2020年四川省成都市高考数学一模试卷(文科)

2020年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）一、单选题（共12小题）1.若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A．﹣3i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2.已知集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，若A∪B＝{﹣l，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣l或0 B．0或1 C．﹣l或2 D．l或23.若，则tan2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．4.已知命题p：∀x∈R，2x﹣x2≥1，则￢p为（）A．∀x∉R，2x﹣x2＜1 B．C．∀x∈R，2x﹣x2＜1 D．5.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5 B．75 C．77.5 D．806.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则＝（）A．B．C．D．7.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n8.将函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．5 D．10.已知，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a11.已知直线y＝kx与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．12.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），当x≤2时，f（x）＝xe x．若关于x的方程f（x）＝k（x﹣2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣e，0）∪（0，e）D．（﹣e，0）∪（e，+∞）二、填空题（共4小题）13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14.设正项等比数列{a n}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝．15.已知平面向量，满足||＝2，||＝，且⊥（﹣），则向量与的夹角的大小为．16.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，边P1P2，P2P3的中点分别为B，C现将△AP1B，△BP2C，△CP3A分别沿AB，BC，CA折起使点P1，P2，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P﹣ABC．则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工男性员工合计100（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E，F分别为BC，CD的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥平面P AE；（Ⅱ）点Q在棱PB上，且，证明：PD∥平面QAF．20.已知函数f（x）＝（a﹣1）lnx+x+，a∈R，f'（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝2时，证明f（x）﹣f'（x）≤x+对任意的x∈[1，2]都成立．21.已知椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，E为线段FH的中点，直线BF与直线l的交点为D．（Ⅰ）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线AD与x轴平行．22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+（y﹣2）2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，点M（3，），射线≥0）与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f（x）＝|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥4﹣|2x+l|；（Ⅱ）若＝2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+|﹣f（x）．2020年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】由已知可得复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝﹣3+i．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算2.【分析】因为A∪B＝{﹣l，0，1，2}，A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，根据元素的互异性m≠﹣1，0，求出m即可．【解答】解：集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，A∪B＝{﹣l，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．【知识点】并集及其运算3.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣，故选：C．【知识点】二倍角的正弦4.【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题p：∀x∈R，2x﹣x2≥1，则￢p为．，故选：D．【知识点】命题的否定5.【分析】由频率分布直方图求出[50，70）的频率为0.4，[70，80）的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+＝72.5．故选：A．【知识点】频率分布直方图6.【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】解：依题意，＝＝，又＝3，∴＝×3＝，故选：D．【知识点】等差数列7.【分析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用8.【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（2x﹣）的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x＝﹣1，设M（x，y），N（x'，y'），由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x'+p＝x+x'+2＝5，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．【知识点】抛物线的简单性质10.【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴1＜a＜b．c＝ln＜1．∴c＜a＜b．故选：C．【知识点】对数值大小的比较11.【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化为c2＝3a2，则e＝＝．故选：B．【知识点】双曲线的简单性质12.【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f（x）＝xe x．的函数单调性及图象，然后根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称．即可画出函数y＝f（x）的大致图象．一次函数y＝k（x﹣2）+2很明显是恒过定点（2，2），则只要考查斜率k的变动情况，当k＝1时，y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+2正好在原点处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x＞2时也同理可得．【解答】解：由题意，当x≤2时，f（x）＝xe x．f′（x）＝（x+1）e x．①令f′（x）＝0，解得x＝﹣1；②令f′（x）＜0，解得x＜﹣1；③令f′（x）＞0，解得﹣1＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，2]上单调递增，在x＝﹣1处取得极小值f（﹣1）＝﹣．且f（0）＝0；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f（x）的大致图象如下：而一次函数y＝k（x﹣2）+2很明显是恒过定点（2，2）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝1时，有两个交点，其中一个是（0，0）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+2正好相切．