《数学物理方程》第2章 分离变量法
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2 n
当B≠0， sinβ l = 0 即 β l = nπ 时X(x)有非零解 ， 有非零解
注 u n ( x , t )都满足 DE和齐次 BC 3) un ( x , t )的迭加 当∑ u n ( x , t )可逐项求导时
u( x, t ) = ∑ un ( x, t ) = ∑ (Cn cosβ nat + Dn sin β nat ) sin β n x
( 2)当 λ = 0时 , 通解 X ( x ) = Ax + B , 只有零解 2 (3)当λ = β > 0 通解为X ( x ) = A cosβ x + B sin β x 由X (0) = 0 A = 0 再由X (l ) = 0 B sin β l = 0
nπ 2 特征值λ n = β = ( ) ( n = 1, 2, L) l 特征函数X n ( x ) = Bn sin β n x 有无数个特征值 T ′′ + (βna)2T = 0 Tn ( t ) = c n cos β n at + d n sin β n at ∴ un ( x, t ) = (Cn cosβ nat + Dn sinβ nat) sinβ n x ( n = 1,2, L)
与∑ , ∑ 与∫ , lim 与∫ , ∫ 与∫ , 与∫
注 1. 分离变量法 ( 特征函数法 ) 解得按特征函数系展开
的级数解, 每一项都满足DE和齐次 和齐次BC 的级数解 每一项都满足 和齐次
的函数,是 的特解, 注 2. 系数为 t 的函数 是(**)的特解 整体满足 的特解 整体满足IC 0 初始条件可以在第 步代入 初始条件可以在第2步代入 初始条件必须在第4步代入 非0 初始条件必须在第 步代入 3. 特征函数由两端 的类型决定 特征函数由两端BC的类型决定 utt = a 2 uxx ( t > 0,0 < x < 1) 例1 定解 u(0, t ) = u(1, t ) = 0 问题 u( x ,0) = sin πx + 2 sin 2πx u ( x ,0) = 0 ∞ t 解 u( x , t ) = ∑ (C n cos nπ at + Dn sin nπ at ) sin nπ x
两端乘以 sin β n x，然后在[0, l ]上积分得
∫ ( x ) sin β
0
l
n
xdx = ∑ C k ∫ sin β k x sin β n xdx = C n Ln
k =1 0
∞
l
1 Cn = Ln
γn ∫0 百度文库 x) sin l xdx ∴ u( x, t ) = ∑1 C n e n=
2 n
注 由2.6节Sturm Liouville 理论 , 特征值问题的特征函
数系是在[0, l ]上的正交完备系， 上的正交完备系， 所有函数必能够展 开成特征函数系的级数
2 ( aβ n ) 2 t
a 2β 2 t n
T ′ + (aβ n ) T = 0 Tn ( t ) = c n e
1) 分离变量 偏→常 常 设定解问题有形如 u(x,t)=X(x)T(t) 的非零解
代入DE得 代入 得 X ( x)T ′′(t ) = a 2 X ′′( x)T (t )
u( 0, t ) = X ( 0 )T ( t ) = 0 代入BC得 代入 得 u( l , t ) = X ( l )T ( t ) = 0 X ′′( x) T ′′(t ) ∴ = 2 = λ(常数) X满足 X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0(*) 满足 X ( x ) a T (t ) X ( 0) = X ( l ) = 0 T 满足 T ′′( t ) + a 2 λ T ( t ) = 0 (**)
T ′′( t ) + a 2 λ T ( t ) = 0 Tn ( t ) = c n cos β n at + d n sin β n at
∞ n =1
迭加 u( x , t ) = ∑ (C n cos β n at + Dn sin β n at ) sin β n x
u( x,0) = ∑ C n sin β n x = x( x 2l )
∑β
n
aD n sin β n x = 0
32l 2 1 π 1 π cos(n ) at sin( n ) x 形式解 u( x , t ) = ∑ 3 3 2 l 2 l n =1 ( 2n 1) π nπ nπx 3 物理意义 un ( x, t ) = An cos( at θn ) sin l l 1) 时刻 t 0 , 弦的形状为正弦曲线 , 振幅 A( t ) = An cos( ω n t 0 θ n ) n πa 2) 弦上每个质点都作频率 ω n = 的简谐振动 l nπ x 0 un ( x 0 , t ) = An sin cos( ω n t θ n ) l kl
