二次函数顶点式解析式的应用
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三 个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比 较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们 之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正 确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根
二次函数交点问题,解析式,应用
二次函数的交点问题巧解方法：1、二次函数与x 轴、y 轴的交点：分别令y=0,x=0；2、二次函数与一次、反比例函数或者与其他函数等的相点：联立两个函数表达式，解方程.例1、如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．例2、已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积例3、.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
例4、已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．训练题1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过 象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是 ．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m= ．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m= ．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ．8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 ．9．抛物线y=x 2－2x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是 ．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则的值是（）A ．－3B ．3C ．D ．－12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－＜1B ．0＜－＜2C ．1＜－＜2D ．－=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？a b a ca cbc b a +++++2121a b 2a b 2a b 2a b2函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
用顶点式确定二次函数表达式
(2,5) (0,1)
知识迁移
抛物线 y 2 x bx c（a≠0），经过向左平移 3个单位，向下平移2个单位，得到新的顶点为 （-2，3）；求抛物线原解析式。
2
知识迁移
已知抛物线C1的解析式为 y 2 x 4 x 5
2
抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解 析式为：_________________ _； 若抛物线C3关于抛物线C1 y轴对称，则抛2 9 8
知识迁移
1.已知二次函数的对称轴为直线x=2,函数的最小值 是-3，且过（0，1），求二次函数解析式？
知识迁移
2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1) 和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
知识迁移
3.抛物线如图所示，请求出抛物线的解析式。
综合应用
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:由题可得, 点(1,3)是图中这段抛 y B(1，3) 物线的顶点.因此可设这段抛物线 3 对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O y=－4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
数形结合 双壁辉映
曾鹏志
顶点式确定二次函数
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
本节重点 运用
1.顶点式：y a( x h) k (a 0)
二次函数的解析式(包含三种形式,及应用)
2
例2
y (3)交点式： a x x1 x x2
• 已知图象与x轴的两个交点的坐标及另一点 坐标，求解析式
学以致用
变形（观察与上一题的区别）
求二次函数解析式常见的三种方法 (a 0)
(1)一般式： y
ax bx c
2
()顶点式：
y a x h k
2
(3)交点式：y
a x x1 x x2
y (1)一般式： ax bx c
2
已知三个点的坐标，即可求出 过这三点的二次函数的解析式
例1、已知抛物线y=ax2+bx+c图象过A(0， 1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点，求 函数的解析式.