∴当0＜k＜1时，有三个交点．同理可得当﹣1＜k＜0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6故答案为：6．【知识点】简单线性规划14.【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到a n．【解答】解：依题意，解得，∴a n＝＝3•3n﹣1＝3n，故答案为：3n．【知识点】等比数列的通项公式15.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角的大小．【解答】解：∵平面向量，满足||＝2，＝，且⊥（﹣），∴•（﹣）＝•﹣＝0，∴＝．设向量与的夹角的大小为θ，则2••cosθ＝3，求得cosθ＝，故θ＝，故答案为：．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角16.【分析】根据题意，得折叠成的三棱锥P﹣ABC三条侧棱P A、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以P A、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP＝2、BP＝CP＝1算出外接球的半径R＝，结合球的体积公式即可算出三棱锥P﹣ABC的外接球的体积．【解答】解：根据题意，得三棱锥P﹣ABC中，AP＝2，BP＝CP＝1∵P A、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R＝＝可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R＝根据球的表面积公式，得三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为＝＝故答案为．【知识点】球的体积和表面积三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A＝bc，∴cos A＝，∴在△ABC中，sin A＝＝．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，即bc sin A＝bc＝，∴bc＝6，又∵sin B＝3sin C，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6，∴a＝，∴△ABC的周长为2+3+．【知识点】余弦定理18.【分析】（Ⅰ）由题意填写列联表．计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意填写2×2列联表如下；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100由表中数据，计算K2＝＝≈2.778＜3.841，所以没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（Ⅱ）设人事部的这6名员工3名“追光族”分别为“a、b、c”，3名“观望族”分别为“D、E、F”；现从这6名中随机抽取3名，所有可能事件为：abc、abD、abE、abF、acD、acE、acF、aDE、aDF、aEF、bcD、bcE、bcF、bDE、bDF、bEF、cDE、cDF、cEF、DEF共20种；其中抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的事件为：aDE、aDF、aEF、bDE、bDF、bEF、cDE、cDF、cEF共9种；故所求的概率为P＝．【知识点】独立性检验19.【分析】（Ⅰ）连接AC，先证明BC⊥AE，再利用线面垂直的性质可证BC⊥AP，进而根据线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面P AE；（Ⅱ）连接BD交AF于点M，连接QM，由，根据已知可求，可证PD∥QM，进而根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面QAF．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连接AC，∵底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∵E为BC的中点．∴BC⊥AE，又∵AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥AP，∵AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，∴BC⊥平面P AE；（Ⅱ）连接BD交AF于点M，连接QM，∵F为CD的中点，∴在底面ABCD中，，∴，∴，∴在△BPD中，PD∥QM，又∵QM⊂平面QAF，PD⊄平面QAF，∴PD∥平面QAF．【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定20.【分析】（Ⅰ）求出导数，讨论a的取值范围，求出单调区间；（Ⅱ）a＝2时，令h（x）＝lnx﹣，根据导数求出h（x）的单调性，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝＝＝，因为x＞0，a∈R，所以当a≥0时，x+a＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，0＜﹣a＜1，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＝﹣1时，f′（x）＝≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，﹣a＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＝2时，f（x）＝lnx+x+，则f′（x）＝，x∈[1，2]，所以f（x）﹣f′（x）﹣x﹣＝lnx﹣，令h（x）＝lnx﹣，则h′（x）＝＝，令u（x）＝x2+x﹣4，因为函数u（x）在[1，2]上单调递增，u（1）＜0，u（2）＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得h′（x0）＝0，因为当x∈（1，x0）时，h′（x0）＜0，当x∈（x0，2）时，h′（x0）＞0，所以函数h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，2）上单调递增，又因为h（1）＝0，h（2）＝ln2﹣1＜0，所以h（x）max＝0，即f（x）﹣f′（x）≤x+对任意的x∈[1，2]都成立．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值21.【分析】（I）令直线AB：x＝my+1（m∈R），联立解方程组，代入四边形OAHB面积S，利用基本不等式求出范围；（II）求出直线BE的方程y＝，求出y D，根据（I）的韦达定理，代入求出y D＝y1，得到证明．【解答】解：（I）由F（1，0），令直线AB：x＝my+1（m∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，因为△＝4m2+4（m2+2）＞0，，，所以＝＝，所以四边形OAHB面积S＝，令t＝，∴S＝，当且仅当t＝1，即m＝0时，取等号，所以四边形OAHB面积S∈（0，]；（II）证明：∵H（2，0），F（1，0），∴E（，0），∴直线BE的斜率k＝，直线BE的方程为y＝，令x＝2得，，由（I）得，，，所以y1+y2＝2my，，代入得：＝，∴直线AD与x轴平行．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线≥0）的距离h＝，代入三角形面积公式求△MAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：（x﹣2）2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4||＝．又∵M（3，）到射线≥0）的距离h＝．∴△MAB的面积S＝．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（II）根据绝对值的性质求出|x+|﹣f（x）≤，m+n，证明即可．【解答】解：（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，当x≤时，不等式﹣2x﹣1﹣x+3≥4，解得x，故x；当﹣＜x＜3时，不等式2x+1﹣x+3≥4，解得x≥0，故0≤x＜3；当x≥3时，不等式2x+1+x﹣3≥4，解得x≥0，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）；（II）因为f（x）＝|x﹣3|，所以|x+|﹣f（x）＝||x+|﹣|x﹣3|≤|x+﹣x+3|＝，当且仅当（x+）（x+3）≥0，且|x+|≥|x﹣3|时，取等号，又＝2（m＞0，n＞0），所以（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m＝2n时，取得等号，故m+n，所以m+n≥|x+|﹣f（x）成立．【知识点】绝对值不等式的解法、不等式的证明。