X ′′ + λX = 0 特征值问题 X ( 0) = 0 X ′( l ) + hX ( l ) = 0 当λ ≤ 0时, X ( x )只有零解 当λ = β 2 > 0时, 通解为 X ( x ) = A cos β x + B sin β x
X (0) = 0 A = 0 X ′( l ) + hX ( l ) = 0 B (β cos β l + h sin β l ) = 0 要有非零解， 要有非零解，必须 B ≠ 0, β cos β l + h sin β l = 0
2) 求非零解 X(x), T(t) 特征值问题 特征值 使(*)有非零解的 λ 的值 有非零解的 相应的非零解X(x) 特征函数 相应的非零解
(1)当 λ < 0时 , 通解 X ( x ) = Ae λ x + Be λ x A=B=0 X (0) = 0得 A + B = 0 X (l ) = 0 只有零解 Ae λ l + Be λ l = 0 X(x)=0.只有零解
v tt = a 2 v xx + f ( x , t ) v ( 0, t ) = 0 v ( l , t ) = 0 v ( x ,0) = ( x )∞v t ( x ,0) = ψ( x ) 可设v( x, t ) = ∑Tn (t ) Xn ( x)
n=1
§1 齐次DE齐次BC的求解 特征函数 齐次DE齐次 的求解 齐次BC
若有现成的特征函数可直接写出‘通解’ 若有现成的特征函数可直接写出‘通解’
n =1
utt = a 2 u xx u(0, t ) = u x ( l , t ) = 0 BC:左1右2 : 例2 u( x ,0) = x ( x 2l ) u ( x ,0) = 0 t X ′′( x ) T ′′( t ) = 2 = λ(常数) 解 设u( x, t ) = X ( x )T ( t ) X ( x) a T (t ) X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0 当λ ≤ 0时, X ( x )只有零解 X ( 0) = X ′( l ) = 0 当 λ = β 2 > 0, 通解为 X ( x ) = A cos β x + B sin β x cos β l = 0 X (0) = 0 A = 0 由 Bβ cos β l = 0 即β l = nπ π 2 X ′( l ) = 0 1 π 2 2 特征值β n = [( n ) ] 特征函数 X n ( x ) = B n sin β n x 2 l ( n = 1,2, L)
抛物型方程－ 二 抛物型方程－有界杆的无热源热传导
ut = a 2 uxx 1 定解问题 u( 0, t ) = 0 ux ( l , t ) + hu( l , t ) = 0 u( x ,0 ) = ( x ) BC:左1右3 :
2 特征函数 1) 设 u(x,t)=X(x)T(t)
γ 则tgγ = hl 令γ = β l
γ y= hl
y = tgγ
γ1
γ2
π π 对任意 n, 在区间 ( nπ , nπ + ), 该方程必有一实根 γ n 2 2
γ n 2 ( n = 1, 2, L) 无法求出 特征值λ n = β = ( ) 精确值 l l γn 特征函数X n ( x ) = Bn sin x 记Ln = ∫ sin 2 β n xdx 0 l
un ( x , t ) = C n e
∞
sin β n x
( n = 1,2,L)
∞ a 2β 2 t n n=1
3) 迭加 u( x , t ) = ∑ un ( x , t ) = ∑ C n e
n=1
sin β n x
4 ) 由 IC , u( x ,0 ) =
∑C
k =1
∞
k
sin β k x = ( x )
∞
2 l 2 1 π 32l 2 C n = ∫ ( x 2lx) sin(n ) xdx = , Dn = 0 3 3 l 0 2 l (2n 1) π
其中x0 =
n
( k = 0,1, L , n)的点的振幅 ≡ 0 称驻波
整个振动由无数振幅频率各异的正弦驻波迭加而成
分离变量法也叫驻波法
n=1 n=1 ∞ ∞
2 l nπ u( x,0) = ∑Cn sinβ n x = ( x), ∴Cn = ∫ ( x ) sin xdx l 0 l n=1 ∞ 2 l nπ ut ( x,0) = ∑βnaDn sinβn x = ψ( x), ∴ Dn = ∫0 ψ( x)sin l xdx nπa n=1 ∞ nπ a nπ a nπ x t + Dn sin t ) sin 形式解 u( x , t ) = ∑ (C n cos l l l n=1
l
∞
a 2 (
γn 2 ) t l
γn sin x l
椭圆型方程－ 三 椭圆型方程－周期条件