解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2， -1）三点 b 0 c 1 a 0 2
2 ∴ a 1 b 1 c 2 a 2 2 b 2 c 1 a 2 ∴ b 3 c 1
∴y= -2x2+3x+1
(2)顶点式：
y = a ( x - h) + k
2
已知顶点坐标及另一个点的坐标，求解析式 知道顶点，如何设顶点式？
y = a ( x - 2， ) 如果顶点是（2,0），应设
1 如果顶点是（-3,1），应设 y = a ( x + 3) +， 2 如果对称轴是x= 1，应设 y = a ( x - 1) + k，
求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式及二次函数的应用2014.6.8一、求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二、二次函数的应用：（1）应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
三、二次函数的三种表达形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
2、顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0，k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0，k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象。
二次函数五种解析式
二次函数五种解析式五种二次函数解析式的文章一、一般式解析式二次函数是代数学中的重要内容之一，其解析式的形式有多种。
其中，一般式解析式是最常见的一种形式。
一般式解析式的形式为：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
在这个解析式中，a决定了二次函数的开口方向和形状。
当a大于0时，二次函数的开口向上，形状为一个向上的弧形；当a小于0时，二次函数的开口向下，形状为一个向下的弧形。
而b则决定了二次函数的位置。
当b大于0时，二次函数向左平移；当b小于0时，二次函数向右平移。
c则决定了二次函数的纵轴截距。
当c大于0时，二次函数与纵轴的交点在纵轴上方；当c小于0时，二次函数与纵轴的交点在纵轴下方。
二、顶点式解析式顶点式解析式是另一种常见的二次函数解析式形式。
顶点式解析式的形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k。
其中，a、h、k为常数，且a不等于0。
在这个解析式中，(h, k)表示二次函数的顶点坐标。
当a大于0时，二次函数的开口向上，顶点坐标为(h, k)；当a小于0时，二次函数的开口向下，顶点坐标也为(h, k)。
顶点式解析式的优点在于能够直接读取二次函数的顶点坐标，从而更加方便地确定二次函数的位置和形状。
三、描点式解析式描点式解析式是一种较为灵活的二次函数解析式形式。
描点式解析式的形式为：f(x) = (x-x1)(x-x2)。
其中，x1和x2为已知的两个点的横坐标，且x1不等于x2。
在这个解析式中，二次函数的两个零点为x1和x2。
通过这两个已知点，可以确定二次函数的形状和位置。
描点式解析式的优势在于能够直接读取二次函数的零点，从而更加方便地确定二次函数的位置和形状。
四、焦点式解析式焦点式解析式是一种特殊的二次函数解析式形式。
焦点式解析式的形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k。
其中，a、h、k为常数，且a不等于0。
在这个解析式中，(h, k)表示二次函数的焦点坐标。
顶点式求二次函数解析式
顶点式求二次函数解析式二次函数是高中数学中的一个经典主题，它在物理、经济等领域都有着广泛的应用。
求解二次函数的解析式是我们学习这个主题的重要内容之一。
本文将介绍通过顶点式求二次函数解析式的方法，希望对学习这个主题的同学有所帮助。
一、顶点式的定义顶点式是指把二次函数写成顶点和对称轴的形式，它的一般形式为：y = a(x-h)² + k其中，h和k分别表示函数图像的顶点坐标，a表示开口方向和大小。
二、顶点式的求解步骤1. 确定二次函数的顶点坐标：通过计算二次函数的导函数，可得到最值点处的横坐标，再通过带入原方程求出纵坐标，从而得到顶点坐标。
2. 确定二次函数的开口方向和大小：根据a的符号，可知函数开口方向和大小。
3. 带入顶点坐标和a的值，求出二次函数的解析式。
三、顶点式求解的例题1. 求二次函数y=x²+4x+3的顶点式解析式。
解：首先，通过求导数可得到最值点的横坐标为-2，然后再把x=-2带入原方程可得到最值点的纵坐标为-1，所以顶点坐标为(-2，-1)。
其次，根据二次函数的一般形式，可知a=1大于0，说明函数开口向上，且开口大小为1。
最后，带入顶点坐标和a的值，得到该二次函数的解析式为 y = (x+2)² -1。
2. 已知二次函数y=ax²+bx+c向下开口，其顶点坐标为(-1,2)，求解该二次函数的解析式。
解：根据题意，可知二次函数开口向下，即a小于0。
又因为顶点坐标为(-1，2)，所以h=-1，k=2。
带入顶点坐标和a的值，得到该二次函数的解析式为 y = -a(x+1)²+2。
四、顶点式的特点1. 顶点式是指把二次函数写成顶点和对称轴的形式，易于分析图像特征。
