一维热传导方程的差分格式

1 2!
4u x j , tk1/ x2t 2
2
2
2
o
2
.
利用上述两式得
2u xj ,tk1/2 x2
1 2
2u
x j , tk1 x2
2u xj x2
,
tk
1 2
4u x j , tk1/ x2t 2
2
2
2
o
2
.
(2.21)
利用(2.19), (2.20)两式, 整理有
舍去截断误差,
用
u
k j
代替
u
xj ,tk
,得到如下差分方程
u k 1 j
u
k j
a
u k 1 j 1
2u
k j
1
h2
u k 1 j 1
f
k j
1
,
1 j M 1, 1 k N.
(2.13)
结合初边值条件, 可得如下差分格式
u k 1 j
u
k j
a
u k 1 j 1
2u
k j
1
h2
u k 1 j 1
u xj Leabharlann Baidutk1/2 t
2u a
x j , tk1/2 x2
f
x j , tk1/2 ,
1 j M 1,
0 k N 1. (2.17)
将 u xj ,tk1 , u xj ,tk 以 xj ,tk1/2 为中心关于 t 运用泰勒级数展开, 有
u
x j , tk1
(2.6)
u0j (xj ),
0 j M,
(2.7)
u0k (t j ),
uMk (tk ), 1 k N.
(2.8)
2.2 向后 Euler 差分格式
在结点 x j ,tk1 处考虑方程(1.1), 有
u xj ,tk1 t
2u a
x j , tk1
x2
f
x j , tk1 ,
h3
u(4)
xj ,tk
h4 o(h4 ).
4!
由上述两式可得
u xj1,tk
2u xj ,tk h2
u xj1,tk
=
2u xj x2
,
tk
h2 4 xj ,tk 12 x4
o(h2 ) .
将(2.2), (2.3)两式代入(2.1)中, 得
(2.3)
u xj ,tk1 -u xj ,tk
2 差分格式的建立
2.1 向前 Euler 格式
将区间[c, d ] 作 M 等分, 将0,T 作 N 等分, 并记 h (d c) / M , T / N ,
x j c jh , 0 j M , tk k , 0 k N . 分别称 h 和 为空间步长和时间步长.用
两组平行直线
2u
x j , tk1
2u
xj ,tk
u
x j1, tk
2u
xj ,tk
u x j1,tk
x2
x2
h2
-7-
一维热传导方程的差分格式
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1
u
x j1, tk1
h2 4
xj ,tk
h2
12 x4
h2 4
x j , tk1
u xj ,tk1 u xj ,tk
u a
x j1, tk1
2u
x j , tk1 h2
u
x j1, tk1
f xj ,tk1 Rkj .
(2.12)
其中
R
k j
2
2 xi , tk1
t 2
ah2 12
4u xi , tk1
x4
o(
h2)
为方程(2.9)的截断误差.
二、《微分方程数值解》课程论文的评分标准 1） 文献综述：10 分； 2） 课题研究方案可行性：10 分； 3） 数值格式：20 分； 4） 数值格式的算法、流程图：10 分； 5） 数值格式的程序：10 分； 6） 论文撰写的条理性和完整性：10 分； 7） 论文工作量的大小及课题的难度：10 分； 8） 课程设计态度：10 分； 9） 独立性和创新性：10 分。
o h2
.
12 x4
结合(2.21),(2.22)两式, 整理得
(2.22)
2u xj ,tk1/2
x2
u
x j1, tk
2u xj ,tk 2h2
u x j1,tk
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1 2h2
评阅人：
-2-
一维热传导方程的差分格式
一维热传导方程的差分格式
1 引言 考虑如下一维非齐次热传导方程 Dirichlet 初边值问题
u t
a
2u x2
f
(x,
t),
c x d, 0 t T,
u(x,0) (x),
c x d,
(1.1) (1.2)
u(c,t) (t), u(d, t) (t), 0 t T
u a
x j1, tk
2u xj ,tk h2
u x j1,tk
f
xj ,tk
R
k j
.
(2.4)
其中 Rkj
ah2 12
4u xj ,tk x4
2 2
2
xj ,tk t 2
o( h2 )
为方程(2.1)的截断误差.
舍去截断误差,
用
u
k j
代替
u
xj ,tk
, 得到如下差分方程
x j , tk1 2!
h
2
u
x j ,tk1（-h）3
3!
u(4)
x j , tk1
h 4 o(h4 ),
4!
u
x j1, tk1
=u
x j , tk1
u
x j , tk1
u h
x j , tk1 2!
h2 u
x j , tk1 3!
h3
由上述两式可得
u(4)
f
k j
1
,
1 j M 1, 1 k N, (2.14)
u0j (xj ), 0 j M ,
(2.15)
u0k (tk ), uMk (tk ),
1 k N.
(2.16)
2.3 Crank Nicolson 差分格式
在结点 xj ,tk1/2 处考虑方程(1.1), 有
x j , tk1
h4 o(h4 ).
4!
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1
u
x j1, tk1
2u =
x j ,tk1
h2 4
x j ,tk1
o(h2 ) . (2.11)
h2
x2
12 x4
将(2.10), (2.11)两式代入(2.9)中, 得
-5-
一维热传导方程的差分格式
u k 1 j
u
k j
a
uk j 1
2u
k j
h2
uk j 1
f
k j
,
1 j M 1, 0 k N 1.
