯矩图的绘制
建筑类专业总复习十梁的剪力图和弯矩图的绘制例题：如图所示，已知外伸梁BC，在C端有集中力F=20kN作用。
(1)求A、B支座的约束反力；(2)画出梁的剪力图和弯矩图。
1.在梁的无荷载作用区，剪力图一般为，弯矩图为；当剪力图为正时，弯矩图为。
2.弯矩图一定画在一侧，这是为了在混凝土中。
3.在集中力作用处剪力发生，弯矩图发生。
在集中力偶作用处梁的剪力图，弯矩图发生，其绝对值等于。
4.梁的控制截面包括梁的起、止截面，均布荷载的起、止截面，集中力和集中力偶作用处截面和。
5.在简支梁上作用均布荷载，则其剪力图为线，弯矩图为，弯矩的最大值出现在，其值为。
6.梁剪力使为正。
7.在梁的集中力作用处，其左右两侧截面上弯矩情况分析正确的是。
（）A.数值相同，符号相反B.数值不同，符号相同C.数值相同，符号相同D.数值不同，符号相反8.剪力为零的截面上，弯矩一定。
（）A.取最大值B.取最小值C.取极值D.为零9.受满跨均布荷载作用的一简支梁，长为4.0m，离支座1.0m处的弯矩为12kN·m，则该梁的最大弯矩为。
（）A.12kN·mB.4kN·mC.8kN·mD.16kN·m10.试画出图示悬臂梁的弯矩图。
11.作出ABC梁的剪力图和弯矩图。
12.如图所示外伸梁，请画出梁的剪力图与弯矩图。
13.一矩形截面木梁，其截面尺寸及荷载如图所示。
已知q=1.5kN/m，[σ]=10MPa，试计算：（1）A、B的支座反力。
（2）画出梁的内力图。
14.作出梁的剪力图和弯矩图。
材料力学练习册5-6详细答案
第五章弯曲应力5-1 直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上。
试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。
已知材料的弹性模量为E。
解：5-2 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。
试问：(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值；解：(1) 欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数取极大值，为此令(2) 欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令5-3 图示简支梁，由№18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A 底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。
已知钢的弹性模量E =200GPa ，a =1m 。
解：梁的剪力图及弯矩图如图所示，从弯矩图可见：5-4 No.20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。
若[]MPa 160=σ，试求许可载荷F 。
5-5 图示结构中，AB 梁和CD 梁的矩形截面宽度均为b 。
如已知AB 梁高为1h ，CD 梁高为2h 。
欲使AB 梁CD 梁的最大弯曲正应力相等，则二梁的跨度1l 和2l 之间应满足什么样的关系？若材料的许用应力为[σ]，此时许用载荷F 为多大？5-6 某吊钩横轴，受到载荷kN 130F =作用，尺寸如图所示。
已知mm 300=l ，mm 110h =，mm 160b =，mm 75d 0=，材料的[]MPa 100=σ，试校核该轴的强度。
5-7 矩形截面梁AB，以固定铰支座A及拉杆CD支承，C点可视为铰支，有关尺寸如图所示。
设拉杆及横梁的[]MPaσ，试求作用于梁B端的许可载荷F。
=1605-8 图示槽形截面铸铁梁，F=10kN，M e=70kN·m，许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=120MPa。
试校核梁的强度。
解：先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形惯性矩弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
ql 2 ql 2
ql 2 8
例题
4.6
F
图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力 图和弯矩图.
FS x F
X
0xL 0 xL
A
l
B
M x Fx
kN
FL
F
kNm
例题 4.7
20 kN
X1
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
1
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN A 2m 1 1 q=12kN/m 2 2 3m B
例 题
1.5m FB
FA
1.5m
1.5m
解： 1、求支反力
M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 F
y
0
3 0 FA 15kN 2 FA FB F q 3 0 FB 29kN
一、梁平面弯曲的概念
1、平面弯曲的概念
弯曲变形：作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使 杆的轴线由直线变为曲线。
平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴 线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。 q Me 纵 向 F
对称面
B A
x
FAy FBy
y
以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。 平面弯曲是弯曲变形的一种特殊形式。
3.8 2.2 AD段：q<0， FS 图为向下斜直线， 1.41 3.8 M图为下凸抛物线。 M图为斜直线。
例题 4.9 4.10
F
Fa
2kN m
4m
5
N
a
F
a
kN
kN
4
剪力弯矩方程
2Fa
x
F/2
F/2
M
Fa/2
x
版权所有 钟艳玲 张强
Fa/2
最大剪力和弯矩均在固定端。
版权所有 钟艳玲 张强
q Bx
l
FS(x) M(x) x
-x ql
-x ql2/2
例 5 如图所示外伸梁，作剪力和弯矩图。
解 1. 支座反力
A
工 程 力
FA
1 4
F
FB
5 4
F
FA
4a
学
2. 分段列写剪力与弯矩方程
第
FA
5 章
弯
0 x1 4a :
FS1 FA
1F 4
A
M1
x1 FS1
曲 内 力
M1
FA x1
1 4
Fx1
FA
4a x2 5a : FS2 FA FB F
A x2
版权所有 钟艳玲 张强
M2 FAx2 FB (x2 4a) Fx2 5Fa
F BC
a FB
FB M2 B
FS2
3. 按剪力方程与弯矩方程绘制剪力图和弯矩图
例 7 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。
解 1. 支座反力
FB
FA
1 2
F
A
C
工 程 力 学
2. 分段列写剪力与弯矩方程
0 x1 a :
FS1
FA
1 2
F
a F 2a FA
FA
第 5 章
弯 曲 内
M1
FA x1
材料力学-5-弯矩图与剪力图
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
架在空中的悬臂梁
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
架在空中的悬臂梁
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
屋顶大梁上的 孔为什么开在中间？ 上、下两边各开一 个半圆孔可以吗？
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
梁为什么做成变截面的？ 梁为什么可以开孔？ 孔开在哪里最合理?