2. 通过顶点式求解二次函数的解析式，可以有效地提高解题效率，减少出错的概率。
3. 顶点式是求解二次函数的解析式的一种方法，还有其他方法可以求解二次函数的解析式，如标准式和一般式等。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
运用顶点式求二次函数的解析式
运用顶点式求二次函数的解析式李保国一、学习目标：1、进一步巩固用待定系数法求二次函数的解析式。
2、掌握顶点式求二次函数的步骤。
3、会用顶点式求二次函数的解析式。
二、预习提纲：（一）忆一忆（1）y=3(x-1)2+1 对称轴______.顶点坐标______。
（2）y=ax2+bx+c 对称轴______.顶点坐标_______。
2（3）y=a(x-h)2+k 对称轴______.顶点坐标______。
（一组：预测性困难：学生在记忆一般式的顶点坐标公式时有可能出错。
教师追问：根据顶点式找顶点坐标的技巧是什么？点评：括号内等于0求出x的值是顶点的横坐标，纵坐标是k的值。
）(二) 学一学：例：已知二次函数的顶点是（1，-3），且过P（2，0）点，求这个二次函数的解析式。
分析：求二次函数的解析式，知道了二次函数的顶点坐标和其中的一个点的坐标，因此设为顶点式来求二次函数的解析式比较简单解：∵二次函数的顶点是(1,3)∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3∵抛物线过P（2，0）点∴0=a(2-1)2-3∴a=3∴y=3(x-1)2-3=3x2-6x∴二次函数的解析式为：y=3x2-6x总结：运用顶点式求二次函数的解析式的步骤：①设出顶点式，注意符号的变化。
②代入点的坐标求a值。
③把顶点式化为一般式。
（三）练一练：（1）已知抛物线过点（3，1），顶点为（2，3），求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线的顶点为（-1，3）并过原点，求抛物线的解析式。
（三组：预测性困难：学生有可能在求出二次函数的顶点式后忘记化成一般式。
教师追问：二次函数图像过原点提供了什么？点评：二次函数图像过原点，即（0，0）点的坐标适合函数的解析式。
）（4）已知抛物线的图像如图所示，求抛物线的解析式。
（四）试一试我国是一个水资源缺乏的国家，提倡使用节水设备，有一种节水喷头，符合下面请求：如图，垂直于地面的水管AB高出地面1.5m，在B处有自动旋转口喷头，某一时刻喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45度角，水流最高点C比喷头高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到A运用顶点式求二次函数的解析式附页一、相关链接：用待定系数法确定二次函数解析式的三种类型：1、已知图像上三点或三对(x,y）的值，通常选取一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。
微课小专题17求二次函数解析式(一)运用顶点(勤学早)
[方法技巧]由题意分析得到抛物线的顶点坐标,运用顶点式求二次函数的解析式.
金例讲析
[例]抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0),顶点M在直线y=-2x+8上,求抛物线的解析式
实战演练,
1.已知当x=-2时,二次函数y=ax2+bx+c取得最大值为4,且图象经过点(-3,0),求此二次函数的解析式.
实战演练。
1.已知二次函数y=ax2-4ax+3a,若当1≤x≤4时,y的最大值是4,则a的值为
2.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为_
微课小专题23数形结合(三)分析一元二次方程的根
[方法技巧]抛物线与x轴(或直线)交点的横坐标为对应一元二次方程的两根,要善于利用二次函数的图象解决对应--元二次方程的根的问题.
金例讲析，
[例]已知抛物线y=a(x-h)2+k经过点(-3,m),(1,m),(2,-4)三点,则关于x的方程a(x- h+2)2+k+4=0的解为
实战演练。
1.将抛物线y=- (x+1)2-2沿直线y=x向右上平移2 个单位长度,则得到的抛物线的解析式为
2.将抛物线y=(x- 1)2-4沿直线x= 翻折.则翻折后的抛物线的解析式为.
微课小专题20二次函数性质之区间增减性
[方法技巧]二次函数的增减性与其图象的开口方向,对称轴以及区间直接相关,注意结合图象分析对称轴与区间的位置关系.
微课小专题21数形结合(一)二次函数y值大小比较
[方法技巧]通常结合抛物线的开口方向,利用点到对称轴的距离大小来得到函数值的大小关系.金例讲析
二次函数顶点式解析式公式
二次函数顶点式解析式公式1. 什么是二次函数顶点式？大家好，今天咱们要聊的是二次函数的顶点式解析式公式。
先别急，听我说完，你一定能明白它是啥。
二次函数的标准形式是 ( y = ax^2 + bx + c )，而顶点式则是它的一种变形，形如 ( y = a(x h)^2 + k )。
这个“顶点式”其实就是把函数的“顶点”给显现出来了，清楚明了，非常好用。
2. 顶点式的由来2.1 为什么要用顶点式？你可能会问，为什么不一直用标准形式？用顶点式有个大优点，就是它能直接告诉你二次函数的“顶点”在哪里。
想象一下，你在画一座山，顶点就是山顶。
如果你直接知道山顶的位置，那不就省了很多麻烦吗？顶点式就像是给你标记好了山顶的地图，让你一眼就能找到最重要的点。