的薄圆盘， 半径为 a 的薄圆盘，圆周边缘温 度分布为 F ( x , y ), 求达到稳恒状态时圆盘 内的温度分布 u( x , y ) 1 1 圆域内 (u) = u xx + u yy = urr + ur + 2 uθ θ Laplace方程 Laplace方程 r r 1 定解问题 u xx + u yy = 0 u | x 2 + y 2 =a 2 = F ( x , y )
C1 = 1 C2 = 2 u( x,0) = ∑Cn sin nπ x = sin π x + 2 sin 2π x ∴ Cn>2 = 0 n=1 ∞ ut ( x ,0) = ∑ Dn nπa sin nπ x = 0 ∴ Dn = 0
n=1 ∞
∴ u( x , t ) = cos π at sin π x + 2 cos 2π at sin 2π x
X ′′( x) T ′(t ) = 2 = λ 代入DE得 代入 得 X ( x)T ′(t ) = a X ′′( x)T(t ) X ( x) a T(t ) 代入BC得 代入 得 X ( 0 ) = 0和 X ′( l ) + hX ( l ) = 0
2
2) 求X(x)和T(t)的非零解 和 的非零解
∞
满足D 4) 确定系数 Cn、Dn ( x ), ψ( x ) ∈ [0, l ] 满足 条件
5) 综合 还需要证明 ∑ u n ( x , t ) 收敛且可逐项求导
总假设两种运算可以交换次序 交换次序: 物理上 总假设两种运算可以交换次序
∞ 1 ∞ 1
物理上认为实验数据总 能满足此要求 , 只求形式解
双曲型方程－ 一 双曲型方程－有界弦的自由振动
utt = a 2uxx (t > 0, 0 < x < l ) 1 定解问题 u(0, t ) = 0, u(l , t ) = 0 (t ≥ 0) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x) (0 ≤ x ≤ l )
2 求解步骤
第2章 分离变量法 章
椭型的混合问题和边值 混合问题和边值问题 适用于 双 抛 椭型的混合问题和边值问题 非齐DE非齐 非齐BC 非齐DE齐次 齐次BC 非齐 非齐 令u( x , t ) = v( x , t ) + w( x , t ) 非齐 齐次
utt = a 2 uxx + f ( x, t ) u(0, t ) = u1 (t ) u(l , t ) = u2 (t ) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x)
当B≠0， sinβ l = 0 即 β l = nπ 时X(x)有非零解 ， 有非零解
注 u n ( x , t )都满足 DE和齐次 BC 3) un ( x , t )的迭加 当∑ u n ( x , t )可逐项求导时
u( x, t ) = ∑ un ( x, t ) = ∑ (Cn cosβ nat + Dn sin β nat ) sin β n x
( 2)当 λ = 0时 , 通解 X ( x ) = Ax + B , 只有零解 2 (3)当λ = β > 0 通解为X ( x ) = A cosβ x + B sin β x 由X (0) = 0 A = 0 再由X (l ) = 0 B sin β l = 0
nπ 2 特征值λ n = β = ( ) ( n = 1, 2, L) l 特征函数X n ( x ) = Bn sin β n x 有无数个特征值 T ′′ + (βna)2T = 0 Tn ( t ) = c n cos β n at + d n sin β n at ∴ un ( x, t ) = (Cn cosβ nat + Dn sinβ nat) sinβ n x ( n = 1,2, L)
与∑ , ∑ 与∫ , lim 与∫ , ∫ 与∫ , 与∫
注 1. 分离变量法 ( 特征函数法 ) 解得按特征函数系展开
的级数解, 每一项都满足DE和齐次 和齐次BC 的级数解 每一项都满足 和齐次
的函数,是 的特解, 注 2. 系数为 t 的函数 是(**)的特解 整体满足 的特解 整体满足IC 0 初始条件可以在第 步代入 初始条件可以在第2步代入 初始条件必须在第4步代入 非0 初始条件必须在第 步代入 3. 特征函数由两端 的类型决定 特征函数由两端BC的类型决定 utt = a 2 uxx ( t > 0,0 < x < 1) 例1 定解 u(0, t ) = u(1, t ) = 0 问题 u( x ,0) = sin πx + 2 sin 2πx u ( x ,0) = 0 ∞ t 解 u( x , t ) = ∑ (C n cos nπ at + Dn sin nπ at ) sin nπ x
两端乘以 sin β n x，然后在[0, l ]上积分得
∫ ( x ) sin β
0
l
n
xdx = ∑ C k ∫ sin β k x sin β n xdx = C n Ln