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
第5章 梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上 任意横截面上的内力——剪力和弯矩，而且可以确 定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。 平衡包括：整体平衡和局部平衡。
第5章 梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
X2
40 kN m
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20 x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
kN
0 x2 4
F=8kN
2、计算1-1
截面的内力 F A
3、计算2-2
FS1
q=12kN/m
M 1 F F F 7kN S1 A M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
FB
截面的内力
M2
FS2
M 2 FB 1.5 q 1.5
M ＞0
M＜0
剪力：使脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负； 弯矩：使脱离体产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
6.2
例 题
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2 Fl
F
A
l
FCs
C
l
D
B
截面法求解
2 Fl
D
FCs F
C截面
F
B
M C Fl
FDs F
MC C
FDs
MD
D
l
F
B
D截面
2q1 x FA 2 x
x
l 2m a 0 .6 m
2 l a M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
剪力图弯矩图例题
第6章典型习题解析1.简支梁受力如图a 所示。
试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力由平衡方程∑=0Bm和∑=0A m 分别求得ql R A 83=，ql R B 81=利用平衡方程∑=0y 对所求反力进行校核。
（2）建立剪力方程和弯矩方程以梁的左端为坐标原点，建立x 坐标，如图a 所示。
因在C 处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。
AC 段：qx ql x Q -=83)(1 )20(lx ≤<212183)(qx qlx x M -= )20(lx ≤≤CB 段： ql x Q 81)(2-= )2(l x l<≤)(81)(2x l ql x M -= )2(l x l≤≤3．求控制截面内力，绘Q 、M 图Q 图：AC 段内，剪力方程)(1x Q 是x 的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值，ql Q A 83=右，ql Q C 81-=左，分别以a 、c 标在x Q -坐标中，连接a 、c 的直线即为该段的剪力图。
CB 段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如ql Q B 81-=左，连一水平线即为该段剪力图。
梁AB 的剪力图如图b 所示。
M 图：AC 段内，弯矩方程)(1x M 是x 的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，0=A M ，2161ql M C =，分别以a 、c 标在x M -坐标中。
由剪力图知在d 点处0=Q ，该处弯矩取得极值。
令剪力方程0)(1=x Q ，解得l x 83=，求得211289)83(ql l M =，以d 点标在x M -坐标中。
据a 、d 、c 三点绘出该段的弯矩图。
CB 段内，弯矩方程)(2x M 是x 的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c 、b 标在x M -坐标中，并连成直线。
AB 梁的M 图如图c 所示。
2.梁的受力如图a 示，利用微分关系作梁的Q 、M 图。
习题课一：剪力图与弯矩图的绘制.概要
习题课一
例5-12
求支座反力。
FA= 13kN
FB=5kN
弯矩极值的计算。由 FQ 图
可知：FQ图在x=5.5m处和x轴相
交（即 FQ=0 ），弯矩在此处有 极值，且 Mmax=FB×2.5－×2.5×2.5/2
= 5×2.5－ 2×2.5×2.5/2=6.25kNm
习题课一
Questions/Comments？
A
4m
C 4m
D
4m
B
3m
E
2.画剪力图和弯矩图
(1)分段。根据剪力图和弯 矩图的分段规则将梁分为 AC、CD、DB、BE四段。
FS
x
M x
习题课一
(2)标值。
梁 段 7 AC
A+ C-
CD
C+ D-
DB
D+ B-
BE
B+ E-
F1 2kN M0 10kNm q 1kN
a
a
习题课一 例5-3 外伸梁受载如图。绘制梁的剪力图和弯矩图。
M0 160kNm q 20kN / m F0 20kN
F0 6kN
q 2kN / m
M0 6kNm
A
2m
C 8m
B D
2m
C 2m
A
3m
D
3m
B
F1 2kN M0 10kNm q 1kN / m
习题课一
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
D
E
F
2kN
B
FBY
例5-5 简支梁受力的大小 和方向如图示。 试画出其剪力图和弯矩图。