2.2 如何得到顶点式？如果我们已经有了标准形式 ( y = ax^2 + bx + c )，想要变成顶点式，就需要一些小技巧了。
这种变换的过程叫做“配方”，就是把函数变成 ( y = a(x h)^2 + k ) 的形式。
这其中，( h ) 和 ( k ) 就是顶点的坐标。
其实，配方的步骤就是把 ( ax^2 + bx + c ) 改写成完整的平方形式。
3. 顶点式的实际应用3.1 在实际问题中的应用顶点式的最大好处就是让我们能轻松搞清楚二次函数的最值。
比如说，你在做一个抛物线形的拋物球设计，顶点式告诉你最高点在哪里。
无论是工程设计还是生活中的小问题，知道了顶点的位置，就像找到了一把钥匙，能帮你轻松解决问题。
3.2 举个例子假如你有一个函数 ( y = 2(x 3)^2 + 5 )，这个函数的顶点就是 ( (3, 5) )。
这就意味着这个二次函数在 ( x = 3 ) 的时候，( y ) 达到了最低点（对于开口向上的抛物线来说）。
如果你需要优化某些东西（比如抛物球的最高点），顶点式就能帮你找到最优解。
4. 总结说到这里，大家对二次函数的顶点式应该有了更清楚的了解了吧。
二次函数的三种解析式
二次函数的三种解析式二次函数是高中数学中的一个重要内容，其解析式可以有三种形式。
下面将分别介绍它们的计算公式、特点和应用。
一、顶点式顶点式是一种简洁明了的表示二次函数的方式。
它的通式为：y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k分别代表二次函数的导数、顶点横坐标、顶点纵坐标。
在这个式子中，a控制函数的开口方向和缩放程度，h决定了函数图像的移动方向和距离，k则是函数图像的最低点或最高点。
使用顶点式有一个明显的好处，那就是可以轻松地推导出函数的最值和零点。
具体地说，函数的最小值为k，最大值为正负无穷，当且仅当a的符号与k的符号一致时成立；函数的零点可以通过方程y=0求解，即x=h。
二、一般式一般式是表达二次函数的另一种方式，它较为复杂但能够包括所有二次函数。
一般式的通式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c还是分别表示函数的导数、一次项系数和常数项。
使用一般式计算一般为求解函数的导数、顶点坐标和零点。
其中函数图像的顶点坐标可以用二次函数顶点公式求解，即h=-b/2a和k=-Δ/4a，其中Δ=b^2-4ac；函数的零点可以使用求根公式求解，即x=(-b±√Δ)/2a。
三、描点式描点式是较为简单粗暴的表示二次函数的方式。
它的基本原理是，通过描出函数图像上的若干个点，然后拟合出二次函数的解析式。
描点式解析式的范式为：y=a(x-x1)(x-x2)，其中a是二次项系数，x1和x2是函数图像上任意两个不同的点对应的横坐标。
相对于顶点式和一般式，描点式的优点在于计算简单，随时可用。
但缺点也很明显，就是易受图像上的干扰影响，甚至有可能产生误差。
总结：综上所述，二次函数可以用三种解析式进行表示：顶点式、一般式和描点式。
虽然它们的计算方法不同，但本质上都是描述同一个函数。
在不同情景下，可以灵活地采用不同的解析式，以达到最佳计算效果。
二次函数顶点式的应用教案24
二次函数顶点式的应用教案一、教学目标：知识与技能:1．能熟练的区分抛物线的顶点，熟练的用顶点求抛物线的解析式2.知道二次函数解析式，利用顶点和对称轴，绘画出二次函数图像3.理解并掌握抛物线与x 轴的两交点和顶点所围成三角形的面积过程与方法：通过探究、推理、交流等活动，培养学生推理能力和有条理表达能力；理解抛物线顶点式的应用具体有哪些，并会应用所学知识解决一些实际问题。
情感态度价值观：引导学生对顶点式进行观察、交流、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心。
二、教学重、难点：重点：能正确区分抛物线的顶点；利用顶点求二次函数解析式；知二次函数解析式，画出函数图像；求抛物线与x 轴的两交点和顶点所围成三角形的面积 难点：在讲解的过程当中，如何让学生彻底的理解并掌握所学的内容，并让学生会用所学知识解决一些实际问题。
三、教学过程：本节课是以复习课的形式讲解，给出例题，让学生进行分析和解答，教师最后引导总结，在引导、归纳和总结的过程当中，一定要牢牢把握解题的重难点，要让学生彻底的理解并掌握所学内容。
例1. 抛物线1)23(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A. （2，1）B. （2，-1） C ），（132 D. ），（132-解析：初看，该题似乎应选A ，再细看，该解析式和抛物线的顶点式是不同的。
抛物线的顶点式是的形式 k h x a y +-=2)(是 ，其中括号内x 前面的系数是1，而该题括号中x 前面的系数是3，应先将抛物线解析式转化为1)32(182+-=x y ，所以应选C 。
总结一：如何正确区分二次函数解析式的顶点坐标？1、观察二次函数解析式是否是顶点式，如果不是，那么把一般式转化为顶点式，从而求出抛物线顶点坐标2、如果是k h -bx a y 2+=）（的形式，那么一定要把x 前面的系数化为一，从而求出抛物线的顶点坐标。
例2. 已知抛物线的顶点坐标是（2，3），且经过点（5，6），求该抛物线的解析式。
(完整版)二次函数交点问题,解析式,应用
