浅谈行列式的计算方法x

浅

一、 特殊行列式法 1．定义法

当行列式中含零元较多时，定义法可行． 例1 计算n 级行列式

α

β

βαβαβα000000

0000

00

=D .

解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或

1212,3,,,1n n j j j n j -==== . 得

11(1)n n n D αβ-+=+-

2．三角形行列式法

利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式．

nn

a a a a a a

000n

222n

11211＝nn

n n a a a a a a

212212110

0112233nn a a a a = 例2 计算n 级行列式1231

131

211

2

3

1

n n x n D x n x +=++

解： 将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则

1230

1000

0200

1

(1)(2)(1)

n n x D x x n x x x n -=--+=---+

3．爪形行列式法

例3 计算行列式 0121

1

220

0000n n n a b b b c a D c a c a =

()0,1,2,,i a i n ≠=

解: 将D 的第i +1列乘以（i

i

a c -

）都加到第1列()n i ,2,1=，得 10

12

120000000

00n

i i n

i i

n

bc a b b b a a D a a -

=∑=

＝011()n

n i i i i i i b c a a a ==-∑∏

4． 范德蒙行列式法

1

2

3

2

2221

2

3

11111

2

3

1111n

n

n n n n n

a a a a D a a a a a a a a ----=

1()i j j i n

a a ≤<≤=

-∏

例4 计算n 级行列式

2

2221233

333

1

2

3

12

3

11

1

1

n n

n

n

n n n

x x x x D x x x x x x x x =

解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式

12222

212121111()n n n n n

n

n x x x x

g x x x x x x x x x =

多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即

1

()()

n

i i g x x x ==-∏∏≤<≤-n

i j j i

x x

1)(

展开后x 的系数为1)1(--n ][12132-++n n x x x x x x ∏≤<≤-n

i j j i

x x

1)(，

两者应相等，故

]

23121n n D x x x x x x -⎡=++⎣ ∏≤<≤-n

i j j i

x x

1)(

当021≠n x x x 时，还可写成

12n D x x x = )1

1(

1n

x x ++

二、 连加法

若行列式中某列（行）加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现

较多零，从而简化行列式计算的方法称为连加法．

例5 计算n 阶行列式x a a a

x a D a

a

x

=

解：它的特点是各列元素之和为x a n +-)1(，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出x a n +-)1(，得

[(1)]D n a x =-+x

a a a

x a 111

将第一行乘a -分别加到其余各行，化为三角形行列式，则

[(1)]D n a x =-+a

x a

x -- 0

0001

1

1 ＝[(1)]n a x -+1)(--n a x

三、 加边法

为了计算行列式，有时需要将它的级数放大，使升阶后的行列式易于计算，从而求出原行列式．这种方法叫加边法，也叫升阶法．

例6 计算n 级行列式12

3n

a x x x x

a x

x

D x x a x x x x a =

(),1,2,,i x a i n ≠=

解：加边得 1

210

n

x x x a x

x

D x a x x

x

a =

第一行乘以（-1）分别加到其余各行，化为爪形行列式

1211001

001

n x x x a x

D a x a x

--=----

＝

x

a x a x a x x x

x a x

n n

i i ----+∑

=

00000

01211

＝)1

1(1∑=-+n

i i x a x ∏=-n i i x a 1

)( ＝)1(1∑=-+n

i i x a x

∏=-n i i x a 1

)(

四、 拆行（列）法

一般地，当行列式的一行（列）的元素能有规律地表示成两项或多项和的形

式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．

例7 计算n 级行列式x y y y z x y y

D z z x y z z z x

=