k =1 0
∞
l
1 Cn = Ln
γn ∫0 百度文库 x) sin l xdx ∴ u( x, t ) = ∑1 C n e n=
2 n
注 由2.6节Sturm Liouville 理论 , 特征值问题的特征函
数系是在[0, l ]上的正交完备系， 上的正交完备系， 所有函数必能够展 开成特征函数系的级数
2 ( aβ n ) 2 t
a 2β 2 t n
T ′ + (aβ n ) T = 0 Tn ( t ) = c n e
1) 分离变量 偏→常 常 设定解问题有形如 u(x,t)=X(x)T(t) 的非零解
代入DE得 代入 得 X ( x)T ′′(t ) = a 2 X ′′( x)T (t )
u( 0, t ) = X ( 0 )T ( t ) = 0 代入BC得 代入 得 u( l , t ) = X ( l )T ( t ) = 0 X ′′( x) T ′′(t ) ∴ = 2 = λ(常数) X满足 X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0(*) 满足 X ( x ) a T (t ) X ( 0) = X ( l ) = 0 T 满足 T ′′( t ) + a 2 λ T ( t ) = 0 (**)
T ′′( t ) + a 2 λ T ( t ) = 0 Tn ( t ) = c n cos β n at + d n sin β n at
∞ n =1
迭加 u( x , t ) = ∑ (C n cos β n at + Dn sin β n at ) sin β n x
u( x,0) = ∑ C n sin β n x = x( x 2l )
∑β
n
aD n sin β n x = 0
32l 2 1 π 1 π cos(n ) at sin( n ) x 形式解 u( x , t ) = ∑ 3 3 2 l 2 l n =1 ( 2n 1) π nπ nπx 3 物理意义 un ( x, t ) = An cos( at θn ) sin l l 1) 时刻 t 0 , 弦的形状为正弦曲线 , 振幅 A( t ) = An cos( ω n t 0 θ n ) n πa 2) 弦上每个质点都作频率 ω n = 的简谐振动 l nπ x 0 un ( x 0 , t ) = An sin cos( ω n t θ n ) l kl
X ′′ + λX = 0 特征值问题 X ( 0) = 0 X ′( l ) + hX ( l ) = 0 当λ ≤ 0时, X ( x )只有零解 当λ = β 2 > 0时, 通解为 X ( x ) = A cos β x + B sin β x
X (0) = 0 A = 0 X ′( l ) + hX ( l ) = 0 B (β cos β l + h sin β l ) = 0 要有非零解， 要有非零解，必须 B ≠ 0, β cos β l + h sin β l = 0
2) 求非零解 X(x), T(t) 特征值问题 特征值 使(*)有非零解的 λ 的值 有非零解的 相应的非零解X(x) 特征函数 相应的非零解
(1)当 λ < 0时 , 通解 X ( x ) = Ae λ x + Be λ x A=B=0 X (0) = 0得 A + B = 0 X (l ) = 0 只有零解 Ae λ l + Be λ l = 0 X(x)=0.只有零解
v tt = a 2 v xx + f ( x , t ) v ( 0, t ) = 0 v ( l , t ) = 0 v ( x ,0) = ( x )∞v t ( x ,0) = ψ( x ) 可设v( x, t ) = ∑Tn (t ) Xn ( x)
n=1
§1 齐次DE齐次BC的求解 特征函数 齐次DE齐次 的求解 齐次BC
若有现成的特征函数可直接写出‘通解’ 若有现成的特征函数可直接写出‘通解’
n =1
utt = a 2 u xx u(0, t ) = u x ( l , t ) = 0 BC:左1右2 : 例2 u( x ,0) = x ( x 2l ) u ( x ,0) = 0 t X ′′( x ) T ′′( t ) = 2 = λ(常数) 解 设u( x, t ) = X ( x )T ( t ) X ( x) a T (t ) X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0 当λ ≤ 0时, X ( x )只有零解 X ( 0) = X ′( l ) = 0 当 λ = β 2 > 0, 通解为 X ( x ) = A cos β x + B sin β x cos β l = 0 X (0) = 0 A = 0 由 Bβ cos β l = 0 即β l = nπ π 2 X ′( l ) = 0 1 π 2 2 特征值β n = [( n ) ] 特征函数 X n ( x ) = B n sin β n x 2 l ( n = 1,2, L)