二次函数的交点问题巧解方法：1、二次函数与x 轴、y 轴的交点：分别令y=0,x=0；2、二次函数与一次、反比例函数或者与其他函数等的相点：联立两个函数表达式，解方程.例1、如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．例2、已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积例3、.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
例4、已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．训练题1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过 象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是 ．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m= ．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m= ．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ．8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 ．9．抛物线y=x 2－2x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是 ．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则的值是（）A ．－3B ．3C ．D ．－12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－＜1B ．0＜－＜2C ．1＜－＜2D ．－=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？a b a ca cbc b a +++++2121a b 2a b 2a b 2a b2函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。
一、 三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。
分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。
故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c.二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。
将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21∴y=21x(x-3),即 y=x x 23212 .三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。
分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21∴y=-,4)1(212++x即y=-.27212+-x x由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。
四、平移型例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式，将函数y=x 2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。
顶点式解析式
顶点式解析式顶点式解析式是指将一个二次函数的解析式表示为顶点的形式，即通过变换将二次函数的解析式转化为顶点的坐标形式。
顶点式解析式的一般形式为：y=a(x-h)^2+k，其中(a≠0)。
顶点式解析式的优点是可以直接得到二次函数的顶点坐标，从而方便地确定二次函数的图像的顶点位置和图像的开口方向。
同时，顶点式解析式还可以直观地表示二次函数的平移变换。
下面将通过实例来解释顶点式解析式的具体应用。
假设有一个二次函数y=x^2+4x+1，我们需要将其转化为顶点式解析式。
我们可以通过配方将二次函数转化为完全平方形式，即将x^2+4x 部分转化为(x+2)^2形式。
由于(x+2)^2=x^2+4x+4，所以我们需要在原函数的基础上减去3，即得到y=x^2+4x+1-3。
然后，我们将得到的函数进行因式分解，即y=(x+2)^2-3。
从这个表达式中可以看出，函数的顶点坐标为(-2,-3)。
因此，将原二次函数转化为顶点式解析式后，得到的顶点坐标为(-2,-3)。
这意味着函数的图像的顶点位于坐标轴的(-2,-3)位置。
我们还可以通过顶点式解析式来判断二次函数的开口方向。
由于顶点坐标为(-2,-3)，即顶点的横坐标为负数，所以该二次函数的图像是向右开口的。
通过这个实例，我们可以看到顶点式解析式的应用优势。
通过将二次函数转化为顶点式解析式，我们可以直接得到函数的顶点坐标和开口方向，从而更加直观地理解和描绘二次函数的图像。
除了上述实例，顶点式解析式还可以应用于其他相关问题。
例如，在数学中，我们经常需要求解二次函数的最值问题。
通过将二次函数转化为顶点式解析式，我们可以直接得到函数的顶点坐标，从而可以快速求解二次函数的最值问题。
顶点式解析式还可以用于分析二次函数的平移变换。
通过观察顶点式解析式中的h和k值，我们可以确定二次函数在坐标轴上的平移位置。
顶点式解析式是一种将二次函数转化为顶点坐标形式的表达方式，具有直观、方便、易于应用的特点。