(2.5)
结合初边值条件, 可得如下差分格式
-4-
一维热传导方程的差分格式
u k 1 j
u
k j
a
uk j 1
2u
k j
h2
uk j 1
f
k j
,
1 j M 1, 1 k N 1,
学 院：
理学院
专 业：
14 级信息与计算科学
指导教师：
陈红斌
2017 年 6 月 25 日
《偏微分方程数值解》课程论文
《一维热传导方程的差分格式》论文
一、《微分方程数值解》课程论文的格式 1） 引言：介绍研究问题的意义和现状 2） 格式：给出数值格式 3） 截断误差：给出数值格式的截断误差 4） 数值例子：按所给数值格式给出数值例子 5） 参考文献：论文所涉及的文献和教材
u
x j ,tk1
t
2
2u
x j ,tk1 t 2
o( ).
(2.10)
再将 u xj1,tk1 , u xj1,tk1 分别以 x j , tk1 为中心关于 x 运用泰勒级数展开, 有
u
x j1, tk1
=u
x j , tk1
u
x j , tk1
(h） u
.
在结点 xj ,tk 处考虑方程(1.1),有
-3-
一维热传导方程的差分格式
u xj ,tk t
a
2u
xj x2
,
tk
f
xj ,tk ,
1 j M 1, 1 k N 1. (2.1)
将 u xj ,tk1 以结点 xj ,tk 为中心关于 t 运用泰勒级数展开, 有
2u xj ,tk1 x2
2u =
x j , tk1/2 x2
3u
x j , tk1/2 x2t
2
1 2!
4u x j , tk1/2 x2t 2
2 2
o
2
,
2u xj ,tk
x2
2u =
x j , tk 1/2 x2
3u
xj ,tk x2t
1/ 2
2
整理有
u
x j , tk1
u
xj ,tk
u
xj ,tk
u
xj ,tk 2!
2 o( 2).
u xj ,tk1 u xj ,tk
u
xj ,tk
t
2
2u
xj t 2
,
tk
o( ).
再将 xj1,tk , xj1,tk 分别以结点 x j ,tk 为中心关于 x 运用泰勒级数展开, 有
h3 u(4)
xj ,tk 4!
h4 o(h4).
由上述两式得
u xj1,tk
2u xj ,tk
u x j1, tk
2u =
xj ,tk
h2 4
xj ,tk
o(h2 ).
(2.19)
h2
x2
12 x4
同理, 将 u xj1,tk1 , u xj1,tk1 分别以 x j , tk1 为中心关于 x 泰勒级数展开, 整理得
(1.3)
的有限差分方法, 其中 a 为正常数, f (x, t), (x), (t), (t) 为已知常数, (c) (0),
(d) (0). 称(1.2)为初值条件, (1.3)为边值条件.
本文将给出(1.1) (1.3)的向前 Euler 格式, 向后 Euler 格式和 Crank Nicolson 格 式, 并给出其截断误差和数值例子. 经对比发现, Crank Nicolson 格式误差最小, 向前 Euler 格式次之, 向后 Euler 格式误差最大.
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
(h） u
xj ,tk h2 u(xj ,tk（) -h）3
2!
3!
u(4)
xj ,tk
h4
o(h4 ) ,
4!
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u h
xj ,tk 2!
h2 u
xj ,tk 3!
u
x j , tk1/2
u
x j , tk1/2
u 2
x j , tk1/2 2!
2
2
u
x j , tk1/2 3!
3
2
o
3
.
u xj,tk
u x j , tk1/2
u
x j , tk 1/2
2
u
x j , tk1/2 2!
2
2
u
x j , tk1/2 3!
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1
u
x j1, tk1
2u =
x j ,tk1
h2 4
x j ,tk1
o(h2 ).
(2.20)
h2
x2
12 x4
此时，分别将 u xj ,tk1 , u xj ,tk 以 u xj ,tk1/2 为中心关于 t 泰勒级数展开，有
2
3
o
3
.
将上述两式整理得
-6-
一维热传导方程的差分格式
u xj ,tk1 u xj ,tk
u
x j , tk1/2
t
2
3u
x j , tk1/2
24
t3
o( 3).
(2.18)
再将 u xj1,tk , u xj1,tk 分别以 xj ,tk 为中心关于 x 运用泰勒级数展开, 有
《微分方程数值解》 课程论文
学生姓名 1： 许慧卿
学 号： 20144329
学生姓名 2： 向裕
学 号： 20144327
学生姓名 3： 邱文林
学 号： 20144349
学生姓名 4： 高俊
学 号： 20144305
学生姓名 5： 赵禹恒
学 号： 20144359
学生姓名 6： 刘志刚
学 号： 20144346
x xj , 0 j M ,
t tk , 0 k N
将 分割成矩形网格.记 h xj | 0 j M , tk |0 k N , h h .
称 x j , tk 为结点[1].
定义 h 上的网格函数
U
k j
|0
j
M,0 k
N
,
其中U
k j
u
xj ,tk
(2.2)
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u (h）
xj ,tk
h2 u
2!
xj ,tk （-h）3 3!
u(4)
xj ,tk
h4
o(h4 ) ,
4!
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u h
xj ,tk 2!
h2 u
xj ,tk 3!
1 j M 1, 1 k N.
将 u xj ,tk 以 x j ,tk1 为中心关于 t 运用泰勒级数展开, 有
(2.9)
u
xj ,tk
u
x j , tk1
u
x j , tk1
u ( )
x j , tk1 2!
( )2 o( 2).
将上式整理得
u xj ,tk1 u xj ,tk