抛物型方程－ 二 抛物型方程－有界杆的无热源热传导
ut = a 2 uxx 1 定解问题 u( 0, t ) = 0 ux ( l , t ) + hu( l , t ) = 0 u( x ,0 ) = ( x ) BC:左1右3 :
2 特征函数 1) 设 u(x,t)=X(x)T(t)
γ 则tgγ = hl 令γ = β l
γ y= hl
y = tgγ
γ1
γ2
π π 对任意 n, 在区间 ( nπ , nπ + ), 该方程必有一实根 γ n 2 2
γ n 2 ( n = 1, 2, L) 无法求出 特征值λ n = β = ( ) 精确值 l l γn 特征函数X n ( x ) = Bn sin x 记Ln = ∫ sin 2 β n xdx 0 l
un ( x , t ) = C n e
∞
sin β n x
( n = 1,2,L)
∞ a 2β 2 t n n=1
3) 迭加 u( x , t ) = ∑ un ( x , t ) = ∑ C n e
n=1
sin β n x
4 ) 由 IC , u( x ,0 ) =
∑C
k =1
∞
k
sin β k x = ( x )
∞
2 l 2 1 π 32l 2 C n = ∫ ( x 2lx) sin(n ) xdx = , Dn = 0 3 3 l 0 2 l (2n 1) π
其中x0 =
n
( k = 0,1, L , n)的点的振幅 ≡ 0 称驻波
整个振动由无数振幅频率各异的正弦驻波迭加而成
分离变量法也叫驻波法
n=1 n=1 ∞ ∞
2 l nπ u( x,0) = ∑Cn sinβ n x = ( x), ∴Cn = ∫ ( x ) sin xdx l 0 l n=1 ∞ 2 l nπ ut ( x,0) = ∑βnaDn sinβn x = ψ( x), ∴ Dn = ∫0 ψ( x)sin l xdx nπa n=1 ∞ nπ a nπ a nπ x t + Dn sin t ) sin 形式解 u( x , t ) = ∑ (C n cos l l l n=1
l
∞
a 2 (
γn 2 ) t l
γn sin x l
椭圆型方程－ 三 椭圆型方程－周期条件
的薄圆盘， 半径为 a 的薄圆盘，圆周边缘温 度分布为 F ( x , y ), 求达到稳恒状态时圆盘 内的温度分布 u( x , y ) 1 1 圆域内 (u) = u xx + u yy = urr + ur + 2 uθ θ Laplace方程 Laplace方程 r r 1 定解问题 u xx + u yy = 0 u | x 2 + y 2 =a 2 = F ( x , y )
C1 = 1 C2 = 2 u( x,0) = ∑Cn sin nπ x = sin π x + 2 sin 2π x ∴ Cn>2 = 0 n=1 ∞ ut ( x ,0) = ∑ Dn nπa sin nπ x = 0 ∴ Dn = 0
n=1 ∞
∴ u( x , t ) = cos π at sin π x + 2 cos 2π at sin 2π x
X ′′( x) T ′(t ) = 2 = λ 代入DE得 代入 得 X ( x)T ′(t ) = a X ′′( x)T(t ) X ( x) a T(t ) 代入BC得 代入 得 X ( 0 ) = 0和 X ′( l ) + hX ( l ) = 0
2
2) 求X(x)和T(t)的非零解 和 的非零解
∞
满足D 4) 确定系数 Cn、Dn ( x ), ψ( x ) ∈ [0, l ] 满足 条件
5) 综合 还需要证明 ∑ u n ( x , t ) 收敛且可逐项求导
总假设两种运算可以交换次序 交换次序: 物理上 总假设两种运算可以交换次序
∞ 1 ∞ 1
物理上认为实验数据总 能满足此要求 , 只求形式解
双曲型方程－ 一 双曲型方程－有界弦的自由振动
utt = a 2uxx (t > 0, 0 < x < l ) 1 定解问题 u(0, t ) = 0, u(l , t ) = 0 (t ≥ 0) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x) (0 ≤ x ≤ l )
2 求解步骤
第2章 分离变量法 章
椭型的混合问题和边值 混合问题和边值问题 适用于 双 抛 椭型的混合问题和边值问题 非齐DE非齐 非齐BC 非齐DE齐次 齐次BC 非齐 非齐 令u( x , t ) = v( x , t ) + w( x , t ) 非齐 齐次
utt = a 2 uxx + f ( x, t ) u(0, t ) = u1 (t ) u(l , t ) = u2 (t ) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x)